1. Algunas primitivas inmediatas (o casi inmediatas).

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1 Cálculo I. o Matemáticas. Curso 00/0. Cálculo de Primitivas. Algunas primitivas inmediatas (o casi inmediatas). (5x 6) = 5 (5x 6) 5 = 5 (5x 6) + C. Nota: Si f(x) = 5x 6 su derivada es 5. En la primera igualdad multiplicamos y dividimos por 5. Así tenemos una integral del tipo f(x) f (x), que es inmediata: 8x (x + ) = 8 x = + x + + C = x + C. (x + ) x = 8 (x + ) + C = 8 Nota: Si f(x) = x + su derivada es x. La integral queda del tipo f(x) f (x). (x + ) + C. sen x = ( ) cos 5 x Nota: Es de la forma (cos x) 5 ( sen x) = 4 (cos x) 4 + C = f(x) 5 f (x) = 4 f(x) 4 + C. 4 cos 4 x + C sen x cos x = sen x + C. x 4 (x 4 + ) = 4 x sen (x ) cos(x ) = 4 x 4 (x 4 + ) = 4 x C. (sen x ) cos(x ) x = 8 (sen x ) 4 + C. sen x sec x tan x = cos x = (cos x) + C = sec x + C. g(x) g (x) = + g(x) ( + g(x) ) ( g(x) g (x)) = ( + g(x) ) + C.

2 log(x + a) 9.- = x + a x + x x = log(x + a) x + a = (log(x + a)) + C. ( ) + x x = log ( ) + x + C. e tan( x) sec ( x) = etan( x) + C ( a + b y + ) y + dy = b (a + b y + ) b y + dy = b ( ) a + b y + + C.. Cambio de variable f(φ(x)) φ (x) = f(t) dt, usando el cambio de variable { t = φ(x) dt = φ (x) Observación: en las integrales definidas, la fórmula del cambio de variables es b f(φ(x)) φ (x) = φ(b) a φ(a) f(t) dt, usando el cambio de variable { t = φ(x) dt = φ (x).- Calcular e x + e x. Usando el cambio de variable obtenemos.- Calcular a 0 e x + e = x y a y dy. Sea t = a y. Entonces, t = e x = dt = e x, dt + t = arctan t + C = arctan(ex ) + C. t = a y = dt = y dy. Además, { y = 0 t = a y = a t = 0. Así, a 0 y a y dy = 0 a t dt = a 0 t dt = t t=a t=0 = a..- Calcular x (x ) 7.

3 Usamos el cambio de variables t = x. De esta forma, dt = x y x (x ) 7 = x (x ) 7 x = (t + ) t 7 dt = (t 74 + t 7 ) dt = ( ) t t74 + C = ( ) (x ) 75 + (x ) 74 + C Integración por partes Fórmula de integración por partes: f(x)g (x) = f(x)g(x) f (x)g(x). Habitualmente se expresa con la notación siguiente: u dv = u v v du..- Calcular x e x. Tomando { u = x du = dv = e x v = e x } se sigue que x e x = x e x e x = x e x e x + C..- Calcular x log x. u = log x du = x Así.- Calcular De esta forma, 4.- Calcular log x. x 5 sen(x ). dv = x v = x. log x = (log x) x x u = log x du = x dv = v = x. log x = x log x x = x = x log x x + C. x

4 Hacemos primero el cambio de variable t = x, y esta integral se convierte en x 5 sen x = t sen t dt. Para calcular ahora la integral se usa integración por partes: { u = t du = t dt dv = sen t dt v = cos t. Entonces, t sen t dt = ( t cos t) ( cos t) t dt De nuevo hay que integrar por partes: u = t, dv = cos t dt y se tiene du = dt, v = sen t. De esta forma, x 5 sen x = ( ) ( t cos t) + t sen t sen t dt = 5.- Calcular e x sen x. Usamos u = sen x, dv = e x : e x sen x = e x sen x e x cos x. Volvemos a integrar por partes, pero ahora con u = cos x, dv = e x : e x sen x = e x sen x e x cos x = e x sen x e x cos x e x sen x. La integral que queremos calcular aparece de nuevo en el lado derecho, con signo menos. Si la pasamos al lado izquierdo se obtiene e x sen x = e x (sen x cos x), y por tanto e x sen x = ex (sen x cos x) + C. 4. Funciones racionales. Descomposición en fracciones simples Dada una función racional (cociente de polinomios) P (x) Q(x) usaremos el siguiente método para descomponerla en fracciones simples: 4

5 (i) Dividir si grado(p ) grado(q), para obtener P (x) Q(x) = (un polinomio) + P (x) Q(x), con grado(p ) < grado(q). (ii) Factorizar el denominador en factores de la forma (px + q) n, y (ax + bx + c) m, donde ax + bx + c no tiene raíces reales (es decir, b 4ac < 0). (iii) Factores lineales. Por cada factor de la forma (px + q) n, la descomposición en factores simples debe incluir la suma de n fracciones: A (px + q) + A (px + q) A n (px + q). n (iv) Factores cuadráticos. por cada factor de la forma (ax + bx + c) m, la descomposición en factores simples debe incluir la suma de m fracciones: B x + C (ax + bx + c) + B x + C (ax + bx + c) B mx + C m (ax + bx + c). m Ejemplo: si N(x) es un polinomio de grado menor que 5, sabiendo que podemos factorizar x 5 + x 4 x = (x )(x + ) (x + ), la función racional N(x) x 5 + x 4 x tendrá una descomposición en fracciones simples de la forma: N(x) x 5 + x 4 x = N(x) (x )(x + ) (x + ) = A x + B x + + Los coeficientes A, B, C, D y E quedarán determinados al conocer N(x)..- x 5 x + 6 Como x 5 x + 6 = (x ) (x ), escribimos x 5 x + 6 = A x + B x C (x + ) + Dx + E x +. Para determinar A y B de forma que la igualdad sea válida para todo x, multiplicamos esta ecuación por el mínimo denominador común, (x ) (x ), obteniendo la ecuación = A (x ) + B (x ), para todo x. En particular, tomando x = obtenemos B =, y tomando x = obtenemos A =. Así, ( x 5 x + 6 = x + ) = x x + x = log x log x + C = log x x + C 5

6 5 x + 0 x x + x + x Como x + x + x = x(x + x + ) = x (x + ), se tiene 5 x + 0 x + 6 x + x + x = A x + para todo x. Multiplicando por x (x + ) : B x + + C (x + ) 5 x + 0 x + 6 = A (x + ) + B x (x + ) + C x, para todo x. Los valores x = 0, x = y, por ejemplo, x =, nos dan A = 6, C = ( ) = 9. Conociendo A y C, con x =, B = ( ) 4 A C =, de donde B =. De esta forma, 5x + 0x x + x + x = x + x + + = log x 6 x + 9 x + + C. x ( 4 x 8 A (x x) (x + 4) = x + B x + C x + D ) x + 4 Multiplicando por x (x ) (x + 4) e igualando numeradores, tenemos 9 (x + ) x 4 x 8 = A (x ) (x + 4) + B x (x + 4) + (C x + D) x (x ). Con x = 0 se obtiene 4 A = 8, y A =. Con x =, se sigue que 0 = 5 B, y así B =. Para calcular C y D podríamos dar otros dos valores a x y resolver el sistema lineal resultante en C y D. Para ilustrar otro método desarrollamos el miembro derecho de la igualdad anterior (con A = y B = ) llegando a la igualdad de polinomios x 4 x 8 = C x (C D + ) x D x 8 de donde C = y D = 4. Finalmente, x ( 4 x 8 (x x) (x + 4) = x x + x + 4 ) x + 4 ( = x x + x x ) x + 4 = log x log x + log(x + 4) + arctan x + C x + x (x + ). Incluimos una fracción simple por cada potencia de (x + ): 8 x + x (x + ) = A x + B x + + C x + D (x + ). 6

7 Multiplicando por el mínimo común denominador, (x + ), llegamos a la igualdad 8 x + x = (A x + B) (x + ) + C x + D. Desarrollando y agrupando términos obtenemos 8 x + x = A x + B x + ( A + C) x + ( B + D), y así A = 8, B = 0, C = y D = 0. Por tanto, 8 x ( + x 8 x (x + ) = x + + x ) = 4 log(x + ) + (x + ) (x + ) + C. A 5.- Una variación de este tipo de integrales es cuyas primitivas son una a x + b x + c función arcotangente. Para resolverlas se completan cuadrados en el denominador para escribirlo en la forma (mx + n) + p, se reescribe como p(( mx+n p ) + ), y finalmente se ajustan las constantes. Veamos un ejemplo para ilustrar el método: x + x + = (x + ) + = 4 ( ) 4 x + + /4 = 4 ( ) = x ( x + ) + = ( ) x + arctan + C. 5. Funciones trigonométricas Vamos a calcular integrales de la forma sen m x cos n x y sec m x tan n x con m o n un entero positivo. Las pautas para las primeras son las siguientes: (i) Si la potencia del seno es positiva e impar: sen k+ x cos n x = = (sen x) k cos n x sen x ( cos x) k cos n x sen x. El cambio de variable t = cos x, dt = sen x convierte al integrando en un polinomio o una función racional: sen k+ x cos n x = ( cos x) k cos n x sen x = ( t ) k t n ( ) dt 7

8 (ii) Si la potencia del coseno es positiva e impar: sen m x cos k+ x = sen m x (cos x) k cos x = sen m x ( sen x) k cos x. Usando el cambio de variable t = sen x, dt = cos x sen m x cos k+ x = sen m x ( sen x) k cos x = t m ( t ) k dt, y queda la integral de un polinomio o de una función racional. (iii) Si las potencias de ambos son pares y no negativas, usamos la fórmula del coseno de una suma, cos(a + B) = cos A cos B sena senb de donde se deducen las identidades: sen x = cos(x), cos x = + cos(x).- sen x cos 4 x = = (sen x) cos 4 x sen x = (cos 4 x cos 6 x) sen x. ( cos x) cos 4 x sen x El cambio de variable t = cos x, dt = sen x nos lleva a sen x cos 4 x = (t 4 t 6 ) ( ) dt = t7 7 t5 5 + C = cos7 x 7 cos5 x 5 + C..- cos x sen x = = (cos x) cos x = (sen x) sen ( sen x) cos x x (sen x sen x) cos x. El cambio de variable t = sen x, dt = cos x nos lleva a cos x = t t dt = t sen x 5 t 5 + C = sen x 5 sen 5 x + C..- ( ) + cos( x) cos 4 x = = ( ) cos( x) + + cos ( x) 4 4 Utilizamos de nuevo la expresión cos + cos( α) α =, esta vez para cos (x): ( ) cos 4 cos( x) x = + + cos ( x) 4 4 [ cos( x) = + + ( )] + cos(4 x) 4 4 = + cos( x) + 4 cos(4 x) 8 4 = x 8 + sen( x) sen(4 x) + C.

9 6. Un último recurso El cambio de variables t = tan(x/) permite reducir las integrales trigonométricas a integrales racionales. Pero los cálculos suelen ser largos y tediosos, por lo que en general es preferible buscar un método alternativo y usar este cambio sólo cuando no se encuentren otras opciones. Para hacer este cambio, hay que tener en cuenta: o bien Además: t = tan(x/) dt = / cos (x/) = + tan (x/) t = tan(x/) x = arctan t = + t dt. senx = sen( x ) = senx cos x = tan x cos x = tan x + tan x = t + t cos x = cos x sen x = = t + t 7. Cambios de variable trigonométricos En muchas ocasiones hay que resolver integrales en las que aparecen términos de la forma ax + bx + c, donde la ecuación de segundo grado no tiene raíces reales. Tras completar cuadrados y hacer un primer cambio de variables (ver ejemplo 5 en la sección 4), encontraremos una de las siguientes expresiones: t, + t, t. En el primer caso, el cambio t = sen s, lo transforma en: t = cos s, dt = cos s ds. En el segundo caso, el cambio t = tan s, lo transforma en: + t = cos s, dt = cos s ds. En el tercer caso, podemos hacer el cambio t = de manera que sens t = tan s, cos s dt = sen s ds Una posibilidad más simple es hacer el cambio t = coshu, de donde se deduce: t = senhu, dt = senhudu. (Recordar que el seno y coseno hiperbólicos se definen por las fórmulas senhu = eu e u, coshu = eu + e u y que (senhu) = coshu, (coshu) = senhu, (cosh u) (senh u) =. ) 9