open green road Guía Matemática CUADRILÁTEROS tutora: Jacky Moreno .co
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- Daniel Ortega Villalba
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1 Guía Matemática CUADRILÁTEROS tutora: Jacky Moreno.co
2 1. Polígonos Epistemológicamente, la palabra polígono significa muchos ángulos. Los polígonos son figuras cerradas planas que están formadas por la unión de segmentos rectos que tienen distinta dirección. Al ser figuras cerradas el contorno del polígono delimita dos regiones del plano: el área interior que corresponde al espacio que queda encerrado dentro de las líneas poligonales y el área exterior que queda fuera de estas líneas, tal como lo muestra la figura. Como dijimos, los polígonos se caracterizan por tener múltiples ángulos, en base a la medida que tengan sus ángulos interiores los podemos clasificar en cóncavos o convexos. Polígonos Cóncavos: Corresponden a aquellos polígonos en que algún ángulo interior es mayor que 180. También se pueden identificar como aquellas figuras en las que al trazar un segmento determinado por dos puntos de la región interior del polígono, este segmento posee al menos un punto que está en la región exterior. Polígonos Convexos: Corresponden a aquellos polígonos en que todos sus ángulos interiores son menores que 180. También se pueden identificar como aquellas figuras en las que al trazar un segmento determinado por dos puntos de la región interior de polígono, este segmento tiene todos sus puntos en la región interior. 2
3 De acuerdo al número de lados los polígonos los podemos clasificar como se muestran a continuación: Número de lados Nombre 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octágono u octógono 9 Nonágono o Eneágono 10 Decágono 11 Endecágono 12 Dodecágono 13 Tridecágono 14 Tetradecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono 1.1. Propiedades de los polígonos En todo polígono de n lados se cumplen las siguientes propiedades: La suma de los ángulos interiores es igual a 180 (n 2). La suma de los ángulos exteriores es igual a 360. El número de diagonales que se pueden dibujar desde un vértice es de (n 3). El número total de diagonales que es posible trazar es n (n 3). 2 3
4 Ejercicios 1 Resolver los siguientes ejercicios. 1. Si el número de diagonales que se pueden trazar en un polígono es 14, cuántos lados tiene el polígono? 2. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 1260, cuántos lados tiene el polígono? 3. Cuántas diagonales son posible trazar en un polígono de 12 lados? 4. Si el número de diagonales que se pueden trazar desde el vértice de un polígono son 7, cuánto suman las medidas de los ángulos interiores del polígono? 5. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 720, cuántas diagonales es posible trazar en su interior? 1.2. Polígonos regulares Los polígonos regulares corresponden aquellas figuras que tienen todos sus lados congruentes, como también todos sus ángulos interiores. De lo contrario, se denominan polígonos irregulares Propiedad de los polígonos regulares En todo polígono regular de n lados se cumplen las siguientes propiedades: La medida de cada ángulo interior es de 180 (n 2). n La medida de cada ángulo exterior es de 360 n. Se pueden inscribir y circunscribir una circunferencia. Se pueden dividir en n triángulos congruentes. 4
5 Ejercicios 2 Resolver los siguientes ejercicios. 1. Cuánto mide cada ángulo interior de un tetradecágono regular? 2. Si el ángulo interior de un polígono regular mide 135, cuántos lados tiene el polígono? 3. Si el ángulo exterior de un polígono regular mide 60, cuántas diagonales se pueden trazar en el polígono? 4. Cuánto mide cada ángulo exterior de un pentágono regular? 5. Cuánto miden los ángulos interiores de uno de los 9 triángulos congruentes que se pueden formar en un nonágono regular? 6. Cuál es el polígono regular que tiene el mayor ángulo exterior? Cuánto mide? 2. Cuadriláteros Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados, los cuales se cortan de dos en dos formando una figura geométrica cerrada compuesta por 4 vértices, 4 lados y 4 ángulos (interiores y exteriores), que de acuerdo a su disposición van variando la forma y tamaño que tendrá la figura geométrica. Al igual que con los polígonos podemos encontrar cuadriláteros cóncavos y convexos, de acuerdo a si uno de sus ángulos mide más de 180 o no. En esta guía cuando hablemos de cuadriláteros haremos referencia a cuadrilateros convexos a no ser que se indique lo contrario Propiedades de los cuadriláteros Todo cuadrilátero cumple las siguientes propiedades que se obtienen a partir de las características generales de los polígonos: La suma de los ángulos interiores es igual a 360. La suma de los ángulos exteriores es igual a 360. El número de diagonales que se pueden dibujar desde un vértice es 1. 5
6 El número total de diagonales que es posible trazar dentro del cuadrilátero es 2. La longitud del lado mayor debe ser menor que la suma de las longitudes de los otros tres lados. Ejemplo En el cuadrilátero ABCD de la figura se cumple que α = 3β y γ + δ = 2α. Cuánto miden los ángulos α y β? Solución: Como la figura es un cuadrilátero la suma de los ángulos interiores es 360. Así que: 360 = α + β + γ + δ 360 = 3β + β + 2α 360 = 3β + β + 2(3β) 360 = 10β 36 = β Por otro lado como α = 3β tenemos que el ángulo α mide 108. Ejercicios 3 Resolver los siguientes ejercicios. 1. En el cuadrilátero ABCD de la figura, cuánto mide ABC? 6
7 2. En el cuadrilátero ABCD de la figura se cumple que 2 BAD = ADC y ABC = BCD. 4 Cuánto mide cada ángulo interior del cuadrilátero? 3. En el cuadrilátero ABCD de la figura, cuánto mide el ángulo exterior β? 4. Cuánto miden los ángulos interiores del cuadrilátero formado por la intersección de las rectas L 1, L 2, L 3 y L 4? 2.2. Clasificación de los cuadriláteros Los cuadriláteros se pueden clasificar de acuerdo a las características que tienen sus cuatro lados. En particular, de acuerdo a la relación de paralelismo que existe entre los lados, se pueden clasificar en paralelogramos, trapecios y trapezoides. 7
8 Paralelogramos Son aquellos cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos. Propiedades de los paralelogramos Todo paralelogramo cumple las siguientes propiedades: Los ángulos opuestos son congruentes, es decir, miden lo mismo. Los ángulos consecutivos son suplementarios, es decir, suman 180. Las diagonales siempre se cortan en sus puntos medios, es decir, cada diagonales se divide en dos segmentos iguales. Los lados opuestos son congruentes, es decir, tienen la misma medida. Clasificación de los paralelogramos Los paralelogramos se pueden clasificar de acuerdo a la medida de sus lados y de sus ángulos en las siguientes figuras geométricas: Cuadrado: Paralelogramo que tienen sus cuatro lados de igual medida y todos sus ángulos rectos, es decir, miden 90. Dentro de las características particulares que tienen los cuadrados podemos destacar las siguientes: Las diagonales son congruentes, es decir, tienen la misma medida. Las diagonales son bisectrices de los ángulos interiores. Las diagonales son perpendiculares, es decir, en su intersección se forman ángulos rectos. Al ser un polígono regular, se le puede inscribir y circunscribir una circunferencia. Rectángulo: Paralelogramo que tiene sus lados opuestos iguales y sus lados consecutivos distintos. En cuanto a sus ángulos, todos son rectos por lo que miden 90. 8
9 Dentro de las características particulares que tienen los rectángulos podemos destacar las siguientes: Las diagonales son congruentes, es decir, tienen la misma medida. Se le puede circunscribir en una circunferencia. Rombo: Paralelogramo que tiene sus cuatros lados de igual medida. En cuanto a los ángulos interiores, ninguno mide 90. Dentro de las características particulares que tienen los rombos podemos destacar las siguientes: Las diagonales son bisectrices de los ángulos interiores. Las diagonales son perpendiculares, es decir, en su intersección se forman ángulos rectos. Se le puede inscribir una circunferencia. Romboide: Paralelogramo que tiene sus lados opuestos iguales y sus lados consecutivos diferentes. En cuanto a los ángulos interiores, ninguno mide 90. 9
10 Ejemplo En el rombo ABCD de la figura se cumple que BDA = 2 BCA. Cuánto miden los ángulos interiores y exteriores del rombo? Solución: Sabemos que las diagonales del rombo actúan como bisectrices de los ángulos, es decir, los divide por la mitad. Además al ser el rombo un cuadrilátero sus ángulos opuestos tienen igual medida y la suma de sus ángulos interiores es igual a 360. Sea el BCA = x, entonces tenemos que BCD = BAD = 2x. Además como el BDA = 2 BCA tenemos que ABC = CAD = 4x. A partir de los datos anteriores podemos plantear la siguiente ecuación: 360 = 4x + 4x + 2x + 2x 360 = 12x = x 30 = x Por lo tanto los ángulos interiores del rombo miden 60 y 120 y los ángulos exteriores miden lo mismo. Ejercicios 4 Resolver los siguientes ejercicios. 1. Cuánto mide el suplemento del complemento del EBA del cuadrado ABCD? 10
11 2. En el romboide ABCD de la figura se traza el BG que es bisectriz del ABC. Si EF es paralela a AD y ADC = 124, cuánto mide BHE? 3. En el rectángulo ABCD de la figura se cumple que DA = AE. Si el BDE = 22, cuánto mide el AF B? 4. En el rombo ABCD de la figura se trazan los segmentos BE y DF perpendiculares a los lados DC y AB respectivamente. Si el BCD mide 50, cuánto mide el CGB 5. En la figura, el cuadrado EF GD intersecta su lado EF con el cuadrado ABCD en el punto A. Si el DAE = 40, cuánto mide el GOD? 11
12 6. En la figura, el cuadrilátero ABCD es rectángulo y el triángulo EBF es equilátero. Cuánto mide el BGF si ADB = 60? Trapecios Son aquellos cuadriláteros que tienen un par de lados opuestos paralelos. A estos lados se les denomina base y de acuerdo a la medida que tengan se les puede denominar base mayor o base menor. La característica que destaca en estas figuras, es que la suma de los ángulos colaterales internos entre las bases son suplementarios: α + δ = 180 β + γ = 180 Clasificación de los trapecios Los trapecios se pueden clasificar de acuerdo a la medida de sus lados y de sus ángulos en las siguientes figuras geométricas: Trapecio isósceles: Corresponde al trapecio que tienen sus lados no paralelos de igual medida. Además los ángulos que forman los lados no paralelos con la base mayor son congruentes. 12
13 Dentro de las características particulares que tienen los trapecios isósceles podemos destacar las siguientes: Las diagonales son congruentes, es decir, tienen la misma medida. Los ángulos basales son congruentes. Los ángulos opuestos son suplementarios. Trapecio rectángulo: Corresponde al trapecio que tiene uno de sus lados no paralelos perpendiculares a las bases. Trapecio escaleno: Corresponde al trapecio que tienen sus lados no paralelos de distinta medida Trapezoides Son aquellos cuadriláteros en que no existe ningún lado paralelo a otro. 13
14 Clasificación de los trapezoides Los trapezoides de acuerdo a la medida de sus lados se pueden clasificar en las siguientes figuras geométricas: Trapezoide asimétrico: Trapezoide que tienen todos sus lados de distinta medida. Trapezoide simétrico o deltoide: Trapezoide que tienen dos pares de lados congruentes entre sí. Dentro de las características particulares que tienen los deltoides podemos destacar las siguientes: Las diagonales son perpendiculares, es decir, en su intersección forman ángulos rectos. Una diagonal es bisectriz. La diagonal que es bisectriz, divide a la otra diagonal en dos segmentos congruentes. Ejemplo En el trapecio isósceles ABCD de la figura se cumple que DAB = x+45 y BCD = 3x+15. Cuánto mide el ángulo α? 14
15 Solución: Como es un trapecio isósceles tenemos que los ángulos opuestos son suplementarios: 180 = DAB + BCD 180 = x x = 4x = 4x 30 = x Y al ser un trapecio isósceles los ángulos basales son congruentes, por lo tanto DAB = α = ( ) = 75. Ejercicios 5 Resolver los siguientes ejercicios. 1. En el deltoide ABCD el DAB = 98 y ABC = 30. Cuánto mide el DCA? 2. En el trapecio ABCD de la figura el ABC = 54. Cuánto miden los otros ángulos interiores del trapecio? 3. En el trapecio isósceles ABCD de la figura se tiene que el ABC = 73. Cuánto mide el ADC? 15
16 4. En el deltoide, ABCD el BDA = 16 y el DCB = 104. Cuánto mide el DBA? 5. En el trapecio ABCD de la figura se tiene que DBC = 36 y el DCB = 100. Cuánto mide DBA? 6. En el trapecio ABCD de la figura se cumple que AD = DC = CB. Si DAB = 50, cuánto mide BDC? 7. En el trapecio ABCD de la figura, los segmentos DE y EC son bisectrices de ADC y BDC respectivamente. Si BAD = 75 y ABC = 37, cuánto mide CED? 16
17 Bibliografía [1 ] Manual de preparación PSU Matemática, Quinta Edición, Oscar Tapía Rojas, Miguel Ormazábal Díaz-Muñoz, David López, Jorge Olivares Sepúlveda. [3 ] Desarrollo del pensamiento matemático, Cuadriláteros y otros polígonos, No 14, Abril 2006, Martín Andonegui Zabala. 17
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