PREPA N o 2. Matriz Inversa y Determinantes.

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1 UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR MATEMÁTICAS III (MA-1116) Elaborado por Miguel Labrador Ing. Electrónica PREPA N o 2. Matriz Inversa y Determinantes. Sist. de ecuaciones lineales (cierre), cálculo de la inversa de una matriz, cálculo y propiedades de los determinantes. Ejemplo 1: Halle los valores de a y b para que el sistema: x 2y + az = 0 x + y 2z = 0 2x 3y 2z = 0 x 2y + (a + b)z = a (a) Tenga soluciones únicas y hallarlas. (b) Tenga infinitas soluciones y hallarlas. (c) Sea inconsistente Solución: Escribimos el sistema en forma de matriz aumentada para aplicar operaciones elementales por renglones utilizando el método de reducción de Gauss. F 2 F 2 F F 3 F 3 2F a 0 F 2 F a a a 0 F 4 F 4 F a + b a 0 0 b a 0 0 b a F 3 F 3 3F a a b a

2 Ahora, analizaremos el comportamiento del sistema para los distintos valores de a y b: Caso 1. Si a = b = 0, reescribimos el sistema, sustituyendo a = 0 y b = 0, y obtenemos : De aquí, es posible ver que se trata de un sistema homogéneo, cuya solución es la solución trivial, ya que se pueden obtener tres pivotes, de manera que la solución está dada por: x 0 y = 0 z 0 Luego, el sistema tiene solución única si a = 0 y b = 0. Caso 2. Si a = 4/5 y b 0. Reescribimos el sistema,ahora con a = 4/5 y tomando en cuenta que b 0 : 1 2 4/ / b 4/5 Aplicamos Reducción Gaussiana: 1 2 4/ /5 0 F 4 F /5 0 F b 4/5 b F / /(5b) /(25b) /(25b) F 1 F 1 + (4/5)F /(25b) F 2 F 2 + (2/5)F 3 F 1 F 1 + 2F /(25b) /(5b) /(5b) Entonces, la solución del sistema está dada por: 32/(25b) x y = 8/(25b) z 4/(25b)

3 Para este caso que el sistema tiene solución única. Vea que seguimos planteando casos producto del análisis de la matriz aumentada y de que pasaría con el sistema de ecuaciones asociado. Caso 3. Si a 0 y b = 0. Reemplazamos los valores en la matriz aumentada / / a a Note que no podemos seguir reduciendo el sistema ya que no podemos dividir entre cero. De manera que el sistema es inconsistente si b = 0 y a 0. También existe otra forma en la que le sistema puede ser inconsistente. Observe el siguiente caso. Caso 4. Si a 4/5 y b 0 y a a a b a F 3 F 3 5a + 4 F 1 F 4 b 0 1 2a a/b Nuevamente, en este punto, debido a que F 3 y F 4 indican que z tiene dos valores distintos, el sistema es inconsistente. Caso 5. Si a = 0 y b Es evidente que al reducir por Gauss-Jordan obtendremos la solución trivial, ya que se trata de un sistema homogéneo. Finalmente, el sistema tiene solución única y esta dada por: x 0 y = 0 z 0

4 En conclusión: inconsistente, si a 0 y b = 0 ó a 4/5 y a 0 y b 0. El sistema es: consistente, si a = 4/5 y b 0 ó a = 0 y b 0 ó a = 0 y b = 0 Ejemplo 2: Dada la matriz A = (a) Calcule, si existe, la matriz inversa de A. (b) Diga si el sistema A x = b tiene solución,con b = soluciones. 1 0, en caso afirmativo, calcule dichas 1 Solución: Para calcular la inversa escribimos la siguiente matriz aumentada y reducimos utilizando Gauss- Jordan: Se busca llevar a la matriz A a la forma escalonada reducida y, de ser esto posible, diremos que la matriz es invertible y su inversa es la matriz a la derecha de las barras verticales F 3 F F 3 F 3 2F F 3 F 3 5F F F F 1 F 1 + 2F

5 /30 1/6 4/15 F 1 F 1 11F 3 F 2 F 2 5F /6 1/6 1/ /30 1/6 1/15 Finalmente la matriz inversa de A está dada por: 11/30 1/6 4/15 A 1 = 1/6 1/6 1/3 1/30 1/6 1/15 Ya que este cálculo es sumamente engorroso, resulta sencillo equivocarse en algún signo o en alguna operación, de manera que para comprobar que la matriz resultado sea correcta, se debe efectuar AA 1, ya que: Si una matriz A n n es invertible, su inversa se denota por A 1 y se tiene que: AA 1 = I n donde I n es la Matriz Identidad. Se espera que usted realice la comprobación como ejercicio. Para calcular la soluciones del sistema no es necesario utilizar el procedimiento de reducción por Gauss-Jordan. Teorema Sea A una matriz de n n. Si A es invertible entonces, el sistema A x = b tiene una solución única para cada n-vector b. El teorema nos garantiza que si A es invertible nuestro sistema tiene solución. Para calcular dichas soluciones, despejamos el vector x de la ecuación matricial, haciendo uso de las propiedades de la matriz inversa y de la matriz identidad: A x = b = A 1 A x = A 1 b = I3 x = A 1 b = x = A 1 b De manera que las soluciones del sistema están dadas por: x 1 11/30 1/6 4/ /30 4/15 1/10 x = x 2 = 1/6 1/6 1/3 0 = 1/6 + 1/3 = 1/2 1/30 1/6 1/15 1 1/30 1/15 1/10 x 3 Ejemplo 3: Diga si la siguiente matriz es invertible: A =

6 Solución: Note que el ejercicio no pide calcular la matriz inversa de A, por lo que haremos uso del siguiente teorema. Teorema Sea A una matriz de n n. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes. Es decir, si una es cierta, todas son ciertas y si una es falsa todas las demás lo son. (i) A es invertible. (ii) La única solución al sistema homogéneo A x = 0 es la solución trivial x = 0. (iii) El sistema A x = b tiene una solución única para cada n-vector b. (iv) A es equivalente por renglones a la matriz identidad de n n, I n ; es decir, la forma escalonada reducida por renglones de A es I n. (v) La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes. (vi) det(a) 0 Estas afirmaciones (y las que se agregarán más adelante) nos ayudan a notar rápidamente la solución de muchos problemas. Por el momento utilzaremos, de manera conveniente, la afirmación (V) del teorema. Si la matriz A, una matriz 3 3, es invertible entonces su forma escalonada debería tener 3 pivotes, de lo contrario no será invertible. Aplicamos Reducción Gaussiana: F 2 F F F 1 F F 2 2F 1 F 3 F 3 19F Observe que F 3 es F 2 multiplicada por 7 (decimos que F 3 es combinación lineal de F 2 y viceversa), por lo que al hacer F 3 F 3 7F 2 la tercera fila se convertirá en una fila de ceros. Esto viola la afirmación (V) ya que solamente hay dos pivotes. Si no se cumple (V) entonces, tal como dice el teorema, no se cumplirá (I), luego, A no es invertible.

7 Otra manera de verificar que A no es invertible (y otra manera de resolver el problema) es calculando el det(a). Calcularemos el determinante de A: Utilizaremos la expansión por cofactores, empleando la fila dos (luego entenderá por qué). det(a) = A = 1( 1) ( 1) ( 1) = = ( ) = = Primeramente, note que escogimos la fila dos ya que uno de sus elementos es cero, lo que nos quita un determinante que calcular después de hacer la expansión. Por otro lado, vea que det(a) = 0, luego, debido a la afirmación (Vl) del teorema, la matriz A no es invertible, tal como lo habíamos dicho anteriormente. Ejemplo 4: Calcule el det(a) si A = Solución: Utilizaremos las propiedades de los determinantes para calcular det(a). Se colocarán las propiedades utilizadas sobre la marcha para ilustrar el procedimiento (1) (2) (2) (3) = = = = (4) (5) = = Las propiedades utilizadas, en el orden establecido fueron: (1) det(a) = det(a t ) con A t la matriz transpuesta de A. (2) Si una fila o columna de A se multiplica por un escalar c, entonces det(a) se multiplica por c. (3) Al intercambiar una fila o columna de A hace que el determinante de A quede multiplicado por 1.

8 (4) Al multiplicar una fila o columna por un escalar y sumarla con otra el determinante de A no cambia. (5) El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal, es decir, de los elementos a ij, donde i = j. Finalmente: det(a) = 36.

9 Bibliografía: Stanley I. Grossman S. Álgebra Lineal, editorial Mc Graw Hill, 6ta. edición. Nota: Este material fue elaborado por Miguel Ángel Labrador con ejercicios obtenidos de parciales realizados y de la guía de Miguel Ángel Mike Guzmán para el uso de toda la comunidad académica. Miguel Ángel Labrador Carnet: Ingeniería Electrónica Se agradece notificar cualquier error de tipeo o en las respuestas y qué debería decir a la dirección miguelangel2801@gmail.com