MATEMÁTICA D Módulo I: Análisis de Variable Compleja. Teoría de Residuos

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1 Matmática D MATEMÁTIA D Módulo I: Aálisis d Variabl omplja Uidad Toría d siduos Mag. María Iés Baragatti Sigularidads S dic qu s ua sigularidad aislada d f( si f( o s aalítica pro sí s aalítica u toro rducido d, s dcir si xist u úmro positivo r tal qu f( s aalítica u cojuto d la forma < < r S dic qu s ua sigularidad o aislada d f( si f( o s aalítica y todo toro rducido d hay al mos u puto dod f( o s aalítica. Ejmplos - La fució f( / ti ua sigularidad aislada ya qu su domiio d aaliticidad s {} y por lo tato s aalítica todo toro rducido d. - La fució g( / s o s aalítica los putos qu s aula l domiador, s dcir los compljos d la forma kπ, co k, ±, ±,... y stos compljos rsulta sr sigularidads aisladas d g( pus, para cada uo d llos xist u toro rducido dod g( s aalítica. Obsrvar qu dichos toros ti la forma < - kπ < π y a cotiuació s obsrva alguos d llos π -π π π π 3π π Módulo I - Uidad

2 Matmática D 3- La fució h( L ti ua sigularidad o aislada pus todo toro rducido d coti putos dl j ral gativo, dod sabmos qu L o s aalítica. Es importat obsrvar qu admás so sigularidads o aisladas todos los compljos dl j ral gativo pus, como s obsrva los gráficos siguits, todo toro d cro y d u ral gativo coti putos dod h(x o s aalítica. - siduos Si s u puto sigular aislado d f(, sabmos qu f( s aalítica u aillo < < r y por lo tato f( admit u dsarrollo sri d Laurt covrgt dicha coroa: ( b ( f( a, < < r 3 part pricipal dl dsarrollo dlaurt y x - r dod los úmros a y b, por sr los coficits d la sri d Laurt, so iguals a : a f( f( d b d i π ( i π ( y x dod s cualquir curva suav por tramos cotida la coroa qu cirra a Es itrsat obsrvar qu l coficit b d la sri d Laurt mcioada rsulta sr b πi f( ( d πi f( d d dod pud dspjars l valor d la itgral d f( sobr la curva crrada obtido: f ( d π i b por lo tato si s cooc l coficit b podmos obtr l rsultado d la itgral, st hcho justifica la siguit dfiició: Módulo I - Uidad

3 Matmática D Si s u puto sigular aislado d f(, s domia rsiduo d f( l puto al coficit d la potcia ( - d la sri d Laurt qu rprsta a la fució la coroa < < r y s aota s(f, b Ejmplos - La fució f ( ti ua úica sigularidad aislada y su dsarrollo sri d Laurt alrddor d dicho puto s covrgt < <, como la! sri covrg u toro rducido d y l coficit d - s igual a, podmos afirmar qu l rsiduo d f( val y aotamos s(f,. / Admás podmos afirmar qu: d π is(f, π i, sido cualquir curva crrada suav por tramos qu cirra al orig. Obsrvar qu si s cualquir curva crrada qu o cirra al orig tocs / d, y st valor s obti usado l torma d auchy Goursat y o mdio dl rsiduo. L - La fució f( o s aalítica pro como s aalítica < - <, podmos afirmar qu s ua sigularidad aislada d f(, admás sta fució o s aalítica cro y todos los compljos dl j ral gativo, pro todos llos so sigularidads o aisladas. Para hallar l rsiduo la sigularidad aislada dbmos cotrar la sri d Laurt qu la rprsta l toro rducido < <, s dcir dbmos cotrar ua sri d potcias positivas y gativas d ( -. omo L s aalítica, dsarrollamos por Taylor tido prst qu ( ( L ' ( (, covrgt <, tocs L ( ( L 'd ( ( d ( ( d ( para < (obsrvar qu por sr ua sri d potcias covrgt, la itgral d la sri fu rmplaada por la sri d las itgrals L Por lo tato f( L (- - ( ( si < < ( (, (obsrvar qu s ha xcluido d la rgió d covrgcia pus l primr factor sólo ti stido si 3 Módulo I - Uidad

4 Matmática D omo la sri obtida covrg u toro rducido d y la potcia ( - o aparc, podmos afirmar qu l rsiduo d f val, aotamos b s(f,, d L dod la itgral d π i b, sido cualquir curva crrada qu cirra a y cotida < < 3i 3- La fució f( o s aalítica y -i, pro s aalítica ( i < < y < i <, qu so toros rducidos d y, por lo tato ambos so sigularidads aisladas d f( Es importat obsrvar qu: si s ua curva crrada, suav por tramos y simpl qu cirra a y o cirra a - tocs 3 i - ( i d i i d π i s[ f,] si ua curva crrada suav por tramos y simpl qu cirra a -i y o cirra a tocs -i 3 i - ( i d i i d π i s[ f,-i] -i La prguta atural dspués stas obsrvacios s cómo s pud calcular la itgral propusta sobr ua curva crrada qu cirr a las dos sigularidads aisladas? La rspusta la prov l siguit torma. Ξ Torma d los rsiduos Si f( s aalítica sobr la curva crrada, suav por tramos y simpl y su itrior, salvo u úmro fiito d putos,,..., itriors a, tocs f ( d π i { s[ f, ] s[ f, ].. s[ f, ]} πi s[ f, ] Dmostració Si s cosidra curvas crradas,simpls y suavs por tramos,,...,, qu cirr a cada puto sigular y qu o ti Putos itriors comus, usado la sguda coscucia dl torma Módulo I - Uidad

5 Matmática D D auchy Goursat podmos dcir qu: f( d f( d f( d... f( d 3 y usado la dfiició d rsiduo sabmos qu cada ua d stas itgrals vrifica f( d π is[ f, k ], por lo tato rmplaado cada ua por su valor y sacado πi factor k comú s obti lo qu quríamos dmostrar. A partir d ahora podmos calcular itgrals sobr curvas crradas d fucios qu so aalíticas sobr la curva y l itrior salvo u úmro fiito d sigularidads itriors a la curva usado los rsiduos, por jmplo podmos afirmar qu: s d π is s,, 3 s d π i s s, s s, π pro para calcular los rsiduos la úica hrramita qu tmos s hallar la sri d Laurt covrgt u toro rducido d cada puto sigular aislado y sto o s ta scillo.. Muchas vcs s posibl hallar l rsiduo d ua fució ua sigularidad aislada si tr qu dsarrollar la fució sri d Laurt. Para llo s csario clasificar las sigularidads aisladas como s idica a cotiuació: lasificació d sigularidads aisladas Si s u puto sigular aislado d f(, tocs f( s aalítica < < r y pud dsarrollars sri d Laurt ( b ( f( a, < < r 3 part pricipal dl dsarrollo dlaurt Si la part pricipal dl dsarrollo d Laurt covrgt < < r o pos térmios, s dcir b., s dic qu f( ti ua sigularidad vitabl Si la part pricipal dl dsarrollo d Laurt covrgt < < r pos ifiitos térmios o ulos, s dcir b para ifiitos valors d, s dic qu f( ti ua sigularidad scial Si la part pricipal dl dsarrollo d Laurt covrgt < < r pos u úmro fiito d térmios o ulos, s dcir b para > k y b k, s dic qu f( ti u polo d ord k Módulo I - Uidad

6 Matmática D Ejmplos - Ya hmos dmostrado qu para < <, como sta sri rprsta a la! fució u toro rducido d y pos ifiitos térmios co potcias gativas, podmos dcir qu s ua sigularidad scial d / L - Sabmos qu l dsarrollo sri d Laurt d f( covrgt u toro ( rducido d la sigularidad aislada s ( covrgt < <, como sta sri o ti potcias gativas, podmos dcir qu s s ua sigularidad vitabl d f( 3- Es importat obsrvar qu si bi la sri ( ( ti ifiitas potcias gativas d, - o s ua sigularidad scial d la fució a la cual covrg pus dicha sri covrg para los qu vrifica > y por lo tato o covrg u toro rducido d - s - La fució g (, o s aalítica pro sí lo s < <, para obtr la sri d Laurt qu la rprst dicha coroa dsarrollamos s sri d Taylor alrddor d y opramos dl siguit modo: s s (- (- 3 3 (! (! 3!! como la sri d s covrg, y l factor / sólo ti stido si, podmos afirmar qu la sri obtida rprsta a la fució < <. omo la sri obtida covrg u toro rducido d y la part pricipal dl dsarrollo ti u úmro fiito d térmios, podmos afirmar la fució pos u polo, como la potcia gativa d mayor valor absoluto s 3, l polo s d ord 3. Obsrvar qu l s(f, -/3! Ejrcicios - Hallar las sigularidads d las siguits fucios idicar cuáls d llas so aisladas: 6 Módulo I - Uidad

7 Matmática D cos a f( b f 3 ( 3π π 3 c f 3 ( s d f ( L ( f ( f ( f 6 L( ch - Mdiat u dsarrollo sri d Laurt adcuado, clasificar las sigularidads qu s idica a cotiuació tido cuta la fucios dl jrcicio atrior: a para f ( b π para f ( c - para f 3 ( 3- Dadas g( h( ( 3 ( ( (, a Justificar qu s ua sigularidad aislada d g( y clasificarla. b s ua sigularidad aislada d h(? Justificar la rspusta. - Dada f( ( ( a Hallar l domiio d f( y l domiio d aaliticidad, f( ti putos sigulars aislados?, caso afirmativo clasificarlos y justificar la rspusta. ( b Hallar y clasificar las sigularidads d las fucios G( f(, H( (- f( s - Dadas k( ( ( (, f( -, g( 3 /( a Hallar y clasificar las sigularidads aisladas mdiat u dsarrollo sri d Laurt adcuado. Justificar cada caso la lcció d la coroa. b Vrificar qu s u cro d las trs fucios y hallar su ord. aractriació d polos Muchas vcs podmos dtrmiar los polos y su ord si csidad d dsarrollar sri d Laurt covrgt l l toro rducido dl puto sigular utiliado la siguit propidad: 7 Módulo I - Uidad

8 Matmática D Ξ Torma s u polo d ord k d f( f( ( -k h(, co h( aalítica y h( Dmostració: sabmos qu : s u polo d ord k d f( qurmos dmostrar qu : f( ( -k h(, co h( aalítica y h( omo s u polo d ord k d f( tocs f( admit u dsarrollo sri d Laurt covrgt < < d la forma : f( b k k k k ( ( ( b b a, co b k ( multiplicado ambos mimbros d la igualdad atrior por ( k, obtmos: f( k k k 3 k k ( b b (... b ( a ( obsrvamos qu l sgudo mimbro s obti ua sri d potcias positivas covrgt <. Si llamamos h( a la suma d dicha sri, tocs h( s aalítica y h( b k, por lo tato podmos afirmar qu f( ( k h( y dspjado obtmos lo qu quríamos: f( ( -k h(, co h( aalítica y h( h( sabmos qu : f( ( -k h(, co h( aalítica y h( qurmos dmostrar qu : s u polo d ord k d f( Sabmos qu f( ( -k h( dod h( s ua fució aalítica y h(, por lo tato podmos dsarrollar h( sri d Taylor alrddor d dicho puto obtido: h( h ( (! ( mplaado sta sri f( ( -k h( obtmos:, covrgt < h ( h f( ( ( ( k!! ( k ( ( 8 Módulo I - Uidad

9 Matmática D como l factor ( -k sólo ti stido si y la sri d h( covrg <, l producto covrg la itrscció, s dcir sta sri covrg < < y por lo tato s ua sri d Laurt d f( qu covrg u toro rducido d Explicitado los térmios cotramos qu: f( h( h'( h k k ( ( ( (k ( h (k (..., < < como h(, podmos afirmar qu k s la mayor potcia qu aparc l domiador y por dfiició d polo podmos afirmar qu s u polo d ord k, qu s lo qu quríamos dmostrar. Ejmplos s - Las fucios f( y g( ti como putos sigulars a ( iπ ( iπ y πi y so aislados ambas ( porqué? omo f( pud scribirs así f( i co h ( aalítica y h (, por l π 3 h ( torma d caractriació d polos podmos asgurar qu s u polo d ord d f( Si qurmos raoar forma similar para la fució g( scribimos g( s iπ 3 st caso h ( s aalítica, pro h (, y por lo tato o pud aplicars l torma d caractriació d polos y os qudamos si sabr qu tipo d sigularidad ti g( h (, Actividad : Avriguar si pud aplicars l torma d caractriació d polos para clasificar la sigularidad πi d las fucios f( y g( dl jmplo atrior, caso afirmativo hallar l ord dl polo. Es atural prgutars si para clasificar las sigularidads aisladas s csario hallar la sri d Laurt covrgt u toro rducido d dicha sigularidad, vrmos a cotiuació qu si la fució s cocit d dos fucios aalíticas tocs podmos clasificar las sigularidads vitabls. 9 Módulo I - Uidad

10 Matmática D Ξ Torma : lasificació d sigularidads aisladas d fucios qu so cocit d aalíticas g( Sa f ( dod g( y h( so aalíticas y g( ti u cro d ord p y h( h( ti u cro d ord q tocs : a Si p < q, s u polo d ord (q p d f( b Si p q, s ua sigularidad vitabl d f( Dmostració: omo sabmos qu s u cro d ord p d g( y d ord q d h(, utiliado l torma d caractriació d cros a cada ua d llas podmos para afirmar qu dichas fucios pud scribirs como: g( ( p g (, co g ( aalítica y g ( h( ( q h (, co h ( aalítica y h ( d dod p p p g( ( g( ( g( ( ( f ( (* q q q h( ( h ( ( h ( ( f dod f ( s aalítica, por sr l cocit d dos aalíticas, y f ( Si q > p, tocs (q p > y por (*, f( pud scribirs como f( ( - (q p f ( y por l torma d caractriació d polos, podmos afirmar qu s polo d ord (q p Si p q, tocs (p q > y por (* podmos scribir f( ( p q f ( si. omo l producto ( p q f ( s aalítico s pud dsarrollar sri d Taylor potcias d (, s dja como jrcicio justificar qu st caso s ua sigularidad vitabl d f(. Ejrcicios 6- Hallar y clasificar las sigularidads aisladas d las siguits fucios tido cuta qu todas llas so cocit d fucios aalíticas : a s( f ( b ( f ( s Módulo I - Uidad

11 Matmática D c f 3 ( d sh s ( π f ( cos ( 7- Sa g( ua fució aalítica co g( y f( ( [g(] 3, justificar qu f'( F ( ti ua sigularidad aislada y clasificarla. f( 8- Sabido qu h( ti u polo d ord y g( ti u polo d ord m, co m <, justificar la valid d las siguits proposicios. a F ( ( - h( ti u polo d ord b F ( h( g( ti u polo d ord m c F 3 ( h( g( ti u polo d ord d g( F ( h( ti ua sigularidad vitabl h( F ( g( ti u polo d ord m f Si m, aaliar qué tipo d sigularidad ti las fucios F 3 (, F ( y F ( Ξ Torma : álculo d rsiduos polos Si s u polo d ord k d f( tocs s(f, lím ( k (k [ f( ] (k! lím E particular: Si s u polo d ord d f( tocs s(f, [( f( ] Dmostració: Por sr u polo d ord k d f( tocs por l torma d caractriació d polos podmos scribir: Dsarrollado por Taylor la fució h( obtmos: f( ( -k h(, co h( aalítica y h( f( (k (k h( h'( h ( h (... k! k k ( ( (k! (, < < omo l rsiduo s l coficit d la potcia ( - d la sri qu covrg u toro rducido d, buscamos dicho coficit la sri atrior y podmos afirmar qu: Módulo I - Uidad

12 Matmática D (k h ( s(f, (k! Esta xprsió o s muy útil pus xprsa l rsiduo d f fució d la drivada d ord (k d la fució h, por llo s covit obsrvar qu: y l torma quda dmostrado. (k (k k h ( s(f, [ h( ] [( f( ] (k! lím lím (k! (k! (k Ejmplos - alcular d 3 s π omo los úicos putos sigulars d la fució itriors a la curva so y π, sabmos qu 3 s d π i { s[ f,] s[ f, π] }, dod f( s S dja como jrcicio justificar qu s u polo d ord y π s u polo simpl, tocs: ( s(f, s cos lím lím lím! s s s (como la idtrmiació s d la forma /, podmos usar la rgla d L Hospital cos cos s lím lím s cos cos s(f, π lím( π lím π s π s cos π (como la idtrmiació ra d la forma /, usamos la rgla d L Hospital para salvarla ( Por lo tato 3 s d π i i π Módulo I - Uidad

13 Matmática D Ejrcicios 9- Hallar l rsiduo las sigularidads aisladas d las fucios dl jrcicio 6 g( - Si f ( ( - ti u polo d ord dos y l rsiduo dicho puto val cro, dmostrar qu g( y g ( - alcular usado rsiduos a d c cos s d cos ( b d i d π / ( π ( cos s( d cos π / π ( s( / d f sh sh / ( d - Si f( s aalítica sobr la curva : i y su itrior y f( f(i, f (i, f( justificar usado la toría d rsiduos qu d i ( 3- Si f( s aalítica sobr la curva : i y su itrior, justificar usado la toría d ( 3 f( iπ f (i rsiduos qu d i 3 ( - Sa H( aalítica todo l plao compljo y H(, H ( 7, H (, H ( ( H( para 3, calcular d sido : s 3 Módulo I - Uidad

14 Matmática D Itgrals d variabls ral La toría d rsiduos prmit calcular cirtos tipos d itgrals dfiidas impropias dl aálisis ral qu s ilustra a cotiuació - Itgrals d fucios qu dpd xclusivamt d sos y cosos Mostramos a cotiuació cómo s pud trasformar la itgral α π α F(s θ, cos θ dθ ua itgral d variabl complja sobr la curva crrada. Ats d dtallar l procdimito s importat sñalar qu θ s ua variabl ral qu s muv u itrvalo d amplitud π y l itgrado sólo pud dpdr d s θ y/o cos θ. omamos propoido l siguit cambio d variabl iθ A cotiuació tratamos d xprsar l itgrado fució d la variabl, para llo obsrvamos qu : como θ varía u itrvalo d amplitud π tocs iθ dscrib todos los putos d la circufrcia como d i iθ dθ tocs dθ d, qu pud xprsars d θ d iθ i i usado las dfiicios d s y cos, podmos xprsarlas fució d la variabl : iθ iθ s θ y i i cosθ iθ iθ Por lo tato α π α F(s θ, cos θ dθ F, d i i Ejmplo - alcular π dθ cos π θ θ s 3 omamos hacido l cambio d variabl iθ, qu os prmitirá pasar a ua itgral co variabl qu s muv sobr la curva y opramos d la mara ya idicada, s dcir calculamos su difrcial d θ d y xprsamos l itgrado fució d θ como s i mustra a cotiuació: Módulo I - Uidad

15 Matmática D sθ cosθ 3 i 3 i i i 6i i ( i 6i ( i i dado qu los valors qu aula l umrador so sta afirmació s corrcta, podmos scribir: i y i (vrificar qu Por lo tato i ( i( ( i sθ cosθ 3 i π dθ i d π sθ cosθ i ( i( ( i i ( i i πi [ s(f, ] ( idicado πi ( i i 8i ( π ( i d ( i (vrificar qu l rsiduo s l qu s ha Ejrcicios -Justificar usado toría d rsiduos l valor d las itgrals qu s da a cotiuació. a π dθ π 3cos θ c π dθ π s θ cos θ b π / dθ π s θ 6 d π cos(3θ dθ π cos θ Itgrals impropias cordmos qu la itgral impropia d ua fució cotiua f(x sobr l itrvalo [a, s dfi como: a f(x dx lím a f(x dx y cuado xist l límit d la drcha, s dic qu la itgral impropia covrg y su valor s l valor d dicho límit. Si f(x s cotiua para todo x, la itgral impropia f(x dx s dfi como: f(xdx lím f(x dx lím f(x dx Módulo I - Uidad

16 Matmática D y cuado xist ambos límits d la drcha y o val ifiito, s dic qu la itgral impropia covrg y su valor s la suma d dichos límits. Si itgramos u itrvalo [-, ] simétrico rspcto dl orig y lugo hacmos tdr a ifiito, s dcir si calculamos dicho rsultado valor pricipal d auchy idicamos: lím f(x dx y st límit xist y s fiito, domiamos a ( vp f(x dx lím f(x dx Obsrvació - Usado critrios d covrgcia d las itgrals impropias, pud dmostrars qu, si la itgral f(x dx covrg tocs su valor coicid co l valor pricipal d auchy. El rcíproco o s válido como lo mustra l siguit jmplo: x dx lím x dx lím x dx lím ( ( lím y como cada uo d stos límits o so fiitos, l límit o xist y por lo tato la itgral o covrg. Si mbargo si calculamos l valor pricipal d auchy: ( vp x dx lím x dx lím lím vmos rápidamt qu l valor pricipal d auchy d sta itgral xist y val cro. - Si f(x s par, s dcir f(x f(-x y xist ua d las itgrals ( vp f(x dx, f(x dx tocs xist la otra. - álculo d Itgrals impropias por mdio d rsiduos Qurmos calcular ua itgral impropia d la forma f(x dx,co f(x cotiua sobr la rcta ral. Sabmos qu si dicha itgral s covrgt tocs val la igualdad f(x dx ( vp f(x dx, por lo tato si podmos calcular lím f(x dx obtdrmos l rsultado d la itgral propusta. 6 Módulo I - Uidad

17 Matmática D omo la toría d rsiduos prmit calcular fácilmt itgrals sobr curvas crradas, cosidramos l itrvalo [-, ] d la rcta ral y la smicircufrcia suprior ctrada l orig d radio, qu domiamos, grado d st modo ua curva crrada [-, ] como s obsrva dibujo. Si f( s aalítica l smiplao Im(, salvo u úmro fiito d putos,,...,, todos llos co Im( k >, lgimos lo suficitmt grad para qu los putos sigulars dl smiplao suprior qud l itrior d. Por lo tato por l torma d los rsiduos sabmos qu: ( d πi k [ f, ] f s (* k - - omo [-, ], tocs la itgral dl primr mimbro d (* s igual a la suma d la itgral sobr l sgmto [-,] más la itgral sobr la smicircufrcia : f( d [ ] f ( d f( d f (x dx, f( d por lo tato la xprsió (* pud scribirs f (x dx f( d πi s [ f, k ] y dspjado pud pors la forma : k f (x dx f( d πi s [ f, k ] como la suma d los rsiduos s costat y o dpd d, tomado límit para ambos mimbros d la última xprsió obtmos: k lím f(x dx lím f( d πi s [ f, k ] Si tmos la surt qu lím f( d k tocs la xprsió atrior prmit coocr l valor pricipal d la itgral impropia qu quríamos y su valor rsulta sr: f πi s [ f, k ] (vp (x dx k 7 Módulo I - Uidad

18 Matmática D A cotiuació s dtalla dos situacios, qu idicamos co a y b dod s cumpl lím f ( d y por lo tato s posibl calcular ua itgral d variabl ral mdiat toría d rsiduos. a Itgrals impropias d cocit d poliomios p(x Si f (x co p(x y q(x poliomios rals si factors comus, y dod q(x o ti q(x raícs rals y l grado d q(x supra al mos uidads al grado d p(x tocs p( lím d, y st límit dbrá justificars cada jrcicio como s mustra l q( jmplo siguit. Ejmplo Qurmos calcular x- dx, dod s imdiato qu l itgrado s cotiuo sobr la (x rcta ral pus s cocit d cotiuas y l domiador o ti raícs rals, pus l domiador sólo s aula i y -i i Para llo cosidramos ua curva crrada formada por l sgmto [-, ] dl j x y ua smicircufrcia suprior ctrada l orig d radio, dod cosidramos lo suficitmt grad - x para qu las raícs dl domiador co part imagiaria positiva qud l itrior d dicha curva crrada, st caso db sr mayor qu y calculamos usado toría d rsiduos la - itgral d f(, st jmplo : ( ( d πi s, i ( como i s u polo d ord dos dl itgrado, dicho rsiduo rsulta: y por lo tato d ( i ( ( i s,i lím ( i lím i ( d ( i ( i i ( i i y ( d πi π i 8 Módulo I - Uidad

19 Matmática D omo [-,], la xprsió atrior pud scribirs o su quivalt x dx π d (x ( x dx π d (x ( y tomado límit para a ambos mimbros d la última xprsió obtmos (vp x dx lím d π (x ( Tratmos d dmostrar qu lím d, tido prst qu sobr s vrifica ( qu cordado qu a ± b a b, podmos acotar l umrador sobr la curva : y rcordado qu - a ± b a - b, podmos afirmar qu sobr val la siguit acotació : ( a ± b a b, por lo tato Estos comtarios os prmit acotar l itgrado : ( ( ( (, por lo tato d ( ( d ( d 3 logitud d ( π ( y aplicado l torma dl sadwich, podmos afirmar qu lím d ( Por lo tato (vp x dx π (x omo la itgral propusta s covrgt, podmos afirmar qu x dx π (x 9 Módulo I - Uidad

20 Matmática D Ejrcicios 6- Justificar usado toría d rsiduos l valor d las itgrals qu s da a cotiuació. a dx - π ( x ( x 9 3 b x dx (x π 8 c x dx π x - ( x b Itgrals impropias las qu itrvi sos y cosos La toría d rsiduos prmit calcular itgrals rals dod itrvi sos o cosos y so d la forma f (x s (axdx o f (x cos (axdx dod a s ua costat ral positiva. S trabaja d forma similar a la ya dscripta l stido qu tomamos ua curva crrada [-, ], aplicamos toría d rsiduos y tmos qu dmostrar qu la itgral sobr tid a cro, si tid a ifiito. Est último paso o s posibl raliarlo pus aaliado los módulos d stas fucios l smiplao y >, vmos qu - ia ia ia ia ay ay s sh (ay i y ia ia ia ia ay ay cos (a sh (ay y pro s itrsat obsrvar qu la xpocial ia sí stá acotada l smiplao y >, pus ia -ay iax -ay <, si a > Por st comtario s qu s cosidra la siguit igualdad f(x iax dx f(x [ cos (ax is(ax ] dx f(xcos (axdx i f(xs (axdx d dod s dsprd qu : f (x cos (axdx f (x s (axdx f(x Im f(x iax iax dx dx Módulo I - Uidad

21 Matmática D por llo uca calcularmos por rsiduos las itgrals impropias qu coti sos y cosos, sio qu calcularmos por rsiduos la itgral qu s obti rmplaado las fucios trigoométricas por ua xpocial complja. Ejmplo Si qurmos calcular s(x dx, comamos cosidrado la igualdad x x s(x dx Im x x ix x x dx y procdmos a calcular la itgral i d usado toría d rsiduos sobr la curva [-, ] i Si llamamos g( rsulta vidt qu s aalítica l j ral y l smiplao suprior co xcpció dl puto - i, dod ti u polo d ord uo (rcordar qu s toma lo suficitmt grad para qu las sigularidads dl itgrado dl smiplao suprior qud l itrior d y obsrvar qu la fució o s aalítica - -i, qu o db trs cuta por sr xtrior a -i y - x i d i d πi s g(,- ( i( -i [ i] omo s[ g(,- i] i i( i lím ( i tocs i ( i( i i i d πi i --i π (cos is omo [-,], la xprsió atrior pud scribirs x ix dx x i d π (cos is y tomado límit para a ambos mimbros d la última xprsió obtmos ix i ( vp dx lím d π (cos is x x Módulo I - Uidad

22 Matmática D i Tratmos d dmostrar qu lím d tido prst qu sobr, qu ia -ay iax -ay < y qu la itgral d d da la logitud d la curva: i i d d d π como la última xprsió tid a si tid a ifiito, aplicado l torma dl sadwich podmos afirmar qu la itgral sobr tid a como prtdíamos. Por lo tato ix ( vp dx x x D dod s dsprd qu (vp tambié podmos afirmar qu (vp Obsrvació x x π (cos is s(x dx Im [π - (cos - i s ] - π - s cos(x dx [π - (cos - i s ] π - cos x x p(x - Si f (x co p(x y q(x poliomios rals si factors comus, y dod q(x o ti q(x raícs rals y l grado d q(x supra al mos uidads al grado d p(x tocs p( ia lím d simpr qu a > y st límit dbrá justificars cada jrcicio q( como s ha mostrado l jmplo atrior. - Si la difrcia d grados tr p(x y q(x s igual a, por jmplo si s quir calcular las itgrals x s(xdx ó x x x cos(xdx, s procd d mara similar x x a lo xplicado, pro cuado tgamos qu dmostrar qu la itgral sobr tid a cro, si acotamos siguido los mismos pasos qu usamos l jmplo atrior os qudará : i i ( ( d d d ( π y la última xprsió o tid a cro, por llo la acotació db raliars usado l rsultado qu s ucia y dmustra a cotiuació. Módulo I - Uidad

23 Matmática D Dsigualdad d Jorda: Dmostració π dt < -s t π omo la gráfica d s t s simétrica rspcto d la rcta t π/, podmos afirmar qu π -s t dt π / -s t dt Tido cuta l gráfico d la drcha s obsrva qu: s t t / π si t π/ por lo tato - s t - t / π, y por sr la xpocial crcit podmos asgurar qu -s t -t / π si t π/ y y t/π π/ π t y st tocs π π / π / -s t -s t -t/ π π π dt dt dt ( < pus, como > s cumpl qu - < y la dsigualdad π dt < -s t π stá probada Ejmplo Si qurmos calcular (x s(x dx, comamos cosidrado la igualdad x x (x s(x dx Im x x ix ( dx x x y procdmos a calcular la itgral curva [-, ] i ( d sobr la -i y - x i ( Si llamamos h(, sabmos qu s aalítica l j ral y l smiplao suprior co xcpció dl puto - i, dod ti u polo d ord uo i ( d i ( d πi sh(, ( i( -i [ - i] 3 Módulo I - Uidad

24 Matmática D omo sh(, [ - i] i i( i ( i lím ( i tocs i ( i( i i i --i ( d πi πi (cos is omo [-,], la xprsió atrior pud scribirs (x x ix x dx ( i d πi (cos is y tomado límit para a ambos mimbros d la última xprsió obtmos ix i (x ( ( vp dx lím d πi (cos is x x (* i ( Tratmos d dmostrar qu lím d tido prst qu :, ( i d ( i d ( i d i d (** para la última itgral paramtriamos la curva: : (t it (cos t i s t co t π y calculamos d it dt dt pus it y dt dt (pus t varía d a π y por lo tato s crcit, admás sobr dicha curva la fució i s comporta como s mustra a cotiuació: i i(cos t i s t i cos t st i cost st st por lo tato Jorda i d π st π π dt <, obsrvar s ha usado la dsigualdad d Tido cuta la dsigualdad atrior volvmos a (** y obtmos: i ( d d < i π Módulo I - Uidad

25 Matmática D y sta xprsió tid a si tid a ifiito, por lo tato i ( lím d mplaado la xprsió (*, obtmos: ( vp D dod s dsprd qu (vp tambié podmos afirmar qu (vp Ejrcicios (x x ix x dx πi (cos is (x s(x dx Im [πi - (cos - i s ] π - cos x x (x cos(x dx [πi - (cos - i s ] π - s x x 7- Justificar usado toría d rsiduos l valor d las itgrals qu s da a cotiuació a a cos(a xdx π b x x s x dx x πs 8- alcular justificado todos los pasos a dx - 3 x x b s ( 3x dx - 3 x x c x cos(xdx ( 6 x d x s(xdx x 3 Módulo I - Uidad

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