Respuestas faltantes en ejercicios edición 2007 Sección 4.4: Superficie cuadráticas de revolución Ejercicio 4-1

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1 Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 Respuestas faltantes en ejercicios edición 007 Sección 4.4: Superficie cuadráticas de revolución Ejercicio 4- R r + x + y Ejercicio R x + y + z Ecuaciones: x + 4y + 4z = 4 y x + 4y + z = 4 Ejercicio 4-4 ( x ) ( y ) ( z + ) a) + = c 9 c ( x ) ( y ) ( z + ) b) + = Capítulo 4. Superficies. Página

2 Ejercicio 4-5 a) x ) + z = y Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 ( : paraboloide elíptico con eje paralelo al eje y (x=; z=0). Vértice ( ;0;0) b) ( x ) z = y : paraboloide hiperbólico (silla de montar) con eje paralelo al eje y (recta x=; z=0). Punto de silla en ( ;0;0) c) ( x ) = y : cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje z y directriz ( x ) = y ; z=0 Capítulo 4. Superficies. Página

3 Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 d) ( x ) + k z = y; k R : Si k > 0 k paraboloide elíptico con eje paralelo al eje y (recta x=; z=0). (ver ítem a) k = el paraboloide es de revolución alrededor de la recta x=; z=0. k < silla de montar con eje x=; z=0 (ver ítem b) k cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje (ver ítem c) Ejercicio 4-6 Valores de los factores de producción para máximo beneficio x =5; y = 50. La representación gráfica de la función beneficio es una porción de del paraboloide z = 5875 ( x 5) ( y 50) (vértice en ( 5;50;5875 ) Capítulo 4. Superficies. Página 3

4 Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 Ejercicio anexado 0: Ejercicios Anexados Edición 007 Determinar una ecuación de la superficie de revolución generada por la directriz z = a y, x alrededor del eje y. Graficarla. x = 4 + z a y Notar que la ecuación no es cuadrática Ejercicio anexado 0: Determinar una ecuación que represente a la superficie de revolución directriz 3 z = y, y alrededor del eje z. Graficarla generada por la Capítulo 4. Superficies. Página 4

5 Editorial Mc Graw Hill. Edición z = ( x + y ) Ejercicio anexado 03: Determinar si las siguientes ecuaciones representa superficies generada por la rotación de una curva plana al girar alrededor de uno de los ejes coordenados. En tal caso determinar el eje y una generatriz. a) z = sen( x + 3y ) b) z = sen(3x + 3y ) c) x = y z d) y + x + cz = ; c número real. a) no y b) Si. Eje de rotación z. Generatrices z = sen ( 3x ), o x z = sen ( 3y ) (hay infinitas más). z c) Si. Eje de rotación y. Generatrices, o y = x x, o y = z x (hay infinitas más). Es y = z un cono. d) Si. Cualquiera sea el c, es una superficie de rotación alrededor del eje z. Dos de sus Capítulo 4. Superficies. Página 5

6 Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 posibles generatrices son x y + cz y = y x + cz. = Si c es positivo resulta un elipsoide (de revolución), mientras que si es negativo resulta un hiperboloide de una hoja (de revolución). En el caso que c =, la superficie es de revolución alrededor de los tres ejes coordenados (es un caso particular de un elipsoide, esto es una superficie esférica). Las superficies se pueden visualizar en el siguiente gráfico. Ejercicio anexado 04: Determinar una ecuación de la esfera que cumpla con las condiciones: a) Centro en ( 0; ; ) b) Centro en ( ;0;0) y radio 3. 0 y tangente al plano x + y + z = c) Centro en ( 3;6; 4) y tangente al plano z = x y 0 d) Un diámetro es el segmento determinado por los puntos ( 6;; 5 ); ( 4;0; 3 ) e) Contiene a los puntos ( ;0; 4 ) ( ;; ) ( ; ; ± 0) Los puntos Capítulo 4. Superficies. Página 6

7 ( ;0 ; 3 ) Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 0, ( 0;0 ;5 ) y ( ;,3 ) a) x + ( y + ) + ( z + ) = 9 b) pertenecen a la esfera? 4 x + y + z =. El punto de tangencia es 3 ; ; x. El punto de tangencia es c) ( 3) + ( y 6) + ( z + 4) = 6 d) ( ) + ( y ) + ( z + 4) = 7 x. x. ( ;0 ; 3 ) e) ( ) + ( y ) + z = 5 pertenecen ( 0 ;0 ;5 ) y ( ;,3 ) Ejercicio anexado 05: ; ; pertenece a la esfera mientras que no (el primero es exterior y el segundo interior) Determinar una ecuación implícita para la esfera que cumpla con las condiciones: a) Contiene a los puntos ( ; 3;4), ( ; 5;), ( ; 3;0) x + y + z. Precisar su centro y radio y tiene su centro en el plano b) Un diámetro es el segmento determinado por los puntos ( 6;; 5 ); ( 4;0;7 ) su centro y radio x. = ( ; 3;) x + y + z x y z 59 =. = ( ;; ) a) + y + z x + 6y 4z + 0 b) 0 Ejercicio anexado 06: Describir la superficie de ecuación: a) 3x + 4y + z x 6y + 4z 4 b) x 3y 4z x 6y = C ; r = C ; r = 6 c) 6y 9x + 4z 36x 64y 4z 80 d) x + 4z 4x y 4z + 36 a) Ecuación canónica: ( x ) ( 3) + ( y ) ( z + ) = semiejes paralelos a los ejes coordenados de longitud 3 ; 3 y 6.. Precisar. Elipsoide con centro en ( ;; ) y Capítulo 4. Superficies. Página 7

8 Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 x 3 y + z. Hiperboloide de dos hojas con centro 8 9 y = en ( 3; ;0 ), eje ; Vértices en ( 3 ± 8; ;0 ). Ecuación canónica: 3 y 6. z ( x + ) ( y ) ( z 3) c) Ecuación canónica: + + =. Hiperboloide de una hoja con y = centro en ( ;;3), eje. z = 3 y + d) Ecuación canónica: ( x ) + ( z 3) =. Paraboloide elíptico con vértice x = ( ; ; 3). Eje. Abre hacia los y positivos. z = 3 b) Ecuación canónica: ( ) ( ) ( ) = Ejercicio anexado 07: Escribir una ecuación para el elipsoide con centro en (,,0), cuyos semiejes son paralelos a los ejes coordenados, y donde el semieje mayor tiene la dirección del eje x, y el menor la del eje z. El mayor es el cuádruple del menor y el doble del otro, y contiene al origen de coordenadas. ( x ) + 4( y + ) + 6z = 5 Ejercicio anexado 08: Hallar la ecuación del paraboloide con eje paralelo a uno de los coordenados, que pasa por el origen, por los puntos ( ;; ) y ( ;6;8) y que es simétrico con respecto al eje x. z y + 4x (paraboloide hiperbólico) Ejercicio anexado 09: Mostrar que las siguientes ecuaciones implícitas representan gráficamente paraboloides. En cada caso, determinar su vértice y discriminar si es un paraboloide elíptico, hiperbólico o de revolución. Graficar. a) 4x + 3z 4y + z + b) y 4x + z 6y 6 Capítulo 4. Superficies. Página 8

9 Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 c) k z 9y kz + 36y x + k 3 ) V ( 0 ; 0 ; ) : paraboloide elíptico. Eje paralelo al eje y. b) V (,5 ; 3 ; 3) : paraboloide hiperbólico. Eje paralelo al eje z. c) Ecuación canónica: ( x 4) = 9( y ) + k( z ). V (4 ; ;). Según los valores de k será Si k > 0 paraboloide hiperbólico. Si k < 0 k 9 paraboloide elíptico; si k = 9 paraboloide de revolución. Si k no es un paraboloide sino un cilindro parabólico. Ejercicio anexado 0: Proponer una ecuación y la gráfica aproximada para las superficies que se describen: a) Cono con vértice en ( ; ; 3) y eje paralelo al eje y. La curva de intersección con el plano xz es una elipse de eje mayor paralelo al eje x de longitud y eje menor paralelo al eje z, de longitud. b) Paraboloide con vértice en ( ; ; 0) ; eje paralelo al eje x y que tiene traza con el plano yz una circunferencia de radio. c) Cilindro hiperbólico, siendo una de sus directrices el eje x y una de sus directrices una hipérbola equilátera ubicada en el plano x =, vértice en ( ; ; 3). x = d) Elipsoide de revolución alrededor de la recta y vértice ubicado en el plano y = 3 Capítulo 4. Superficies. Página 9

10 Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 z =. Las longitudes del eje mayor es 4 y del menor. x = e) Paraboloide hiperbólico con eje y vértice ubicado en el plano z =. y = 3 ( x ) 4( y + ) + 4( z 3) b) ( y + ) + z = ( x ) c) ( z 3) ( y + ) = A ; A 0 d) ( + ) + ( y 3) ( z ) ( ) ( ) x + y 3 x + = o + + ( z ) = A x + B y 3 = C( z siendo A, B y C no nulos y sig ( A) = sig( B). e) ( ) ( ) ) Ejercicio anexado : Hallar y describir el lugar geométrico de los puntos que cumplen las condiciones: a) la suma de los cuadrados de sus distancias a los planos x y + z ; x + y 3z y x + 4 y + z es igual a 0. ;; 4 3 ;;4 es 0. b) la suma de la distancia a los puntos ( 3 ) ( ) Capítulo 4. Superficies. Página 0

11 Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 c) la distancia al plano yz es el doble a las correspondientes al punto ( ; ;). d) el cuadrado de la distancia al eje z es el doble de la correspondiente al plano xy. e) la diferencia de la distancia a los puntos ( ; 3,4) y ( ;3,4) es siempre 5. f) son generados por la rotación de la curva formada por todos los puntos x ; x ; 0 alrededor del eje y 3 a) Esfera con centro en el origen de coordenadas y radio 0. b) Elipsoide de revolución de ecuación ( ) ( ) x 3 y z + + =. C = ( 3,,0) Semiejes: x = 3 3;3;5. Eje de revolución y = c) Elipsoide de revolución de ecuación 3x + 4y + 4z 8x + 6y 6z C = ( 4 ;; ) 3 Semiejes ; ; d) Paraboloides de revolución de ecuación x + y z y x + y + z ( x + y = z ). Eje de revolución: eje z. Vértice en el origen. e) Hiperboloide de revolución de dos hojas con centro en ( ;0;4) y eje de revolución ( x ) ( y) x =. z = 4 ( z 4) Ecuación: 44y 00x 00z + 400x + 800z = 75 o + = f) Superficie cónica recta de ecuación 4x 9y + 4z + 36y 36 (o 4 x + 4z = 9( y ) ). Vértice 0;;0) (. Eje, eje y. Ejercicio anexado : Caracterizar la familia de superficies x y + z + k ; k R. Graficar algunas de las integrantes (casos característicos). Todas superficies de revolución alrededor del eje y. Si k < 0 hiperboloide de de una hoja, k cono, si k > 0, hiperboloide de dos hojas. Capítulo 4. Superficies. Página

12 Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 Ejercicio anexado 3: Mostrar gráficamente que el hiperboloide de dos hojas x + y z + está dentro del cono x + y z y éste dentro del de una hoja x + y z. Sugerencia: trazar las generatrices de cada superficie trazadas en el mismo plano coordenado. Ejercicio anexado 4: Dado el cono x + y z, determinar las curvas intersección de la superficie con los planos: a) z.5 x + b) z =.5 x + c) z = x + d) z =, e) z f) x g) z = x. Describir y graficar estas curvas. Luego de realizar la descripción rever el apartado Cónicas. Definición geométrica del capítulo cónicas y relacionar los resultados obtenidos con el ángulo que forma cada plano con el eje del cono. Determinar una forma paramétrica para cada curva. a) elipse, b) hipérbola, c) parábola, d) circunferencia, e) punto (vértice); Capítulo 4. Superficies. Página

13 Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 f) par de rectas que se cortan (ambas generatrices). g) una recta (una generatriz) Formas paramétricas: 4 4 a) x = + cos( ; y = sin( ; z = + cos( ; t [ 0 : π ) (elipse) b) x = ± Ch( ; y = Sh( ; z = ± Ch( ; t R (hipérbola) c) x = ( t ); y = t ; z = ( t + ) ; t R (parábola) d) x = cos( ; y = sin( ; z = ; t [ 0 : π ) (circunferencia) e) No es una curva sino un punto x ; y ; z f) x ; y = t ; z = ± t ; t R (dos rectas) g) x = t ; y ; z = t ; t R (una recta) Ejercicio anexado 5: Describir la intersección de cada superficie con el plano dado. Interpretar gráficamente. a) x + y + 3 z 3 ; x = b) x + y 3z ; x = Capítulo 4. Superficies. Página 3

14 Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 c) x y = z ; x = d) x y = z e) x + y = z ; z = ; z = x = x = a) Elipse y z b) Hipérbola + = 3 3z y x = z = c) Parábola ; d) rectas y = z y = ± x e) Punto ( 0;0;). = Ejercicio anexado 6: Curvas en el espacio: Al igual que las curva en el plano, hay distintas maneras de representar una curva en el espacio. Una de ellas como intersección de dos superficies Capítulo 4. Superficies. Página 4

15 Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 F( x, y, z) y otra es dar la curva en su forma paramétrica; esto es G( x, y, z) x = x( ; y = y( ; z = z( ; con t I Para mostrar que una curva dada en forma paramétrica x = x( ; y = y( ; z = z( es la intersección de las superficies F ( x, y, z) y G ( x, y, z) se debe verificar que la ecuación verifica ambas ecuaciones simultáneamente. Verificar que la curva c es la intersección de las superficies S y S. Utilizar estos datos para graficar la curva c. a) c : x cos( ; y = sen( ; z = + cos( t 0;π = ; [ ) S : x + y = y S : x z + b) c : x cos( ; y = ; z = sen( = ; t [ 0;π ) S : x + z = 4 y S : y c) c : x cos( ; y = + sen( ; z = 3sen( = ; [ 0;π ) S : x + z = 4 9 y S : 3y z = 3 d) c : x cos( ; y = cos t ; z = 3sen( t ; = ; [ 0;π ) S : x + z = 4 9 y S : x = 4y e) c : x cos( ; y = cos( ; z = sen( t ; = ; [ 0;π ) t ; x S : + z = 4 y S : 4y = x 4z f) c : x = ± Ch( ; y = Sh( + ; z = Sh( ; t R ; S x : 4 z = y S : y = z + Capítulo 4. Superficies. Página 5

16 Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 Ejercicio anexado 7: 3 Tal como se mencionó para curvas en R la representación paramétrica de una curva en R no es única, por lo que no resulta en general una tarea sencilla. F( x, y, z) Si la curva está representada por la intersección de dos superficies y si en G( x, y, z) al menos una de ellas falta una de las variables (lo que significa que al menos una de las superficies es un cilindro con eje paralelo a uno de los ejes coordenados) la tarea resulta algorítmica. Para ello, el la ecuación que le falta una de las variables se elige una de las presentes como parámetro y se despeja la otra o se procede de manera similar a la forma de parametrizar en R. Por último se reemplaza el valor asignado a las dos variables en ecuación de la restante superficie y se despeja la tercera. x + y z Así por ejemplo, dada c :, una representación para c puede obtenerse de la x + z = siguiente manera: De la segunda ecuación se puede elegir x cos( ; z = sen( t 0;π. Remplazando estas ecuaciones en + y z = ; [ ) x se tiene ( cos( t )) + y ( sen( ). Luego cos t + y sin t lo que implica que y = sin t cos t. Entonces una parametrización es x = cos( ; y = ± sin t cos t ; z = sen( t [ 0;π ). Capítulo 4. Superficies. Página 6

17 Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 Utilizando esta metodología parametrizar y representar gráficamente cada curva c dada por S. Verificar la gráfica trazada utilizando un sistema algebraico de cómputos. S a) S : x + y ; S : x z + 0 = = b) S : x + z 4; S : y 0 = = c) S : x + z = ; S : 3y z = d) : x + z S = ; S : x = 4y 4 9 x e) S : + z = y S : 4y = x 4z 4 x f) S : z = y S : y = z + 4 a) c : x cos( ; y = sen( ; z = + cos( t 0;π. b) c : x = cos( ; y = ; z = sen( ; t [ 0;π ). c) c : x cos( ; y = + sen( ; z = 3sen( t 0;π. = ; [ ) = ; [ ) = cos( ; y = cos t ; z 3sen( t ; t [ 0;π ). = cos( ; y = cos( ; z = sen( ; t [ 0;π ). d) c : x = ) e) c : x f) c : x = ± Ch( ; y = Sh( + ; z = Sh( ; t R. Capítulo 4. Superficies. Página 7

18 Editorial Mc Graw Hill. Edición 007 Capítulo 4. Superficies. Página 8