ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

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1 Tema ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 1.- DISTRIBUCIOES UIDIMESIOALES. CÁLCULO DE PARÁMETROS PARÁMETROS DE CETRALIZACIÓ En la búsqueda de la concrecón y la smplcacón, la normacón recogda en una tabla o gráca estadístca suele resumrse en unos pocos valores que nos norman del comportamento de todos los ndvduos del colectvo estudado. Estos valores, representatvos de todos los datos de una dstrbucón, se llaman parámetros o meddas de centralzacón. MEDIA ARITMÉTICA Meda artmétca de una varable estadístca es el cocente que resulta de dvdr la suma de todos los valores por el número total de éstos. Se representa por. Su cálculo se realza, según las epresones que sguen, atendendo a la presentacón de los datos. Para datos sn recuencas S la varable toma los valores 1,,..., n la meda artmétca adopta la epresón: 1... n Para datos con recuencas S la varable toma los valores o marcas de clase 1,, n, sendo 1,,... n las recuencas absolutas correspondentes de la dstrbucón, la meda artmétca se calcula con la epresón: n... 1 n n Pg. nº 1/17

2 Para datos ponderados Tema La meda ponderada se calcula cuando todos los valores de la varable no tenen el msmo peso. Su órmula es análoga a la vsta con anterordad, cambando las recuencas, por los pesos p, y, en el denomnador, por la suma de todos los pesos p, por lo que resulta: p p... p 1 1 p p 1... p n n n p p Consderacones sobre la meda artmétca. La meda artmétca es el parámetro de centralzacón más utlzado. Presenta la ventaja de tener en cuenta todos los datos de la dstrbucón, además de resultar muy sencllo su cálculo. Tene el nconvenente de que s la dstrbucón posee valores etremos, ecepconalmente raros y pocos sgncatvos, éstos producen una dstorsón sobre el valor de la meda. o sempre es posble calcular la meda artmétca y, a veces, aunque sea posble calcularla, carece de sgncado como sucede en las varables cualtatvas o se trata de ntervalos abertos. En estos casos deben utlzarse otras meddas de centralzacón. S se suma una constante a todos los valores de la varable, la meda artmétca aumenta en el msmo valor. S se multplcan todos los valores de la varable por un msmo número, la meda queda multplcada por el msmo número. MODA Se denomna moda de una varable estadístca al valor de la varable que tene mayor recuenca absoluta. Se representa por Mo. La moda de una varable dscreta es ácl de calcular, basta buscar el valor de la varable que presenta mayor recuenca. Puede ocurrr que la moda no sea únca, es decr, la dstrbucón puede tener, 3 o más modas, recbendo el nombre de bmodal, trmodal, etc. En el caso de que los datos se encuentren agrupados en ntervalos, la clase con mayor recuenca se denomna clase modal. Puede tomarse como moda la marca de clase de la clase modal. S se desea mayor precsón en el cálculo de la moda, ésta puede obtenerse medante la epresón: M o L c D D D L= Límte neror del ntervalo. C= Ampltud del ntervalo. D=Derenca entre la recuenca absoluta del ntervalo modal y los vecnos. Pg. nº /17

3 Tema Cálculo de la moda por el método gráco. Para las dstrbucones que se encuentran agrupadas en ntervalos este un método gráco muy sencllo que permte obtener la moda con bastante apromacón. Para ello se representa el hstograma de recuencas absolutas, al ser posble en papel mlmetrado, con el n de poder obtener mayor precsón. Segudamente se unen, con líneas los etremos de la clase modal con las contguas. La moda vene dada por la abscsa del punto de corte. Consderacones sobre la moda. Puede ocurrr que estan dstrbucones que no tengan moda; eso ocurre cuando las recuencas de todos los datos, o cas todos, son guales. Puede ser muy útl cuando se trata de varables cualtatvas. En su cálculo no ntervenen todos los datos de la dstrbucón. Aun cuando es una medda de centralzacón, es relatvamente recuente encontrar modas stuadas en los etremos de la dstrbucón. MEDIAA La medana de una dstrbucón estadístca es el valor de la varable, tal que el número de datos menores que él es gual al número de datos mayores que él. Se representa por Me. S la dstrbucón es de una varable dscreta y el número de datos es mpar, la medana es el valor central, y s el número de datos es par, la medana es la meda de los valores centrales. S la dstrbucón es de una varable contnua, el ntervalo que contene a la medana se denomna clase medana o ntervalo medano. Puede tomarse como medana, en una prmera apromacón, la marca del ntervalo medano. S se desea mayor precsón en el cálculo de la medana, ésta se obtene, dentro del ntervalo medano, medante la epresón: M e F L c 1 par Me Xn Xn L = Límte neror del ntervalo. C= Ampltud del ntervalo. = úmero total de datos F -1= Frecuenca absoluta acumulada de la clase anteror a la clase medana. = Frecuenca absoluta de la clase medana. Pg. nº 3/17 Varable dscreta: mpar M X e ( n1)/ / / 1 /

4 Tema Consderacones sobre la medana. La medana es partcularmente útl en los sguentes casos: Cuando entre los datos esten valores ostensblemente etremos. Cuando los datos están agrupados en ntervalos y alguno es aberto. La medana depende del orden de los datos y no de su valor. Cuando en su cálculo, el valor / cae justo en el límte de un ntervalo, se hace la meda entre la recuenca de este y del posteror. Relacón entre Meda, Medana y Moda. S una dstrbucón es smétrca o lgeramente asmétrca, se puede comprobar epermentalmente que se cumple la sguente relacón: Meda Moda = 3 (Meda Medana) Gracas a esta relacón se puede obtener, con un certo error, alguno de estos parámetros en uncón de los otros dos. Veamos a contnuacón tres dstrbucones en las que se stúan los parámetros: CUATILES La medana de los valores de una varable estadístca dvde a la dstrbucón en dos partes guales. Es decr, la medana parte la dstrbucón en dos mtades, cada una corresponde al 50% de los datos. Generalzando la dea anteror, se puede pensar en obtener valores que dvdan a dstrbucón en dversas partes guales, dando lugar a los cuantles. Los más mportantes y usados, sobretodos en las cencas socales y médcas, son: CUARTILES Se llaman cuartles a tres valores que dvden la dstrbucón en cuatro partes guales. Se representan y desgnan como cuartl prmero (Q1), segundo (Q ) y tercero (Q3). Cada parte agrupa, por tanto, al 5%, al 50% y al 75% de los datos de la dstrbucón. Pg. nº 4/17

5 Tema Es obvo que el segundo cuartl, por dencón, concde con la medana. El cálculo de los otros cuartles sgue las pautas de la medana y se obtenen a través de las epresones: Q 1 L c 4 F 1 Q 3 L 3 c 4 F 1 DECILES Análogamente, se llaman decles a nueve valores de la varable que dvden a la dstrbucón en dez partes guales. Es decr, los decles agrupan a los datos en dez partes correspondentes cada una con el 10% de la dstrbucón. Se representan por D1, D,..., D9 y la epresón que permte calcularlos es: D k L k F c 10 1 K=1,, 3,...,9 PERCETILES De la msma manera, decmos que se llaman percentles a 99 valores que dvde la dstrbucón en 100 partes guales Se representa por P1, P,..., P99 y se calculan a través de la epresón P L F c X=1,, 3,...,99 Cálculo gráco de los cuantles Para calcular grácamente los cuantles de una dstrbucón este un método muy sencllo que consste en representar el polígono de recuencas porcentuales acumuladas (P), stuando en el eje abscsa la varable dscreta o los ntervalos, y en el eje de ordenadas los porcentajes correspondentes. Convne realzar la representacón en papel mlmetrado para mayor precsón. Pg. nº 5/17

6 Ejemplo. Tema Pg. nº 6/17

7 Tema PARÁMETROS DE DISPERSIÓ Las meddas de centralzacón vstas con anterordad necestan de otras que las complementen en el estudo de las dstrbucones de recuencas de las varables estadístcas. Estas nuevas meddas, que denomnamos parámetros de dspersón, norman de las desvacones que suren los datos respecto de los valores centrales, en especal con relacón a la meda artmétca. Los parámetros de dspersón más usuales son: RECORRIDO Recorrdo o rango de una varable estadístca es la derenca entre el mayor y el menor valor de los datos observados. Se representa por R. Así, se tene: R = Xma - Xmn VARIAZA Varanza de una varable estadístca es la meda artmétca de los cuadrados de las desvacones de todos los datos o marcas de clase respecto de la meda. Se representa por σ ó S Las epresones equvalentes que permten calcular la varanza son: ( ) Es mportante conocer que la varanza es sempre postva, o nula en caso de que todos los valores de la varable sean guales. DESVIACIO TIPICA Se denomna desvacón típca de una varable estadístca a la raíz cuadrada postva de la varanza. Se representa por σ ó S. ( ) Consderacones sobre la desvacón típca La desvacón típca es el parámetro de dspersón más utlzado. S se suma una constante a todos los valores de la varable, la desvacón típca no varía. S se multplcan todos los valores de la varable por un msmo número, la desvacón típca queda multplcada por el msmo número. o se puede calcular, es obvo, en el caso de que no se pueda calcular la meda. Pg. nº 7/17

8 Tema ESTUDIO COJUTO DE y σ La meda artmétca,, y la desvacón típca, σ, son los parámetros estadístcos por antonomasa. La meda es la medda central más utlzada y la desvacón típca es la medda de dspersón o varabldad por ecelenca. En toda dstrbucón estadístca, el estudo del comportamento conjunto de la meda artmétca y la desvacón típca nos aporta numerosa normacón sobre la dstrbucón de recuencas estudada. En cas todas las dstrbucones estadístcas de comportamento normal se vercan de orma apromada los porcentajes descrtos a contnuacón que, reerdos a la meda y la desvacón típca, epresan la dstrbucón de datos. Para una dstrbucón estadístca de comportamento normal, se cumple: En ( -σ +σ ) está el 68% del total de ndvduos. En ( -σ +σ) está el 95% del total de ndvduos. En ( -3σ +3σ) está el 99% del total de ndvduos. Coecente de varacón de Pearson Para comparar el grado de dspersón de dos o más dstrbucones no podemos conrontar smplemente las desvacones típcas, puesto que esas meddas de dspersón venen aectadas por la escala de la medda representatva de la varable. Es necesaro por lo tanto elmnar esa nluenca convrtendo dchas meddas en números abstractos. Para ello utlzaremos el coecente de varacón de Pearson: cv 100 Como sabemos que las meddas de centralzacón son más representatvas cuanto más concentrada estén, vamos a establecer las sguentes condcones: Menos de 30% ALTA concentracón, y por lo tanto la meda es altamente representatva. Entre 30% y 45% MEDIA concentracón, y por lo tanto la meda es medanamente representatva. Mayor de un 45% BAJA concentracón, y por lo tanto la meda es poco o muy poco representatva. El nconvenente que tene C.V. es que deja de ser útl cuando la meda es gual a 0. Pg. nº 8/17

9 Tema Coecente de asmetría de Pearson Una dstrbucón será smétrca o asmétrca, según lo sea su representacón gráca. Será asmétrca haca la derecha (asmetría postva), o a la zquerda (asmetría negatva), s su representacón gráca está más estrada haca la derecha o zquerda. La medda de asmetría más utlzada es el coecente de asmetría de Pearson: As = - Mo σ S As = 0 S As > 0 S As < 0 o este asmetría y por lo tanto la dstrbucón es Smétrca. Este Asmetría postva o a la derecha. Este Asmetría negatva o a la zquerda. Ahora ben, por dversas razones, este coecente no se puede aplcar en los sguentes casos: Cuando la dstrbucón no es unmodal. En este caso, se puede soluconar aplcando la relacón empírca: Meda Moda = 3 (Meda Medana) Por lo que el coecente quedaría: As = 3 ( Medana) σ Cuando la dstrbucón no es campanorme, y especalmente cuando adopta orma de U. En este caso abría que aplcar el coecente G1, que no veremos. Pg. nº 9/17

10 Tema.- Puntuacones típcas o normalzadas Para poder comparar dos datos correspondentes a dos dstrbucones dstntas, hay que tpcar o normalzar dchos valores, es decr, calcular los valores z de cada uno de ellos por medo de: ( ) z Una vez obtendos dchos valores se pueden comparar, ya que las dstntas dstrbucones están pasadas a undades de desvacón estándar, y por lo tanto perectamente comparables. Las puntuacones típcas o normalzadas, tambén llamadas puntuacones z, tenen las sguentes propedades: S se transorma una dstrbucón en puntuacones típcas, no varía la orma de la dstrbucón orgnal. La meda artmétca de las puntuacones normalzadas es cero, es decr, z 0. La desvacón típca de las puntuacones típcas es la undad, es decr, 1 z Pg. nº 10/17

11 EJERCICIOS RESUELTOS Tema 1. La estacón meteorológca del Roque de los Muchachos regstró 88 días de lluva el pasado año, según muestra la tabla sguente: Ltros/m [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 0) [0, 5) [5, 30) [30, 35) º de días Calcula la precptacón meda durante los días de lluva. Ltros/m X F X [0, 5), ,5 [5, 10) 7, ,5 [10, 15) 1, ,5 [15, 0) 17, ,5 [0, 5), [5, 30) 7, [30, 35) 3, Σ ; 18, Por tanto, el año pasado la precptacón meda durante los días de lluva ue de 18,53 l/m.. La calcacón meda que han obtendo los alumnos de Ingenería Técnca Agrícola de certa Unversdad, en la asgnatura de Estadístca durante los cuatro últmos cursos han sdo: 5,8; 6,3; 6,7 y 7,, respectvamente. En el prmero de estos cursos se eamnaron 180 alumnos, en el segundo 00, en el tercero 75 y en el cuarto 0. Cuál es la calcacón meda de estos cursos en dcha asgnatura? ota meda X " de alumnos 5, , , ,5 7, Σ ,5 Calcularemos la meda artmétca ponderada, en la que el número de alumnos son los pesos correspondentes a las calcacones medas de cada año. 5730,5 875 ; 6, Calcula la moda y la medana correspondente a la varable ltros/m durante los días de lluva en la estacón meteorológca del Roque de los Muchachos, según la dstrbucón ctada en el ejercco 1. La moda El mayor valor de la recuenca, 3, corresponde al ntervalo [15, 0) que recbe el nombre de ntervalo modal. En una prmera apromacón se puede tomar la moda como la marca de clase, es decr, Mo=17,5. Para obtener una mayor precsón utlzamos la órmula: D M L c ; 3 19 o M o , D D (3 19) (3 18) El dato que más se repte es de 17, ltros/m La medana El ntervalo medano es [15, 0), ya que contene el dato 88/= F 9 1 M e L c ; M e , 6 3 El 50% de los días de lluva se recogeron más de 18,6 Ltros/m y el otro 50% de los días por debajo. Pg. nº 11/17

12 Tema 4. Se ha pasado un test de 80 preguntas a 600 personas. El número de respuestas correctas se releja en la sguente tabla: RESPUESTAS CORRECTAS ÚMEROS DE PERSOAS [0, 10) [10, 0) [0, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80] a) Eectuar la tabla de recuencas y porcentajes. b) Determnar el prmer y tercer cuartl. c) Determnar el tercer decl. d) Determnar el percentl 45. e) Una persona que respondó 64 preguntas, qué percentl tene? ) Se desea selecconar a los 4 mejores, a partr de cuántas preguntas se encuentran? g) Se seleccona al 40% de los mejores, cuántas personas son y a partr de que puntuacón se encuentran? Marca Respuestas clase correctas X F h H p P [0, 10) ,067 0,067 6,7 6,7 [10, 0) ,100 0, ,7 [0, 30) ,15 0,9 1,5 9, [30, 40) ,150 0, ,1 [40, 50) ,175 0,617 17,5 61,7 [50, 60) ,14 0,758 14, 75,8 [60, 70) ,133 0,89 13,3 89, [70, 80] , , F 1 b) Q1 L c Q El 5% de las personas acertaron menos de 7 preguntas Q ,41 85 El 75% de las personas acertaron menos de 59 preguntas c) D , 55; El 30% de las personas acertaron menos de 31 pregunta, o el 90 70% acertaron más de 31 preguntas d) P , 48 ; El 45% de las personas con menos acertos contestaron 105 correctamente como mámo 40 preguntas e) ; =81,17% Tene un percentl 81. Tambén que el 19% de las personas 80 contestaron correctamente más de 64 preguntas. ) 4 personas equvale al 4%; como se toman de la parte superor de la dstrbucón trabajamos con: P ,31 Los 4 mejores tenen más de 76 preguntas contestadas 65 correctamente g) El 40% de las personas son 40 personas. P , 05; 105 Esto quere decr que el 40% de las personas que contestaron mejor, responderon correctamente más de 49 preguntas. Pg. nº 1/17

13 Tema 5. Completar la tabla del ejercco 4 y determnar: a) La meda. b) La moda. c) La medana. d) La desvacón típca. e) El grado de concentracón de la dstrbucón. ) S consderamos que la dstrbucón tene un comportamento normal, entre qué valores se encuentra el 95% de las personas que ocupan el centro de la dstrbucón? Marca Respuestas clase correctas F h H p P X X [0, 10) ,067 0,067 6,7 6, [10, 0) ,100 0, , [0, 30) ,15 0,9 1,5 9, [30, 40) ,150 0, , [40, 50) ,175 0,617 17,5 61, [50, 60) ,14 0,758 14, 75, [60, 70) ,133 0,89 13,3 89, [70, 80] , , a) b) ; , 6 ; 600 D 15 M L c ; o M o , 86 D D 15 0 El número de preguntas acertadas que más se repte es 44. c) M e 600 F 65 1 L c ; M e , El 50% de las personas responderon correctamente menos 43 de preguntas. d) ; ,6 0, e) cv 100 ; cv 0, , 105 4,6 Como es mayor de 45 se consdera que tene una concentracón más ben baja. ) Tenendo en cuenta que en el ntervalo ( -σ +σ ) está el 68% del total de ndvduos ( 4,6 0,54; 4,6 054) (,14; 63,19) Esto quere decr, que el 68% de las personas del centro de la dstrbucón contestaron entre y 63 preguntas correctamente. Pg. nº 13/17

14 Tema 6. Dadas las sguentes dstrbucones: Los pesos de los toros de lda de una ganadería se dstrbuyen con una Los pesos de los perros de una eposcón canna se dstrbuyen con una 10 kg. Determnar cuál de las dos dstrbucones está más dspersa. kg y una 1 5 kg 19 kg y una La desvacón típca de los pesos de la manada de los toros bravos es superor que la de los perros. Sn embargo, esos 5 kg son poca cosa para el enorme peso de los toros (es decr, los toros de esa manada son muy parecdos en peso), mentras que 10 kg en relacón con el peso del perro es mucho (magnamos que en la eposcón canna habrá perros muy dspares: canches, "salchchas", dogos, mastnes... Comparando los coecentes de varacón: CVtoros=(5/510)100=4,9% CVperros=(10/19)100=5,6%. Con estos parámetros se ve claramente que el peso de los perros de la eposcón canna es mucho más dsperso que el de los toros de la manada. 7. Una empresa debe cubrr un certo número de puestos de trabajo de dos tpos A, y B. Se somete a los asprantes a dos pruebas, ambas puntuables de 0 a 50, dseñadas para valorar sus apttudes en uno y otro tpo de trabajo. En la Prueba A, la meda de calcacones ha sdo, y la desvacón típca A 3,4 B. En la B han sdo, respectvamente, y. Dígase: Qué tpo de puesto de trabajo asgnaríamos a un asprante que hubera obtendo 33 puntos en la prueba A y 8 en la B? 4 B,1 En ambos casos se halla por encma de la meda. Su puntuacón es más alta en la prueba A (33 rente a 8), así como su desvacón respecto de la meda (+5 rente a +4). o obstante, valorar gual los puntos obtendos en ambas pruebas puede ser un error de aprecacón". En eecto: Las desvacones típcas ndcan que los resultados de la prueba B se hallan más agrupados que los de la A. En esas condcones, "cuatro puntos sobre la meda" en la prueba B puede ndcar mayor apttud para el trabajo B, rente a los demás asprantes, de lo que ndcan "cnco puntos sobre la meda" en la prueba para el trabajo A. Saldremos de dudas calculando e nterpretando las puntuacones típcas del asprante en ambas pruebas. Son Z A 1,471 Z B 1, 905 3,4,1 Esto sgnca que su calcacón en la prueba A se halla "1,471 desvacones" sobre la medía y, en la prueba B, "1,905 desvacones sobre la meda. Por tanto, está más cualcado para ocupar un puesto de trabajo tpo B que un puesto tpo A, s lo comparamos con el resto de los asprantes. A 8 Pg. nº 14/17

15 EJERCICIOS Tema 1. Se ha tallado a los alumnos de un certo curso y se ha llegado a los sguentes resultados, que se dan en el orden en que se obtuveron (en centímetros): 173, 166, 177, 171, 153, 179, 169, 174, 16, 173, , 175, 166, 177, 156, 167, 173, 178, 17, 169, 174, 180, 159, 18, 168, 169, 161, 170, 166, 165, 185, 169, 17, 180, 186, 167, 17, 166, 16, 170, 158, 184, 179, 16, 159, 183, 163, 17, 163, 174, 164, 171, 163, 173, 170, 174, 168, 16, 164, 171, 174, 185, 166, 156, 175, 188, 167, 171, 151, 169, 173, 17, 154, 174, 173, 170, 175, 17, 176, 174, 169, 157, 160, 174, 177, 171, 176, 163, 171. Determnar: a) La meda. b) La moda. c) La medana. d) El prmer cuartl. e) El segundo decl. ) El percentl 65. g) El porcentaje de alumnos con una estatura superor a 176. h) Un alumno tene una estatura de 168 cm. qué percentl tene? ) La desvacón típca. j) Están los datos muy dspersos? k) S se desea selecconar el 68% de los alumnos que orman la parte central de la dstrbucón entre qué estaturas estarán los alumnos? l) Representa los datos con una gráca adecuada.. Los pesos (en klogramos) de los enermos de una certa resdenca santara son: 64, 84, 67, 64, 81, 98, 78, 77, 48, 76, 65, 47, 55, 60, 73, 67, 4, 9, 50, 78, 5, 78, 70, 6, 61, 6, 70, 56, 69, 90, 67, 57, 60, 75, 71, 63, 66, 85, 51, 57, 65, 76, 59, 81, 43, 74, 69, 55, 63, 90, 5, 63, 66, 44, 94, 65, 44, 89, 71, 68, 58, 51, 65, 87, 96, 50, 53, 61, 83, 80, 48, 60, 80, 71, 53, 55, 85, 75, 69, 84, 67, 68, 53, 7 Determnar: a) La meda. b) La moda. c) La medana. d) El prmer cuartl. e) El segundo decl. ) El percentl 65. g) El porcentaje de enermos con un peso superor a 8 kg. h) Un enermo tene un peso de 68 kg. qué percentl tene? ) La desvacón típca. j) Están los datos muy dspersos? k) S se desea selecconar el 68% de los enermos que orman la parte central de la dstrbucón entre qué pesos estarán? l) Representa los datos con una gráca adecuada. 3. Se ha pasado un test de 80 preguntas a 600 personas. El número de respuestas correctas se releja en la sguente tabla: RESPUESTAS CORRECTAS UMERO DE PERSOAS [0, 10) 40 [10, 0) 60 [0, 30) 75 [30, 40) 90 [40, 50) 105 [50, 60) 85 [60, 70) 80 [70, 80) 65 Determnar: a) La meda. b) La moda. c) La medana. d) El prmer cuartl. e) El percentl 65. ) El porcentaje de personas con más de 58 respuestas correctas. g) Una persona que responde correctamente 66 preguntas, qué percentl tene? h) La desvacón típca. ) Están los datos muy dspersos? Pg. nº 15/17

16 EJERCICIOS Tema 1. Se ha tallado a los alumnos de un certo curso y se ha llegado a los sguentes resultados, que se dan en el orden en que se obtuveron (en centímetros): 173, 166, 177, 171, 153, 179, 169, 174, 16, 173, , 175, 166, 177, 156, 167, 173, 178, 17, 169, 174, 180, 159, 18, 168, 169, 161, 170, 166, 165, 185, 169, 17, 180, 186, 167, 17, 166, 16, 170, 158, 184, 179, 16, 159, 183, 163, 17, 163, 174, 164, 171, 163, 173, 170, 174, 168, 16, 164, 171, 174, 185, 166, 156, 175, 188, 167, 171, 151, 169, 173, 17, 154, 174, 173, 170, 175, 17, 176, 174, 169, 157, 160, 174, 177, 171, 176, 163, 171. Determnar: a) La meda. b) La moda. c) La medana. d) El prmer cuartl. e) El segundo decl. ) El percentl 65. g) El porcentaje de alumnos con una estatura superor a 176. h) Un alumno tene una estatura de 168 cm. qué percentl tene? ) La desvacón típca. j) Están los datos muy dspersos? k) S se desea selecconar el 68% de los alumnos que orman la parte central de la dstrbucón entre qué estaturas estarán los alumnos? l) Representa los datos con una gráca adecuada. Estatura en cm. F h H X [ ) 15, ,033 0, , ,75 [ ) 157, ,067 0, , ,50 [ ) 16, ,133 0, , ,00 [ ) 167, ,189 0,4 847, ,5 [ ) 17, ,356 0, , ,00 [ ) 177, ,1 0, , ,75 [ ) 18, ,056 0, , ,5 [ ) 187, ,044 1, , , [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) 90 1, , , a) 170,39 cm b) M o ,08 cm c) M e ,09 cm d) Q ,44 cm e) D ,75 cm ) P ,0 cm g) , 100 ; El 0% apro. h) , 6 ; El perc ,5 7, ,75658 j) CV 100 4, ,39 ) 170,39 Muy concentrado Pg. nº 16/17

17 Tema. Los pesos (en klogramos) de los enermos de una certa resdenca santara son: 64, 84, 67, 64, 81, 98, 78, 77, 48, 76, 65, 47, 55, 60, 73, 67, 4, 9, 50, 78, 5, 78, 70, 6, 61, 6, 70, 56, 69, 90, 67, 57, 60, 75, 71, 63, 66, 85, 51, 57, 65, 76, 59, 81, 43, 74, 69, 55, 63, 90, 5, 63, 66, 44, 94, 65, 44, 89, 71, 68, 58, 51, 65, 87, 96, 50, 53, 61, 83, 80, 48, 60, 80, 71, 53, 55, 85, 75, 69, 84, 67, 68, 53, 7 Determnar: a) La meda. b) La moda. c) La medana. d) El tercer cuartl. e) El seto decl. ) El percentl 35. g) El porcentaje de enermos con un peso superor a 8 kg. h) Un enermo tene un peso de 68 kg. qué percentl tene? ) La desvacón típca. j) Están los datos muy dspersos? k) S se desea selecconar el 95% de los enermos que orman la parte central de la dstrbucón entre qué pesos estarán? l) Representa los datos con una gráca adecuada. Pesos en kg F h H X [40 45) 4, ,048 0, [45 50) 47, ,036 0,083 14,5 6768,75 [50 55) 5, ,107 0,190 47,5 4806,5 [55 60) 57, ,095 0, [60 65) 6, ,143 0, [65 70) 67, ,179 0, , ,75 [70 75) 7, ,095 0, [75 80) 77, ,095 0, [80 85) 8, ,083 0, , ,75 [85 90) 87, ,048 0, [90 95) 9, ,048 0, ) 97,5 84 0,04 1, ,5 84 1, a) = 67,857 kg b ) M 65 5 o ,5 kg c) Me kg , 4 36 d) Q ,5 kg e) D ,8 kg , 4 4 ) P ,5 kg h) 68= ; = g) 8= =83,09 kg; ,09=16,9117% ) = 67, ,49 kg 13,49 j) CV= 100 0% o k) ( X, X ) 95%; (40,87; 94,84) entre 41 y 95 kg. 67,857 Pg. nº 17/17