Ejercicio 44 Calcula el volumen limitado por la superficie z = 1+2x+3y y los cuatro lados verticales del rectángulo D = [1, 2] [0, 1]. (x + y)dxdy.

Transcripción

1 BLOQUE II Itegració múltiple Ejercicio 44 Calcula el volume limitado por la superficie z = x3y y los cuatro lados verticales del rectágulo = [, ] [0, ]. Ejercicio 45 Sea = {(x, y) R : 0 x, x y x }. Calcular (x y)dxdy. Ejercicio 46 Sea el triágulo de vértices (0, 0), (π, 0) y (π, π). Calcula x cos(x y)dxdy. Ejercicio 47 Hallar el volume del sólido limitado superiormete por la superficie de ecuació z = x 3 y e iferiormete por el triágulo de vértices (0, 0), (, 0) y (0, ). Ejercicio 48 Hallar el volume del tetraedro limitado por los plaos coordeados y el plao x y z =. Ejercicio 49 Sea la regió limitada por la parábola y = 4x x, la recta y 3x = 6. Calcula x dxdy. Ejercicio 50 Sea la parte del itervalo [, ] [, 4] compredida etre las rectas y = x e y = x. Calcular (x y) dxdy. Ejercicio 5 Sea la regió compredida etre las parábolas y = x e y = 8 x. Calcular (4 y )dxdy. Ejercicio 5 Sea la regió acotada por el eje Y y la parábola x = 4y 3. Calcular x 3 ydxdy. Ejercicio 53 Sea la regió el primer cuadrate compredida etre las circuferecias x y = a y x y = b co 0 < a < b. Calcular log(x y )dxdy. BLOQUE II Itegració múltiple 8

2 Ejercicio 54 Sea = {(x, y) R : x y x}, calcula xdxdy. Ejercicio 55 Hallar el volume del sólido limitado superiormete por el coo z = x y e iferiormete por la regió x y x. Ejercicio 56 Sea la regió de R 3 defiida por las desigualdades x y z, x 0, y 0, z 0. Calcular xzdxdydz. Ejercicio 57 Sea la regió limitada por la esfera uidad. Calcular (x y z )dxdydz mediate cambio a coordeadas esféricas. Ejercicio 58 Calcular el volume del sólido compredido etre el cilidro parabólico z = 9 x, los plaos y = 3x 9, y = x y situado e la regió x 0 y z 0. Ejercicio 59 Calcular el volume del sólido limitado por el cilidro x y = 9 y el plao x z = 4, siedo z 0. Ejercicio 60 Halla el volume de la regió limitada por los plaos z = 0, x y z 6 = 0 y lateralmete por la superficie cilídrica de ecuació (x ) (y ) =. Ejercicio 6 Calcular el volume del recito limitado por x y z = 4 y x y = 3z. Ejercicio 6 Ecotrar la relació etre el volume ecerrado por el paraboloide x y = az y el cilidro x y = a cuado 0 z a. Ejercicio 63 Comprueba que los tres sólidos limitados por las siguietes superficies ecierra el mismo volume:. x y = z co 0 z.. x y = (z ) co 0 z. 3. x y = (z ) co z. Ejercicio 64 Sea el sólido compredido por los plaos z = y y z = 0 y el cilidro parabólico y = x. Calcular ydxdydz BLOQUE II Itegració múltiple 9

3 Ejercicio 65 Sea el sólido del primer octate limitado por el cilidro parabólico z = x y los plaos y = x, z = 0 e y = 0. Resolver xyzdxdydz. Ejercicio 66 Calcular el volume del sólido del primer octate limitado por los plaos coordeados y el plao 3x 6y 4z =. Ejercicio 67 Calcular el volume limitado por la superficie z = y y los plaos de ecuacioes x y = y z = 0. Ejercicio 68 Calcular el volume limitado por la superficie y = x y los plaos y z = 4, x = 0 y z = 0. Ejercicio 69 Calcular el volume de la cuña del primer octate que resulta del corte del cilidro y z = co los plaos y = x y x = 0. Ejercicio 70 Hallar el volume del sólido comú a los cilidros x y = y x z =. Ejercicio 7 Hallar el volume del sólido del primer octate limitado por el paraboloide z = 4x y y el cilidro parabólico z = 4 3y. Ejercicio 7 Hallar el volume limitado por los dos paraboloides de ecuacioes z = 8 x y y z = 3x y. Ejercicio 73 Hallar el volume del sólido compredido etre la esfera x y z = a y el paraboloide x y = az para a > 0. BLOQUE II Itegració múltiple 0

4 Gráficas de superficies de alguos de los ejercicios propuestos. Superficie del Ejercicio 44 Superficie del Ejercicio 47 Superficie del Ejercicio 48 Superficie del Ejercicio 58 Superficie del Ejercicio 65 Superficie del Ejercicio 67 Superficie del Ejercicio 68 Superficie del Ejercicio 7 Superficie del Ejercicio 69 Superficie del Ejercicio 73 BLOQUE II Itegració múltiple

5 BLOQUE III Series uméricas Ejercicio 74 Estudiar el carácter de las siguietes series por el método que se idica. () (3) (5) (7) (0) (3) ( )3 () log Comparació Criterio itegral (log ) p p > (4) log (log(log ))) p p > Criterio de codesació log (6) (8) se (a) () ( ) (4) α (log ) β Criterio del cociete Criterio de la raíz (9) () () 4 ()! Criterio de Raabe Ejercicio 75 Estudiar el carácter de las siguietes series por el método adecuado. (6) (9) () (5) (8) (3) (34) (37) (40) (7) 5 (0) log e ( ) log ( ) (3) (6) (9) (log ) (3) ( ) (35) ( ) (38) 3 5 ( ) ( ) 5 (3 ) (4) 3 5 ( ) ( ) (5) log log [( (8) () e (4) p p co p > 0 (7) cos 4 (x) (30) (log ) log log (33) ( ) ( ) ( )! ( )( ) ( ) (36) (39) ) ( )] ( ) log ( ) se 3 (log ) log 4 (3 ) 5 (3 ) ( ) log ( ) 00 ( ) ( ) BLOQUE III Series uméricas

6 Ejercicio 76 Sumar las siguietes series. (4) (45) (48) (5) (54) (57) (60) ( )( 3) (43) cos ( π ) (46) a(a ) (a ) (49) ( )! (5) ( 3) (55) ( ) 0 (58) ( )( ) (6) 7 (44) 4 (47) 3 (50) 3 5 (53) 3 (63) (56) 4 3 (59) e (6) Ejercicio 77 Estudia el carácter de las dos series alteradas ( ) 3 ( ) ( ) 3 log (( ) ) ( ) log log( ) 3 3 ( )( )( 3)( 4) 6 3 ( )( )( 3) ( ) y ( ) ( ). Ejercicio 78 etermia la covergecia absoluta y codicioal de las series x Ejercicio 79 Estudiar el carácter de la serie Ejercicio 80 Estudiar el carácter de la serie log. log 3. y ( ) ( ) x. x Ejercicio 8 Estudiar la covergecia absoluta de la serie ( ) ( α () Ejercicio 8 Calcular la suma de la serie cos π. Ejercicio 83 Estudiar segú los valores de a el carácter de las series: ). BLOQUE III Series uméricas 3

7 ( ) a y a a. Ejercicio 84 Cosidera la serie (k )(k ) = = ( ). ( Por u lado ( ) = ) ( 3 3 ) ( 4 4 )... = 5 ( por otro ( ) = 5 ) ( ) ( ) ( )... =. 3 Cometa. Ejercicio 85 Estudiar la covergecia de las siguietes series (a) se π 3 (b) ( ) log. Ejercicio 86 Utiliza el criterio de Abel para probar la covergecia de las siguietes series (a) ( ) ( ) (b) ( ). Ejercicio 87 Utiliza los criterios de Abel o irichlet para probar la covergecia de las series.. 3. / /3 /4 /5 / ( ) ( ) se π ( cos π ) BLOQUE III Series uméricas 4

8 BLOQUE IV Series de potecias Ejercicio 88 Estudiar el campo de covergecia de cada ua de la siguietes series de potecias. () (4) (7) (0) (3) p x p () (x a) (5) x (8) (x π) 3 p () (log( )) k x N (4) ( ) ( )! x (3) x (6) x (9) 5 3 (x e)3 () x () p p > 0 (x ) (3 ) x 4 () ()! x ( ) log x (5) e x Ejercicio 89 Calcular el poliomio de Mac-Lauri de grado de cada ua de las siguietes fucioes. () f(x) = a x para a > () f(x) = sex (3) f(x) = cos x (4) f(x) = shx (5) f(x) = chx (6) f(x) = log(x ) Ejercicio 90 Calcular los radios de covergecia de los desarrollos de Mac-Lauri ( ifiitos ) de las fucioes del ejercicio aterior. Ejercicio 9 Calcular el desarrollo de Taylor e el cero de la biomial Obteer el radio de covergecia. ( x) p para p R. Ejercicio 9 Calcular el desarrollo de Mac-Lauri de la fució f(x) = arctgx y calcular el radio de covergecia de la serie. Ejercicio 93 emostrar que si x < etoces arcsex = x 3 ( ) 4 () Ejercicio 94 Calcular el desarrollo e serie de potecias e el orige de la fució y obteer el radio de covergecia. Ejercicio 95 Cosideramos la serie f(x) = log x x x. BLOQUE IV Series de potecias 5

9 ( ) x 3 ( )( 3) Hallar el itervalo de covergecia, estudiar la covergecia e la frotera y obteer su suma. Ejercicio 96 Cosidérese la fució y = 3x x 5x 6 Hallar la derivada -ésima y estudiar el desarrollo de Taylor alrededor del cero co resto itegral. Ejercicio 97 Basádose e la serie geométrica, demostrar ( )x = para x <. ( x) Ejercicio 98 Sea a, b, c R. etermiar el radio de covergecia y la covergecia absoluta e la frotera del itervalo de covergecia de la serie ab a(a ) (a )b(b ) (b ) x... x...!c c(c ) (c ) Ejercicio 99 etermiar el radio de covergecia, estudiar la covergecia e la frotera y calcular la suma de la serie ( ) ( ) x. Ejercicio 00 Calcular el valor de los siguietes límites de fucioes reales cos(ax). lim x( x)tg(bx). lim a x x 3. lim xarctg x cos x(se(x)) 4. lim (a x ) log( x ) [( x ) m ]arcsex x x argsh 5. lim log( x) 6. lim x x a argsh(x ) tg x se x 7. lim log x x 8. lim se x x x se x 9. lim cos( cos x) x 4 0. lim sex x cos x x( cos x) BLOQUE IV Series de potecias 6