6. Sea X una v.a. con distribución N(0,1). Calcular p(x=0)

Transcripción

1 1. La rueda de una ruleta se divide en 25 sectores de igual área que se enumeran del 1 al 25. Encuentra una fórmula para la distribución de probabilidades de la v.a. X que representa el número obtenido al girar la ruleta. 2. Un estudioso de las mariposas está interesado en el estudio de una clase de mariposa que constituye el 15% de todas las mariposas de una zona. Hallar la probabilidad de que tenga que cazar 10 mariposas de las que no le interesan antes de encontrar: a) Un ejemplar de la clase deseada. b) Tres ejemplares de la clase deseada. 3. El periodo de vida en años de un interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con λ=2. Si 10 de estos ejemplares se instalan en sistemas iguales, cuál es la probabilidad de que al menos 3 fallen el primer año? 4. El 70% de los alumnos que desean estudiar una carrera en Valladolid eligen una carrera de Ciencias y el resto una de Letras. a) Cuál es la probabilidad de que el 15º alumno que se matricula este curso sea el 3º que va a una carrera de Letras? b) Si ya se han matriculado 50 alumnos, cuántos se espera que lo hayan hecho en una carrera de Ciencias? 5. Las piezas fabricadas por cierta máquina se clasifican en dos categorías distintas: Sin defecto y con defecto. En una caja de 40 piezas se han embalado 15 con defecto. Si extraemos 5 piezas distintas de la caja. a) Cuál es la probabilidad de que ninguna tenga defecto? b) Cuál es la probabilidad de que exactamente una tenga defecto? c) Si se observa una de las 5 piezas y tiene defecto, cuál es la probabilidad de que ninguna de las 4 piezas restantes lo tenga? d) Cuál es el número esperado de piezas defectuosas en una muestra de 5 piezas seleccionadas de esa forma de la caja? e) Si la proporción de cajas que contienen alguna defectuosa es del 10%, cuál es el número esperado de cajas que habrá que inspeccionar para encontrar la primera con defecto? 6. Sea X una v.a. con distribución N(0,1). Calcular p(x=0) 7. A menudo el número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador se modela como una variable aleatoria de Poisson. Suponer que, en promedio, se reciben 10 llamadas por hora. a) Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en una hora? b) Cuál es la probabilidad de que se reciban tres o menos llamadas en una hora? c) Cuál es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas? d) Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 5 llamadas en 30 minutos? 8. Supongamos que el número de defectos de una cinta magnética sigue una distribución de Poisson con una media de 0.2 defectos por metro de cinta. Sea D la distancia entre dos defectos consecutivos. a) Cuál es la distancia media entre dos defectos consecutivos?

2 b) Calcular la probabilidad de que el primer defecto se produzca en los 10 metros iniciales de la cinta c) Sabiendo que en los veinte primeros metros de la cinta no hay ningún defecto, cuál es la probabilidad de que el primer defecto se produzca en los siguiente 10 metros? d) Cuál es la probabilidad de que existan 8 defectos en 50 metros consecutivos de cinta magnética? e) Cuántos metros de cinta es necesario revisar para que la probabilidad de encontrar al menos un defecto sea del 90%?ç 9. Una máquina de llenado automático deposita en cada envase un determinado componente líquido. Se sabe que el volumen depositado sigue una distribución normal con media µ=12.4 ml y desviación σ=0.3 ml de líquido. a) Se desechan todos los envases que tienen menos de 11.9 ml o más de 12.8 ml del citado componente. 1. Cuál es la proporción de envases desechados? 2. Cuál es la probabilidad de tener que desechar a lo sumo 2 envases cuando se han llenado 20? b) Qué contenido del componente no es superado por el 90% de los envases? c) Si se dispone de 309 ml. Del componente líquido, cuál es la probabilidad de que se puedan llenar 25 envases? 10. El tiempo transcurrido para completar un proceso de prueba de una componente electrónico sigue una distribución normal con media 2.4 horas. Se ha observado que el tiempo de prueba es menor que 2.84 horas en el 67% de las pruebas. a) Calcular el valor de la varianza del tiempo necesario para completar un proceso de prueba. b) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de esta prueba sea superior a 2 horas? c) El número de pruebas que se realizan en un día depende de diversas circunstancias, y tiene una distribución de Poisson de media 12.5 Cuál es la probabilidad de que se hayan realizado más de 2250 pruebas en un periodo total de 200 días? Considerar que el número de pruebas que se realizan un día es independiente del número de pruebas que se realiza cualquier otro día. d) Calcular la probabilidad de que entre las 7:30 h y las 12:30 h de un día concreto, se hayan realizado más de tres pruebas. 11. El tiempo T transcurrido hasta el fallo de una determinada lavadora se supone que se distribuye exponencialmente con media de 3 años. Una compañía ofrece un seguro para esta lavadora para los próximos 5 años de uso. a) En qué porcentaje de casos tendrá que pagar reclamaciones? b) Hallar los cuartiles de T y los límites LI y LS para la distribución de la variable. c) Qué porcentaje de valores atípicos presenta esta variable y dónde están localizados? 12. Los alambres que se utilizan en cierta computadora deben de tener una resistencia entre 0.12 y 0.14 ohmios. Las resistencias reales de estos alambres producidos por una compañía A tienen una distribución de probabilidad normal con una media de 0.13 ohmios y una desviación estándar de ohmios a) Cuál es la probabilidad de que un alambre seleccionado al azar de la producción de la compañía A satisfaga las especificaciones? b) Si se utilizan 4 de estos alambres en el sistema, cuál es la probabilidad de que los 4 satisfagan las especificaciones?

3 c) En este contexto, enuncia y resuelve una pregunta que requiera modelizar utilizando una variable aleatoria con distribución binomial negativa. 13. A) La longitud de un estuche para una cinta magnética moldeado por inyección tiene una distribución normal. Cuál debe ser el valor de la media para que el mayor número de estuches tenga una longitud entre y B) Considera que el proceso se ajusta de modo que la media y la desviación estándar queden en 90 y 0.1 milímetros, respectivamente. Supón que se mide la longitud de 10 estuches y que las medidas son independientes. 1. Cuál es la probabilidad de que la longitud de al menos 8 estuches esté entre y Cuál es el número esperado de los 10 estuches cuya longitud esté entre y Qué probabilidad hay de que la suma de las longitudes de los 10 estuches sea superior a La duración de un proceso industrial sigue una distribución normal. El 60% de las veces dura más de 40 minutos y el 55% de las veces dura menos de 50 minutos. Hallar µ y σ. 15. Una fábrica produce bombillas cuya duración sigue una distribución exponencial de media 85 horas. Se toman 25 bombillas al azar de su producción, cuál es la probabilidad de que al menos 10 de ellas duren al menos 77 horas? 16. El error que se comete al truncar un número al entero correspondiente se puede modelizar como una variable aleatoria X con distribución uniforme en el intervalo [0,1), es decir X U[0,1) a) Cuál es la media de X? Calcular su varianza. b) Se suman 100 números obtenidos de forma independiente. Si cada número ha sido truncado antes de ser sumado, qué distribución, exacta o aproximada, utilizarías para modelizar el error cometido al calcular la suma? Razona la respuesta y proporciona tanto el modelo como los parámetros. 17. La duración en minutos de las cintas de vídeo de cierta marca sigue una distribución en minutos N(240,10). a) Elegimos al azar dos cintas. Cuál es la probabilidad de que la duración total sea inferior a 490 minutos? b) Elegimos 100 cintas al azar y de forma independiente unas de otras. Cuál es la probabilidad de que más de 80 tengan una duración inferior a 250 minutos? 18. Una editorial tiene contratados a varios correctores de pruebas. Un tercio de ellos son considerados excelentes y el resto normales. El número de erratas detectadas por cada corrector sigue una distribución de Poisson. Un corrector excelente detecta una media de 3.2 erratas por hora de trabajo y uno normal una media de 2. a) Hallar la probabilidad de que un corrector elegido al azar encuentre 12 erratas al trabajar 5 horas seguidas.

4 b) Sea X E la variable aleatoria número de erratas encontradas en una hora por un corrector excelente. Calcular su mediana. c) Sea T E la variable aleatoria tiempo (en horas) que un corrector excelente tarda en detectar una errata. Calcular su mediana. d) Si la empresa tiene 30 correctores, cuál es la probabilidad de que en una hora detecten entre todos más de 75 erratas? 19. Un hombre con 50 llaves pretende abrir la puerta de su casa, para lo cual prueba las llaves al azar. Obtener el número medio de pruebas necesarias antes de conseguir abrir la puerta, y la varianza de ese número de pruebas, en cada uno de los casos siguientes: a) Si las llaves erróneas no se eliminan. b) Si las llaves erróneas se eliminan. NOTA: Necesitaréis los siguientes resultados: = y = 20. Cierto individuo valora como factor decisivo para la compra de un coche el consumo de gasolina. Debe decidir entre dos modelos A y B. El fabricante del modelo A afirma que el consumo sigue una distribución normal con media µ=8 y desviación típica σ=5 (en litros cada 100 kilómetros), mientras que el del modelo B dice que el consumo sigue una distribución N(8,3). a) Hallar la probabilidad de que el modelo A consuma más de 9 litros y la probabilidad de que el modelo B consuma entre 7 y 8.5 litros. b) Si decide comprar el modelo B, calcular la probabilidad de que ahorre más de 2 litros/100 kms 21. A) La cantidad (en mg) de un determinado contaminante que un coche de pequeña cilindrada expele a la atmósfera cada 100 kms en una variable aleatoria X con distribución normal de media µ=20 mg y desviación σ=3 mgs. Si 10 coches de esta tipo (que admitiremos que actúan independientemente) recorren 100 kms cada uno, calcular la probabilidad de que la cantidad total de contaminante haya sido superior a 190 mgs B) Cuál es la probabilidad de que al menos 6 coches de cada 8 observados de pequeña cilindrada emitan una cantidad de contaminante inferior a 21 mgs? C) En el caso de coches de cilindrada media, la cantidad de contaminante arrojada a la atmósfera cada 100 kms es una variable aleatoria Y con distribución normal y desviación desconocidos. Si sabemos que el 80% de los coches de este tipo expelen más de 25 mg y el 60% menos de 30 mg (siempre cada 100 kms), cuánto valen la media y la varianza? 22. Sean X 1, X 2,,X 10, Y 1,Y 2, Y 10 variables aleatorias independientes tales que las diez primeras siguen una distribución N(0,2) y las diez últimas una N(1,3). Consideremos las variables aleatorias: = e = a) Calcular p ( < ) b) Calcular z para que p ( <z )=0.95

5 23. Un distribuidor de fresas las comercializa en cajas en las que figura peso aproximado 2 kgs. Ahora bien, el peso de dichas cajas se modeliza mediante una v.a. X, con distribución normal de media µ=2.1 kgs y desviación típica σ=0.1 kgs a) Cuál es el porcentaje de cajas que pesará más de 2 kgs.? b) Cuál es la probabilidad de que una caja de fresas pese menos de 2.15 kgs? c) Cuál es la probabilidad de que tomada un caja al azar, pese exactamente 2.3 kgs? d) Cuál es la probabilidad de que al menos 6 cajas de cada 10 controladas pesen menos de 2.15 kgs? e) Cuál es la probabilidad de tener que comprobar 7 cajas para encontrar la tercera que pesa menos de 2.15 kgs? f) Si un comprador adquiere 10 de estas cajas, calcular la probabilidad de que el peso total de las fresas que ha adquirido haya sido superior a 20 kg. g) El número de pedidos de estas cajas de fresas que se reciben por teléfono en las 12 horas de trabajo de un día se modeliza mediante una distribución de Poisson de media Cuál es la probabilidad de recibir 50 pedidos o más en un turno de 6 horas? 2. Hace 5 minutos se ha recibido un pedido, cuál es la probabilidad de no recibir ningún pedido en la próxima hora? 24. El número de petroleros, X, que llega a una refinería en un día determinado sigue una distribución de Poisson de parámetro λ=2.5. Las condiciones del puerto y del servicio permiten atender hasta 3 petroleros en un día. Los petroleros en exceso son derivados a otros puertos. a) Cuál es la probabilidad en un día concreto de que todos los petroleros sean atendidos? b) Qué facilidades de servicio debería proporcionar la refinería (es decir, a cuántos petroleros debería atender) para que todos los petroleros que llegan sea atendidos el 90% de los días? c) Cuál es el número esperado de petroleros por día? d) Cuál es el número más probable de petroleros por día? e) Si Y es la variable número de petroleros atendidos en un día, obtener su función de probabilidades. f) Cuál es el número esperado de petroleros atendidos por día? g) Y el de petroleros rechazados? h) Cuál es el tiempo entre llegadas de petroleros? i) Cuál es la probabilidad de que lleguen dos petroleros en un mismo turno de 6 horas? Di que distribución has usado y el valor de la probabilidad. 25. Un colegio está preparando la fiesta de graduación de sus 500 alumnos. Se espera, por lo ocurrido en otras ocasiones, que el 50% de los estudiantes vengan acompañados de sus padres, el 30% solo por uno de ellos y el 20% restante vengan solos. Cuántos asientos hay que disponer para los padres si queremos, que con una probabilidad superior a 0.95, todos ellos se sienten?