Cantidad de proposiciones Número de combinaciones = = = n

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1 COLEGIO SAN RANCISCO JAIER DE LA ERAPAZ PROESOR RONALD CHÉN: Conectivos lógicos y tablas de verdad (Primero Básico 2017) Conceptos 3 Notación y Conectivos lógicos Conectivos lógicos son aquellas palabras que enlazan proposiciones o cambian su valor de verdad A partir de proposiciones atómicas es posible generar otras atómicas o moleculares Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos, también llamados operadores o constantes A continuación, vemos una concreta definición de cada uno: Símbolo Operación asociada Significado ~, Negación No, o no es cierto que ^ Conjunción y Disyunción o Condicional o Implicación Sí, entonces O implica Bicondicional o Doble implicación Si y sólo si Conectivos lógicos y tablas de verdad Antes de realizar el estudio de las proposiciones moleculares básicas, veamos de cuántas formas podemos combinar los valores de falso o verdadero de las proposiciones atómicas Al tratar simultáneamente, observamos que son varias de ellas, dichas combinaciones se presentan en una tabla, a la cual se le denomina Tabla de erdad El número de combinaciones, se obtiene con la expresión 2 n (el exponente n es el número de proposiciones) Cantidad de proposiciones Número de combinaciones = = = 8 n 2 n Es conveniente un mismo procedimiento para anotar las combinaciones posibles, de acuerdo con el número de proposiciones atómicas Cuando hay solo una proposición es evidente que no caben más que dos posibilidades: es verdadera o falsa Así tenemos la tabla de alternativa para los valores de una proposición P Cuando se trata de dos proposiciones atómicas por ejemplo P y Q, el procedimiento sería el siguiente: Elija dos columnas (una proposición), en la primera de la derecha anote primero una y luego una Continúe así, de arriba hacia abajo hasta completar la columna En cada columna siguiente, los valores se van duplicando; por ejemplo, en el caso de tres proposiciones P, Q y R P Q R De manera práctica señalaremos que como había que anotar 8 valores en la primera columna de izquierda a derecha, ponemos la mitad, es decir, 4 valores (uno a continuación de otro) seguidos de 4 valores, también uno a continuación del otro En la segunda columna, la mitad de 4, es decir, 2 valores de seguidos de dos valores hasta completar 8 valores; y finalmente, en la última columna, la mitad de 2, un valor, un valor así hasta completar los 8 P P Q

2 ANÁLISIS DE LAS PROPOSICIONES MOLECULARES BÁSICAS Negación (~, ) Dada una proposición P, se denomina la negación de P a otra proposición denotada por ~P que le asigna el valor de verdad opuesto al de P s P: El perro ladra ~P: El perro no ladra P ~P La negación es una proposición cuyo valor es opuesto al de la proposición original Las palabras no, no es verdad que, es falso, no es cierto que, es falso que, no ocurre que, no es el caso que, etc, equivales al conectivo ~ Conjunción (ᴧ) Dada dos proposiciones P y Q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición P ᴧ Q (se lee P y Q ) Cuya tabla de verdad es: P Q P ᴧ Q La conjunción es verdadera solo si sus proposiciones son verdaderas; en otros casos, será falsa Las palabras, pero, sin embargo, además, no obstante, aunque, a la vez, también, etc, equivalen al conectivo ᴧ La Monja Blanca es la flor nacional y el Quetzal es el ave símbolo nacional Esta proposición está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos P y Q, que son: P: La Monja Blanca es la flor nacional alor de verdad () Q: El Quetzal es el ave símbolo nacional alor de verdad () Esta aseveración es verdadera porque P y Q son verdaderas Si una de ellas hubiera sido falsa, la proposición molecular también sería falsa Disyunción () Dadas dos proposiciones P y Q, la disyunción de las proposiciones P y Q es la proposición P Q (Se lee P o Q ), cuya tabla de verdad es: La disyunción es falsa solo si sus P Q P v Q proposiciones son falsos; en otros casos, será verdadera Ricardo Arjona es músico o político P: Ricardo Arjona es músico alor de verdad () Q: Ricardo Arjona es político alor de verdad () Esta aseveración es verdadera porque P = y Q = Si ambas hubieran sido falsas, la proposición molecular también sería falsa

3 Condicional o Implicación ( ) Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante el conectivo lógico Si entonces o sus expresiones equivalentes Las palabras porque, puesto que, cuando, si, cada vez, etc, equivales al conectivo La condicional de las proposiciones P y Q es la proposición P Q (si P entonces Q) cuya tabla de valores de verdad es: Si el cuadrado es un rectángulo entonces el circulo es un rectángulo Antecedente P: El cuadrado es un rectángulo alor de verdad () Consecuente Q: El circulo es un rectángulo alor de verdad () La proposición molecular es falsa porque el antecedente P es verdadero y el consecuente Q es falso La proposición condicional puede ser: Directa: El antecedente y consecuente van en este orden respectivamente s Inversa: El consecuente y antecedente van en este orden, respectivamente s Bicondicional o Doble Implicación ( ) Son aquellas proposiciones que se relacionan mediante el conectivo lógico si y solo si o sus expresiones equivalentes Las palabras cuando y solo cuando, entonces y solamente entonces, etc, equivales al conectivo La Bicondicional de las proposiciones P y Q es la proposición P Q (Se lee P si y solo si Q ) cuya tabla de valores de verdad es: 18 6 = 3 si y sólo si 3 6 = 18 P Q P Q La bicondicional es verdadera solo si los valores de sus proposiciones son iguales; en caso contrario, será falsa P: 18 6 = 3 alor de verdad () Q: 3 6 = 18 alor de verdad () La proposición molecular es verdadera porque P es verdadera y Q es verdadera

4 COLEGIO SAN RANCISCO JAIER DE LA ERAPAZ PROESOR RONALD CHÉN: Conectivos lógicos y tablas de verdad (Primero Básico 1-B) Problemas selectos 3 NOMBRE: A Simbolizar las proposiciones siguientes, completamente, utilizando el símbolo lógico correspondiente para los términos de enlace Indicar la proposición atómica que corresponde a cada letra 1 Ricardo vive en nuestra calle y Juan en la manzana contigua 2 Darwin fue biólogo y Newton físico 3 El 13 es número impar además es primo 4 Hace frio o está lloviendo 5 10 es par o múltiplo de 2 6 Si obtengo más de 60 puntos entonces aprobare el examen 7 La educación mejorará cuando, y solo cuando se tenga una sociedad justa 8 Un ángulo es recto, si y solo si su medida es 90 9 No es cierto que José sea médico 10 Si mi gato estornuda entonces lloverá B A continuación, aparece una lista de proposiciones Escriba la negación de cada una de ellas y califíquelas escribiendo dentro de los paréntesis una o una 1 5 es un número par ( ) ( ) 2 2 x 2 x 2 = 6 ( ) ( ) 3 Es falso que 100 = 10 2 ( ) ( ) 4 La mitad de 78 es 39 ( ) ( ) es menor que 29 ( ) ( ) 6 Enero tiene 30 días ( ) ( ) 7 Las ballenas son peces ( ) ( ) x 5 +5 = 100 ( ) ( ) 9 Los árboles dan oxígeno ( ) ( ) 10 El lunes antecede al martes ( ) ( ) C Halle el valor de verdad de las proposiciones 1 Si un día tiene 24 horas, entonces una hora tiene 3600 segundos 2 Si x es igual a dos, entonces x más uno es igual a tres 3 Si dos y tres son cinco, entonces tres y dos son cinco 4 Si la suma do dos números naturales es impar, entonces los dos sumandos son impares 5 Si 10 es menor que 0, entonces 10 es un número negativo 6 23 es un número primo si y sólo si es divisible por sí mismo y por la unidad 7 43 > 27 si y sólo si > 0 8 Si 100 es divisible por 2, entonces 7 es par = 8 si y sólo si 72 4 = Si = 4, entonces 2 x 2 = 4 D Examinar las proposiciones condicionales siguientes y señalar en cada caso el antecedente 1 Si Sofía es más joven entonces Antonia es más vieja 2 Si Antonia es más vieja entonces Luisa es más joven 3 Si Sofía es más joven entonces Rosa es más vieja 4 Si Rosa es más vieja entonces tiene sesenta años 5 Si Rosa tiene sesenta años entonces Luisa tiene sesenta años E Examinar las proposiciones condicionales siguientes y señalar en cada una el consecuente 1 Si Pedro es el segundo entonces Juan es el tercero 2 Si Juan es el tercero entonces precede a Luis 3 Si Luis es el cuarto entonces Carlos es el quinto 4 Si Pedro es el segundo entonces está después de Marcos 5 Si Pedro está después de Marcos entonces Marcos es el primero

5 Resuelva cada uno de los siguientes problemas, justifica cada una de las respuestas obtenidas: Problema 1 Cada vez que Sara saca 100 en su examen de mate, llega muy sonriente a su casa Ayer Sara llegó muy contenta a su casa Significa entonces que sacó 100 en un examen de mate? Problema 2 El gato de mi tía SIEMPRE estornuda unas horas antes de que llueva Si el gato está estornudando ahorita, significa que va a llover en unas horas? Problema 3 En el cumpleaños de Batman, Robín decide averiguar cuántos años tiene su compañero El Guasón dice que el Batichucho tiene al menos 45 y el Pingüino le dice que tiene al menos 44 Si solo uno de ellos miente, Cuántos años tiene Batman? Problema 4 Un arqueólogo guatemalteco cayó en manos de una tribu de indígenas, se le propuso la elección entre morir en la hoguera o envenenado Para ello, el condenado debía pronunciar una frase tal que, si era cierta, moriría envenado, y si era falsa, moriría en la hoguera Cómo escapó el condenado a su funesta suerte? Problema 5 Un sultán encierra a un prisionero en una celda con dos guardianes, uno que dice siempre la verdad y otro que siempre miente La celda tiene dos puertas: la de la libertad y la de la esclavitud La puerta que elija el prisionero para salir de la celda decidirá su suerte Puede el prisionero obtener la libertad de forma segura?