Primitivas e Integrales

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1 Cpítulo 25 Primitivs e Integrles En este cpítulo vmos trbjr con funciones de un vrible. En él estbleceremos un cso prticulr del Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl (ver [3] pr el cso generl), con el que iniciremos el cálculo con integrles. Utilizremos l notción f(t)dt pr referirnos [,b] f Ls integrles de Riemnn y Lebesgue En Análisis I se estudiron ls funciones Riemnn-integrbles en un intervlo cotdo [, b]. Nosotros hemos visto y que tods ests funciones son medibles en el sentido de Lebesgue (Ejemplo 2 de 22.3). Vmos ver hor que, en relidd, son Lebesgue-integrbles, y, unque Riemnn y Lebesgue difiern en l técnic de integrción, l integrl de un función es l mism tnto como integrble Riemnn que como integrble Lebesgue. Proposición 25.1 Si f es un función integrble Riemnn en el intervlo [, b], entonces f es tmbién integrble Lebesgue y su integrl como función integrble Riemnn, R f, coincide con su integrl como función integrble Lebesgue, L f. Demostrción. Sin pérdid de generlidd puede suponerse que l función f R[, b] es no negtiv. Pr cd prtición P : = t 0 < t 1 <... < t p = b, de [, b], se tiene (25.1) L(P, f) = m i (t i t i 1 ) R 251 f U(P, f) = M i (t i t i 1 )

2 252 Primitivs e Integrles 25.1 donde m i = inf{f(t): t [t i 1, t i ]}, M i = sup{f(t): t [t i 1, t i ]}. Además sbemos que R f es el único número rel que stisfce 25.1 pr tods ls prticiones. Ahor bien, es evidente que L(P, f) = m ( [t i 1, t i ] [0, m i ) ) m(ord [,b] f U(P, f) = m ( [t i 1, t i ] [0, M i ) ) y, por tnto, el número rel L f = m(ord [,b]f, está comprendido entre cd dos sums de Riemnn, luego R f = L L siguiente proposición, junto con el corolrio 25.7, nos será útil pr clculr l integrl de funciones cotds o no, definids sobre conjuntos cotdos o no. En prticulr, tmbién estblece l relción entre l integrl de Lebesgue y l etensión de l integrl de Riemnn ls funciones no cotds o definids sobre conjuntos no cotdos. Proposición 25.2 Se f un función que dmite integrl sobre el intervlo (, b) con, b R, es decir f. Entonces, y y (25.2) f = f(t)dt = f(t)dt = f(t)dt. + y b y b + Demostrción. Supongmos primero que y f = +, pero y b f(t)dt +,. En ese cso eistirí lgún número rel M y puntos y tn próimos b como se quier (tn grndes como se quier, si b = + ), pr los que y f(t)dt M. Por lo tnto se podrí encontrr un sucesión y p b tl que yp lo que implicrí, plicndo 24.10, que yp f. f M, p f = f M

3 25.3 Primitivs e Integrles 253 en contr de que f =. En el supuesto de que f fuese finit y distint de y y b f(t)dt, se tendrí, como ntes, lgún ε > 0 y un sucesión y p b, pr l que yp f f > ε, lo que contrdice el que y p f = f. L prueb de ls demás igulddes de (25.2) es nálog. Not. Puede ocurrir que lguno de los límites de (25.2) eist y se finito, mientrs que l integrl f no esté definid. Un ejemplo típico de est situción lo constituye l función f() = sen cuy integrl en [0, ) no eiste, y sin embrgo (ver Apostol [1]) y sen = π y 0 2. Al vlor de este límite es hbitul llmrlo integrl impropi, pudiéndonos encontrr veces con l notción b f = b Teorem fundmentl del cálculo integrl Prece conveniente enuncir este teorem en términos de primitivs. Definición 25.3 Si F () = f(), pr cd de un intervlo I de R, se dirá que F es un primitiv de l función f en I. Es bien conocido que 1. Dos primitivs de un mism función en un intervlo se diferencin en un constnte. F = G en I implic que (F G) = 0, luego F G es constnte en I. f.

4 254 Primitivs e Integrles Si f dmite un primitiv en I, entonces f no tiene discontinuiddes de slto. Si f es l derivd de lgun función, entonces debe stisfcer l propiedd de los vlores intermedios. Es inmedito comprobr que esto está reñido con que f presente lgún slto. En prticulr esto implic, obvimente, que muchs funciones integrbles Riemnn no dmiten primitivs. L versión más clásic del teorem fundmentl del cálculo integrl es pr funciones continus y puede enuncirse sí: 25.4 Si f es un función continu sobre un intervlo [, b] entonces l función, F () = f(t)dt, es un primitiv pr l función f en [, b]. Más precismente: G () = f(), [, b] G() = f + C. Ls operciones integrción y derivción son pues, en el conteto del teorem precedente, inverss un de l otr: f f D f continu derivble F clse C 1 D F continu F = F () F () Nos proponemos nlizr hor si eisten otros csos en los que integrción y derivción tmbién resulten operciones inverss: Teorem 25.5 Se f L 1 [, b] y F () = f(t)dt, entonces (i) F es continu en cd punto [, b]. (ii) (T. de diferencición de Lebesgue) F es derivble en c.t.p. de [, b] y F () c.s. = f(). En prticulr, F () = f() en todo punto en el que f se continu. Demostrción. L demostrción de (i) es consecuenci direct de l continuidd bsolut del operdor integrl (Corolrio 24.13). En efecto, F ( + h) F () = +h f = [,+h] f < ε, si m([, + h]) = h < δ.

5 25.6 Primitivs e Integrles 255 (ii) El teorem de diferencición de Lebesgue escp l contenido de este curso, su demostrción puede verse en Kolmogorov [20] y Benedetto [3]. Vemos, no obstnte, que F () = f() cundo f es continu en. Ddo ε > 0, se δ > 0 el que correspond por l continuidd de f en, entonces si h < δ se tiene que F ( + h) F () f() h = 1 +h h f(t)dt hf() = 1 +h +h h f(t)dt f()dt 1 +h f(t) f() dt ε. h h Se tiene pues que, en ls condiciones del teorem nterior, integrndo primero y derivndo después recupermos l función en c.t.p.: f integrble f derivble c.s. D f (c.s.) Vmos nlizr hor lo que sucede cundo invertimos ls composiciones, es decir si primero derivmos y después integrmos en un conteto más generl que el de F derivble D F integrble? F = F () F (). Lo que epres el digrm es lo siguiente: El que un función F se derivble en todo punto no implic que F teng que ser integrble. Pero si F es integrble, entonces derivndo primero y después integrndo recupermos l función en todo punto. Dmos continución un enuncido preciso de todo esto Teorem 25.6 Supongmos que f es un función que dmite un primitiv F en el intervlo [, b]. Entonces: () Es posible que f no se integrble en [, b]. (b) Si f es cotd en [, b] entonces f es integrble en [, b]. (c) Si f es integrble en [, b] entonces F () = f + C(constnte). Demostrción. () El ejemplo clásico lo constituye l derivd de l función F () = 2 sen 1 2.

6 256 Primitivs e Integrles 25.6 Es inmedito de comprobr que est función es derivble en todo punto, siendo su derivd l función f() = 2sen cos 1 ; f(0) = 0. 2 Pr probr que f no es integrble en [, b] ( pesr de dmitir primitiv), bstrá ver que l función h() = 1/ cos 1/ 2 no es integrble en [, b]. En efecto, puesto que es fácil deducir que cos , si 1 2 ( π 3 + 2kπ, π 3 + 2kπ) h + () 1/2 π/3 + 2kπ X( 1 k=1, 1 ) π/3+2kπ π/3+2kπ lo que implic (después de lgunos cálculos elementles) que h + 1/2 ( ) 6k 1 1 6k + 1 1/2 2 ( ) 1/2 1 6k + 1 6k k 1 6k + 1 =. Análogmente se demuestr que h =. Esto prueb pues que f =. (b) Sbemos que tod función medible y cotd es integrble sobre cd conjunto medible de medid finit. Luego pr demostrr que, en ls condiciones de este prtdo, f es integrble sobre [, b], sólo hemos de probr que es medible: Puesto que f = F, se tiene f() = n( F ( + 1/n) F () ) n lo que epres que f es el límite puntul de l sucesión de funciones medibles (y que F es continu), f n () = n ( F ( + 1/n) F () ). Se deduce pues que f es tmbién medible, como querímos ver. (c) Sólo hremos l demostrción de este prtdo pr el cso de funciones cotds. Un demostrción, usndo técnics elementles, pr el cso no cotdo puede verse en Rudin ([25]) o en Cohn ([9]). Supongmos pues que f = F es un función cotd en [, b], es decir, pr todo

7 25.6 Primitivs e Integrles 257 de [, b], f() M pr lgún M. Es evidente que pr demostrr l iguldd de (c) bstrá comprobr que F (b) F () = f(t)dt (F. de Brrow). Consideremos pr cd número nturl n l prtición de [, b], = t 0 < t 1 <... < t p = b, tl que t i+1 t i = (b ) /n. Definimos entonces, pr cd n, l función simple: s n = F (t i+1 ) F (t i ) t i+1 t i siendo J 0 = [t 0, t 1 ], J i = (t i, t i+1 ](i = 1, 2,...). L sucesión {s n } verific entonces lo siguiente: 1. {s n ()} f(). X Ji En efecto, se [, b]. Es fácil probr, por un ldo, que f() = F () = F (z) F (y) y,z y< z z y por otro, s n () = F (t i+1) F (t i ) t i+1 t i donde [t i, t i+1 ] es el intervlo de l prtición de [, b] socid n (y por tnto de longitud (b ) /n) en el que está el punto. De mbos hecho se deduce y trivilmente que {s n ()} converge F (). 2. s n () M. Como F es derivble en todo punto, del teorem del vlor medio se deduce que s n () = F (ξ), ξ (t i, t i+1 ) lo que implic que s n está, como F, cotd por M. 3. Pr todo n, s n = F (b) F (). s n = (F (t i+1 ) F (t i )) = F (b) F ().

8 258 Primitivs e Integrles 25.6 L sucesión {s n } stisfce pues ls condiciones del teorem de l convergenci domind de Lebesgue, por lo que podemos concluir que f = s n = F (b) F (). Corolrio 25.7 Supongmos que f es un función que dmite un primitiv F en el intervlo bierto (, b),, b R y que demás es integrble sobre cd intervlo compcto [, y] (, b). Entonces, si f, se tiene que f = (F (y) F ()). y b Demostrción. Bst plicr l proposición 25.2 y tener en cuent que, en ests condiciones, se puede plicr l fórmul de Brrow pr clculr y f. Ejercicios 25A Es posible encontrr lgun función f que dmit primitiv en todo punto de un intervlo cerrdo [, b] y tl que f =? 25B Estudir si l función f() = sen 1/ dmite un primitiv en [0, 1]. 25C () Estudir l integrbilidd según los vlores de α > 0 de l función f() = 1/ α en un entorno de 0 y en un entorno de. (b) Utilizr el prtdo nterior pr estudir l integrbilidd en (0, ) de ls funciones 1, 1, D Estudir l integrbilidd de ls funciones e 1/ sen, [0, 1]; 1, [e, ] (ln ) 2 ln 2 ln, ln (1 + ), (0, ) 25E Estudir y clculr, cundo se posible, los siguientes límites k 0 k 0 k k 2 +, 3 + k cos 2, k 0 k k ( + k) 2 + k 2 0 sen 2 k 2 + k 2 sen 2

9 25F Primitivs e Integrles F Probr ls desigulddes: p p 2 p. ln(p + 1) ln p + 1. p indicción. Tener en cuent que ls funciones 2 y ln son primitivs, respectivmente, de ls funciones 1/ y 1/.

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