UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BASICAS

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BASICAS Álgebra Ejercicios Trigonometría Plana Material para el alumno. Recopilado y preparado por los profesores Isabel Arratia Zárate y Marcel Saintard Vera.

2 TRIGO OMETRÍA PLA A. En cada caso, encuentre los valores de las restantes funciones trigonométricas si: a) cos θ = ; θ no está en Q I. 3 i) sen θ = ; no está en Q IV. 7 3 b) tan θ = ; θ no está en Q IV. c) sen θ = 8 7 ; θ no está en Q II. d) cos θ = 4 3 ; θ no está en Q II. e) tan θ = ; cos θ > 0. 8 f) sen θ = 3 ; tan θ < g) cos θ = ; sen θ > 0. 4 h) tan θ = 7 4 ; sen θ < 0. j) cos θ = k) tan θ = l) sen θ = 77 ; no está en Q IV 9 ; no está en Q I. 0 7 ; no está en Q I. m) csc θ = 9; θno está en Q I. n) cot θ = ; θno está en Q I. o) sec θ = b; θ está en Q IV. p) cot θ = a; θ está en Q I.. Califique como falso o verdadero las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta a) cos 0º < cos 0º b) sen º < sen 0º c) sen 4º + sen 4º = sen 90º d) cot 0º = tan 70º e) sen(º + θ) = cos(8º θ) f) cos 0º = cos ec0 g) cos ec66 h) sec º = = sen 4º sen Si sen α = 7 cos α tg α, con α QII, determine el valor de la expresión 9 sec α. 4 senα + ctgα 4. Si cos α =, con α QI, determine el valor de la expresión : cos α cos ecα

3 . Considere que 0 < α π y suponga que si tg α = p entonces Determine el valor de α y el valor de p. sen α = sen α p. 6. Si sen α = y cosβ =, encuentre sen ( α + β) y cos( α - β). 7. Calcule el valor exacto de las siguientes expresiones: a) 3sen 4º cos 30º + 6 cos 60º cos b) 7 cos 4 4º sen 60º cos 30º + cos 0º c) 3 sen 60º 7 cos 4º + sen 4 30º d) sen 60º 6cos sen 30º e) 0sen 4 4º 6cos 30º + 3sen 3 30º sen 0º f) 0cos 3 60º 4sen 30º sen 4 0 g) 3 cos 4º + 6sen 6 60º 8cos 60º h) cos 60º + 6 sen 4º - 3 sen 3 90º 8. Encuentre los valores exactos de seno y coseno de los siguientes ángulos, sin utilizar calculadora: a) 0º b) 3º 9. Calcule: c) 3º d) 330º e) 300º f) 40º a) sen 9º a partir de las funciones de 60º y 3º b) cos 34º a partir de las funciones de 30º y 3º c) sen 8º a partir de las funciones de 40º y 4º d) cos 6º a partir de las funciones de 4º y 0º 0. Simplifique cada expresión reduciéndola a un solo término: a) cos 00º cos 60º sen 00º sen 60º b) sen θ sen θ cos θ cos θ g) º h) 480º

4 θ θ θ θ c) sen cos + cos sen d) sen 80º cos 00º + sen 00º cos 80º. Verifique las siguientes igualdades: a) sen(π + θ) = sen θ. 7π b) sen ( + 4 θ ) = cos 4θ. c) cos(c D)cosD sen(c D)senD = cosc. d) sen(4º + θ) cos(º + θ) = cosθ. e) sen(30º + θ) + cos(0º + θ) = π A. Si cos A =, con < A < π, encuentre los valores exactos de cos 7 y cos A 3π B 3. Si sen B =, con π < B <, encuentre los valores exactos de sen y sen B 3 C π C C 4. Si cos =, con < < π, encuentre los valores exactos de cos C y cos 8 4. Sea f la función trigonométrica definida por f(x) = 3 cos(x π ). a) Grafique la función f indicando sus principales características. b) Determine los valores de x [0, π[ tales que f(x) =. 6. Dadas las funciones reales f(x) = + sen(x π ) y g(x) = sen x a) Determine, si existe, x [0, π[ tal que f(x) = g(x). b) Haga un bosquejo de la gráfica de f indicando amplitud, periodo, fase y desfase. f x = + sen x π 7. Considere la función trigonométrica ( ) ( ) a) Grafique la función f. b) Determine los valores de x [0,π[ tales que 3 f ( x ) = 4 x = + 3cos x 8. Sea f la función trigonométrica definida por f ( ) ( + π) a) Grafique la función f b) Determine los valores de x [0,π[ tales que f ( x ) = 3

5 x + π 9. Considere la función real f ( x ) = cos a) Grafique la función f indicando período y amplitud b) Verifique si se satisface la igualdad f ( x ) = + 8 π 0. Consideremos f(x) = sen x + [ ] ( cos x ) a) Bosqueje un gráfico para la función f(x) indicando período, traslación, desfase y amplitud. b) Resuelva la ecuación f(x) = 4 7 en [ π, π] Identidades trigonométricas. Cuáles valores de a, b y c hacen de la siguiente ecuación una identidad?. Demuestre las siguientes identidades: a) cos x = sen x b) sen 4 x cos 4 x = cos x c) tan x cot x = sec x cosec x d) (cosec x cot x) = cos x e) ( senx) 3 + 4cos θ + cos 4 θ = a + bsen θ + csen 4 θ cos x + cos x = (sec x + tan x) f) sen x cos 3 x cos x sen 3 x = 4 sen 4x k) l) m) = csc x secx sen3x cos3x = senx cos x senx cos x x = tan cosx cos x n) tan θ = (sec θ + ) (csc θ cot θ) o) seca tan A csca + 8 cos A + = 8secA + tan A 8cscA 63 + cos A cos x g) senx = tan x sec x h) sec x = x csc ( ) i) sen4x cosx cos4x senx =tan x cos sen x j) tan x + cot x = cosec x p) sec θ(sen θ )(tan θ + sec θ) = q) (cot θ tan θ ) = cot θ ( sec θ) r) tan θ = sen 4θ + csc θ + tan θ s) (cot θ tan θ) = cot θ( sec θ) 4

6 cot A cot B t) = cot A cot B sen B sen A cosθ u) = cot θ cscθ cot θ + csc θ + cosθ senb + cos B senb v) = senb cos B + cos B w) csc θ + cot θ + = cscθcot θ + cot cscθ + cot θ x) csc 6 θ cot 6 θ= + 3csc θcot θ y) (sena senb cosa cosb) + (sena cosb + cosa senb) = θ 3. Demuestre que sec 4 (θ) + sec(θ) es idéntica a tan 4 (θ) + tan (θ) + C donde C es una constante real; determine el valor de esa constante C. 4. Decida si las siguientes igualdades son o no identidades trigonométricas: a) 0 cos º 0 sen º b) sen π cos 6 π 6 c) 4sen 4 θ 4sen θ = cos θ d) cos60 3 = sen 6 8θ e) sen B cos B = sen B f) sen 3θ = cos 6θ. g) + cos 00 = cos 80º h) cos 6A = cos A + sen 6A i) cos 8θ = cos ( 6θ ) j) ( cosb) + = ± cosb k) cos θ sen θ = cos θ l) sen 6A = sen A cos A m) cos θ = sen θ θ = cos n) sen B cos B =. Transforme a) cos 4 θ en b) sen 4 θ en 3 + cos θ + cos 4θ cos 4θ + cos 8θ 8 8 c) sen θ cos θ en 8 8 cos 4θ

7 6. Con las hipótesis de cada caso, determine sen(a + B) y cos(a + B). Compruebe su resultado utilizando calculadora o computadora y aproxime A, B y A + B. a) b) c) sena = y 0 senb = cos A =, con A en Q I y 7 4 sena =, con A en Q I y, con A y B en Q I tan B 3 =, con B en Q II 4 7 sena =, con B en Q III d) cota =, con A en Q I y cosb = 7, con B en Q III Funciones trigonométricas inversas 7. Calcule el valor de: 4 3 a) sen arc cos + arc sen 4 3 b) tg arctg + arc cot g 4 c) sen arcsen + arccos 3 7. Resuelva para x R la ecuación: x x + π a) arctg + arctg = x + x + 4 b) arccos(x) + arctg(x) = π. c) arcsen (x) arccos( x) = π 6 8. Demuestre que Arcsen + Arcsen π = 6

8 Ecuaciones trigonométricas 9. Resuelva las siguientes ecuaciones para i) θ [ 0, π] ii) θ R a) sen θ = b) csc θ = 4 c) 4cos θ = d) tan θ = 3 e) sen(θ 7º) = 3 w) cos θ = sen θ x) sen 4θ 3 cos θ = 0 y) sen θ + sen θ = 0 z) cos 4θ = 7cos θ + 8 θ aa) sen θ = sen f) cos(θ + 0º) = g) ( sen ) ( cos θ + 3 ) h) ( 3 sec ) ( sen θ + 3 ) i) ( cos ec ) ( cos θ 3 ) j) (cos θ ) ( 3 csc + ) k) tan θ = tan θ l) csc 3 θ = csc θ θ = 0 θ = 0 θ = 0 θ = 0 m) cosθ senθ + cosθ + senθ + = 0 n) cos θ cos θ = o) sen θ + 3sen θ + = 0 p) cos θ 9cos θ = 0 q) cos θ = 3 sen θ r) sen θ tan θ 3 tan θ = 0 s) 6sec θ + sec θ + = 0 t) sen θ + 7cos θ = 0 u) cos θ + sec θ =,9 v) 3sec θ csc θ = csc θ bb) cos θ cos θ = 0 cc) cos 6θ + sen 3θ = 0 dd) sen θ + cos θ = ee) sen θ = 6cos θ + 6 ff) cos θ + 7sen θ = gg) tan θ + cot θ = csc θ hh) sen θ = 3cos θ ii) cos 3θ + cos θ = cos θ jj) 4tan θ = 3 sec θ kk) 3sec θ + sen θ + = 0 θ ll) sen + cos θ = mm) tan( 4 π θ) = sen θ nn) cot θ + sen θ cos θ cot θ = 0 θ oo) 3 cos + + cos θ = 6 7

9 Resolución de triángulos 30. La medida del ángulo mayor de un triángulo es el doble de la medida del ángulo menor, Es la medida del lado mayor el doble de la medida del lado menor? Obtenga la medida de c, si α = 40,4º, γ = 8,0º y a = Se desea determinar la distancia entre dos puntos A y B que se encuentran en las orillas opuestas de un río. Se traza un segmento de recta AC de una longitud de 40 metros y se encuentra que los ángulos BAC y ACB miden 63º 0 y 4º 0, respectivamente. Calcule la distancia aproximada entre A y B. 3. Un topógrafo elige un punto C a 37 metros de A y 30 metros de B, para determinar la distancia entre A y B. Determine la distancia requerida sabiendo que el ángulo BAC mide 49º Un poste de telégrafos, que está inclinado en un ángulo de º con respecto al sol, da una sombra sobre la tierra de 0 metros de longitud, cuando el ángulo de elevación del sol es de 64º. Obtenga la longitud del poste. 34. Una carretera recta forma un ángulo de º con la horizontal. Un poste vertical, que se encuentra en la orilla de la carretera, produce una sombra sobre ésta de 7 metros de longitud, cuando el ángulo de elevación del sol es de 7º. Determine la longitud del poste. 3. El ángulo de una de las esquinas de un terreno triangular mide 73º 40. Si los lados entre los cuales se encuentra dicho ángulo, tienen una longitud de 7 y 0 metros, determine la longitud del tercero de los lados. 36. Un poste vertical sobre una ladera, mide 40 metros de alto y forma un ángulo de 7º con el horizonte. Encuentre la longitud mínima que debe tener una cuerda, que parte de la punta del poste, para que alcance un punto a 7 metros de la base del poste. 37. Demuestre que para todo triángulo ABC, se cumple. a) a + b + c = (bc cos α + ac cos β + ab cos γ) b) cos a α + cos β b + cos c γ = a + b + c abc 38. Desde un punto sobre el piso localizado a 0 metros de la Torre Eiffel, se observa que el ángulo de elevación de la punta de la torre es 68,º. Qué altura tiene la torre?. 39. Desde un punto localizado en el mismo plano que la parte superior de las cataratas de Bridalveil en el parque nacional de Yosemite y a una distancia de 34 metros, el ángulo de depresión del extremo inferior de las cataratas es de 4,º. Encuentre la altura de las cataratas de Bridalveil. 40. Un helicóptero vuela a 30 metros sobre uno de los extremos de un puente que se tiende sobre el río Missouri en la ciudad de Jefferson. El ángulo de depresión del otro 8

10 extremo del puente visto desde el helicóptero es de 3,0º. Qué longitud tiene el puente? 4. El ángulo de elevación de la parte más alta de la torre del City Hall de Filadelfia, tomada desde un punto al nivel del piso y a 00 metros de su base es de 6,3º Qué altura tiene el edificio? 4. Encuentre el radio de una circunferencia para la cual una cuerda de 0,8cm. corresponde a un ángulo de 38,4º en su centro. 43. Un cercado de altura h está localizado en posición este oeste. El ángulo de elevación del sol es θ y su orientación es SW. Obtenga el ancho de la sombra que proyecta el cercado al nivel del piso. 44. Desde la cima de un peñasco al borde de un lago, se observa una boya con un ángulo de depresión θ y una segunda boya más cercana al peñasco, está a d metros de la base de éste. Demuestre que la distancia entre las boyas es d(tan θ cot θ ) metros. 4. Un helicóptero sobrevuela directamente sobre un camino que va de este a oeste al nivel del suelo. Mirando hacia el este, el piloto ve un bache en el camino, con un ángulo de depresión θ. Mirando hacia el oeste, observa otro bache en el camino con un ángulo de depresión. Si los baches están separados por a metros, determine a qué altura vuela el helicóptero. 46. Un observador en A mira directamente al norte y ve un meteoro con un ángulo de elevación de º. En el mismo instante, otro observador, localizado 0 Km. al oeste de A, ve el mismo meteoro y ubica su posición como N 0º E, pero olvida anotar el ángulo de elevación. Encuentre la altura del meteoro y la distancia desde el punto A al meteoro. 47. Desde una cabaña C ubicada en la cima de una colina costera ubicada a 0 m. sobre el nivel del mar, se observa un velero S detenido en la bahía. Obtenga la longitud que recorre la luz de un foco que se dirige desde la cabaña hasta el velero con un ángulo de depresión de 30º. 48. Sobre un terreno plano ha crecido un árbol inclinado hacia su derecha. Desde la base P del árbol, un observador se desplaza s unidades hacia la izquierda llegando al punto A y continúa t unidades en dicha dirección hasta ubicarse en un punto B. Si desde los puntos A y B observa la cúspide del árbol con ángulos de elevación α y β, respectivamente, determine la longitud del árbol y su ángulo de inclinación. 49. Sea ABC un triángulo equilátero y P un punto interior de él. Si las distancias desde P a los tres vértices son m, m y m, determine el área del triángulo. 0. Desde el pie de un poste, el ángulo de elevación a la punta de un campanario mide α o ; desde la parte superior del poste que tiene m metros de altura, el ángulo de elevación a la punta de dicho campanario mide β o. Si el pie del poste y de la torre están en la misma recta horizontal, compruebe que la altura h de la torre 9

11 m tg α h = tg α tg β. Un asta de bandera está enclavada verticalmente en lo alto de un edificio. Desde m metros de distancia, los ángulos de elevación de la punta del asta y la parte superior del edificio son α y α respectivamente. Demuestre que el asta de bandera mide: m h = tg α ( + tg tg. Desde la cumbre H de un cerro de 00m. de altura se observa un campamento A con un ángulo de depresión de 4º y una aldea B con un ángulo de depresión de 30º; además, el ángulo entre las visuales a los puntos A y B es de 0º. Determine la distancia entre A y B. 3. En los extremos de una calle existen una torre y una iglesia y entre sus bases hay una distancia de 00m. Desde el punto equidistante a ambos edificios se miden sus ángulos de elevación y resulta que suman 90º. Además se supo que desde el pie de la torre el ángulo de elevación de la iglesia mide θº mientras que desde el pie de la iglesia el ángulo de elevación de la torre mide (θ)º. Calcule las alturas de ambos edificios. α α ) 0