PROGRAMA. a) Presentar en forma secuencialmente lógica las materias del Cálculo Integral y el estudio de Series.

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1 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO INSTITUTO DE MATEMATICAS LUISA ABURTO HAGEMAN, Secretri Acdémic del Instituto de Mtemátics Certific este, PROGRAMA Asigntur MAT 223 CALCULO 2 I DATOS GENERALES Hors semnles de Teorí : 8 Hors semnles de Ayudntí : 6 Durción : semestre Créditos : 8 (Ocho) Pre-requisitos : MAT 23 y hber cursdo MAT 3 II OBJETIVOS Generles: ) Presentr en form secuencilmente lógic ls mteris del Cálculo Integrl y el estudio de Series. b) El lumno deberá sber operr diestrmente con ls herrmients dds por el cálculo integrl y el estudio de Series, y plnter y resolver situciones medinte su uso. c) Junto cd técnic el lumno deberá sber cules son ls condiciones que lo fculten pr usrl. d) Entregr l lumno ls herrmients fundmentles del cálculo en dos o más vribles en un form secuencilmente lógic, y cpcitrlo pr plnter y resolver problems medinte su uso. Específicos: Al término del curso el lumno deberá ser cpz de: ) Mnejr el vocbulrio básico y/o ls propieddes de: l Integrl de Riemnn y ls Series. b) Clculr l ntiderivd de un función usndo: fórmuls elementles de diferenciles; sustituciones lgebrics, trigonométrics o hiperbólics; Integrción por prtes y frcciones prciles o combinción de ells. c) Clculr áres bjo un curv culesquier se l form como l función o curv esté dd. (Polres, Prmétrics, Explícits).

2 2 d) Clculr momentos de áres y de inerci, centroides, volúmenes y superficies de sólidos de revolución, longitudes de curvs e integrles impropis de dos tipos. e) Utilizr proximciones numérics pr el cálculo de un integrl definid. f) Aplicr cd uno de los criterios de Convergenci de Series que incluye el progrm. g) Anlizr l convergenci de cd tipo de series que incluye el progrm. h) Desrrollr un función en series de Tylor o McLurin y plicr este recurso pr integrles especiles. i) Mnejr el vocbulrio básico referente límite, continuidd, diferencición e integrción de funciones de vris vribles. j) Reconocer si un función tiene límite en un punto y eventulmente clculrlo. k) Reconocer y demostrr l continuidd de un función en un punto. l) Derivr un función rel o vectoril de vris vribles independientemente de su form o descripción, y plicr est herrmient pr resolver problems de optimizción y minimizción con o sin restricciones.. m) Reconocer l integrbilidd de un función y clculr l integrl de ell medinte integrción iterd. n) Aplicr l integrción múltiple l cálculo de volúmenes, áres, centro de ms, momentos de inerci, etc. III TEMAS Y CONTENIDOS. Integrción de funciones cotds (3.. Prticiones, norm, refinmientos..2. Integrl de Riemnn..3. Clse de funciones Riemnn Integrbles. (Continus ctp)..4. Teorem fundmentl del Cálculo..5. Propieddes de l integrl pr funciones continus (ví teorem fundmentl del Cálculo). - Linebilidd - Aditividd f = f + f c.6. Aplicciones l cálculo de áres sencills en coordends crtesins. b c b 2. Integrl Indefinid (3 2.. Definición de l integrl indefinid Q( x) = f : t dt 2.2. Demostrr que l integrl indefinid Q( x) = f ( t) dt es diferencible y que Q ( x) = f ( x :) x x

3 Cálculo explícito de integrles indefinids (ntiderivds o primitivs) pr funciones continus sencills (hcer notr tods ls funciones tienen primitivs) como ejemplo: n,, x 2, L, x, x sen x, cos x, x 2.4. L función logritmo como integrl indefinid de l/t (plicr 2.2. pr clculr su derivd). 3. Métodos de Integrción (o cálculo explícito de Integrles indefinids pr funciones continus) (6 3.. Cmbio de vrible (o integrción por sustitución) 3.2. Integrción por prtes Fórmuls de Reducción pr potencis pres e impres de funciones trigonométrics Integrción de potencis reles de polinomios Integrción de funciones rcionles. (frcciones prciles) Integrción de funciones inverss Integrción de funciones rcionles trigonométrics. 4. Aplicciones de l Integrl Definid (7 4.. Cálculo de áres (coordends crtesins y polres) Cálculo de volúmenes pr cuerpos de revolución Cálculo de momentos de inerci pr cuerpos de revolución Cálculo de longitud de curvs (ddos en form crtesin, polres y prmétrics) Cálculo de áre de superficies de revolución. 5. Integrles Impropis (2 5.. Definiciones básics: integrl impropi de l especie; convergenci, divergenci, convergenci bsolut, convergenci condicionl Teorem de convergenci de integrles impropis de l primer especie Integrl impropi de segund especie: vlor principl de Cuchy. 6. Series Numérics (5 6.. Sucesiones Convergenci si y sólo si convergenci Cuchy Series numérics, (definiciones) y propieddes lgebrics Ejemplos: series geométrics, rmónics, p-rmónic, lternds, crecientes, etc Criterios de convergenci - Comprción entre términos. - Prueb de l ríz, de cuociente, de l integrl. - Comprción l límite. - Otrs (si fuer posible)

4 4 7. Series de Funciones (4 7.. Convergenci puntul y uniforme Series de potencis Rdio e Intervlo de convergenci Serie de Tylor y de Mc Lurin. 8. Cálculo Diferencil en Vris Vribles (8 8.. Conceptos topológicos básicos ( 8.2. Vecinddes Conjuntos biertos Región Puntos de cumulción Funciones de dos o más vribles independientes ( sesión) Curvs de nivel (funciones de dos vribles independientes) Superficies de nivel (funciones de tres vribles independientes) Límites ( Definición de límite (pr puntos de cumulción) Condición necesri pr existenci de límite Algebr de límites Continuidd ( Definición en bse vecinddes Crcterizción en bse límites Algebr de funciones continus Ejemplos de funciones continus: polinómics, rcionles; composiciones con funciones reles continus Derivds prciles ( sesión) Definición Interpretción geométric Condición necesri pr extremos reltivo Derivds prciles de orden superior ( Iguldd de ls derivds mixts Corolrio: p f n q = q f n p ( p + q = n) 8.8. Diferencibilidd ( Definición (en bse generlizr l definición unidimensionl) Crcterizción en bse existenci y continuidd de ls derivds prciles) Algebr de funciones diferencibles Ejemplos de funciones diferencibles: polinómics, rcionles, composiciones con funciones derivbles reles Derivds de funciones diferencibles compuests (regl de l cden) Diferencil exct: Interpretción geométric como un plno (fin) tngente l superficie Aplicción de l diferencil exct l cálculo proximdo de incrementos Grdiente e interpretción geométric en 3 dimensiones Derivd direccionl Teorem de Tylor en Vris Vribles.

5 Funciones implícits ( Condiciones suficientes pr l existenci de ls funciones implícits Derivción prcil implícit Aplicción l cálculo de plnos tngentes ddos en form implícit Funciones inverss ( Jcobino Condiciones suficientes pr l existenci de l trnsformción invers diferencible Derivción prcil de funciones inverss. 8.. Máximos y Mínimos ( Máximos y mínimos reltivos Puntos críticos Condiciones suficientes pr máximos, mínimos o puntos de ensilldur Definición de máximos y mínimos bsolutos Multiplicdores de Lgrnge. 9. Integrción (8 9.. Integrl de Riemnn pr funciones cotds sobre rectángulos ( 9... Prticiones y refinmientos Sums superiores e inferiores Función Riemnn integrble Integrl de Riemnn pr funciones cotds sobre regiones ( Conjunto de contenido nulo Definición de integrl múltiple sobre regiones Clse de función Riemnn integrble Integrles iterds ( Definición Teorem de Fubini Cálculo de áres, volúmenes Cmbio de vribles ( Teorem del cmbio de vrible Csos prticulres: polres, esférics, cilíndrics Integrles múltiples impropis. 0. Aplicciones l Cálculo de: (4 - Ares del circulo, elipse, crdioide, etc. - Volumen de esfer, cono, elipsoide, prbolide, etc. - Momentos de inerci de cilindros, esfers, conos, etc.

6 6 IV BIBLIOGRAFIA - Editdo por el Instituto de Mtemátics, UCV. Integrción y Series - Instituto de Mtemátics UCV. Cálculo en Vris Vribles - Kitchen Cálculo - Tylor y Wde Cálculo Diferencil e Integrl - Thoms Cálculo Diferencil e Integrl - Schum s Cálculo Diferencil e Integrl - Schum s Cálculo Avnzdo VALPARAISO,

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