Recordatorio Basico de Álgebra para Lógica

Transcripción

1 Recordatorio Basico de Álgebra para Lógica Guido Sciavicco 1 Conjuntos Definición 1 Un conjunto es una colleccion, finita o infinita, de elementos. Ejemplo 2 La colleccion de los elementos a, b, c, denotada por {a, b, c}, es un conjunto. La colleccion de los elementos Juan, Jose, P edros, Ana, denotada por {Juan, Jose, P edros, Ana} es un conjunto. La colleccion vacía también es un conjunto, denotado por Ø. Es importante notar que en los conjuntos no hay repeticiones. Por lo tanto, los conjuntos {a, a, a, a}, {a, a}, y {a} son iguales, y la denotación correcta es {a}. En matematica, se usan conjuntos particulares que tienen simbolos reservados. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, es decir el conjunto infinito {0, 1, 2, 3,...}, se denota con N. Asimismo, exísten los conjunto de los números racionales (Q), reales (R)... Además, los conjuntos pueden denotarse con una propiedad. Por ejemplo, el conjunto de los numeros naturales pares puede denotarse con {x x es un numero natural que se puede dividir por dos}. En lógica, los conjuntos corresponden a proposiciones o a formulas atomicas. Cuando queremos denotar el conjunto entero, utilizamos las proposiciones, como P, Q,..., mientras cuando queremos identificar los elementos (y sus propiedades), utilizaremos (en lógica) expresiones como P (x), Q(a), y (en álgebra) las expresiones x P, x Q. El símbolo se pronuncia pertenece a. Se suele utilizar a, b, c,... para indicar constantes, y x, y, z,... para indicar variables. Ejemplo 3 Se considere el conjunto N, y la propiedád x es un número par. Si denotamos el conjunto de tódos los numeros naturales páres con P ar, se puede indicar que 4 es un número par con P ar(4). De la misma manera, podemos indicar que 3 no es un número par con P ar(3). Los símbolos 3, 4 son constantes. Cuando utilizamos una variable, como en P ar(x), la verdád o menos de expresión depende del valór que demos a x. Ejercicio 4 Se denoten en álgebra las expresiones 1. x es un numero real; 2. no es verdad que 7 es un numero natural par; 1

2 3. Juan es mayor de edad. Ejercicio 5 Se denote el conjunto que contiene el conjunto que contiene el conjunto vacío, y el conjunto que contiene el conjunto vacio y el conjunto que contiene el conjunto vacío. Sugerencia. {{Ø}}. En el anteriór ejercicio, la solucion a la primera pregunta es 2 Operaciones entre Conjuntos Definición 6 Si A es un conjunto, el complemento de A, denotado por A, contiene todos los elementos que no están en A. El complemento de un conjunto finito puede ser infinito; además, el complemento de un conjunto puede no ser bien definido. Para garantizár que siempre sea bien definido, se suele trabajar bajo la hipotesis de que existe un universo U estan todos los elementos. Ejemplo 7 Se considere el conjunto P ar = {x x es un numero natural par}; entonces, si U = N, P ar = {1, 3, 5,...} = {x x es un numero natural no par}. Asimismo, si U = {a, b, c, d} y A = {a}, entonces A = {b, c, d}. En lógica, el complemento corresponde con la negaccion. Asi que si tenemos la propiedad A, la propiedad no A, correspondiente a A, se denotará con A. Definición 8 Si A, B son dos conjuntos, la interseccion de A y B, denotada por A B, contiene todos los elementos que están tanto en A como en B. En lógica, la interseccion corresponde a la conjuncion ( ) de formulas (proposiciones, formulas atomicas). Ejemplo 9 Se consideren los conjuntos A = {1, 3, 8, 43} y B = {5, 43, a}. Entónces, A B = {43}, y A B = {1, 3, 8, 5, a, Juan} si U = {1, 3, 8, 5, a, Juan, 43}. Si x tiene la propiedad P y también la propiedad Q, entonces escribiremos P (x) Q(x), o sea, x P Q. Sabiendo que dos conjuntos se consideran iguales cuando contienen los mismos elementos (A = B), se resuelva el siguiente: Ejercicio 10 Se demuestre que 1. A B = B A; 2. A = A; 3. Ø Ø = Ø 4. A Ø = Ø. 2

3 Sugerencia. En el anteriór ejercicio, una posible demostración del punto 1 es: x es un cualquier elemento de A B si y solo si x pertenece tanto a A como a B, o sea, si y solo si x pertenece a B y a A, o sea, si y solo si x pertenece a B A; ya que éste razonamiento no depende de x, todos los elementos que pertenecen a A B pertenecen tambien a B A, y, de la misma manera, todos los elementos que pertenecen a B A pertenecen tambien a A B; entónces, A B = B A. Ejercicio 11 Se demuestre que A (B C) = (A B) C y se dea una definicion de esta propiedad en términos lógicos. Definición 12 Si A, B son dos conjuntos, la unión de A y B, denotada por A B, contiene todos los elementos que están en A o bién en B. En lógica, la unión corresponde a la disjuncion ( ) de formulas (proposiciones, formulas atomicas). Definición 13 Si A, B son dos conjuntos, decimos que A esta contenido en B, y lo denotamos por A B, si B contiene todos los elementos que están en A. Si existe por lo menos un elemento que esta en B y no en A, entonces lo denotaremos por A B. En lógica, la noción de contenido corresponde a la implicacion logica, y se denota por. Ejemplo 14 Se consideren los conjuntos P ar y N. Claramente, P ar N, porque cada numero natural par es un numero natural, y existe por lo menos un numero natural no par. Si P denota la propiedad lógica correspondiente a P ar, y N la propiedad lógica correspondiente a N, entonces, por cada x, P (x) N(x) Ejercicio 15 Se demuestre que 1. A = B si y solo si A B y B A; 2. A A; 3. A B = B A; 4. A B = A B; 5. A (B C) = (A B) (A C); 6. si A B entonces A B = B. Se observe que el ultimo ejercicio se puede interpretar logicamente como sigue: si suponemos que p q, entonces la formula p q es equivalente a q. 3

4 3 Logica Proposicional y Conjuntos Hemos visto que podemos hablar de las propiedades de los conjuntos a través de la lógica proposicional. Con el símbolo verdad (true,, V, 1) de una proposición (conjunto) p indicamos la pertenencia al conjunto denotado, mientras con el símbolo falso (false,, F, 0), la no-pertenencia. Por lo tanto, la operacion de complemento, tiene la siguiente tabla de verdad: p p V F F V Asimismo, todas las operaciones entre conjuntos tienen una tabla de verdad: p q p q V V V V F F F V F F F F p q p q V V V V F V F V V F F F Ejemplo 16 Se consideren los conjuntos p y q. La relacion p q dice que todos los elementos de p tambien son elementos de q. Por lo tanto, dado cualquier elemento, o bien esta en q o bien esta en el complemento de p, es decir, p q, que se indica con p q: p q p q V V V V F F F V V F F V Con las tablas de verdad podemos averiguar el valor de verdad de cualquier formula proposicional. Ejemplo 17 Se consideren los conjuntos p, q. conjunto φ (p q) p q. p q p q p q φ V V F F F F V F F V V F F V V V F F F F V F F F Nos preguntamos si existe el Como la ultima columna no contiene simbolos de verdad, el conjunto φ no existe. 4

5 Cada formula proposicional identifica un conjunto como composicion de otros conjuntos. El conjunto identificado puede no existir (contradiccion), o puede ser el universo (tautologia), o simplemente existir pero ser distinto del universo (formula satisfactible). Ejemplo 18 Se consideren los conjuntos p, q. conjunto φ (p q) p. p q p p q φ V V F V F V F F V F F V V V V F F V F F Nos preguntamos si existe el Como la ultima columna contiene por lo menos un simbolo de verdad, el conjunto φ existe, pero al contener por lo menos un falso, es distinto del universo. Ejercicio 19 Se desarollen las tablas de verdad des las siguientes formulas: 1. (p q) ( p q); 2. ((p r) q) p (q r); La relacion de igualdad entre conjuntos A = B corresponde, en lógica proposicional, al operador (si y solo si). p q p q V V V V F F F V F F F V Ejercicio 20 Se considere el ejercicio 10, y se encuentren las fórmulas equivalentes a cadauna de las equaciones entre conjuntos. 4 Relaciones entre Conjuntos Ya hemos visto la relacion de pertenencia de un elemento a un conjunto. Los conjuntos se pueden relacionar entre si; la noción fundamental sobre relaciones entre conjuntos es el producto cartesiano. Definición 21 Si A, B son dos conjuntos, el producto cartesiano entre A y B es el conjunto de pares ordenados A B = {(x, y) x A, y B}. La nocion lógica correspondiente a (un sub-conjunto del) producto cartesiano de dos conjuntos es la formula atomica 2-aria p(x, y). 5

6 Ejemplo 22 Se considere el conjunto N, y el producto cartesiano N N. Ahora se considere el sub-conjunto O N N tal que O = {(x, y) x < y}, donde < es la relación de ordenación de los numeros naturales. En lógica, si p corresponde al conjunto O, la formula atomica p(x, y) se interpreta como x es menor que y. En lógica, el concepto de existencia de un elemento, se denota con, y el concepto para todos los elementos se denota con. Los símbolos, se llaman cuantificadores. Ejemplo 23 Se considere otra vez O N N tal que O = {(x, y) x < y}, donde < es la relación de ordenación de los numeros naturales. En lógica, si p corresponde al conjunto O, la formula x y(p(x, y)) se lee por cada numero natural x, existe un numero natural y tal que y es mayor que x. Definición 24 Si A 1, A 2,..., A n son conjuntos, el producto cartesiano generalizado entre A 1, A 2,..., A n es el conjunto A 1 A 2... A n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1 A 1, x 2 A 2,..., x n A n }. 4.1 Recordatorio: Relaciones de Orden Definición 25 Se dice que una relacin R en un conjunto A (es decir, A A A) es de orden si tiene las propiedades: reflexiva: x A(R(x, x)); antisimtrica: x, y A((R(x, y) R(y, x)) x = y); transitiva: x, y, z A((R(x, y) R(y, z)) R(x, z)). Definición 26 Se dice que una relacin de orden R en un conjunto A (es decir, A A A) es de orden total si tiene la propiedád: totalidad: x, y A(R(x, y) R(y, x)). Ejemplo 27 Sea A = {0, 1} un conjunto, y sea P (A) = {Ø, {0}, {1}, {0, 1}} el conjunto de todos los sub-conjuntos de A (que se llama conjunto de las partes de A). La relacion definida en el conjunto P (A) P (A) no es una relacion de orden total, porque {0} {1} y {1} {0}. Ejercicio 28 Sea A un conjunto. Se demuestre que la relacion, definida en el conjunto P (A) P (A), es una relacion de órden. Ejercicio 29 Sean A, B dos conjuntos, y sean R, S dos relaciones de orden definidas, respectivamente, en A y B. Demostrar que la relacion K definida en A B como K = {((x, y), (x, y )) R(x, x ) S(y, y )} es de orden. 6

7 5 Funciones Las funciones son un tipo especial de relaciones entre conjuntos. Definición 30 Se dice que una relación 2-aria R definida sobre los conjuntos A y B se dice que es una función si cumple la siguiente condición: por todos los elementos a A existe un solo elemento b B tal que R(a, b). En álgebra, las funciones se denotan normalmente con las letras f, g,..., y de la siguiente manera: si f denota la función R, entonces en lugar de R(a, b) se pone f(a) = b. De particular interés son las funciones definidas sobre el mismo conjunto, o sea, que corresponden a (sub-conjuntos de) relaciones sobre A A. Ejemplo 31 Se considere el conjunto N, y la relación R N N definida como R = {(x, y) y = 2x }. Como por cada numero natural existe un solo numero natural correspondiente a su doble, R es una función. Normálmente, ésta función se denota con f(x) = 2x. En lógica, las funciones son parte del lenguaje. Cuando las utilizamos en las formulas, las funcónes se pueden aplicar tanto a constantes como a variables. Por ejemplo, si quieremos decir que por cada numero natural existe un numero natural que es su doble, podemos escribir x y((n(x) N(y)) (y = f(x))), donde interpretamos la relacíon = como la identidad (sintactica). Las funciones, como las relaciones, pueden definirse de forma generalizada. Ejercicio 32 Dar una definición formal de función generalizada. 6 Grafos y Árboles Definición 33 Se considere un conjunto V, y una relaccion E V V. El par ordenado G = (V, E) se denomina grafo, donde V es el conjunto de los vértices, y E es el conjunto de los aristas (lados). Definición 34 Si G = (V, E) es un grafo, entónces se dice que G es no dirigido si E es una relación simétrica, es decir, x, y((e(x) E(y) V (x, y) x y) V (y, x)) En ótras palabras, si es cierto que, si desde el vertice a puedo llegar al vértice b entónces puedo tambíen volver atrás (por cada par de vértices), el grafo es no dirigido. Definición 35 Si G = (V, E) es un grafo, entónces se dice que G es conexo si por cada par de vértices a, b existe por lo menos un lado que los conecta. De particular interés para nosotros son los así llamados grafos dirigidos. 7

8 Definición 36 Si G = (V, E) es un grafo, entónces se dice que G es no dirigido si E es una relación simétrica. Si la relación no es simetrica, entonces hablaremos de grafos dirigidos. Ejemplo 37 Se considere el par G = (V, E) donde G = {a, b, c} y E = {(a, b), (a, c), (c, a)}. La relación E no es simetrica, por lo tanto G es dirigido. Ejercicio 38 Se ilustre G del ejemplo anterior. Se complete la relación E en una relaciíon E de manera que el grafo G = (V, E ) sea no dirigido. De todos los posibles grafos dirigidos conexos, nos interesamos en forma particular de árboles. Definición 39 Si G = (V, E) es un grafo dirigido conexo, entónces se dice que G es un árbol si y solo si E = V 1. Definición 40 Si G = (V, E) árbol, entonces: la raíz es el vertice a tal que, por todos los demás vertices x no existe algun lado (x, a) E; una hoja es un vertice v tal que ningun lado sale desde v; por cualquier hoja v V, una rama es el conjunto de lados desde la raiz a v; la altura de G es la maxima altura de una rama, o sea, el maximo numero de lados de una rama; un sub-árbol con raiz b es el árbol constituido por todos y solos los vértices y lados alcanzables a partir de b (incluiendo a b); la ariedad de G es el maximo numero de lados que salen de un vértice en G; G se denomina infinito si V =, y finitamete generado si la ariedad es menor que. Lemma 41 (Köenig) Un árbol infinito, pero finitamente generado, tiene por lo menos una rama infinita. Ejercicio 42 Se demuestre el anteriór resultado. 8