5 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones empleando la definición de

Transcripción

1 Hallar el dominio de las siguientes funciones: x 3 a) x +ln(x ) b) ln x + 6 x + c) x x d) ln x x + e) cos x + ln(x 5π) + 8π x Graficar la función sen(x π ). Hallar para que valores de x es 3 Hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones: 3 a)sen x = y x [5π, 7π] 3 b)sen x = y x [ 5π, 3π] c)cos x = y x [0π, 4π] 4 Calcular los siguientes límites: n + 3 n n + n6 c) ( ) n + 3 lím n n + e) n + 3n lím n n + cos n ) g) lím n n + n +( n ( b) lím + n ) n n n + d) lím n + n n n [ ] n f) lím n n 3n n + 3 n + 3 h) lím n 7 n n + cos n ( ) i) lím n + 5 n n 3 n + 4 j) lím n n + 6 ( ) n 3 n k) lím n n + 4 l) lím n n + 5 n n + cos n 5 Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones empleando la definición de límite. n + n n 4n n n = b) lím + n n + 7 = n + n + c) lím n n = d) lím n 3n n = + n

2 6 Calcular los siguientes límites: x x 3x + x 3 x + c) lím t 3 9 t 3 3t e) lím t 0 cos t + 5t t 9 t g) lím x 3 x 3 b) (x 5) 9 lím x x 4 d) [ lím x x 4 3 ] x f) lím x 4 x 3x 4 x + 3 h) lím x x sen(6 3x) + x3 8 x 4 + x 0 7 Hallar δ > 0 tal que si 0 < x < δ, entonces x + x + < 0, 0 8 Hallar δ > 0 tal que si 0 < x < δ, entonces x x + < 0, 00 9 Hallar δ > 0 tal que si 0 < x + < δ, entonces 6 + 3x 3 + sen x < 0, Graficar la siguiente función y calcular los límites pedidos: x + si x g(x) = x si < x < 5 x si x i) lím g(x) ii) lím g(x) iii) lím g(x) x x x + Analizar la continuidad de la función en x = 4: x x 8 x 4 si x 4 3 si x = 4 Hallar a de manera tal que: sen x x x si x 0 a si x = 0 resulte continua en x = 0

3 3 Dada la función sen x x x, es posible definirla en x = 0 de manera que en + 3x ese punto sea continua? Justificar la respuesta. 4 Calcular los siguientes límites: 3 x x x 3 x + 3x 4 b) lím x x c) lím x + x 3 3 x 3 + d) lím x + ( x + 4 x) 3 x + 4 e) lím x + x 5 x + 3 f) lím x e x x + sen x g) lím x x + ( ) h) lím ln x + x h) lím x + x i) lím x + x + 3x x i) lím x ( x ) + x x j) lím + 3 x + ( x ) + x x + 3 ( x ) + x k) lím x x + 3 ( x ) + 5 x l) lím x + x + 3 m) lím x ( 5 x ) + x 7 x n) lím + 3 x + ( 4 x ) + x 4 x Probar que la recta y = 3x + 4 corta en un único punto al gráfico de la función 5 x 4 6 Analizar la derivabilidad en x = de la función x +3 x +

4 7 Encontrar todos los puntos en los cuales las rectas tangentes a cada una de las siguientes funciones son paralelas: x 3x 3 ln(x) g(x) = x x + 7 En los puntos hallados encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes de ambas funciones. 8 Hallar las derivadas de las siguientes funciones: a) x + 6x 6x 8 b) sen(x 4x)e x 4x + e3x c) + e x +(x +) x arctan(x + 3) d) 3 x e) cosh(x+ x + ) f) x + x+ln(x 4 +4) 9 Probar que la recta y = 3x + 6 corta en un único punto al gráfico de la función 8 x 4 0 Calcular los siguientes límites: ( x ) x + x + x + x ( b) lím + x ) x x 0 + Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de: (x ) cos si x (x ) 0 si x = Dada la siguiente función: cos(x) x si x 0 si x = 0 Verificar la continuidad y analizar si es derivable en x = 0

5 3 Hacer el estudio completo de las siguientes funciones y a partir de él esbozar su gráfico: a) x(x 4) 3 b) x3 + x + 4 x c) x3 x 8 d) x + x + 4 Se consideran todos los rectángulos que tienen dos de sus vértices sobre la parábola y = x y los otros dos sobre el eje x. De todos los rectángulos que cumplen esta condición, hallar el de área máxima. Cuánto vale el área? 5 Sean f : R R y g : R R funciones derivables que cumplen: f() = 4 f () = g() = 3 g () = Si h(x) = [g (4x)][ln(f(x))], hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de h en x = 6 Dada la siguiente función: e x x x si x 0 si x = 0 Verificar la continuidad y analizar si es derivable en x = 0 7 Calcular los siguientes límites: ( e x ) + 4 x + x + 3 x b) lím ( + sen x) x x Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función f en x = 0: sen x x x si x 0 0 si x = 0 9 Encontrar los valores máximo y mínimo absolutos de f sobre el intervalo dado. Justificar. (x + ) e x+ en el intervalo [, 0]

6 30 Calcular las ecuaciones de todas las asíntotas de la función: ln(x + ) x 3 Se quiere construir una caja de base cuadrada sin tapa cuyo volumen sea 500 cm 3. Hallar, si es posible, las dimensiones de la misma de manera que el material utilizado sea mínimo. 3 Hallar el polinomio de Taylor de grado 3 en x = 0 de x +. Con el resultado obtenido calcular, 4 y estimar el error. 33 Hallar las asíntotas de la siguiente función 4x + 3x 7 x Probar que la función x5 4 5x3 + x 3x +, tiene un punto de inflexión en el intervalo [0, ] Es único? Enunciar todos los teoremas usados para justificar la respuesta. 35 Hallar la ecuación de la recta tangente en x = 0 al gráfico de la función (x + ) x + e 4x En algún punto la tangente al gráfico de g(x) = x 3 3x 0x +, es paralela a la recta hallada? 36 Hacer el estudio completo y graficar la siguiente función: x 3 ln(x + 8) 37 Calcular la derivada de: x 4 F (x) = x u + 4 du + e u du x 38 Dada la función: x x + a) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función. Analizar la existencia de extremos locales. b) Estudiar la concavidad y la existencia de puntos de inflexión de f.

7 39 Dada la siguiente función: a sin(x 3) (x 3) si x > 3 x + si x 3 a) Hallar a de manera que f resulte continua en x = 3. b) Analizar la derivabilidad de f en x = 3, con el valor de a obtenido en el inciso anterior. 40 Se desea construir un tanque cilíndrico, con tapa, que tenga un volumen igual a π m 3. El material para construir la tapa cuesta $00 el m y el que se utiliza para construir el resto $00 el m. Encontrar las dimensiones del tanque (radio de la base y altura) para que el costo sea mínimo. 4 Calcular el área del triángulo limitado por las rectas: y = x y = x y = 3x 0 4 Hallar todos los extremos relativos (indicando si son máximos o mínimos) de F (x) = x+ x e t dt 43 Calcular las siguientes integrales: a) c) d) e) g) x cos x dx b) e x 3e x + dx cotan(x) dx d) (sin(x )) 5 (x cos(x )) dx 4x 3 dx e) 4x + x + x + 5 dx x(ln(x)) dx f) x x + dx x 6 (x ) (x + 4) dx h) x 3 x (x )(x + 8) dx 44 Calcular las siguientes integrales: a) x( + sen(x + 4)) dx b) (x + ) ln x dx

8 45 Hallar el área comprendida entre los gráficos de las funciones: x g(x) = 3 (x ) Hallar el área comprendida entre las curvas: y = x, y = + x 47 Hallar α > 0 para que el valor de la siguiente integral sea igual a 3 α o x (x 3 dx ) /3 48 Calcular las siguientes integrales: c) a) e) x + ln x x + dx b) x e x dx x + x dx d) (x + e 3x ) sen x dx x + 3 x + dx f) x 3 e x dx x Hallar el área de la región limitada por los gráficos de las siguientes funciones: x 3 g(x) = 3 x + 5 3