Resolución de sistemas dependientes de parámetros RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEPENDIEN- TES DE PARÁMETROS ESTUDIANDO RANGOS

Transcripción

1 Meáics Resolución de sises dependienes de práeros RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEPENDIEN- TES DE PARÁMETROS ESTUDIANDO RANGOS ) Discu resuelv el siguiene sise en función del práero : 7 Ese prole esá resuelo por el éodo de Guss en el docueno "Proles resuelos por el éodo de Guss". Aquí vos resolverlo plicndo el Teore de Rouché-Froenius, l ojeo de que puedn coprrse os éodos. no es un incógni, sino un práero: pr cd vlor del iso, eneos un sise de ecuciones diferene. En relidd, esos resolviendo infinios sises de ecuciones que son u precidos enre sí, diferenciándose en el vlor de. Lo que vereos es cuáles de esos sises son copiles, sen deerindos o indeerindos, o incopiles, según los vlores del práero. L ri plid es: 7 H que esudir el rngo de l ri de los coeficienes, eso es, l nerior sin l úli colun. Al esudir el rngo de es ri, en l que inervienen práeros, es conveniene hcerlo l revés que en el procediieno esándr, en el que uscos un enor de orden pequeño, no nulo, lo vos orlndo con el reso de fils, pliándolo, hs conseguir el or enor no nulo. Con práeros, coo heos dicho, conviene proceder l invers: uscos el enor de or diensión posile, en el que inerveng el ínio de práeros que se pued, veos qué vlores de los práeros hcen que dicho enor se no nulo. Pr el reso de vlores de los práeros, que serán pocos por lo generl, se esudin los sises resulnes. De ese odo, eneos: Disinguios, enonces, los siguienes csos: 4: ra), pues el enor hlldo es no nulo su orden es. Por no, ra'), pueso que el rngo, que es el núero de fils linelene independienes, no puede ser or, que sólo h fils. Coo os rngos coinciden, por el Teore de Rouché-Froenius eneos que el sise es copile deerindo endrí solución únic. Nos piden resolverlo. Aquí sí que puede ser ás úil epler Guss. Pero vos hcerlo por Crer: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de hp://

2 Meáics Resolución de sises dependienes de práeros ) 4 Así que l solución únic no depende de es,, ). 4: Seos que el rngo de l ri de los coeficienes es enor que el enor de orden er nulo). L ri plid es l siguiene: 4 7 Coo el enor de orden fordo con ls dos priers fils coluns es no nulo, ra) : Pr uscr el ra'), lo orlos con l ercer fil con l cur colun l ercer colun esá esudid el enor correspondiene es nulo): Con lo que concluios que ra'). L ercer fil ecución) es coinción linel de ls dos priers l eliinos. El rngo coincidene de ls rices de los coeficienes plid es, inferior l núero de incógnis, que es, por lo que el sise es copile indeerindo, con infinis soluciones. L incógni, que no esá en el enor no nulo que eneos, l consideros práero l llos, donde o un vlor rirrio elegido por nosoros) l psos l segundo iero: Podeos resolver ese sise coo queros: Por Crer, por Guss, por reducción, o por susiución. Vos hcerlo por Crer: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de hp://

3 Meáics Resolución de sises dependienes de práeros IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de hp:// Luego el conjuno de infinis soluciones, un pr cd vlor de, es:,, ) ) Discu el siguiene sise según los vlores de : Ese prole ién esá resuelo por Guss en el docueno cido. L ri plid es: El or enor posile l esudir l ri de los coeficienes es: Si ra) ra') El sise es copile deerindo independieneene de lo que vlg. No nos piden l resolución, pero l oendríos por Crer: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

4 Meáics Resolución de sises dependienes de práeros L solución únic es:,,. Ls descoposiciones en fcores de los nuerdores que heos hecho h sido edine Ruffini. Por ejeplo, vos descoponer +. Pr ello, consideros que es un polinoio en que l indeerind es, siendo un práero un vlor conocido o desconocido que for pre de los coeficienes, pero no es l ler principl del polinoio). Así, el polinoio serí: + ) +. Por no, por Ruffini: Por no recordr que hlos de polinoios en l indeerind ), se iene: + ) + ) ) Si l ri plid es: Ls dos priers fils son igules, por lo que eliinos un de ells l prier, por ejeplo). El rngo de l ri de los coeficienes es, porque no es posile enconrr un enor de orden no nulo, pueso que siepre coinciden ls fils ls coluns). Veos qué ocurre con l ri plid, orlndo el enor de orden que quedrí rri l iquierd: o Si : ra) ra') Sise incopile. o Si : ra) ra') Sise copile indeerindo. Tendríos sólo un ecución: + +. Llndo s, s. Ls infinis soluciones dopn l esrucur: s, s, ). ) Discu el siguiene sise según los vlores de : Ese prole ién esá resuelo por Guss en el docueno cido. L ri plid es: Coo: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 4 de hp://

5 Meáics Resolución de sises dependienes de práeros Se iene: Si : ra) ra') Sise copile deerindo. L solución, por Crer que no nos piden): L solución únic, dependiendo de, es:,,. 4 Si : ra). Orlndo con l ercer fil cur colun de l ri plid, endreos: 4 8 / o Si /: ra) ra') Sise incopile. o Si /: ra) ra') Sise copile indeerindo. Eliinríos l ercer fil ecución) que no for pre del enor no nulo enconrdo. Pr ls dos ecuciones resnes, el sise serí, un ve psd l segundo iero porque no esá en el enor): Por Crer, l solución que no piden) serí: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de hp://

6 Meáics Resolución de sises dependienes de práeros IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 6 de hp:// L ern de infinis soluciones es:, 6 7, 6. 4) Sor ) Consider el sise de ecuciones: ) Deerin los vlores de pr los que el sise iene un únic solución. Clcul dich solución pr. L ri plid es A'. Coo ra). Orlndo ese enor con l colun l fil de A, nos qued el deerinne de A, cuo vlor es por Srrus): A ). Igulndo : ó. Esos son los dos vlores de que nuln A. Por no, si, se iene que ra), por lo que ra') el sise será copile deerindo, con solución únic. Nos piden resolverlo pr uno de esos vlores:. Pr dicho vlor: A'. Vos resolverlo por Guss que, cundo el sise no depende de un práero, suele ser ás cóodo que por Crer. Coenos con F F : F F F F El sise esá ringulrido. Muliplicndo por / l úli fil, l ercer ecución es:. Susiuendo en l segund: Y susiuendo en l prier: + +. Por no, l solución únic es:,, ). ) Deerin los vlores de pr los que el sise iene infinis soluciones. Clcul dichs soluciones. Del prdo nerior, nos quedó pendiene verigur qué ocurre cundo ó. Veáoslo.

7 Meáics Resolución de sises dependienes de práeros Si, A' con l C 4 con l F :, del que eníos un enor no nulo. Orlándolo, porque F F. Por no, ién ra'), con lo que el sise iene infinis soluciones, l ser copile indeerindo. L ercer fil de l ri plid no for pre del enor no nulo que heos enconrdo, por lo que l eliinos. Tpoco l prier colun esá en dicho enor, por lo que l incógni l psos l segundo iero l oos coo si fuer un práero conocido. El sise resulne es: De donde, de for inedi, ;. Por no, llndo, ls infinis soluciones ienen l for h un pr cd vlor de ):,, ),,. Nos seguros de que el vlor de que qued por esudir no hce que el sise eng, ién, infinis soluciones. Si, l ri plid es: A'. Un enor no nulo es. Seos que es el or que podeos enconrr en A, pueso que ra). Orlándolo con l C 4 : +) ra') ra) Por no, el sise es incopile pr ese vlor. c) H lgún vlor de pr el que el sise no iene solución? Se c de clculr l finlir el prdo nerior: Si, el sise es incopile, por lo que no iene solución. ) ) Sor ) Consider el sise de ecuciones: ). ) 4 ) Clsific el sise según los vlores del práero. A' 4 ra), pero no es posile enconrr un enor de orden en el que no prec. Enonces, lo que hreos es ver cuándo ra). Es decir, en lugr de proceder, IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 7 de hp://

8 Meáics Resolución de sises dependienes de práeros coo es hiul l hor de clculr rngos, orlr enores no nulos cd ve de or ño, lo hceos l invers, o se, uscndo el enor no nulo de or ño posile. Adeás, el deerinne de l ri de los coeficienes A iene l peculiridd de que ods ls fils sun lo iso, por lo que eise un procediieno esándr de cálculo del iso: A F F F ) CC CC ) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 8 de hp:// +) +) Coo consecuenci, A ó. Así que: Si se iene que ra), por lo que ién lo será ra') no puede vler ás de ), el sise será copile deerindo. Si A'. Seos que, pr ese vlor, A 4. Y cóo ra). Orlos ese enor con l F C 4 de A' que es l únic ner de orlrlo en A'): por lo que, ién, ra') El sise es copile indeerindo, pueso que dicho vlor es enor que el núero de incógnis. Si A'. Coo A iene sus res fils igules disins 4 de, eneos que ra) sólo iene un fil linelene independiene). El único enor no nulo que podeos oener es el fordo por un único eleeno, por ejeplo,. Al orlrlo con l C 4 l F de A', qued: 4 por lo que ra') ra) El sise es incopile. ) Resuelve el sise cundo se copile indeerindo. Según lo nerior, es pr. L ecución que no for pre del enor no nulo enconrdo nes es l prier, por lo que es coinción linel de ls ors dos, con lo que l eliinos. Igulene, l incógni no esá en dicho enor, por lo que l consideros coo un núero conocido,, l psos l segundo iero. Con ello, que el sise es: 4

9 Meáics Resolución de sises dependienes de práeros Por reducción, que pr dos ecuciones es siilr Guss, resndo l prier ecución enos l segund, se oiene: 6 + Susiuendo en l prier: +) +4 Luego ls infinis soluciones del sise quedn en función de, quien podeos drle vlores lireene. Y ienen l for:,, ),, ) 6) Sor 7) Consider el sise de ecuciones ) Clsific el sise según los vlores de. L ri plid es: A Podeos enconrr en A un enor de orden no nulo:, por lo que ra). Adeás: A + A + ). En conclusión: Si ra) ra ) Sise copile deerindo. Si ra). Si orlos el enor no nulo de orden que eníos con l fil colun 4 de A : Por lo que ra ) el sise es copile indeerindo. ) Resuelve el sise cundo se copile indeerindo. Coo heos viso, es el cso de. L ecución que no for pre del enor no nulo que eneos es l prier, por lo que prescindios de ell. Asiiso, l incógni no esá en el enor, por lo que l consideros coo práero vos llr ) l psos l segundo iero. El sise es, enonces: Y eneos ls incógnis despejds en función de, por lo que ls infinis soluciones dependiendo de los vlores rirrios que deos ) ienen l for: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin 9 de hp://

10 Meáics Resolución de sises dependienes de práeros,, + ) 7) Sor 7) Consider el sise de ecuciones ) Deerin el vlor de pr que el sise se incopile. L ri plid es: A ' Se iene que el deerinne de l ri de los coeficienes vle: A Con lo que A + ó. Esudieos los disinos csos que pueden presenrse. Si A ra) ra ') Sise copile deerindo. Si A '. ra), porque es un enor, A ése er uno de los dos vlores que nuln el deerinne). Orlndo dicho enor con l fil l colun 4 de A ': iene dos fils igules) Con lo que ra '). El sise es, enonces, copile indeerindo. Si A '. Seos que A. El siguiene enor de A es no nulo: inersecciones de ls fils con ls coluns ). Por no, ra). Al orlr ese enor con l fil colun 4 de A ': Por no, el sise es incopile. + 4 ra ') ) Resuelve el sise pr. Heos verigudo que en ese cso el sise es copile indeerindo. Teníos un enor no nulo fordo por ls inersecciones de ls fils con ls co- IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de hp://

11 Meáics Resolución de sises dependienes de práeros IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de hp:// luns. Eliinos l ecución que no esá en ese enor, que es l ercer, llos, porque es l incógni que no for pre del enor, l psos l segundo iero. El sise resulne es: El sise resul u cóodo de resolver por reducción, porque l resrle l segund ecución l prier, resul: Y susiuendo en l prier ecución: +. Por no, ls infinis soluciones dependiendo de vlores rirrios pr ) ienen l for:,, ),, ) 8) Sor 7) Clsific resuelve el siguiene sise según los vlores de : ) ) Poneos, pr eper, ods ls incógnis en el prier iero, los érinos independienes en el segundo, de ner que engos el sise en l for hiul: Nos resul un sise hoogéneo, cu ri de coeficienes es: A En el cso de sises hoogéneos, l ri plid A' ñde un colun de ceros, por lo que su rngo coincidirá con el de l ri de los coeficienes. Clculos su deerinne: A Por no: Si A ra) ra') Sise copile deerindo lo que en el cso de sises hoogéneos signific que l únic solución es l rivil:,, ),, ). Si l ri de coeficienes se rnsfor en: A

12 Meáics Resolución de sises dependienes de práeros Seos que, en ese cso, A. Coo ra) ra') sise copile indeerindo, con infinis soluciones. Psndo l segundo iero es l incógni que no perenece l enor no nulo hlldo) eliinndo l ercer ecución no esá en dicho enor), el sise es: ª ec.) Sus. en l ª ec): Luego ls infinis soluciones en función de ) son de l for:,, ),, ) Si A, con A el enor. El sise es: Susiuendo en l ª ec:. Luego ls soluciones son de l for:,, ),, ) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de hp://