Demostración Automática. Tema 2. Procesamiento del conocimiento con la Lógica Matemática

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1 Demostración Automática de Teoremas Tema 2. Procesamiento del conocimiento con la Lógica Matemática

2 Temas Introducción Sistemas de axiomas Teoría de la demostración. Sistema de Kleene Deducción natural Cuena, J., Lógica Informática. Tomo 1. Bibliografía

3 Introducción. Lógica Simbólica Lógica Proposicional p: Todos los hombres son mortales q: Sócrates es un hombre r : Sócrates es mortal Lógica de Predicados de primer orden: Dom ={seres vivos} H(x): x es un hombre a: sócrates H(a) M(x): x es mortal x [ hombre(x) mortal(x) ] M (a) Ejercicio propuesto: demostrar la conclusión

4 Sistemas Lógicos Introducción Sistema semántico, teoría interpretativa Sistema axiomático: Teoría de la demostración Teoría de la deducción natural Definición de Deducción de Tautologías P1, P2,..., Pn Q Sistemas Axiomáticos

5 Principales Formas de Presentación de Estructuras Deductivas Presentación de estructuras deductivas correctas Definición de axiomas de estructuras deductivas correctas y reglas para obtener nuevas estructuras Definición de significados o valores a las proposiciones simples y compuestas Método Teoría de la Demostración Deducción Natural Teoría Interpretativa

6 Deducción de Tautologías Es el proceso de obtención de nuevas fórmulas tautológicas a partir de otras aceptadas como tautologías. Proceso: P1, P2,..., Pn Q Axioma: Toda proposición que se asume como tautología sin demostración en el propio sistema.

7 Ejemplo Axioma: 1 es un número natural. Regla de inferencia: Si N es un número natural, entonces N+1 también es un número natural. Demostrar: 4 es un número natural. Proceso deductivo: 1 2 (porque 2=1+1) 1, 2 3 (porque 3=2+1) 1, 2, 3 4 (porque 4=3+1)

8 Sistemas Axiomáticos Sistemas constituidos por un conjunto de axiomas y un conjunto de reglas de inferencias. Axiomas y Reglas de Inferencia Ejemplos: Sistema de Lukasiewics y Church. Sistema de Kleene.

9 Sistema de Kleene. Cálculo Proposicional

10 Elementos del Lenguaje Proposiciones atómicas: enunciados simples o frases declarativas. Conectivas. Negación:, ~ Conjunción: Disyunción: Implicación: Equivalencia material:

11 Sistema Axiomático de Kleene. Axiomas: Ax A (B A) Ax (A B) ((A (B C)) (A C)) Ax A (B (A B)) Ax (A B) A - (A B) B Ax A (A B) - B (A B) Ax (A C) ((B C) ((A B) C)) Ax (A B) ((A B) A) Ax A A

12 Sistema Axiomático de Kleene. Regla de Inferencia: Modus Ponens: - A, - A B - B Ejemplo. Demostrar: - A A - p q q p

13 Sistema de Kleene. Cálculo de Predicados

14 Elementos del lenguaje x, y, z,... - variables que representan a cualquier término. a, b, c,... - constantes que representan a términos concretos. p, q, r,... - predicados. p(t1,..., tn) - predicado de n plazas. Conectivas: (,,,, ). Cuantificadores:, Los cuantificadores generalizar o particularizan la validez de un predicado en el dominio. Las variables ligadas: afectadas por cuantificadores. Las variables libres: no afectadas por cuantificadores.

15 Sistema Axiomático de Kleene. Axiomas: Ax. 1. -A (B A) Ax. 2. -(A B) ((A (B C)) (A C)) Ax. 3. -A (B (A B)) Ax. 4. -(A B) A - (A B) B Ax. 5. -A (A B) - B (A B) Ax. 6. -(A C) ((B C) ((A B) C)) Ax. 7. -(A B) ((A B) A) Ax A A Ax x B(x) B(t) donde t es constante o variable Ax.10. -B(t) x B(x)

16 Sistema Axiomático de Kleene. Reglas de inferencia: Modus Ponens : - A, - A B - B Generalización universal: A(y) x A(x), y cualquier elemento del dominio Generalización existencial: A(y) x A(x), y cualquier elemento del dominio Especificación universal: x A(x) A(y), y cualquier elemento del dominio

17 Demostrar: Ejemplo x [P(x) Q(x) ], x P(x) x Q(x)

18 Deducción Natural

19 Deducción Natural Deducción: proceso de formación de nuevas fórmulas a partir de los axiomas y reglas de inferencia. (Se expresa: P 1, P 2,..., P n Q ) Ejemplo, demostrar: p, q p q 1. p Premisa 2. q Premisa 3. p (q (p q)) Ax.3. A (B (A B)) Haciendo A=p, B=q 4. q (p q) modus ponens entre 1,3 5. p q modus ponens entre 2,4

20 Estrategias Aplicables en Teoría de la Deducción Natural Teorema de la Deducción (TD): P1, P2,..., Pn T R P1, P2,..., Pn, T R Ejemplo. Demostrar: A B, B C A C 1. A Si llueve B Premisa cae agua. A B, 2. BSi cae C agua Premisa me mojo. B C 3. APor tanto, Hipótesis. llueve Por me Teorema mojo. de A la Deducción: C A B, B C, A C 4. B MP entre 3,1 5. C MP entre 2,4 6. A C por la equivalencia del T. Deducción

21 Estrategias Aplicables en Teoría de la Deducción Natural Reducción al Absurdo (Abs): P 1, P 2,..., P n Q P 1, P 2,..., P n, Q R, R Ejemplo. Demostrar: Si pido libro estudio. 1. A B Premisa A B, A B A A B Si pido libro no estudio. A B 2. A B Premisa Por tanto, no pido libro. A 3. A Premisa ( Q) 4. B MP entre 1,3 (R) 5. B MP entre 2,3 ( R) 6. A Contradicción 4 y 5, y por tanto

22 Reglas de Demostración A, A B B Modus Ponens MP A A B Adición Adic A B A Simplificación Simp A, B A B Construcción Const A B A B Definición de DI A B A B Implicación A B A B A B, B C A C Silogismo Sil A B B A Contraposición CP (A B) A B (A B) A B Otras equivalencias de interés: - x A(x) x A(x) - x A(x) x A(x) De Morgan DM A A Doble Negación DN

23 Ejemplo de demostración Todos los perros son mamíferos Todos los mamíferos son rumiantes Luego todos los perros son rumiantes 1. x[p(x) Μ(x)] Premisa 2. x[m(x) R(x)] Premisa 3. P(a) Μ(a) EU a 1 4. M(a) R(a) EU a 2 5. P(a) R(a) Silogismo 3 y 4 6. x[p(x) R(x)] GU a 5

24 Conclusiones Principales Formas de Presentación de Estructuras Deductivas Y su demostración. Deducción de Tautologías Sistemas de axiomas. Teoría de la demostración. Sistema de Kleene Deducción natural. Estrategias Aplicables: Teorema de la Deducción (TD) Y Reducción al Absurdo (Abs). Reglas de Demostración

25 MC1 Ejercicios para Clase Práctica 1. Representar en el Cálculo de Predicados las siguientes frases y proponer en cada caso alguna representación equivalente, apoyándose en las equivalencias de la implicación, contraposición, De Morgan y doble negación: a) Todos los cubanos son amigos de los aficionados al béisbol b) Todos las parejas se aman entre sí c) Todos los estudiantes del grupo ayudan a todos los profesores

26 Diapositiva 25 MC1 revisar ejercicios de la c Mi Casa; 19/11/2010

27 Ejercicios para Clase Práctica (cont.) 2. Aplicando el teorema de la deducción, demostrar: A (B C) B (A C) 3. Formalizar y comprobar las siguientes deducciones: a)todo animal que tiene alas y patas es un ave. Todas las aves vuelan. El águila tiene patas y alas, por tanto, el águila vuela. b)todos los estudiantes son amigos de los futbolistas. Pedro es estudiante. Juan es futbolista. Por tanto, Pedro es amigo de Juan.

28 Ejercicios para Clase Práctica (cont.) d) Solo los alumnos conocen a los profesores. Eva conoce Juan, pero no es alumna. Por tanto, Juan no es profesor. e) Todos los que estudian con María está en el grupo de Pedro. Eva estudia con todos los que juegan con ella. María juega con todos los amigos de José. Eva es amiga de José. Por tanto, Eva esta en el grupo de Pedro.

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