Análisis Espectral mediante DFT PRÁCTICA 4

Transcripción

1 Análisis Espectral mediante DFT PRÁCTICA 4 (2 sesiones) Laboratorio de Señales y Comunicaciones 1

2 PRÁCTICA 4 Análisis Espectral mediante DFT 1. Objetivo Habitualmente, el análisis de señales y sistemas LTI discretos se realiza mediante la transformada de Fourier y la transformada Z. Para secuencias de duración finita resulta más práctica una representación en frecuencia alternativa conocida como la transformada discreta de Fourier (DFT). La DFT de una secuencia es otra secuencia (y no una función de una variable continua) formada por muestras equiespaciadas en frecuencia de la transformada de Fourier (continua) de dicha secuencia. La DFT es una de las herramientas fundamentales dentro del campo del tratamiento digital de señal debido a que la DFT es una transformada computable digitalmente y existen algoritmos muy eficientes para su cálculo (algoritmos FFT). Por ello, el objetivo de esta práctica es que el alumno conozca sus principales propiedades y características. Asimismo, esta práctica introduce el análisis espectral de señales deterministas, estudiándose los conceptos de enventanado y resolución. 2. Contenido Teórico El contenido teórico necesario para desarrollar esta práctica puede encontrarse en los capítulo 8 y 11 del libro "Discrete-Time Signal Processing" de A. V. Oppenheim y R. W. Schafer. Su estudio previo es condición indispensable para el correcto aprovechamiento de las horas de laboratorio. 2

3 3. Cuestionario previo 1. Sea s[n] una sinusoide real enventanada: s [ n] = Acos( ω 0n + φ ), n = 0,1, 2,, N 1 Demuestre que si ω 0 = 2πk / N, sólo dos valores de su DFT de longitud N serán distintos de cero. 2. Obtenga la DFT de N puntos de un pulso simétrico con respecto al L N. origen y de longitud L ( ) 3. Obtenga la transformada de Fourier de la ventana rectangular (0 < n < L-1). Determine una expresión que proporcione la frecuencia a la que se produce la caída de 3 db (con respecto al máximo) en función de la longitud de la ventana. (Utilice una aproximación de Taylor de orden adecuado, si lo cree necesario) 4. Una ventana triangular de longitud impar (L) puede escribirse como la convolución de una ventana rectangular de longitud (L+l)/2 consigo misma. Por qué la altura de los lóbulos laterales de la ventana triangular de longitud (L+l)/2 es exactamente el doble (en db) que los de la rectangular? Determine la longitud mínima que debería tener una ventana triangular para que su transformada de Fourier tenga la misma anchura de lóbulo principal a 3 db que una ventana rectangular de 31 puntos. 3

4 4. DFT y Muestreo de la transformada de Fourier Ejercicio 1. Sea s[n] una sinusoide enventanada: con N=21. s [ n] = Acos( ω 0n + φ ), n = 0,1, 2,, N 1 Determine la frecuencia de la sinusoide para que su período sea exactamente N (considere fase nula). Calcule su DFT de longitud N. Repita el apartado anterior para el caso de un seno. Compare el módulo y la fase obtenidos en ambos casos. Obtenga la frecuencia de la sinusoide para que su período sea N/3. Calcule su DFT de longitud N. Pruebe con un vector que contenga 3,1 períodos de la sinusoide. Por qué la DFT es tan diferente? Ejercicio 2. Calcule la DFT de longitud 16 de un pulso centrado en el origen de longitud L=7. Es necesario rellenar con ceros la secuencia original? Ejercicio 3. Genere un segmento de una secuencia exponencial: n x[ n] ( 0.9) u[ n] ejemplo N=16. Calcule una DFT de N puntos y dibuje su módulo X [ k]. =, para 0 < n < N - l. Tome un número reducido de muestras, por Compare X [ k] con lo que se obtiene al muestrear Y ( ω) n la transformada de Fourier de y[ n] ( 0.9) u[ n], el módulo de =, una exponencial de duración infinita. Dibuje ambos módulos en la misma gráfica. Interprete las muestras de la transformada de Fourier anterior, ( ω ) como una DFT: V [ k] = Y = k ω 2π N Y, Calcule la DFT inversa de V[k], es decir, obtenga la secuencia v[n]. Experimente con diferentes longitudes de DFT Encuentre una expresión para el error entre v[n] e y[n]? 5. Análisis Espectral de Señales Deterministas 5.1. Enventanado El análisis de señales en el dominio de la frecuencia implica (cuando éstas tienen una duración grande o ilimitada) el enventanado de las mismas en el dominio del tiempo. Para esta tarea (también para diseño de filtros) se han 4

5 propuesto muchos tipos de ventanas; en cualquier caso, la ventana siempre actúa limitando la duración de la señal en el tiempo y [ n] = x[ n] w[ n], con w[ n] = 0fuera del intervalo 0 n L 1 Las propiedades fundamentales de las ventanas se describen habitualmente en el dominio de la frecuencia: la transformada de Fourier de la señal enventanada es la convolución periódica de la transformada de Fourier de la señal original con la transformada de Fourier de la ventana: y 1 2π TF π [ n] = x[ n] w[ n] Y ( ω) = X ( θ ) W( ω θ ) dθ π Ejercicio 4. Genere una ventana rectangular de longitud 2l. Calcule su DFT (utilice, ahora y más adelante cuando se enfrente al mismo problema, una longitud al menos 4 ó 5 veces la de la ventana) y dibújela representando el eje vertical en db y el horizontal desde -p hasta p. Repita el ejercicio anterior para diferentes longitudes de ventana: 8 y 64, empleando siempre DFTs de la misma longitud. Ejercicio 5. La ventana triangular se conoce también como ventana de Bartlett. MATLAB ofrece dos funciones para generar este tipo de ventanas: bartlett y triang, que conducen a ventanas de longitud diferente. Use bartlett para generar una ventana de longitud 11 y dibújela (stem). El parámetro más básico en una ventana es su longitud y resulta evidente que a medida que ésta aumenta disminuye la anchura del lóbulo principal. Calcule y dibuje la DFT de ventanas triangulares de longitud 31 y 61. Se divide por dos la frecuencia discreta a la que la transformada de Fourier de la ventana cae 3 db al duplicar la longitud de la ventana? Dibuje el módulo de la transformada de Fourier de una ventana triangular de longitud impar, L, junto con la correspondiente a una ventana rectangular de longitud (L+ 1)/2. Un segundo parámetro básico es la amplitud de los lóbulos secundarios: la ventana rectangular es la que tiene los peores (mayores) lóbulos secundarios, y la gran mayoría de tipos de ventanas se han propuesto con el fin de reducir éstos. La medida más habitual para cuantificar estos lóbulos secundarios es la amplitud del lóbulo secundario más alto. (Nota: normalice a 0dB el módulo de las transformadas para una apropiada comparación) Observe la amplitud del lóbulo secundario más alto para ventanas rectangulares y triangulares de longitudes L=41 y 61. Observe cómo esta amplitud es independiente de la longitud de la ventana. Habitualmente la reducción de la amplitud de los lóbulos secundarios trae consigo el ensanchamiento del lóbulo principal; compruebe este 5

6 hecho comparando ventanas rectangulares y triangulares de la misma longitud. (Nota: normalice a 0dB el módulo de las transformadas para una apropiada comparación) 5.2. Resolución espectral La resolución espectral que proporciona una ventana viene dada por la anchura de su lóbulo principal: la resolución será tanto mayor cuanto más estrecho sea éste. De aquí en adelante entenderemos por resolución espectral de un determinado algoritmo su capacidad para distinguir dos frecuencias muy próximas. Sean las señales y Δω = ω 1 ω2 x 1 j [ ] ( ω 1n+ φ1 ) j [ ] ( ω2n+ φ n = A e y x n = A e 2 ) 1 2 el parámetro cuya variación vamos a estudiar. El algoritmo que vamos a considerar será la FFT y la señal a analizar será la suma de las n x 2 n. Tomaremos A l = A 2 = 1. dos anteriores x 1 [ ] y [ ] 2 Ejercicio 6. Genere un segmento de la señal [ n] x [ n] x [ n] y = (para n = 0,1,, L 1). Las fases deben ser constantes y elegidas aleatoriamente (rand) en el intervalo 0 < f i < 2p (con i = 1 ó 2). Utilice una longitud L=64, calcule una FFT de la misma longitud y dibuje su módulo. Varíe las dos frecuencias y determine aproximadamente cuál es el mínimo valor de Dw para el que todavía pueden distinguirse dos picos en la FFT. Repita varias veces la generación de la señal y el cálculo de la FFT para cada separación de frecuencias, de manera que sus conclusiones no estén sesgadas por el hecho de considerar una realización u otra de la fase. Repita el ejercicio anterior pero empleando, para el mismo segmento de señal, FFTs de longitudes 128 y 256 Mejora la resolución espectral si se aumenta la longitud de la FFT? Cuáles son los beneficios de aumentar la longitud de la FFT? 6

7 Ejercicio 7: Se desea desarrollar un detector de pitch (frecuencia fundamental) para clasificar voces con distintos rangos vocales: bajo, tenor y soprano. La caracterización frecuencial de estas voces es: Bajo: mínimo 87 Hz, máximo 329 Hz, media en 208 Hz. Tenor: mínimo 130 Hz, máximo 523 Hz, media en 326 Hz. Soprano: mínimo 261 Hz, máximo 880 Hz, media en 570 Hz. audio vent 1 vent 3 vent n vent 2 vent 4 pitch[1] pitch[2] pitch[3] pitch[4] pitch[n] Para ello se calculará la DFT de una sucesión de ventanas deslizantes solapadas. La frecuencia donde se dé el máximo del módulo de las DFTs será el pitch de la ventana correspondiente. Una representación gráfica del proceso puede verse en la gráfica previa. Los tamaños de la ventana, el tipo de ventana, el porcentaje de solapamiento y el número de puntos de la DFT debe determinarlos de manera razonada. Puesto que en ocasiones los armónicos tienen más energía que la frecuencia fundamental, habrá que calcular la amplitud de los subarmónicos del máximo (frecuencia mitad, tercio, cuarto ). Si la amplitud del subarmónico es mayor que un décimo del máximo, ese valor se considerará el pitch. En el ejemplo de la figura, el pitch real es de 61 Hz, aunque el máximo absoluto se encuentre en 484 Hz. Debe desarrollar una función en Matlab con la siguiente cabecera: [pitch espectrograma] = pitchdetector(x, fs, tiempo_bloque, tipo_ventana, solape, Ndft) El programa debe aceptar los siguientes parámetros: Señal de audio a analizar. Las encontrará en voz1.wav, voz2.wav y voz3.wav. Frecuencia de muestreo (en Hz). Longitud temporal de las ventanas (en msg.). Tipo de ventana: rectangular, triangular, hamming. 7

8 Porcentaje de solapamiento (entre 0 y 1). Número de puntos de la DFT. Las salidas del programa son el pitch y el espectrograma entre 0 y 2000 Hz. Además, deberá dibujar estas dos señales en sendas figuras, como se muestra a continuación. Para el espectrograma, use la función mesh() y etiquete correctamente los ejes con xlabel() e ylabel(). Finalmente, el programa debe mostrar por pantalla el tipo de voz (bajo, tenor o soprano) y los datos de los alumnos: Tipo de voz: XXX Nombre1 Apellidos1 NIA1 Nombre2 Apellidos2 NIA2 Para realizar este ejercicio se puede ayudar de las siguientes funciones: wavread(), find(), max(), mesh(), (), hamming(), triang(), 8