a 2 = = 1600 ; a = 40 A = = 80. Iguales A = 361 1:150

Transcripción

1 uno es agudo y el otro es obtuso. Á = (48. 5 ) / 2 = 120 D 2 = = 536 ; D = V = V S + V c = 2 / 3. π / 3. π = 325/3. π Área = lado x lado = l 2 Los paralelepípedos rectos g Es igual a la semidiferencia de los arcos que abarca El triángulo equilátero Tetraedro 30 cm. Hipotenusa del triángulo rectángulo que genera al cono El módulo Trapecio y trapezoide Punto donde se cortan dos aristas Toda recta paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos lados en partes proporcionales A = r.g.π = π El que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia y sus lados son secantes. a 2 = (2 5) 2 = = ; a = 4 33 Octaedro Es igual al cubo de la razón de semejanza A = π ( R 2 - r 2 ) = 21π. La traslación es un movimiento directo Porción de plano limitado por dos semirrectas que se cortan D = 10 ; 100 = 2 l 2 ; l = 50 Área de un poliedro es la suma de las áreas de todas sus caras. B = / 4 = 294. Solo si gira sobre los catetos A (4, -1) B (5, 2) C (8, -2) El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. A = ( ) / 2 = 43 Icosaedro r = 12 5 / 10 = 1 25 a 2 = = 1600 ; a = 40 A = = 80. Es la distancia entre las bases Iguales A = (π. n) / 180. (R 2 - r 2 ) / 2 = 21π / 8 métrico de A es A ( -1, -3 ) El que mide menos de 90º A = (P. a ) / 2 = ( ) / 2 = A = 361 Una paralela a un lado de un triángulo determina con los otros dos lados un nuevo triángulo, cuyos lados son proporcionales a los del 1º Con una cuerda construir una circunferencia de radio 1 cm. La mitad de la longitud de la cuerda será aproximadamente pi 1:150 V = 4 / 3. π. r 3

2 uno es agudo y el otro obtuso Área del triángulo = (base x altura ) / 2 x = / = 16 4 m. Área = base x altura V = largo x alto x ancho = Área de la base x altura A = r 2. a ; r 2 = A / a = / 750 = 16 ; r = 4 A T = 2π R g + 2π R 2 Aquellas que quedan determinadas con un número Se trazan desde todos los vértices paralelas. Con una abertura fija de compás iremos marcando puntos en las paralelas haciendo centro en los vértices. Son los que se obtienen al girar una figura alrededor de un eje. Es la amplitud del ángulo que se gira. Los ángulos de un triángulo suman 180º Perpendicular trazada desde el centro de un polígono regular a un lado Icosaedro Los lados que se corresponden en la semejanza A L = π g (R + r) = π h + ( R r). (R + r) = 314 superpuestos coinciden A = 100 Cubo Los vértices que se corresponden en una semejanza Un círculo El recorrido de la recta al pasar de A a B Cuando un punto, un segmento o una figura sigue una trayectoria circular tienen los tres lados y los tres ángulos iguales Área del polígono = (Perímetro x apotema ) / 2 Tetraedro : 3 5 = la escala es 1 : g 2 = h 2 + (R - r) 2 El segmento OP = segmento OP ; ángulo POP = ángulo de giro son agudos o ambos son obtusos Área = base x altura Octaedro 3 5 cm. A T = π r g + π r 2 Mediatriz de cualquier segmento que une puntos homólogos tienen los tres lados y los tres ángulos iguales Área del triángulo grande es 1/4 Ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia Hay que calcular la diagonal que es 30 cm. = 300 mm. = 11 8 pul hay ninguno. El dodecaedro tiene 12 caras pentagonales. Cuerpo que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. Módulo de un vector AB es la longitud del segmento AB A L = π r g El transformado es P ( -y, x) son agudos o ambos son obtusos Área del triángulo mediano es 1/ 8 tienen iguales los tres lados. A = ( B + b ). h / 2 Es una recta graduada según la escala numérica correspondiente Determina con los otros dos lados un triángulo semejante al primero A T = πg(r+r) +π(r 2 + r 2 ) = π h + ( R r) (R+r) +π(r 2 + r 2 ) = Área = cm 2 El simétrico es P (x, -y) Dirección del vector AB es la recta que contiene al segmento AB

3 El que tiene los tres lados desiguales (número de lados - 2 ) x 180 D = 2 a + b + c Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados proporcionales Círculo al cortar una esfera por un plano que no pasa por el centro La que transforma la figura original en ella misma tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos Área del triángulo pequeño es 1 / 16 Cuerpo que se obtiene al girar un rectángulo sobre uno de sus lados A las que se transforman en sí mismas Aquel que uno de sus ángulos es un ángulo recto. Es el segmento que une el centro con un vértice. Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas m. de largo y 27 m. de ancho V = 1 / 3. π r 2 h Es T tal que TT tiene mismo módulo dirección y sentido que v tienen iguales un lado y los ángulos contiguos. El área del cuadrado es 1/ 8. Es menor varias paralelas determinan segmentos iguales en una recta r, también determinan segmentos iguales en otra recta s que las corte π Una simetría axial de eje e transforma un punto P en otro P tal que el eje e es mediatriz del segmento PP. Segmento que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto Polígono de cuatro lados Cuatro segmentos son proporcionales cuando se obtiene la misma razón al tomarlos dos a dos. Región del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas v (a, b) entonces v = a + b Recta perpendicular al segmento en su punto medio Área del romboide es 1 / 8 A T = A L + A base mayor + A base menor x 5 = cm. = 6 25 Km. Un círculo Las que no quedan determinadas con un número. Es necesario conocer además una dirección y un sentido. Recta que divide al ángulo en dos ángulos iguales Rectángulo, cuadrado, rombo, romboide todas sus caras se pueden apoyar en un plano. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual La hipotenusa del triángulo rectángulo que genera el cono. Coordenadas de AB = coordenadas de B - coordenadas de A El que tiene los tres lados iguales Cuadrilátero que tiene los lados paralelos dos a dos Razón que se obtiene al tomar dos a dos 4 segmentos proporcionales Es una poción de corona circular El transformado es P (y, -x ) Acutángulo, obtusángulo y rectángulo El que tiene todos sus lados y ángulos iguales. Son prismas cuya base son paralelogramos : 3 = entonces la escala es 1 : A = π r 2 Movimiento que transforma un punto P en P tal que el vector PP y v son paralelos y tienen la misma longitud y sentido Equilátero, isósceles y escaleno Paralelogramos y no paralelogramos Las que tienen por caras laterales triángulos isósceles 3 6 cm de lado Círculo al cortar una esfera por un plano que pasa por el centro Punto alrededor del cual se gira

4 Se trata de un triángulo rectángulo con ángulos de 45º a = 6 3 = 27 Poliedros que la base es un polígono y las caras triángulos con un vértice común El que tiene dos lados iguales Segmento que une dos vértices no consecutivos Prismas rectos cuyas bases son polígonos regulares R = 5 A L = 2 π r g A = π (R 2 - r 2 ) = 15 π A las que se transforman en sí mismas aunque sus puntos no sean invariantes Subimos (150 x 11 ) / 100 = 16 5 m = (x+1) 2 + (x-1) 2 ; x = 7 ; Area = 8 x 6 = 48cm 2 V = ( b. h ) / 3 r 3 = 125 / 27 El que tiene los tres ángulos agudos 3 triángulo, 4 cuadrilátero, 5 pentágono, 6 hexágono, 7 heptágono,... Área = 6 l 2. El segmento c debería medir 7 5 cm. g Porción de círculo limitado por dos radios A (-1, 3) B (-2, 6) C ( -5, 2) El que tiene un ángulo obtuso. La suma de la longitud de todos sus lados. Es la distancia entre las bases r 3 = 27 Tienen por base polígono regular y las caras son triángulos isósceles 5 m. h A = π r 2 El transformado es P ( -x, -y) Recta perpendicular a un lado desde el vértice opuesto l = 2 ; a = 3 Area = 6 3 D = = 500 ; D = 436 ; D = 136 Proporcionales h A = 24 Las caras son polígonos regulares iguales y concurren el mismo número de ellas en cada vértice. Parte de cono comprendida entre la base y la sección producida por un plano. Segmento cuyos extremos se dan en un cierto orden A = 24 m 2 no todas sus caras se pueden apoyar en un plano V = 2 / 3. π. r 3 = 144 π 2 A = ( π r 2 n ) / 360º = 63 π / 4 A (1, -3) B (2, -6) C (5, -2)

5 El que mide 90º A = ( B + b ).h / 2 = 16 Es la parte de pirámide comprendida entre la base y la sección producida por un plano paralelo a la base. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales. r = 1 2 A = π r 2 = 4 52 El que mide más de 90º 360º Aquellos cuyas caras laterales son rectángulos Los que se corresponden en una semejanza V = 4 / 3. π. r 3 = 256 / 3. π El simétrico es P ( 1, 3) Los que suman 180º 180. ( n - 2 ) / n siendo n el número de lados D 2 = a 2 +a 2 + a 2 = 3 a 2 ; D = a 3 Cuando tienen sus lados y ángulos respectivos proporcionales e iguales V = 1 / 3. π r 2 h = 24 π métrico de P (-1,3) es P ( 1, -3 ) Los que suman 90º 108º A T = perímetro base x altura + 2 A B 104 / 16 = 300 / x ; x = 600 / 13 = cm. Volumen = π. r 2. h = 72 π. el ángulo de giro es de 360º todos los puntos son dobles. El centro de giro también es un punto doble. Los que tienen un lado común / 7 = 900 / 7 = dos o más cuerpos de igual área de la base y la misma altura se cor cortan por planos paralelos a la base, y las secciones producidas por cada plano en esos cuerpos tienen la misma área,entonces tienen el mismo volumen : 8 = 325 ; la escala es 1 : 325 A L = 2πRg = π = 72 π Es el que tiene su vértice en un punto interior de la circunferencia El cuadrado Cubo El número que expresa la razón de sus lados homólogos Un círculo. (2,1) = (b 1-5, b 2-3 ) ; B ( 7, 4 ) los puntos que pertenecen al eje Punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo Cuerpo geométrico que está limitado por cuatro o más polígonos / 10 = millones de litros El que tiene el vértice en un punto exterior a la circunferencia y sus lados son tangentes. Superficie plana limitada por una línea quebrada cerrada Dodecaedro Porción de círculo limitado por la circunferencia y una cuerda métrico de P (x, y) es P (-x, y) A = π. r 2. n / 360º = π / 2 Cuando conserva el sentido de recorrido de las figuras Punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo. A = P.a / 2 = 72. l0 4 / 2 = Las que tienen la misma extensión pero distinta forma A T = π g (R + r) + π ( R 2 + r 2 ). La simetría es un movimiento inverso. Al cociente de dos lados homólogos Area = 4. π. r 2 = 64 π.

6 Punto donde se cortan las tres bisectrices de un triángulo. A = 110º La distancia del vértice a la base. Es la razón de semejanza entre el original y su representación A = 4 π R 2 135º A = ( D. d ) / 2 Líneas que forman sus caras al π g 2 = h 2 + r 2 unirse. Figura generada por rotación de un elemento. En las figuras con centro de simetría es el centro geométrico Angulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes. r = 5 V = 1 / 3. π.r 2. h = 32.π se corresponden en un movimiento inverso. Ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son uno tangente y otro secante V = ( área de la base x altura) / 3 Los que tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales Volumen = 4000π / 3 E es el eje de simetría cuando la figura F y su simétrica F respecto de E coinciden. Es igual a la medida de su arco correspondiente Á = 192 cm 2 Cada lado del triángulo que forma la cara Razón de los perímetros es igual a la razón de semejanza A = 2π r g = 120 π La mitad de la medida del arco que abarca 27 π Polígono plano que delimita un poliedro. Es el cuadrado de la razón de semejanza A = 192 π se corresponden en un movimiento directo Es la mitad de la medida del arco que abarca. Solo si uno es agudo y el otro obtuso. Semisuma de los arcos que abarca Área = área de todas las caras laterales + área de la base 13 5 cm. A = 4 π r 2 = 400 π Aquellas que el centro geométrico es el centro de una simetría central que transforma la figura original en ella misma. 1 : 100 Aquellos que tienen alguna cara curva Cuando no conserva el sentido de recorrido de las figuras Es la semidiferencia de los arcos que abarca.. Solo cuando es un cuadrado. Punto donde se cortan las tres medianas en un triángulo. A = = 60 V = área de la base x altura Las que superpuestas coinciden 3π Traslaciones, giros y simetrías Las que tienen la misma forma pero colocadas en distinto sentido Cuerpo que se obtiene al girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos. Los que se transforman en sí mismos

7 Ninguno. se puede construir Cuadrado. Uniendo los centros de las caras concurrentes en un vértice 10 2 = + r 2 r = 96 El mismo. Solo uno. Cubo, tetraedro, dodecaedro, icosaedro, octaedro : 200 = 6 cm. 400 : 200 = 2 cm. h = = 5. Las que tienen por centro el centro de giro y radio cualquiera Ninguno. La suma de los ángulos es 180º Pto. interior que se halla a igual distancia de todos los vértices y lados Volumen = 10 x 10 x 10 = 1000 V = 523`33 Infinitos. Depende de la longitud de los lados. Ángulo formado por dos radios consecutivos d = a 3 a = 18 / 3 a = 10`39 Cuerpo que se obtiene al girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos. 42º 30` N = nº de vértices S = nº de saltos que damos en los vértices Sí cabe al ser la diagonal de la caja cm. L = 2 x 3 14 x 0 80 m. = m. = 5 m. El eje tiene que pasar por el centro. 132º 30 Figura que se obtiene al unir, sin levantar el lápiz, los vértices de un polígono regular convexo de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4, etc. Volumen = 10 x 20 x 30 = 6000 V = : 5 = 72º 55º 30 Al decágono D 2 = = 81 ; D = 9 12 / 0 8 = h / 1 60 h = 24 m. V = v = suma = = h h = 12 cm. A = 3 14 x 9 x 60 / 360 = 4 71 Solo hay un punto invariante, el centro del giro O Al hexágono El centímetro cúbico 1 : x 2 = ; x = 13 m. Al polígono de 9 lados V = 10 x 8 x 4 = 320 se necesitan 320 cajas X = 8 Y = 10 A = 3 14 ( ) = Todo recubrimiento del plano que cumple: 1) las piezas utilizadas para recubrir el plano se forman haciendo composiciones con polígo. o figuras curvas. 2) las piezas no pueden superponerse ni pueden dejar huecos sin recubrir

8 34º Al triángulo V = área de la base x altura / 3 = 100 x 119 / 3 = X = 7 x 5 / 2 = 17 5 A = 4 x 3 14 x = Sería la misma aunque sus puntos no permanecen invariantes 165º Al pentágono Área = área de todas las caras laterales + área de la base = A = 3 14 x 25 = 78 5 El triángulo, el cuadrado y el hexágono 21º Diagonal del ladrillo = La base mide 17 5 A = 3 14 x r 2 = 3 14 x 5 2 = º Al octógono D = 267 ; d = 244 ; d = 125 R = = 11 cm. Dibujo infinito generado por la traslación de una figura base 28º El Kilómetro cúbico. por tener los tres ángulos iguales. g = , g = 13 ; A = 3 14 x 5 x 13 = º S = 180( n-2) ; 1260 = 180 ( n-2) ; n = 9 H 2 = ; H = 4 3, 4, 5 G = , g = 13 ; A = 2 x 3 14 x 5 x 13 = La que contiene al vector traslación A = 8 5 x 0 16 = 1 36x 6 = 8 16 x 3 3b = x = ;2x + b = 72 x = 27; b = 18 b g = , g = 13 ; A = 3 14 x 5 x (13+5) = A = 18 x 30 = 540 m 2 h 36 4h 2 = b = ; h + b = 75 h = 45; b = 60 b 48 3 g = , g = 13 ; A = 2x3 14 x 5 x(13+5) = Centro de simetría (0,2) Centro C (7,6) y el mismo radio 750 baldosas El que tiene las aristas oblicuas a la base 3, 4, 5 V = 3 14 x 25 x 12 / 3 = 314 A (-2,3), B (0,5), C (2,2) D = 2 3, 4, 5 V = 3 14 x 25 x 12 = º

9 Dibujar las mediatrices y el circuncentro es el centro º 40 x = 6 ; y = 10 A = 3 14 x 5 x 13 = x = 24 ; y = 24 A = 2 x 3 14 x 5 x 13 = B = 10 ; h = 8 66 ; A = 43 3 A = cm 2 24 / 6 = 4 A = 3 14 x 5 x (13 + 5) = = h 2 ; h = 8 66 P = cm 2 16 / 8 = 2 A = 2 x 3 14 x 5 x (13 + 5) = º Por que tienen los ángulos iguales y el cociente de un lado y su transformado es constante 13 2 = h 2, h = 12 ; V = 3 14 x 5 2 x 12 / 3 = º P / P = r. La razón de los perímetros es la razón de semejanza 13 2 = h 2, h = 12 ; V = 3 14 x 5 2 x 12 = 942 Un movimiento en el que las figuras mantienen su forma y tamaño 60º caras Recto A = a 2 3 ; a = / 5 = x / 26 ; x = 15 6 m. r = 2 3 ; A = 3 14 x 4 x 3 = r = 1dm. ; A = 3 14 x 1 = 3 14 dm 2 360º 120 Volumen correspondiente a un cubo de 1 m. de lado P = 35 cm. P = 3 x 5 = 15 ; r = 35 / 15 ; r = 7/3 A = 3 14 x 18 2 x 120º / 360º = La traslación de vector v ( -2,3) h 2 = ; h = 4 3 ; A= 4 x 6 92 = A = D. d / 2 = 56 V = área de la base x altura / 3 = 1000 / 3 32 / 6 4 =5 la escala es 1 : 500 A = 3 14 x 3 2 = El centro es el punto (3 5, 4)

10 Hipotenusa = 7 21 cm. El de 10 lados Volumen = es rectángulo A = 6 x 1 5 x 1 3 : 2 = 5 85 cm 2 4 vértices 5 7 x = cm. = 5700 m. l = 50 m. A = Son 6 planos de simetría c = = l 2, l = 9 11 m. 8 2 = h 2 ; h = 6 9 cm. A menor escala V = r 3 V = 8 x 3 = 24 A = r 2 A ; 2 A = r 2 A ; r = 1 41 ; l = = 7 07 caras = 7 ; vértices = 10 ; aristas = x = cm. = 520 m. A = 3 14 x 13 2 x 2 = m 2 x 60 = El perímetro y el área 4 2 = h 2 + ; h = 3 46 cm. Ángulo interior = 180 x (9 2) / 9 = 140º D 2 = 3 a 2 ; 36 = 3 a 2 ; a = 3 46 cm. El área del suelo se multiplica por A = 25 entonces r = 1 41 ; V = D 2 = ; D = cm. Cualquiera que cumpla que b c = = 3 14 x r 2 x 4 ; r = 1 41 cm. vector v ( 11,6) 12 lados V= A. base x altura / 3 ; A base = 24x 3 46/2 = ; V = La razón de las alturas es la razón de semejanza A = 3 14 x 85º x (2-1 5) / 360º = 0 37 Angulo central = 360º : 10 = 36º A = 2 x área de la base + área lateral = 2 x = 432 A = 9 A 23 = 3 14 x r 3 x 4 / 3 ; r = 1 76 cm. En otra recta secante al eje con el punto de corte invariante. La circunferencia completa mide 2π rad. sea el radio que sea. C + V = A + 2 ; = A = 5 x a 2 x 3 = 5 x 25 x 1 73 = r = 12' cm. l = 2 x 3 14 x 1 5 x 60º / 360º = cm. 120º siendo O el centro del triángulo. Debe tener los ángulos y los lados iguales. Volumen = 5 x 4 x 9 = 180 x = 1 73 x 5 : 7 = m. A = 3 14 x x 60º / 360º = En otra paralela al eje a la misma distancia