Dados dos triángulos rectángulos PQR y P QR, se dice que son semejantes si tienen un mismo ángulo α en el vértice Q RQ R'Q RQ R'Q PQ P'Q

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1 1..Coneptos sore trigonometrí Definiión. 1.. Rzones de ángulos omplementrios Otr definiión de rzón trigonométri Rzones de ángulos otusos ngulos suplementrios 1.6. Ángulos que difieren en 90º Ángulos opuestos Rzones trigonométris de ángulos fundmentles.. Resoluión de triángulos..1. Resoluión de triángulos retángulos Conoido un ldo y un ángulo del retángulo..1.. Conoidos dos ldos... Resoluión de triángulos oliuángulos...1. Expresión trigonométri de l ltur.... Teorem de los senos...3. Teorem del oseno...4. Resoluión por teorem del seno.3. Rdio de l irunfereni irunsrit..4. Resoluión de triángulos on el teorem del oseno Conoidos dos ldos y y el ángulo C..4.. Conoidos los tres ldos. 3. Teorem de ls tngentes. Fórmuls de Briggs nlogís de Mollweide y de Neper. 3.. Teorem de ls tngentes Resoluión de triángulos Fórmuls de Briggs. 4. Áre de un triángulo. 5. Fórmuls de diión Coseno de l sum y difereni. 5.. Seno de l sum y difereni Tngente de l sum y difereni Fórmuls del ángulo dole Fórmuls del ángulo mitd Trnsformiones en produtos de sums y diferenis Expresiones trigonométris en funión de l tngente del ángulo mitd. 6. pliiones pliiones l topogrfí. 6.. Determinión de l ltur de un punto de pie esile Resoluión de plnos inlindos en físi Resoluión de prolems en estáti y en dinámi. 1/ 0

2 1. CONCEPTOS SOBRE TRIGONOMETRÍ Definiión Ddos dos triángulos retángulos PQR y P QR, se die que son semejntes si tienen un mismo ángulo en el vértie Q Por ser semejntes se umple que ls reliones que hy entre dos ldos ulesquier de uno de los triángulos son ls misms que ls que hy entre los ldos equivlentes del otro triángulo. R R' Tles reliones dependen del ángulo, y si éste vrí, tmién vrín ls reliones que se estleen. Ls reliones los podemos definir de l siguiente form: Q P P' sen RP R' P' os PQ P'Q tg RP R' P' RQ R'Q RQ R'Q PQ P'Q 1 ose sen RQ RP 1 se os RQ PQ 1 otg tg PQ RP Un vez definids ests reliones trigonométris ásis podemos intentr estleer, su vez, otrs reliones entre ells. Utilizndo el teorem de Pitágors tenemos que: RP + PQ RQ y dividiendo tod l euión por RQ result RP PQ + 1 RQ RQ sen + os 1 Por otro ldo: tg RP PQ RP Por último, utilizndo l euión os, otenemos: RQ sen tg sen PQ os os RQ sen + os 1 y dividiéndol por / 0

3 sen os `+ os os 1 os tg + 1 se 1.. Rzones de ángulos omplementrios. Si tommos un triángulo retángulo igul que el nterior y le lulmos ls rzones trigonométris l otro ángulo distinto del ángulo y distinto del ángulo reto (o se, del ángulo en R), podemos relionrls on ls de, demás, omo el otro ángulo es de 90 grdos, lo llmremos ángulo omplementrio l, porque l sum de mos d 90º. sen(90 ) PQ os QR os(90 ) RP QR sen R 90- tg(90 ) PQ os otg RP sen Q P 1.3. Otr definiión de rzón trigonométri. Si trzmos un irunfereni de rdio r y sore ell tommos un punto P y remos on ese punto, on el entro de l irunfereni y on el punto del eje OX que es íd perpendiulr de P sore el eje (punto ) un triángulo, se umple que: sen P r P os C r r tg P C C Definiión Definiendo un triángulo de l mism form que ntes, pero sore un irunfereni de rdio unidd r1, se tiene que se define el seno de omo l lo n- gitud del teto vertivl de diho triángulo y el oseno de omo l longitud del teto horizontl de diho triángulo Rzones de ángulos otusos. Si remos triángulos igul que ntes pero tomndo puntos de l irunfereni que no están en el primer udrnte, ls rzones del ángulo que form l hipotenus on respeto l prte positiv del eje OX, vienen dds por: 3/ 0

4 y x r sen y r os x r Pero omo (x,y) está en el º udrnte, se tiene que, por definiión, el seno es positivo, el oseno es negtivo y l tngente es negtiv. tg y x nálogmente podemos ompror que: x y x + y r + 1 sen + os 1 r r todos los ángulos definidos de est form, es deir, que son superiores 90º, se les llm otusos 1.5. Ángulos suplementrios. Definiión. Ddos dos ángulos x e y, se die que x e y son suplementrios si su sum es 180º, o se x+y180º. Bjo ests ondiiones tenemos: sen y sen(180 x) sen x y x os y os(180 x) os x tg y tg(180 x) tg x 1.6. Ángulos que difieren en 90º. Definiión. Ddos dos ángulos x e y se die que son ángulos que difieren 90º si verifin que y90+x: y x sen y sen(90 + x) os x os y os(90 + x) sen x tg y tg(90 + x) otg x 4/ 0

5 1.7. Ángulos opuestos Definiión. Ddos dos ángulos x e y se die que son ángulos opuestos si se verifin que y x : sen y sen( x) sen x x y os y os( x) os x tg y tg( x) tg x 1.8. Rzones trigonométris de ángulos fundmentles. os 0º 1 ; sen 0º 0 ; tg 0º 0 Tomndo un triángulo equilátero, tenemos que 30 Como h + l l l h l h l l 3l 3 h l entones: l/ l sen 30 o l 1 l sen 30 o 1 os 30 0 h l 3l 3 l os tg 30 0 sen 30o 1 1 os tg Como sen 60 o sen(90 30) os 30 3 sen 60 o 3 os 60 0 os(90 30) sen 30 1 os / 0

6 o tg 60 0 sen 60 3 os tg Tomndo hor un udrdo de ldo l result: 45 d l + l l d l d o l sen 45 l d l l 1 sen 45 o 45 l os 45 o l d l l 1 sen 45 o sen 45 0 tg 45 os 45 1 tg RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS..1. Resoluión de triángulos retángulos Conoido un ldo y un ángulo del retángulo. ) Si onoemos l hipotenus y un ángulo gudo, por ejemplos B tenemos que: C C90º B pues 90º resultndo entones: sen B sen B B os B os B ) Si onoemos un teto, el, y un ángulo gudo, el B, por ejemplo, tendremos: C 90º B y 90º luego sen B sen B y tg B tg B.1.. Conoidos dos ldos. ) Conoid l hipotenus y un teto por ejemplo, tendremos: sen B B r sen y omo C 90º B. pues 90º y C 6/ 0

7 ) Conoidos los dos tetos y, tenemos que: + y omo 90º tenemos que: tg B B r tg y C 90º B.. Resoluión de triángulos oliuángulos...1. Expresión trigonométri de l ltur h. Ddos los triángulos C En este so tenemos que: h sen B h h sen B H B h H C B En este so tenemos que: sen h h sen... Teorem de los senos. Utilizndo ls expresiones que hemos otenido, tenemos que, omo h sen B y h sen resultrá igulndo ms: y hiendo lo mismo on l ltur que prte del vértie, otendrímos que est iguldd se puede mplir : sen sen B sen C sen sen B sen C que es el llmdo Teorem de los senos. sen B sen sen sen B 7/ 0

8 ..3. Teorem del oseno. Si tommos el teorem de Pitágors generlizdo, tenemos que: + ± n B on signo menos si < 90 o on signo más si > 90 o tomremo s n 0 si 90 B o siendo h h n H C H n C Si tommos l proyeión n, de B sore l ret C, tenemos: os n (1ª figur) o os os(180 ) n (ª figur) Si n os + os pero si n os + + ( os ) + os resultndo en mos sos: + os y nálogmente: + os B y + os C..4. Resoluión por teorem del seno. ) Conoidos dos ángulos y B y el ldo, tenemos que: C180--B result: sen sen C sen C sen y sen sen B sen B sen ) Conoidos los ldos y y el ángulo opuesto : hiendo: sen B sen B r sen sen sen sen B nte est situión tenemos dos posiiliddes: 8/ 0

9 0 < B 90 o 90 o < B < 180 o Pero siempre dee ourrir que sen 1 o se sen 1) Si sen sen B 1 B 90 o ) Si sen < sen B < 1 entones: i) Si ii) Si < 90 o puede her dos soluiones o un, dependiendo de que > 90 o sólo hy un soluión. < o no. Utilizndo lo nterior tenemos que: C 180º B..3. Rdio de l irunfereni irunsrit. El ángulo D y el ángulo de los triá n- gulos DCB y CB respetivmente, son igules por tener el mismo ro, pero por otr pr- D M te, el ángulo M en el punto C es un ángulo reto por ser DB el diámetro de l irunferen- i. Entones tenemos que: C r sen sen D r sen D 90 r luego: sen B r por tnto: r sen sen B sen C.4. Resoluión de triángulos on el teorem del oseno Conoidos dos ldos y y el ángulo C. Como + os C tenemos que + os C Utilizndo el teorem del seno lulremos los ángulos y B..4.. Conoidos los tres ldos. Hemo s: os + os B + os C + Otenemos sí los ángulos, B y C del triángulo. 9/ 0

10 3. TEOREM DE LS TNGENTES. FÓRMULS DE BRIGGS nlogís de Mollweide y de Neper. Se un triángulo BC tl que > y llevemos sore y su vez sore su prolongión prtir de C. Otenemos sí los puntos N y M y +B por lo tnto, el triángulo MN u- yos ángulos queremos lulr. B N C M Tenemos que el ángulo CM es igul +B puesto que es exterior l triángulo BC. Tmién el ángulo NM es (+B)/ y demás MCC/. Finlmente NB90º+(C/) por ser exterior l triángulo NM. Entones si plimos los triángulos BM y BN el teorem de los senos result: sen 90 o + B os B + sen 90 o + B sen C + sen C sen C sen B sen 90 o + C sen B sen 90 o + C sen B os C y ests igulddes son ls llmds nlogís de Mollweide. 3.. Teorem de ls tngentes. Teorem de ls tngentes: L difereni de los ldos es su sum omo l tngente de l semidifereni de los ángulos opuestos es l tngente de l semisum de los mismos ángulos. Demostrión. Por ls nlogís de Mollweide, tenemos que: + + sen B os C os B sen C sen B os B sen C tg B tg C os C 10/ 0

11 y puesto que: C 90 o + B result: + tg B tg + B Not: est iguldd l llmmos nlogí de Neper Resoluión de triángulos. Conoidos los ldos y y el ángulo C de un triángulo, tenemos: tg B tg + B on C 90 o + B por lo tnto + otg C otg B + B tg entones de donde otenemos mos sí y B. tg B otg C + que junto on + B B 90 o C resolvemos y lul- Pr lulr hemos: + os B sen C ( + ) sen C os B 3.4. Fórmuls de Briggs. Si tenemos un triángulo BC entones el rdio de l irunfereni insrit en él, tiene por rdio: p- p- p- O r C p- p- p- B donde entones: π ( p )( p )( p ) p p / 0

12 tg B tg tg C π ( p )( p ) p p( p ) π ( p )( p ) Fórmuls de Briggs p p( p ) π ( p )( p ) p p( p ) 4. ÁRE DE UN TRIÁNGULO. Si tommos l expresión del áre de un triángulo, tenemos: S 1.h pero sustituyendo en l expresión h.sen C.sen B result: S 1.sen C 1. sen B 1. sen pero si result que onoemos, B y, podemos her C180º (+B) y por lo tnto tomremos: sen B sen que sustituyendo en l expresión nterior tenemos finlmente: S 1. sen B sen C sen S 1 sen B sen C sen Si onoemos, y lulremos los ángulos B y C medinte el teorem del seno y pliremos: S 1.sen C y por último, si onoemos los tres ldos, y del triángulo lulremos el áre medinte l fórmul de Herón: S p( p )( p )( p ) 5. FÓRMULS DE DICIÓN Coseno de l sum y difereni. Si sore un irunfereni de rdio unidd, onstruimos dos ángulos que llmremos XO y βob de mner que +βxob 1/ 0

13 Se umple que l proyeión perpendiulr de B sore el rdio O es el punto C y l proyeión so- Y re el eje OX es el punto B, de mner que: B os( + ) OB' os OC y sen BC E C Por otro ldo, el punto C se proyet sore el eje OX en el punto D y sore l ret BB en el punto E. Esto impli que el ángulo EBC se, por lo tnto: O B' D X sen EC BC os OD OC y omo OB OD B D OD EC result EC BC sen OD OC os os(+ ) OC.os BC.sen y sustituyendo ls expresiones nteriores: os(+ ) os.os sen.sen siendo ést l expresión de l sum de los ángulos. El oseno de l difereni vendrá expresdo por: os( ) os( + ( )) os.os( ) sen.sen( ) resultndo: os( ) os.os + sen.sen 5.. Seno de l sum y difereni. De l mism figur se dedue que sen( + )BB BE+EB y omo result que: os BE BC BE BC os siendo: sen BC BO BC 1 BC y sustituyendo en l nterior: BE sen.os tmién en l figur se dedue que EB' CD 13/ 0

14 y omo result que: siendo: sen CD CD OC.sen OC os OC OB OC OC sustituyendo en l nterior: 1 CD os.sen luego: sen( + ) sen.os + os.sen nálogmente l so nterior: sen( ) sen( + ( )) sen.os( ) + os.sen( ) resultndo: sen( ) sen.os os.sen 5.3. Tngente de l sum y difereni. Ls fórmuls nálogs de tngentes de l sum y difereni de ángulos son: sen.os + os.sen tg( + ) sen( + ) sen.os + os.sen os.os os( + ) os.os sen.sen os.os sen.sen os.os resultndo: sen.os os.sen tg( ) sen( ) sen.os os.sen os.os os( ) os.os + sen.sen os.os + sen.sen os.os resultndo: tg + tg tg( + ) 1 tg.tg tg tg tg( ) 1 + tg.tg 5.4. Fórmuls del ángulo dole. sen sen( + ) sen.os + os.sen os os(+ ) os.os sen.sen sen sen.os os os sen tg tg( + ) tg + tg 1 tg.tg tg tg 1 tg 14/ 0

15 5.5. Fórmuls del ángulo mitd. Tomndo ls expresiones: sen + os 1 os sen os sumándols miemro miemro tenemos: os 1 + os os por lo tnto, hiendo que se tiene finlmente: pero si ls expresiones nteriores: 1 + os os ± 1+ os sen + os 1 os sen os ls restmos miemro miemro tenemos: sen 1 os sen y hiendo que se tiene finlmente: 1 os sen ± 1 os L tngente del ángulo mitd será: tg sen ± 1 os os ± 1 + os tg ± 1 os 1 + os 5.6. Trnsformiones en produtos de sums y diferenis. Si onsidermos ls expresiones sen( + ) sen.os sen( ) sen.os + os.sen os.sen y summos y restmos ms expresiones, result sen( + ) + sen( ) sen.os sen( + ) sen( ) os.sen 15/ 0

16 Hiendo hor el siguiente mio: + p q p + q p q de donde se dedue: p + q y p q y sustituyendo: sen p + sen q sen p + q os p q sen p sen q os p + q sen p q Hiendo lo mismo on el oseno, tenemos: os(+ ) os.os sen( ) os.os sen.sen + sen.sen que nos proporion, sumndo y restndo ls expresiones: os(+ ) + os( ) os.os os(+ ) os( ) sen.sen y hiendo el mismo mio nterior, tl que: p + q y p q y sustituyendo os p + os q os p + q os p q os p os q sen p + q sen p q 5.7. Expresiones trigonométris en funión de l tngente del ángulo mitd. sen os sen os os sen... luego os + sen os + sen os tg sen 1 + tg y 16/ 0

17 y os sen os os + sen tg sen os os sen os... os + sen os tg 1 + tg... luego 1 tg 1 + tg tg luego tg 1 tg 1 tg os 1+ tg 6. PLICCIONES pliiones l Topogrfí. Los prolems de trigonometrí tienen espeil pliión en todo lo que fet mediiones sore el terreno. L mediión de grndes distnis es, en efeto, más penos que ls mediiones de ángulos, por ello vmos medir indiretmente ls distnis resolviendo triángulos. Supongmos que nos interes onoer l distni de un punto que está un ldo del río, on otro punto P que está l otro ldo del río. Elegimos otro punto B de modo que l distni B se ómod de medir y sándonos en y en B medimos on un teodolito, los ángulos y β formdos entre l ret B y ls visules trzds desde P. Con estos elementos podemos lulr P y BP resolviendo el triángulo BP. Π Α Ρ ο Θ β γ Β 6.. Determinión de l ltur de un punto de pie esile. Consiste en medir l ltur de un torre vertil uyo pié,, es esile. Se elige un se C. Si el álulo es inmedito. Si C no es horizontl, se puede medir el ángulo BC, el ángulo BC y se tiene que: C β B h ' 17/ 0

18 B 90 o ( + ) sen h os( + ) 6.3. Resoluión de plnos inlindos en físi. Ddo un uerpo de ms m que se desliz sore un plno inlindo un ángulo sore l horizontl, podemos lulr l elerión que tiene en su deslizmiento hi jo lo lrgo del plno inlindo. F X F Y m 0 Ν ΦΡ µ γσεν µ γχοσ mg sen F R m Πµ γ N mg os y onsiderndo que F R µn se resuelve el sistem de euiones plntedo y otenemos el vlor de l elerión de íd del uerpo Resoluión de prolems en estáti y en dinámi pliiones importntes tiene l trigonometrí en l resoluión de estruturs en estáti, omo el que se expone ontinuión. Un ilindro mizo de peso P se enuentr poydo sin friión en el interior de un ángulo diedro formdo por dos plnos ontiguos inlindos y β on l horizontl. Pr lulr ls reiones sore los poyos onsiderremos ls ondiiones de equilirio. F x 0 R 1 sen R sen 0 F y 0 R 1 os + R os P 0 R 1 os R osβ de l 1ª R R sen y sustituyendo en l ª R 1 sen R os + R sen os P sen R 1 (sen.os + sen.os ) Psen β R senβ R 1 sen Pmg β R 1 sen( + ) P sen sen R 1 sen( + ) P sen sen sen R R 1 sen sen(+ ) P sen sen sen(+ ) P R 18/ 0

19 Otr pliión importnte de l trigonometrí l tenemos en l resoluión del siguiente prolem de dinámi. Un uerpo de ms m desliz sin rozmiento por un rril que finliz en un rizo vertil, prtiendo del reposo ltur h. Desiende por el rril y prosigue por el interior del rizo de rdio R. Desemos justr l posiión de P de mner que el uerpo ndone el rizo en un punto y en el susiguiente movimiento pse por el entro de l irunfereni O. Hllr el ángulo orrespondiente l posiión en que el uerpo ndon el rizo. Tomemos omo sistem de refereni, el sistem rtesino XY entrdo en el punto M, donde el uerpo se despeg del rizo vertil. El vetor de posiión de l olit undo está en O (entro del rizo) vendrá ddo por l expresión: 1 R v t os.i + v t sen gt j 0 siendo, en l figur: R R.sen.i + ( R.os) j e identifindo ms: 0 v 0 t.os R.sen v t.sen 1 gt R.os 0 despejndo t de l primer: t R.sen v 0 os y sustituyendo en l segund, result R.sen 1 R sen v 0 os sen g v R os v os 0 0 Condiión que h de umplir l olit en M pr seprrse del rril: que l omponente rdil del peso se l fuerz entrípet pr mntener l tryetori irulr: mg.os m v 0 R v Rg.os sustituyendo en l nterior: 0 sen 1 R g R sen R os os Rg.os.os R sen R.sen R os sen sen os os os 3 os os 3 sen + os sen os os 3 19/ 0

20 sen + os sen 1 sen 1 sen os os 3 os os 3 os 1 1 tg tg 1'414 rtg 1' '7356 o 54º44 8 0/ 0

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