PRINCIPIO DE MINIMA ENERGIA POTENCIAL COMPLEMENTARIA. Principio de Mínima Energía Potencial Complementaria

Transcripción

1 Apéndce A Prncpo de Mínma Energía Potenca Compementara A- ntroduccón epresón: Se defne como energía potenca compementara * para sstemas eástcos a a * W * R U (Ec A) *: Es una funcón cuyas varabes son fuerzas (o tensones) W *: Es a energía de deformacón compementara funcón de fuerzas (o tensones) U : Son despazamentos conocdos y R son fuerzas desconocdas apcadas en os puntos cuyo despazamento es conocdo EPC A contnuacón se anaza e sgnfcado de cada uno de os térmnos que conforman a Recuérdese que un sstema se dce eástco s a curva de descarga concde con a curva de carga (Fgura A) de modo que a retrar a carga no quedan deformacones permanentes n se ha dspado energía _ PRATO, MASSA --

2 Fgura A Certos materaes que se comportan como eástcos para pequeñas veocdades de carga pueden comportarse como eástcos pero vscosos, es decr que para varacones reatvamente rápdas de a carga ehben un cco de hstéress La energía de deformacón compementara corresponde a área de a regón sombreada de a Fgura A La denomnacón de energía compementara resuta obva por ser e compemento respecto de a energía nterna de deformacón, cuya suma es gua a área de rectánguo P e W * W Fgura A Aunque e prncpo de mínma energía potenca compementara (PMEPC) que se enunca a contnuacón es vádo para sstemas eástcos en genera (neaes o no neaes) en e presente conteto se utzará úncamente en sstemas neamente eástcos Para sstemas neaes W * es numércamente gua a W pero e astersco ndca que W * está en funcón de fuerzas o soctacones, y no en funcón de os despazamentos o deformacones como es e caso de W _ PRATO, MASSA --

3 W * W A segundo térmno, R U Fgura A3, no se e asgna sgnfcado físco específco, aunque por su epresón representa un trabajo mecánco ; en readad, para cargas estátcas, es decr cargas apcadas en forma progresva a medda que se producen as deformacones, estos térmnos representan e dobe (con sgno cambado) de trabajo reazado por as fuerzas desconocdas R apcadas en os puntos de despazamento conocdo U Las fuerzas desconocdas (a pror) R son normamente denomnadas reaccones de apoyo Recuérdese que se defne como apoyos a os puntos cuyo despazamento se conoce (en a mayoría de os casos os despazamentos conocdos son nuos por o que a sumatora tene habtuamente pocos térmnos o ben nnguno) E producto R U tene sgno postvo s e despazamento prefjado U tene e msmo sentdo que a ncógnta, en caso contraro tene sgno menos Todo esto es ndependente de sgno menos en a epresón (Ec A) Como ejempo consdérese a vga de a Fgura A4 cargada unformemente R R Fgura A4 _ PRATO, MASSA -3-

4 Momento fector en una seccón genérca q M ( ) R q M ( ) R R (Ec A) corte) es: La energía de deformacón por feón (desprecamos a energía de deformacón por M W W * d (Ec A3) E Por ser nuos os despazamentos en todos os apoyos, se tene que: * W * (Ec A4) Según a (Ec A) e momento fector M es una funcón nea en as varabes R, R La epresón (Ec A3) ustra que a energía de deformacón compementara es una funcón cuadrátca en as varabes R, R Debe reconocerse que as varabes de a funcón W * y consecuentemente * según (Ec A4), son R, R, mentras que es una varabe auar para reazar a ntegracón en (Ec A3) S en un tramo además de a carga dstrbuda "q" hay una carga concentrada P, para cacuar a energía nterna (o a compementara) de ambas cargas es necesaro en prmer térmno cacuar e momento fector tota: M P q M M, P q R R Fgura A5 Está caro entonces que: M M, P M q P q (Ec A5) _ PRATO, MASSA -4-

5 O sea que para cacuar a energía nterna tota de P y de q hay que cacuar prmero e momento fector tota M() y uego evauar a ntegra de a (Ec A3): q M ( ) R q M ( ) R P a q M ( ) R P a R a (Ec A6) La ntegra de a (Ec A3) se evaúa sobre tres ntervaos de a varabe S se tene una vga como en a Fgura A6 con un apoyo eástco y un despazamento prefjado, se debe consderar a resorte como parte de sstema eástco agregando a energía correspondente: R R Fgura A6 M R d (Ec A7) E K W * Luego a energía potenca compementara es: M R d R E K * (Ec A8) Esta epresón pone nuevamente en evdenca que * es una funcón cuadrátca en as varabes R y R _ PRATO, MASSA -5-

6 A- Enuncado de Prncpo de Mínma Energía Potenca Compementara En e ejempo que ustra a Fgura A7 cuaquer par de vaores para as fuerzas R y R satsface equbro ya que e empotramento en e nudo 3 producrá sempre as reaccones necesaras para ograr e equbro R R Fgura A7 Las reaccones de apoyo en e empotramento resutan funcones de R y R, y se cacuan a través de as ecuacones de equbro de a estátca (suma de fuerzas y suma de momentos guaes a cero) De entre todos os pares de fuerzas R y R que satsfacen equbro este uno sóo que además cumpe con as condcones de compatbdad La condcón necesara y sufcente para que un sstema de fuerzas en equbro cumpa compatbdad está dada por e prncpo de mínma energía potenca compementara PMEPC De entre todos os sstemas de fuerzas en equbro aque que hace mínmo a * es e únco que cumpe as condcones de compatbdad Equbro * mínmo COMPATLDAD Es fundamenta reconocer que e sstema de fuerzas debe estar en equbro para que * mínmo mpque compatbdad En genera * debe ser epresado úncamente en funcón de as ncógntas hperestátcas hperestatcdad X y por o tanto, e número de ncógntas es gua a grado de Adoptando un sstema sostátco sobre e que actúen además de as cargas eterores, as ncógntas o fuerzas hperestátcas, se puede asegurar que e sstema cumpe equbro En efecto, bastará determnar as reaccones de apoyo de sostátco _ PRATO, MASSA -6-

7 panteando ecuacones de equbro estátco Dchas reaccones no consttuyen nuevas varabes de probema ya que pueden epresarse en funcón de as ncógntas hperestátcas S se consderan más ncógntas ndependentes que as estrctamente necesaras a condcón de mínmo puede ograrse sn respetar e equbro y e resutado no tene sentdo En genera * presenta térmnos cuadrátcos en as varabes X provenentes de W * y térmnos neaes provenentes de R U Las condcones para que a funcón * pase por un mínmo son: * X ; * X ; ; * X n (Ec A9) La (Ec A9) es por o tanto un sstema de ecuacones neaes que permte determnar os vaores de as fuerzas ncógntas X Vovendo a ejempo de a vga de a Fgura A7 y recordando que este equbro para cuaquer par de fuerzas R, R se puede representar * como funcón de as varabes R y R * Tene a forma de un paraboode de eje vertca * R R R, R R Fgura A8 E vaor mínmo de *, vae decr *, no tene nngún sgnfcado físco n utdad práctca específca, razón por a cua normamente que es necesaro cacuar su vaor numérco Lo que reamente nteresa es e punto para e cua se produce e mínmo R, R, ya que corresponde a vaor de as fuerzas que cumpen as condcones compatbdad (además de as de equbro) R _ PRATO, MASSA -7-

8 E Prncpo de Mínma Energía Potenca Compementara (PMEPC) tene un campo de apcacón más ampo en a teoría de as estructuras que a que se anaza en e presente curso, sendo apcabe a sstemas sostátcos e hperestátcos en genera Tambén se pueden cacuar tensones,,etc en funcón de os esfuerzos M, M, etc En e presente conteto se apcará e PMEPC ecusvamente a a resoucón de probemas hperestátcos en estructuras de barras A3- Método de as Fuerzas como apcacón de PMEPC t Vovendo sobre a vga de a Fgura A4 se demostrará que as ecuacones de sstema (Ec A9) son eactamente as ecuacones de compatbdad de método de as fuerzas s se egen como ncógntas hperestátcas a as reaccones de apoyo X y X como: Fgura A9 Se podemos epresar e momento fector en cuaquer seccón de sstema hperestátco Donde: fundamenta M M X M X M (Ec A) M : Es e momento causado por as fuerzas eterores en a estructura sostátca M : Es e momento fector causado por una fuerza untara coocada en e punto de apcacón de a ncógnta hperestátca X M : Es e momento fector causado por una fuerza untara coocada en e punto de apcacón de a ncógnta X X X La prmera ecuacón de (Ec A9) es: * X Según (Ec A3) y (Ec A4) se tene: (Ec A) _ PRATO, MASSA -8-

9 * W * M d X X X (Ec A) E ntroducendo a dervada parca dentro de sgno ntegra y apcando a rega de a cadena, se tene: se obtene: * M M M d M d (Ec A3) X E X E M Ya que según (Ec A): M X Reempazando en (Ec A3) e momento M según (Ec A) y recordando (Ec A) M X M X M M d (Ec A4) E M M M M d X M d X M d E E E O sea: X X (Ec A5) Que es a ecuacón de compatbdad correspondente a "corte" donde actúa a ncógnta hperestátca X Concusón: Las condcones de * mínmo representan drectamente as ecuacones de compatbdad de Método de as Fuerzas Vae decr que e PMEPC provee una forma aternatva de pantear as ecuacones de compatbdad La epresón (Ec A) se consderó sóo para ustrar que a apcacón de PMEPC a un probema hperestátco puede conducr a as ecuacones de compatbdad de deformacones Para apcar e PMEPC a una vga o pórtco se puede omtr e panteo de os estados "", "", "", etc que es mprescndbe en e caso de apcar trabajos vrtuaes Se puede pantear drectamente e momento fector en cada tramo, ta como se hzo en as (Ec A) y (Ec A6), para uego cacuar: W * M M d X (Ec A6) X _ PRATO, MASSA -9-

10 Este procedmento resuta más smpe que cacuar prmero a ntegra para M y uego M dervar S en agún tramo se anua e térmno, a ntegra en ese tramo tambén se anua X a as E momento fector se epresa como s se tratara de un probema sostátco consderando X como cargas eterores Para a vga de a Fgura A se tene: X X Fgura A M Tramo Momento Fector X M X - q X q -3 X X * q q X d X X d X E E * q X X d X E (Ec A7) X X q X X q X 8 q X 3 q 8 S se agregan dos despazamentos prefjados como en e caso de a Fgura A, se obtene: _ PRATO, MASSA --

11 U U X X Fgura A * W " gua que en e caso anteror " U X U X Las condcones de mínmo son: W * X W * " gua que en e caso anteror " " gua que en e caso anteror " X U U (Ec A8) (Ec A9) Recuérdese que en (Ec A9) U y U son os móduos de os despazamentos prefjados E sentdo de os msmos se tuvo en cuenta a pantear e segundo térmno de segundo membro de (Ec A8) (S postvo) U tene gua sentdo que X e producto U X es Anaícese ahora qué ocurre s se consderan como ncógntas hperestátcas a os momentos fectores sobre os apoyos como en método de tres momentos U U X R R X X d Fgura A Epresando todo en funcón de as nuevas ncógntas X y X, comenzando por as reaccones de apoyo R y R : X R R d R R3 X X _ PRATO, MASSA --

12 q R X q R X R X q d d R d X X q d d d R R R R q X X d d M d R U R U * E * M d d q X U q X X U E d d E momento en a estructura hperestátca como superposcón de os estados sostátcos "", "" y "" será: M M X M X M Los térmnos de segundo membro de esta epresón dferen de (Ec A) porque a estructura fundamenta ha cambado Se trata de dos vgas smpemente apoyadas y os estados auares corresponden a momentos untaros sobre os apoyos Apcando ahora a condcón de mínmo tenemos: * M U U U M d X E 3 d ( a) * M U M d X E d Los térmnos ( a ) y ( ) ( b) b provenen de dervar R U M M M M d ( a) X M d X M d E E E M M M M d ( b) X M d X M d E E E (Ec A) Nuevamente as epresones de a (Ec A) deducdas de PMEPC concden eactamente con as ecuacones de tres momentos Los térmnos ( a ) y ( b ) concden con os _ PRATO, MASSA --

13 térmnos de carga provenentes de os despazamentos prefjados de os apoyos Aquí no hay nngún probema de sgno s se respeta a senca convencón adoptada Este ejempo muestra que es convenente tomar a as fuerzas R asocadas a despazamentos prefjados ncógntas hperestátcas ya que se smpfca a epresón R U U como PMEPC apcado a retcuados hperestátcos S ben os ejempos precedentes se referen a vgas, e PMEPC tambén puede apcarse tambén a sstemas retcuados Sea por ejempo e retcuado hperestátco de a Fgura A3 X X X X Fgura A3 Todos os despazamentos conocdos son nuos, uego: * W* j N j A E j (Ec A) Epresando j N en funcón de X y X recurrendo a os estados "", "" y "": Fgura A4 _ PRATO, MASSA -3-

14 Resuta: N N X N X N (Ec A) j j j j Se pantea ahora a condcón de mínmo * guaando a cero as dervadas parcaes de * con respecto a cada una de as ncógntas X Como ejempo se desarroa a prmera de as ecuacones de compatbdad: * N j N j N j X j X A E j A E X j j (Ec A3) ntroducendo (Ec A) en (Ec A3) se obtene: N N N j j j N X N X N A E A E A E j j j (Ec A4) j j j Aquí no este nnguna dferenca operatva con e método de as fuerzas apcando trabajos vrtuaes A4- Teorema de Castgano (875) Partendo de a epresón de a energía potenca compementara: * W * R U Las condcones de mínmo egen que: W * U R De donde: W * U R (Ec A5) La (Ec A5) epresa e Teorema de Castgano: La dervada parca de a energía potenca compementara epresada en funcón de as fuerzas eternas respecto a una de estas fuerzas, es gua a despazamento de su punto de apcacón, meddo en a dreccón y sentdo de a fuerza _ PRATO, MASSA -4-

15 E teorema de Castgano permte tambén cacuar e despazamento de un punto "" en que no actúa una fuerza eterna Se agrega a sstema una fuerza fctca X apcada en "" en a dreccón de despazamento buscado, se epresa W * en funcón de X y después de dervar se mpone X Teorema de Menabrea (858) En e caso de apoyos rígdos, todos os despazamentos conocdos son nuos por o que as condcones de mínmo resutan: W * X (Ec A6) La epresón (Ec A6) epresa e teorema de Menabrea o segundo teorema de Castgano, o tambén teorema de trabajo mínmo En un sstema hperestátco de apoyos rígdos, sometdo sóo a fuerzas eterores de vaores dados, as reaccones hperestátcas toman vaores taes que hacen mínmo a trabajo de deformacón E teorema de Menabrea es anteror a trabajo de Castgano, pero por ser este útmo autor quen utzó metódcamente estos conceptos en una dversdad de cácuos práctcos es que se conocen ambos teoremas anterores como e prmer y e segundo Teorema de Castgano E PMEPC es una generazacón de Teorema de Menabrea Asmsmo puede consderarse como una generazacón de os teoremas de Castgano Dcho prncpo es una epresón varacona de trabajo de deformacón conocdo tambén como Teorema de Domke En ocasones durante e curso, por brevedad, se refere a PMEPC en forma genérca como Teorema de Castgano A5- Efectos térmcos en e PMEPC Se consdera ahora una barra de retcuado que epermenta un aumento en su temperatura en un vaor t sn varar sus propedades eástcas (E=cte) Se produce una eongacón e que es un aargamento por ser t : e t _ PRATO, MASSA -5-

16 W * tan A E K e N K La recta de dagrama N Fgura A5 e se corre haca a derecha como se muestra en a Fgura A5 La energía compementara de deformacón W * está representada por e área de trapeco OAD, que se compone de un tránguo AE y un rectánguo OAED, por o que resuta: N W* N e (Ec A7) K Para e caso t e dagrama se corre haca a zquerda y a energía de deformacón compementara W * corresponde a área rayada de a Fgura A6 ( ) tan A E K ( ) e Fgura A6 Nótese que a zona a zquerda de eje " N " corresponde a vaores negatvos de W * Para este caso sgue sendo váda a epresón (Ec A7) s se tene en cuenta que e resuta negatvo para t Se puede observar que tanto en a Fgura A5 como en a Fgura A6 a energía nterna de deformacón N K W está representada por e área de tránguo AC Una manera de comprobar a vadez de a (Ec A7) en a sguente: _ PRATO, MASSA -6-

17 dn Fgura A7 Observando a Fgura A7 se apreca que: dw* e dn De donde: W * e N (Ec A8) La (Ec A8) epresa que a dervada de a energía compementara de deformacón es gua a vaor de a eongacón de a barra (Esto es vádo para sstemas neaes y no neaes) Dervando (Ec A7) tenemos por (Ec A8): W * N e e N K (Ec A9) Este resutado está de acuerdo con o ndcado en as Fgura A5 y Fgura A6, tenendo en cuenta que e sgno de e depende de sgno de t Para e caso de un tramo de vga de ongtud d sometda a feón, corresponde una epresón smar a (Ec A7): M W * d M d E Donde d reempaza a e : d t d t ts t h W * M t E Fgura A8 _ PRATO, MASSA -7-

18 La energía W * por feón en un tramo de ongtud " " se obtene ntegrando: M W * M t d E (Ec A3) E producto M t es postvo s e sgno de a curvatura causado por e momento concde con e sgno de a curvatura térmca Deformacones ncaes en una barra A7): Para e caso de una barra que resutó " arga " o " corta " tambén es apcabe a (Ec N W* N e K Convencón: arra tracconada " N " es postvo arra " arga " " e " es postvo arra " corta " " e " es negatvo Ejercco Nº : Cacuar por e teorema de Castgano e gro en e etremo de a vga de a Fgura A9 R Tomando momentos en resuta: R A P X Fgura A9 _ PRATO, MASSA -8-

19 Tramo Momento Fector M X P X A-C C- P z X z 4 z z Tomando X e ntegrando: W * P z z P d P dz X E E 4 6 E P 6 E E sgno menos ndca que e sentdo de es anthoraro, por ser opuesto a sentdo de momento fctco X Ejercco Nº : La vga de a Fgura A tene un apoyo eástco y en despazamento prefjado Se adopta como ncógnta hperestátca a fuerza X apcada en e punto C R A Fgura A RA X _ PRATO, MASSA -9-

20 Tramo Momento Fector M X A- X C- X M R d A X * E K d d * X X 4 X X E E K X E K X E K (Ec A3) Las dos ncógntas E X R A y X son: R (Ec A3) A No hay equbro La condcón de mínmo se ogra no tenendo energía en e resorte n en e tramo A de a vga E resutado (Ec A3) sería correcto en e caso de tener un empotramento en e punto que asegure e equbro Fgura A _ PRATO, MASSA --

21 Ejercco Nº 3: y C Resover a vga de a Fgura A3 con despazamentos prefjados en os apoyos C C 3 Fgura A Aquí no hay que consderar dos ncógntas porque hay una únca ncógnta hperestátca Egendo como únca ncógnta hperestátca a a fuerza X en e apoyo C Tramo Momento Fector M X C-D X D- X P P A X 3 Tomando momento respecto de A se tene: 3 P X 3 P X 3 * W * X C P X * M M d C X (Ec A33) E X _ PRATO, MASSA --

22 Un procedmento aternatvo sería grar a vga y consderar que e despazamento de apoyo es nuo: a a a C ' C Fgura A3 E despazamento de apoyo C resuta: ' a C C C * W * X ' C Se ha egado nuevamente a (Ec A33) de donde se despeja X : X 3 3 E P 3 C (Ec A34) 3 _ PRATO, MASSA --

23 Ejercco Nº 4: La vga contnua de dos tramos de a Fgura A4 sufre un aumento de temperatura t en a cara superor t t R A R t Se ege a R A R Fgura A4 R como ncógnta y se aprovecha a smetría: M R M R M * W* M t d E ; R * t d R E 3 R t E 6 4 R 3 E t M 3 E t _ PRATO, MASSA -3-

24 Ejercco Nº 5: En a vga bempotrada de a Fgura A5 e apoyo gra sn despazarse un ánguo prefjado M R M Fgura A5 Se ege como ncógntas hperestátcas a a reaccón M R M R y a momento de empotramento M R M M M d M * E * R M d R E * R M d M E R 6 E M 4 E (Ec A35) _ PRATO, MASSA -4-

25 Ejercco Nº 6: Estudar e marco cerrado autoequbrado de a Fgura A6 P E cte q P Fgura A6 Por smetría bastará consderar soo a mtad Anazando a smetría se deduce que e corte en A es nuo Tramo Momento Fector M N M X P A- X P -C X N C-D * W * P X N P * N ; * X ; N P ; 4 X 4 P 6 _ PRATO, MASSA -5-