que queremos ajustar a los datos. Supongamos que la función f( x ) describe la relación entre dos cantidades físicas: x e y = f( x)

Transcripción

1 APROXIMACIÓN DISCRETA DE MÍNIMOS CUADRADOS Las leyes físcas que rge el feómeo que se estuda e forma expermetal os proporcoa formacó mportate que debemos cosderar para propoer la forma de la fucó φ ( x) que queremos ajustar a los datos. Supogamos que la fucó f( x ) descrbe la relacó etre dos catdades físcas: x e y f( x), s φ ( x) a0 ax ax ax etoces el error que se comete es dado por: e f( x) φ ( x) Ahora os teresará coocer los valores a 0, a, a, los cuales se obtedrá a través de Método de mímos cuadrados, de esta maera podremos obteer la mejor aproxmacó físca de la fucó f s E( a0, a,, a ) se mmza para algú valor de ( a0, a,, a ), usado las téccas para mmzar ua fucó se tee que resolver el sstema E a 0 ; 0,,, Dode la fucó ( ) ( ) E a0, a,, a f( x) φ ( x) f( x) a0 ax ax ax, luego el sstema que obtee es llamada sstema de ecuacoes ormales el cual se muestra a cotuacó a a x a x a x f ( ) a x a x a x a x f x 3 4 ( ) a x a x a x a x f x 0 0 f x a x a x a x a x ( ) Como se puede observar s el polomo es leal ( ), parabólco ( ), cúbco ( 3) Ejemplo 8: Determar la mejor aproxmacó dscreta a la formacó que etrega la sguete tabla. x 3 4 f( x ) Solucó: Prmero aalcemos el comportameto de la formacó dada por la tabla a través de ua, es decr, la represetacó gráfca, la cual podemos observar que es ua líea recta, es decr, ( ) fucó es φ ( x) a ax 0, etc.

2 (4, 6) (3, 5) (,3) (,) (, ) Por tato el sstema de ecuacoes ormales es dado por: Formemos la sguete tabla a a x f ( x ) 0 0 ( ( ) ) a x a x f x x x f( x ) x f( x ) x Luego el sstema de ecuacoes ormales os queda e la forma sguete 5a0 9a a0 ; a 9a 3a Por tato la fucó de regresó leal es dada por φ ( x) x, esta recta se muestra e la gráfca sguete:

3 (4, 6) (3, 5) (,3) (,) (, ) Aproxmacó dscreta de mímos cuadrados caso o leal E el caso e que la mejor aproxmacó de φ o es de la forma leal, es posble tetar ua trasformacó por algú método adecuado. Ejemplo 9: S teemos el cojuto de putos (, ) x y e la tabla sguete: x 0 3 f( x ) y 3,00 0,4 0,05 0,0 y se quere ecotrar la mejor aproxmacó dscreta Bx φ ( x) que obedezca a la forma Ae para 0 x 3 Solucó: Dado que la fucó de regresó es dada por Bx φ ( x) Ae, realzado ua trasformacó para lealzar aplcado logartmo atural se obtee lo sguete: l( φ ( x)) l( A) Bx Luego, hacedo las susttucoes adecuadas se tee Ψ ( x) l( φ ( x)) ; c l( A) ; c B Por tato el modelo leal es dado por Ψ ( x) c cx La tabla sguete muestra la formacó co la trasformacó x 0 3 l( f( x )) z,0986-0,896 -, ,6057 3

4 x f( x ) l( f( x) z x 0 3, ,4-0,8960-0,896 0,05 -, , ,0-4, , , ,69857 z x Formado el sstema de ecuacoes ormales se tee: c c x z ( ) c x c x z x Luego al reemplazar los valores correspodetes el sstema os queda e la forma sguete 4c 6c 7, c 4c 0,69857 c,03385 ; c,955 c,03385 Como c l( A) A e e, y c B B,955 Por tato el modelo será: φ ( x) Ae φ ( x),887074e Bx,955x Ejemplo 0: De acuerdo a los estudos realzados e el agua de ua certa lagua se determo que certa bactera afecta a la flora y faua del lugar esta formacó se muestra e la sguete tabla Horas Nº de Bacteras a) S se quere ajustar u polomo cuadrátco escrba la fucó que se debe mmzar segú el método de mímos cuadrados. b) Deduzca el sstema de ecuacoes ormales, que se geera al mmzar la fucó defda e la parte a). Justfque su respuesta. c) Co la formacó ateror de la parte b) determe los parámetros y escrba el polomo correspodete y estme el úmero de bacteras cuado ha trascurrdo ses horas. d) Estmar el úmero de horas aproxmadas trascurrdas, a través de u método teratvo adecuado cuado el úmero de bacteras es Solucó: a) Sea y A Bx Cx el polomo cuadrátco, luego la fucó que se debe mmzar es dada por: 4

5 ( ) E( A, B, C) y A Bx Cx b) Para determar las ecuacoes ormales debemos resolver el sguete sstema de ecuacoes 0 A 0 B 0 C ( ) 0 y A Bx Cx 0 A B x C x y () A 3 3 ( ) 0 x y Ax Bx Cx 0 A x B x C x x y () B ( ) xy Ax Bx Cx 0 A x B x C x xy (3) C Luego el sstema de ecuacoes ormales es: A B x C x y 3 A x B x C x xy 3 4 A x B x C x xy c) Co la formacó ateror de la parte b) determe los parámetros y escrba el polomo correspodete y estme el úmero de bacteras cuado ha trascurrdo ses horas. Solucó: Para determar los parámetros del polomo de la parte a) formemos la sguete tabla: x y x , , , , , Luego el sstema de ecuacoes ormales os queda así: 3 x 4 x xy xy y 5

6 5A 5B 55C A 55B 5C A 5B 979C 305 A 95 ; B 50,85749 ; C 6, Luego el polomo es: Px ( ) y 95 50,85749x 6,857486x S ( ) ( ) x 6 P(6) 95 50, , Cuado ha trascurrdo ses horas el úmero de bacteras aproxmada es d) Estmar el úmero de horas aproxmadas trascurrdas, a través de u método teratvo adecuado cuado el úmero de bacteras es Solucó: Como Px ( ) 4500, etoces para determar el úmero de horas trascurrdas aplcaremos el método de Newto. Px ( ) 95 50,85749x 6,857486x ,85749x 6,857486x 6,857486x 50,85749x Sea la sguete fucó f x x x ( ) 6, , y f( x) α 0 f (6) 637 f(6) f(7) < 0 α 0 6 ; 7 f (7) 43 [ ] Para determar el puto de co para asegurar la covergeca debemos calcular f '( x ) y f ''( x ), como se muestra e la sguete tabla. 6

7 x f( x ) f '( x ) f ''( x ) f( x ) f ''( x ) 6, , - - 6, , ,8 7,0 Como se puede observar f(6,8) f ''(6,8) > 0, luego el puto co que asegura la covergeca para el método Newto es x 0 6,8. Recordemos que el método teratvo de Newto es dado por f( x) 6,857486x 50,85749x 4405 f '( x) 5,74857x 50,85749 x x x x Las teracoes se muestra e la sguete tabla: x 0 6,8 6, , , , Cuado el úmero de bacteras es 4500 el úmero de horas que ha trascurrdo es aproxmadamete 6,6 horas. 7