Algunas Distribuciones EstadísticasTeóricas. Aproximación de la Distribución Binomial por la Distribución de Poisson

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1 Algunas Distribuciones EstadísticasTeóricas Distribución de Bernoulli Distribución de Binomial Distribución de Poisson Aproximación de la Distribución Binomial por la Distribución de Poisson

2 Distribución Binomial X es una variable aleatoria con distribución binomial si su distribución de probabilidades esta dada por: n k nk P X k p 1 p k 0,1,, n k donde 0<p<1 (p constante) y n es un número entero positivo. Características: Mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Esperanza: E X np Varianza: 1 Var X np p

3 Forma de la Distribución Binomial Simétrica Si p=0.5 la distribución binomial será simétrica independientemente del tamaño de la muestra.

4 Forma de la Distribución Binomial Sesgada a derecha Si p0 la distribución binomial tendrá un sesgo hacia la derecha.

5 Forma de la Distribución Binomial Sesgada a izquierda Si p1 la distribución binomial tendrá un sesgo hacia la izquierda.

6 Distribución Binomial Cuál es la probabilidad de que en una familia de 4 hijos exactamente 2 sean mujeres? Definimos la v. a. discreta: X : número de hijas mujeres en una familia de 4 hijos. X B4,0.5

7 Distribución Binomial Cuál es la probabilidad de que en una familia de 4 hijos exactamente 2 sean mujeres? Definimos la v. a. discreta: X : número de hijas mujeres en una familia de 4 hijos. n x P( X x) p (1 p) x p 0. 5; n 4; x 2 nx 4 p( X 2) 0. 5 (1-0. 5) X B 4,0.5

8 Distribución Binomial Calcular la probabilidad de obtener al menos dos seises al lanzar un dado cuatro veces. Definimos la v.a discreta: X: números de seis en cuatro lanzamiento de un dado. X B 1 4, 6 n k nk P( X k) p 1 p ( k 0,1,..., n) k

9 Distribución Binomial Calcular la probabilidad de obtener al menos dos seises al lanzar un dado cuatro veces. Definimos la v.a discreta: X: números de seis en cuatro lanzamiento de un dado. X B 1 4, 6 n k nk P( X k) p 1 p ( k 0,1,..., n) k Al menos dos seises, debemos calcular: P( X 2) 1 P( X 2) 1 P( X 0) P( X 1)

10 Se sabe por experiencias anteriores que la probabilidad de que una máquina produzca un artículo defectuoso es En una hora una máquina produce 20 artículos. a) Cuál es la probabilidad de que una máquina produzca algún artículo defectuoso? b) Si la fábrica posee 12 máquinas, cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 de ellas produzcan algún artículo defectuoso? Solución/ a) Distribución Binomial

11 Se sabe por experiencias anteriores que la probabilidad de que una máquina produzca un artículo defectuoso es En una hora una máquina produce 20 artículos. a) Cuál es la probabilidad de que una máquina produzca algún artículo defectuoso? b) Si la fábrica posee 12 máquinas, cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 de ellas produzcan algún artículo defectuoso? Solución/ a) Distribución Binomial Sea X : número de artículos defectuos producidos por una máquina. X B 20,0.01

12 Se sabe por experiencias anteriores que la probabilidad de que una máquina produzca un artículo defectuoso es En una hora una máquina produce 20 artículos. a) Cuál es la probabilidad de que una máquina produzca algún artículo defectuoso? b) Si la fábrica posee 12 máquinas, cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 de ellas produzcan algún artículo defectuoso? Solución/ a) Distribución Binomial Sea X : número de artículos defectuos producidos por una máquina. X B 20,0.01 Al menos un artículo defectuoso, debemos calcular: P( X 1) 1 P( X 0) 1 P( X 0)

13 Se sabe por experiencias anteriores que la probabilidad de que una máquina produzca un artículo defectuoso es En una hora una máquina produce 20 artículos. a) Cuál es la probabilidad de que una máquina produzca algún artículo defectuoso? b) Si la fábrica posee 12 máquinas, cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 de ellas produzcan algún artículo defectuoso? Solución/ b) Distribución Binomial

14 Se sabe por experiencias anteriores que la probabilidad de que una máquina produzca un artículo defectuoso es En una hora una máquina produce 20 artículos. a) Cuál es la probabilidad de que una máquina produzca algún artículo defectuoso? b) Si la fábrica posee 12 máquinas, cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 de ellas produzcan algún artículo defectuoso? Solución/ b) Distribución Binomial Sea Y : número de máquinas que producen al menos un artículos defectuos. Y B 12,0.182

15 Se sabe por experiencias anteriores que la probabilidad de que una máquina produzca un artículo defectuoso es En una hora una máquina produce 20 artículos. a) Cuál es la probabilidad de que una máquina produzca algún artículo defectuoso? b) Si la fábrica posee 12 máquinas, cuál es la probabilidad de que a lo sumo 2 de ellas produzcan algún artículo defectuoso? Solución/ b) Distribución Binomial Sea Y : número de máquinas que producen al menos un artículos defectuos. Y B 12,0.182 Al lo sumo dos produzcan al menos un artículo defectuoso, debemos calcular: P( Y 2) P( X 0) P( X 1) P( X 2)

16 Distribución de Hipergeométrica Ejemplo: La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se toman 4 partes al azar, sin sustitución, de la producción del día, cuál es la probabilidad de que ninguna de las partes cumpla con los requerimientos del cliente? X: número de partes que no cumplen con los requerimientos del cliente.

17 Distribución de Hipergeométrica Ejemplo: La producción diaria de 850 partes contiene 50 que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se toman 4 partes al azar, sin sustitución, de la producción del día, cuál es la probabilidad de que ninguna de las partes cumpla con los requerimientos del cliente? X: número de partes que no cumplen con los requerimientos del cliente PX ( 4) 850 4

18 Distribución de Poisson X es una variable aleatoria con distribución de Poisson si su distribución de probabilidades está dada por: donde k e 0,1,2,,, P X k k n 0 k! representa el número promedio de eventos por unidad. Principales características numéricas: Esperanza Varianza E X Var X

19 Forma de la Distribución de Poisson El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

20 Distribución de Poisson Consideremos : El número de pacientes que ingresan en un día por urgencias en un hospital. El número de denuncias que se presentan diariamente en un juzgado. El número de coches que circulan por una rotonda en el lapso de una hora. Las v.a. definidas en los ejemplos anteriores comparten las siguientes características: Todas ellas se refieren a contar el número de veces que un determinado suceso ocurre en un periodo de tiempo determinado. La probabilidad de que dicho suceso ocurra es la misma a lo largo del tiempo. (si la unidad de tiempo es un día, la probabilidad de que el suceso en cuestión ocurra es la misma para hoy, para mañana, etc.) El número de sucesos que ocurren en una unidad de tiempo es independiente del número de sucesos que ocurren durante cualquier otra unidad.

21 Distribución de Poisson Sea X una variable aleatoria que cuenta el número de veces que un determinado suceso ocurre en una unidad (normalmente de tiempo o de espacio). Si verifica que : 1) La probabilidad de que el suceso estudiado se produzca en la unidad es constante a lo largo del tiempo. 2) El número de veces que ocurre un suceso durante la unidad considerada es independiente del número de veces que ocurre dicho suceso en otra unidad. 3) Si se considera una unidad inferior (superior), la probabilidad de que ocurra un determinado número de sucesos se reduce (aumenta) proporcionalmente. Entonces X es una v.a. que sigue una distribución de POISSON.

22 Distribución de Poisson El sistema de estacionamiento medido impulsado por la municipalidad de Gral. Pueyrredon está 100% informatizado. Esto permitió modelar el número de infracciones mediante un modelo de Poisson con una tasa de cinco infracciones por hora. a) Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro infracciones se expidan durante una hora en particular? Solución: X: número de infracciones en 1 hora. X P, 5

23 Distribución de Poisson El sistema de estacionamiento medido impulsado por la municipalidad de Gral. Pueyrredon está 100% informatizado. Esto permitió modelar el número de infracciones mediante un modelo de Poisson con una tasa de cinco infracciones por hora. a) Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro infracciones se expidan durante una hora en particular? Solución: X: número de infracciones en 1 hora. X P, e.5 P X !

24 Distribución de Poisson El sistema de estacionamiento medido impulsado por la municipalidad de Gral. Pueyrredon está 100% informatizado. Esto permitió modelar el número de infracciones mediante un modelo de Poisson con una tasa de cinco infracciones por hora. a) Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro infracciones se expidan durante una hora en particular? Solución: X: número de infracciones en 1 hora. X P, e.5 P X ! b) Cuál es la probabilidad de que por lo menos cuatro se expidan durante una hora en particular? Solución: X : número de infracciones en 1 hora. X P, 5

25 Distribución de Poisson El sistema de estacionamiento medido impulsado por la municipalidad de Gral. Pueyrredon está 100% informatizado. Esto permitió modelar el número de infracciones mediante un modelo de Poisson con una tasa de cinco infracciones por hora. a) Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro infracciones se expidan durante una hora en particular? Solución: X: número de infracciones en 1 hora. X P, e.5 P X ! b) Cuál es la probabilidad de que por lo menos cuatro se expidan durante una hora en particular? Solución: X : número de infracciones en 1 hora. X P, P X P X P X P X P X e.5 e.5 e.5 e.5 P X ! 1! 2! 3!

26 c) Cuántas infracciones se espera expedir durante un período de 45 minutos? Solución: Y: número de infracciones en 45 minutos EY 3.75 Y P

27 La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución Binomial Sea X una variable aleatoria distribuida binomialmente con parámetros n y p. Esto es: n k nk P X k p 1 p k 0,1, 2,3, 4,, n k Cuando n y p 0 de manera tal que np tenemos que: n k nk P X k p 1 p k k e k!

28 Haciendo coincidir los valores medios de ambas distribuciones. Tenemos: np

29 Conclusión Gráficamente podemos concluir que a medida que n aumentamos y p disminuye, la distribución de Poisson se aproxima a la distribución Binomial.

30 La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución Binomial n ; 0 y np n P X k n k 1 k n n n k k! n k! n n 1 n k 1 n k! 1 1 n n n k n k k k n n 1 n k 1 k 1 1 k! n n n k k 1 k k! n n n n k k n 1 k 1 k e lim n k! n n n n k! n n

31 La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución Binomial El teorema anterior nos dice que podemos aproximar las probabilidades binomiales con las probabilidades de la distribución de Poisson siempre que n sea grande y p pequeño. En la práctica esto es para n mayor o igual que 50, si np es menor o igual que 5.

32 La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución Binomial X ~ B(n,p) El número esperado de éxitos en n pruebas independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia está dada por: E X np X ~ P ( α ) Está caracterizada por un único valor. El cual representa el número promedio de eventos por unidad: E X Veamos que sucede si ajustamos ambas variables aleatorias haciendo coincidir sus valores esperados. Es decir: np

33 Ejemplo de aplicación Una máquina envasadora daña una pieza de cada que envasa. Las piezas envasadas se comercializan en lotes de Cuál es la probabilidad de que un lote tenga a lo sumo 2 elementos defectuosos? Sea X = cantidad de piezas defectuosas X B40000, P X P X P X P X

34 Ejemplo de aplicación Una máquina envasadora daña una pieza de cada que envasa. Las piezas envasadas se comercializan en lotes de Cuál es la probabilidad de que un lote tenga a lo sumo 2 elementos defectuosos? Sea X = cantidad de piezas defectuosas X B40000, P X P X P X P X Aproximación por Poisson. X = cantidad de piezas defectuosas. n p 0 np 4 X P 4 4 e 4 e 4 e P X 2 P X 0 P X 1 P X 2 0! 1! 2!

35 Gráficamente La función solamente está definida en valores enteros de k. La línea continua sólo es una guías para el ojo y no indican continuidad.

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