DERIVADAS. Dada una función y =f(x), llamamos derivada de la función f en el punto x = a, f (a), al límite f '( y es un número real.

Transcripción

1 .-Deinición DERIVADAS Dada una unción y (), llamamos derivada de la unción en el punto a, (, ( a + ) al límite '( y es un número real. 0 Cuando eiste este límite, decimos que la unción es derivable en a. Si en la deinición anterior acemos el cambio a+ entonces decir que 0 equivale a que a y la deinición de derivada en el punto a se escribe ( ) '( a a Ejemplo:Calcular la derivada de () + en el punto '() 0 ( + ) () ( + ) 0 ( + ) 0 Calcular la derivada de () 3+ en '() ( ) () ( ) 3.-Relación entre derivabilidad y continuidad Si una unción y () es derivable en a entonces es continua en a. b) Si y () es continua en a, no tiene por qué ser derivable en a. Demostración: Si () es derivable en a entonces sabemos que eiste ( ) '(. a a Para demostrar que () sea continua en a se debe cumplir lim ( ) (, que es equivalente a decir lim ( ( ) ) 0.Veámoslo: a a lim a ( ) a ( ( ) ) ( '( 0 0 () a () c.q.d. ()Multiplicamos y dividimos por -a () Aplicamos el límite de un producto. DERIVABLE CONTINUA NO CONTINUA NO DERIVABLE

2 b)lo demostraremos con un ejemplo de unción continua en 0 y no derivable en 0 ( ) si < 0 si 0 Se ve gráicamente que es continua en 0. Para calcular (0),al ser una unción deinida a trozos, calculamos los límites laterales: lim 0 lim + 0 ( ) (0) 0 ( ) (0) y vemos que no coinciden, entonces (0). Gráicamente, una unción no es derivable en a si el punto (a, ( ) es un pico 3.- Interpretación geométrica de la derivada. La derivada de una unción y () en el punto a, ( coincide con la pendiente m de la recta tangente a la gráica de la unción en el punto de tangencia (a, ( ). Demostración: m tg ( Haremos la demostración aplicando la deinición de derivada en un punto a ( ) '(,calculando este límite en cuatro pasos que vamos a a interpretando gráicamente: ºpaso Incrementamos la unción

3 Dibujamos una gráica y señalamos los puntos P(a, () y Q(, ()), donde a+. Hallamos el incremento de la unción y () ( (a+) () y el incremento de la variable a. y ( ) ( a + ) º paso Calculamos el cociente incremental. a Dibujamos la recta secante que pasa por los puntos P y Q y los incrementos y observamos que se orma un triángulo rectángulo. La recta orma un ángulo α con el eje de abscisas X. 3º paso Interpretamos el cociente incremental. En ese triángulo tg α une los puntos P y Q. y ( ) ( a ) a y es la pendiente de la recta secante que 4º paso Calculamos el límite cuando a o 0 del cociente incremental y ( ) ( a + ). a Cuando a el punto móvil Q se desplaza a lo largo de la gráica acercándose al punto P y las rectas secantes que los une se aproima a la recta tangente a la gráica en P; y el ángulo α se aproima al ángulo β de la recta tangente Entonces: ( ) lim tgα '( tgβ m donde m es la pendiente de la recta a a a tangente a la gráica en el punto P( a,(). 4.-Ecuación de la recta tangente a la gráica en el punto P(a, (). La ecuación de una recta que pasa por un punto A( 0, y 0 ) y tiene pendiente m, en la orma punto-pendiente es: y y 0 m ( 0 ) De la recta tangente a la gráica se conoce el punto de tangencia P(a, () y la pendiente m ( y por tanto la ecuación de esta recta tangente en la orma punto-pendiente es: y ( ( ( a ) 5.- Función derivada de una unción y () Si una unción y () es derivable en todos los puntos, podemos deinir una nueva unción asignando a cada valor a como imagen su derivada ( y a la nueva unción la llamamos unción derivada de () y la notamos ().

4 Para calcular la órmula de () aplicamos la deinición de la derivada de la unción en un punto genérico. Ejemplo: Calcular la unción derivada de (). ( + ) '( ) 0 Importante: ( ) 0 ( + ) ( + ) 0 Cuando tenemos calculada la unción derivada y () y necesitamos calcular la derivada de la unción () en un punto a, basta con sustituir en () el punto a y no necesitaríamos calcular el límite de la deinición. Ejemplo: Sabemos que la unción derivada de () es ().Entonces () (-3) (-3) Derivada de las operaciones con unciones derivables La derivada de una suma de unciones es la suma de las derivadas. ( () + g() ) () + g () b) La derivada del producto de un número real por una unción es el producto del número por la derivada de la unción. ( k ()) k () c)la derivada de un producto de unciones es la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda. ( () g() ) () g() + () g () d) La derivada de un cociente es la derivada de la ª por la ª sin derivar menos la ª sin derivar por la derivada de la ª y todo dividido por la ª al cuadrado ( ) ( ) g( ) ( ) g ( ) g( ) ( g( ) ) e) La derivada de una composición es el producto de las derivadas.esta órmula se conoce como regla de la cadena. ( g) ( ) ( g( )) g ( ) En esta operación es importante saber quien es la variable de cada unción componente Ejemplo z ( g)() ( g() ) sen( + ) es la composición de y g() + y z (y) sen y y + z sen y sen( + ) g g

5 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIÓN EXPRESIÓN DERIVADA Identidad y Constante y K 0 Potencial y n n n- Eponencial y e e Logarítmica y a y Ln y log a log a lna a e Seno y sen cos Coseno y cos - sen Lna tg cos + cot g sen + + Tangente y tg + Cotangente y cotg ( ) Arco seno Arco coseno y arc sen y arc cos Arco tangente y arc tg Arco cotangente OPERACIÓN y arc cotg DERIVADAS DE LAS OPERACIONES FÓRMULA SUMA ( + g ) + g RESTA ( - g ) - g PRODUCTO POR UN ESCALAR ( k ) k PRODUCTO ( g ) g + g COCIENTE g g g g COMPOSICIÓN ( g ) ( g ) g

6 7.-Aplicaciones de la derivada. Para estudiar la monotonía de una unción,(los intervalos de crecimiento y de decrecimiento),y la curvatura (intervalos de concavidad y conveidad) aplicamos: Dada una unción y () derivable, se veriica: - si () <0 entonces es decreciente - si () > 0 entonces es creciente Ejemplo: Estudiar la monotonía de y º Calculamos la unción derivada y º Resolvemos la ecuación y 0 que tiene las soluciones y 7 3º Estudiamos el signo de y en los intervalos determinados por las soluciones y (0) 84 > 0 es creciente en (-, ) y ( 3) -4 < 0 es decreciente en (,7) y (8) 36 > 0 es creciente en (7, + ) En los puntos donde y 0 es donde se encuentran los posibles etremos. En el punto (,() ) ay un Máimo y en el punto (7, (7) ) ay un mínimo porque en ellos cambia la monotonía. b) Dada una unción y (), se veriica: - si () > 0 entonces es cóncava - si () < 0 entonces es convea Ejemplo: Estudiar la curvatura de y º Calculamos la derivada segunda y 54 º Resolvemos la ecuación y 0 que tiene por solución 9/ 3º Estudiamos el signo de y en los dos intervalos determinados por la solución y (0) -54 <0 es convea en (-, 9/) y (5) 6 > 0 es cóncava en (9/, + ) En los puntos donde y 0 es donde se encuentran los posibles puntos de inleión En el punto (9/, (9/)) ay un punto de inleión porque cambia la curvatura..