NÚMEROS COMPLEJOS MATEMÁTICAS I 1º

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1 NÚMEROS COMPLEJOS MATEMÁTICAS I 1º Bachllerato CCNN Alfonso González IES Fernando de Mena Dpto. de Matemátcas

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3 Matemátcas I COMPLEJOS I) NECESIDAD DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Los números complejos, tambén llamados magnaros, surgeron hstórcamente de la necesdad de resolver ecuacones tan sencllas como x + 1= 0 x = 1 x = ± 1 Esta ecuacón, como muy ben sabemos, no tendría solucón en el campo de los números reales. Ahora ben, s defnmos: 1 = undad magnara es decr, = 1 entonces su solucón sería x=±. Esto es lo que hceron en el sglo XVI matemátcos como Grolamo Cardano ( ) o Rafaelle Bombell ( ); en aquella época a este tpo de números se les empezó a llamar magnaros. Por certo, el prmero en utlzar la para desgnar la undad magnara fue el suzo Leonhard Euler ( ), mentras que al alemán Carl Fredrch Gauss ( ), que profundzó en el estudo de estos números, se debe el adjetvo de complejos. Ejemplo 1: Resolver, en el campo de los números complejos, la ecuacón x +9=0 Ejemplo : Ídem con x -x+1=0 Ejemplo : Ídem con x +x+1=0 En general: undad magnara a+b parte real parte magnara Nº COMPLEJO EN FORMA BINÓMICA Ejercco fnal tema: 1 Conclusón: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA: Todo polnomo de grado n tene n raíces (reales o complejas) Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 19

4 Matemátcas I COMPLEJOS Defncones: 1º) Se defne el conjunto de los números complejos como el formado por todos los números de la forma a+b, donde a y b son reales: ={a+b / a, b } A los números complejos se les suele desgnar con la letra z, es decr, z=a+b, y se dce que: e(z)=a Im(z)=b parte real de z parte magnara de z º) Número magnaro puro: es aquel complejo que carece de parte real, es decr, e(z)=0 Ejemplos:, 7,, 5,, 5, etc. º) Número real: es aquel complejo que carece de parte magnara, es decr, Im (z)=0 Ejemplos:, 6, 1, 7, 1,, etc. Nótese, por tanto, que los reales están contendos en los complejos:, o dcho de otra forma, los reales son un subconjunto de los complejos; por lo tanto, ya podemos completar el esquema de todos los conjuntos numércos que conocemos: º) Complejo conjugado, z (se lee "conjugado de z"): El complejo conjugado del complejo z = a + b se defne como z = a b Ejemplos: z = + 5 z = 5 z = 1 z = 1+ z = 7 z = 7 z = z = etc. Advértase que las solucones magnaras de una ecuacón de º grado sempre son pares conjugados. 5º) Dos números complejos expresados en forma bnómca son guales s concden sus partes reales e magnaras. Ejemplo: x = y + y =, x = Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 10

5 Matemátcas I COMPLEJOS Ejercco fnal tema: Reseña hstórca: La undad magnara = 1fue ntuda por los matemátcos talanos renacentstas Gerolamo Cardano ( ), Raffaele Bombell ( ) et al., al tratar de resolver ecuacones del tpo x+1=0, es decr, carentes de solucón en el campo real. En el sglo XVII, a las de números negatvos se les denomnaba números magnaros. El prmero en utlzar la para desgnar la undad magnara fue el suzo Leonhard Euler ( ) En 167 el nglés John Walls ( ) fue el prmero en dear el plano complejo, que fue redescuberto ndependentemente por el noruego Caspar Wessel ( ) en 1797 y por matemátco, astrónomo y físco alemán Johann Carl Fredrch Gauss ( ) en 1811, quen tambén vo que las n raíces de la ecuacón xn 1=0 formaban un polígono regular de n lados. Precsamente Gauss utlzó por prmera vez el adjetvo de números complejos. El francés Augustn-Lous Cauchy ( ) desarrolló formalmente el análss complejo, ya ntudo por Gauss. El alemán Bernhard Remann ( ) tambén utlzó funcones complejas, es decr, funcones f(z) cuya varable z es un complejo. La prmera aplcacón práctca de los números complejos se debe al germano-amercano Charles Stenmetz ( ), para cálculos en corrente alterna, en concreto para la nductanca de una bobna y la capactanca de un condensador. II) OPERACIONES CON COMPLEJOS en FORMA BINÓMICA II.1) Suma y dferenca: Se realza sumando (o restando) por separado sus partes reales e magnaras: Ejemplo : z 1 =+5 z =- z 1 + z =(+5)+(-)=7+ z 1 -z =(+5)-(-)=-1+7 Ejerccos fnal tema: y II.) Producto: Se realza calculando los cuatro productos posbles y tenendo en cuenta que =-1: Ejemplo 5: z 1 =+5 z =- z 1 z =(+5)(-)= = = +1 =-1 Ejerccos fnal tema: 5 a 9 Consecuenca: (a+b)(a-b)=a +b + Este hecho será útl para el cocente que vamos a defnr a contnuacón: II.) Cocente: Se realza multplcando numerador y denomnador por el conjugado del denomnador: Ejemplo 6: ( + 5)( + ) ( )( ) = = = = = + = =-1 Observacones: 1ª) Se recomenda hacer la comprobacón: ( ) propedad dstrbutva del cocente = = Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 11

6 Matemátcas I COMPLEJOS ª) Caso partcular: Cuando en el denomnador aparece un magnaro puro basta con multplcar numerador y denomnador por : Ejemplo 7: ( + 5) = = = = = Ejerccos fnal tema: 10 y 11 II.) Potenca: Para hacer (a+b) n tendremos que aplcar el bnomo de Newton, como vmos en el 1 er tema del curso; ahora ben, como a contnuacón habría que susttur alguna de las potencas sucesvas de, vamos a nvestgar su valor: 0 =1 1 = =-1 como sempre como sempre por defncón = =-1 =- = =- =- =1 5 = =1 = 6 = 5 = = =-1 7 = 6 =-1 =- Luego vemos que se trata de una sere de térmnos (los recuadrados) que se van reptendo; y lo curoso es que este hecho tambén se da haca atrás: 1 1 = = = = = = = = = = = = = = = 1 En resumen: - =1 - = - =-1-1 =- Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 1

7 Matemátcas I COMPLEJOS 0 =1 1 = =-1 =- =1 5 = 6 =-1 7 =- 8 =1 Y, en general, para hallar una potenca n-ésma de, basta con hacer la dvsón y quedarnos con el resto, que estará en uno de los cuatro casos anterores: Ejemplo 8: = = =- Ejerccos fnal tema: 1 a 5 Es decr, descenderíamos 7 veces en la sere de elementos para acabar en la poscón III) REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE COMPLEJOS (Forma bnómca y polar) eje magnaro b a+b a eje real Dado un sstema de dos ejes perpendculares como el de la fgura eje real y eje magnaro-, llamado plano de Gauss 1, para representar un complejo en forma bnómca es decr, z=a+b- le haremos corresponder el vector (a,b). Defncones: 1ª) El punto (a,b), es decr, el extremo del vector, se llama afjo del complejo a+b. ª) La longtud del vector se denomna módulo, y se suele desgnar como r o z. ª) El ángulo que forma el vector con la parte postva del eje x se llama argumento, y se desgna como α o arg(z). 1 Curosamente, en realdad los artífces de esta dea fueron el danés Caspar Wessel ( ) en 1797 y el suzo Jean Robert Argand ( ) en 1806, pero la glora del nombre se debe al alemán Gauss ( ), que profundzó en este tema 0 años después Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 1

8 Matemátcas I COMPLEJOS Ejerccos fnal tema: 6 Forma polar rα: Consste en representar un complejo medante dos valores: su módulo y su argumento, desgnándolo como rα. eje b z =r α=arg(z) z=a+b a eje Para hallar el módulo podemos aplcar el teorema de Ptágoras en el trángulo sombreado: r = a + b r = a + b (1) Para obtener el argumento, aplcamos trgonometría elemental en el msmo trángulo: b b tg α = α = arctg () a a Todo lo anteror podemos resumrlo en la sguente tabla: Defncón: Cálculo: Rango: FORMA POLAR rα MÓDULO r ARGUMENTO α Longtud del complejo z=a+b r = a + b = z r>0 Ángulo que forma el complejo con la parte postva del eje b α = arctg = arg(z) a 0 α<60º Consejos a la hora de pasar de bnómca a polar: 1ª) Como muy ben sabemos del tema de Trgonometría, entre 0º y 60º exsten dos arcotangentes (que dferen en 180º), por lo que convene dbujar prevamente el complejo y ver con cuál de las dos nos quedamos, en funcón de en qué cuadrante esté stuado: Ejemplo 9: Pasar - + a polar: - + r α ( ) = + = + = = r a b 1 b 1 0º descartada pq. z ºcuad. α = arctg = arctg = arctg = a 150º Por tanto: - += 150º Dcho ángulo puede expresarse en radanes o grados sexagesmales, ndstntamente. Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 1

9 Matemátcas I COMPLEJOS ª) Caso partcular: S se trata de un número real o un magnaro puro se pasa a polar gráfcamente, es decr, sn necesdad de aplcar las dos fórmulas anterores: Ejemplo 10: Pasar - a polar: En el dbujo se ve que: -= 180º - r α (Puede comprobarse tambén, naturalmente, que s se utlzan las dos fórmulas se obtene el msmo resultado, pero el proceso resulta muy tedoso ) Ejerccos fnal tema: 7 a Cuándo son dos complejos guales en forma polar?: r r = r = r α = α + k 60º α α, donde k Es decr: Dos complejos en forma polar son guales s sus módulos son exactamente déntcos y sus argumentos son guales, salvo una dferenca de un múltplo entero de vueltas Ejemplos: 0 º = 9 0 º 5 0 º =5-0 º π = π 0 º = º Forma trgonométrca: Srve para pasar de polar a bnómca: eje b z =r α=arg(z) z=a+b a eje a cos α = a = r cos α r b sen α = b r sen r = α ( ) a + b = r cos α + r sen α = r cos α + sen α () Ejemplo 11: Pasar 150º a bnómca: cos150º = cos ( 180º 0º ) = cos 0º 150º 150º 1 150º = ( cos150º + sen150º ) = + = + sen150º = sen ( 180º 0º ) = sen 0º Por tanto: 150º =- + Nótese que es el msmo resultado obtendo en el ejemplo 9. Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 15

10 Matemátcas I COMPLEJOS Caso partcular: Para pasar de polar a bnómca, cuando se trate de los argumentos 0º, 90º, 180º y 70º, no es necesaro pasar prevamente a trgonométrca: Ejemplo 1: Pasar 180º a bnómca: 180º α r En el dbujo se ve que: 180º =- (Puede comprobarse tambén, naturalmente, que s se pasa prevamente a trgonométrca se obtene el msmo resultado ) Todo lo vsto en este apartado se puede resumr en el sguente dagrama, en el que se muestran las tres formas que hemos ndcado de representar un complejo y todas las combnacones de paso de una a otra: FORMA BINÓMICA a+b r = a + b b α = arctg ( Hacer dbujo!) a FORMA POLAR r α FORMA TRIGONOMÉTRICA r (cos α+sen α) Ejerccos fnal tema: a 1 IV) OPERACIONES EN FORMA POLAR IV.1) Producto y cocente en forma polar El producto de dos complejos en forma polar es otro complejo de módulo el producto de los módulos y argumento la suma de éstos ( ) r r = r r () α α α+α Dem: ( ) ( ) ( )( ) r r = r cosα + sen α r cosα + senα = r r cosα + senα cosα + senα = α α ( ) = r r cosα cosα + senα cosα + cosα senα + senα senα = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = r r cosα cosα senα senα + senα cosα + cosα senα = = r r cos α + α + sen α + α = r r (C.Q. D.) α+α Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 16

11 Matemátcas I COMPLEJOS Ejemplos: 60º 5º = 6 105º 15º 1 70º = 05º = 5º Se puede generalzar a tres o más complejos: 10º 150º 90º = 6 60º = 6 0º El cocente de dos complejos en forma polar es otro complejo de módulo el cocente de los módulos y argumento la resta de éstos r α r = r r α α α (5) Dem: (se deja como ejercco) Ejemplos: 6 85º 0º = 65º 90º = = 10º 0º 0º Ejerccos fnal tema: a 5 En resumen: 1º) Sumas y restas de complejos: sólo se pueden hacer en bnómca. º) Productos, cocentes (y potencas y raíces, como veremos a contnuacón): se recomenda en polar (aunque tambén pueden hacerse, más proljamente, en bnómca). IV.) Potenca en forma polar Vamos a obtener en polar, que es la forma más cómoda para ello-, la fórmula para obtener la potenca de un complejo. Para ello, aplcaremos n veces el producto recén vsto: ( ) n n r = r r r = ( r r r ) = ( r ) α α α α α+α+... +α n α n térmnos n sumandos Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 17

12 Matemátcas I COMPLEJOS Por tanto: n n ( r α ) = ( r ) n α (6) Es decr: Para elevar un complejo en forma polar a un exponente se eleva su módulo al exponente y se multplca su argumento por dcho exponente Ejemplos: ( ) ( ) = = 8 0º 90º 90º ( ) ( ) = = 9 = 9 15º 50º 180º 15º Ejerccos fnal tema: 5 a 57 S pasamos ambos membros de la anteror fórmula a forma trgonométrca obtenemos la fórmula de De Movre : n n ( α + α ) = ( α + α) r cos sen r cos n sen n (7) Esta fórmula es muy útl en Trgonometría, para hallar fórmulas de sennα y cosnα en funcón de sen α y cos α (Ver Ejercco fnal tema: 58) IV.) Raíces de un complejo Es mposble hallar las raíces de un complejo drectamente en forma bnómca. Vamos a deducr a contnuacón las fórmulas para hallar la raíz de un complejo en polar. Supongamos que nos dan el complejo r α, y queremos hallar su raíz n-ésma, que vamos a llamar R β ; por tanto, tendremos que: n r α = R β Por lo tanto, por defncón de raíz n-ésma, tendremos que: ( R ) n β = r α Podemos aplcar ahora al prmer membro la fórmula de la potenca obtenda en el apartado anteror: n ( R ) = r n β α A contnuacón tendremos en cuenta que, según vmos en el apdo. III, dos complejos expresados en forma polar son guales s sus módulos son guales y sus argumentos tambén, salvo una dferenca de un múltplo entero k de vueltas: Descuberta por el francés Abraham de Movre ( ). Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 18

13 Matemátcas I COMPLEJOS n ( R ) n β n n R = r R = r = r α α + k 60º n β = α + k 60º β = n, donde k = 0,1,,...,n 1 (8) Falta razonar que k solamente puede tomar los valores 0, 1,,, hasta n-1. Efectvamente, s k=n, entonces, al susttur en la segunda fórmula recuadrada, obtendríamos β=α+60º, con lo cual volveríamos al msmo ángulo. El hecho de k sólo pueda tomar estos n valores desde 0, 1,... hasta n-1 tene una sere de consecuencas: 1º) Un complejo tene n raíces n-ésmas. º) Las n raíces comparten el msmo módulo R (lo que varía es el argumento). º) S las dbujamos, formarán un polígono regular de n lados. Ejemplo 1: Hallar 890º = = R 8 890º = R β 90º + k 60º β = = 0º + k 10º ; k = 0 β = 0º k = 1 β = 150º k = β = 70º Soluc: 0º, 150º, 70º S dbujamos las tres raíces, comprobaremos que sus afjos forman un trángulo equlátero: 150º 0º 70º Ejerccos fnal tema: 59 y ss. Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 19

14 6 EJERCICIOS de NÚMEROS COMPLEJOS 1. Resolver las sguentes ecuacones en el campo de los números complejos: a) x -x+=0 (Soluc: 1±) b) x +=0 (Soluc: ± ) c) x -x+=0 (Soluc: 1± ) d) x -x+1=0 (Soluc: 1 ± ) e) x -6x +1x-6=0 (Soluc:, ±) f) x +1=0 g) x -1=0 (Soluc: ±1, ±) h) x -x -x +10x-1=0 (Soluc: -,, 1±) Forma bnómca de un complejo:. Completar (en este cuaderno; obsérvese el prmer ejemplo): COMPLEJO z PARTE REAL Re(z) PARTE IMAGINARIA Im(z) OPUESTO -z CONJUGADO z z=+ Re(z)= Im(z)= -z=-- z = z= z= z=- z= -z=-+ z = 1. Dados los complejos z 1 =+, z =-1+ y z =-5, hallar: a) z 1 +z (Soluc: 1+7) e) z +z (Soluc: 1+) ) z z (Soluc: -10) b) z 1 +z (Soluc: -) f) z 1 -z (Soluc: 7-6) j) z1 z1 (Soluc: -9) c) z 1 -z (Soluc: -) g) z -z 1 +z (Soluc: -8+) d) z -z (Soluc: -9) h) z 1 + z (Soluc: 1-). Calcular x e y para que (+x)+(y+)=7+ (Soluc: x=1, y=5) 5. Calcular: a) (+5) (+) (Soluc: -1+) b) (1+) (1+) (Soluc: -+) c) (1+) (-1-) (Soluc: -) d) (-5) (Soluc: 5+) e) (+5) (-5) (Soluc: 9) f) (1+) (1-) (Soluc: ) g) (5+) (-) (Soluc: -1) h) (+5) (Soluc: -16+0) ) (1+) (1-) (Soluc: 10) j) (--5) (-+5) (Soluc: 9) Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 10

15 Matemátcas I COMPLEJOS k) (+) (Soluc: -9+6) l) () (-) (Soluc: 9) m) (+) (Soluc: -5+1) n) (6-) (Soluc: 7-6) o) (+) (1-) (Soluc: 5+) p) (1-) (Soluc: 6+) q) (1+) (-) (Soluc: 5-) r) (5+) (5-) (Soluc: 6) s) (+) (+)-(+) (-) (Soluc: 5) 6. Cómo es sempre el producto de dos complejos conjugados? Razonar la respuesta. (Soluc: IR + ) 7. Dados los complejos del ejercco, hallar: a) z 1 z (Soluc: -1+5) b) z 1 z (Soluc: 19-) c) z -z (Soluc: -9) d) z 1 (z +z ) (Soluc: 5+) e) z 1 -z z (Soluc: ) f) (z 1 ) (Soluc: -5+1) g) (z 1 -z ) (Soluc: -6) h) z1 z (Soluc: 1) 1 ) z1 z1 (Soluc: 6) j) z (z 1 -z ) (Soluc: -8-9) k) (z 1 +z ) (Soluc: -7+16) l) z z1 z (Soluc: 75-8 m) z1 z1 8. Dados los complejos -m y -n hallar m y n para que su producto sea 8+. (Soluc: m 1=- y n 1=1; m =/ y n =-) 9. Resolver la ecuacón (a+) (b-)=7-11 (Soluc: a 1= y b 1=1; a =-1/ y n =-1) 10. Calcular: a) ( Sol : + ) b) Sol : c) d) e) 5 f) g) h) 1 + ) 1+ - j) 1 + k) ( Sol : ) ( Sol : -1 + ) ( Sol : -5 ) ( Sol : ) Sol : - 1 ( Sol : 1 ) ( Sol : ) Sol : ( Sol : ) -5 l) Sol : m) 1 + ( Sol : 0) n) (5 )(1+ ) 1 o) p) q) ( + ) + (5 + ) ( )(1+ ) r) s) t) 1+ a a u) v) a + b b + a + w) 1 1 ( 1 ) ( ) 1 1 Sol : 5 5 Sol 7 : Sol : Sol : 5 5 ( Sol : 1 ) ( Sol : 1 17 ) ( Sol : ) ( Sol : ) 5 1 Sol : ( Sol : ) Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 11

16 Matemátcas I COMPLEJOS 11. Calcular el nverso de cada uno de los sguentes complejos: a) 1 Sol : b) Sol : c) + d) 1- Sol : Sol : + e) -+ 1 Sol : 5 5 f) ( Sol : - ) 1. Calcular las sguentes potencas sucesvas de : a) 1 (Soluc: 1) b) 77 (Soluc: ) h) (Soluc: ) ) - (Soluc: 1) c) 1 (Soluc: ) j) 5 (Soluc: -) d) 7 (Soluc: -) e) (Soluc: 1) f) 1 1 = (Soluc: -) g) 1 = (Soluc: -1) k) -6 (Soluc: -1) l) 5 (Soluc: 1) m) 65 (Soluc: -1) n) -17 (Soluc: -) o) -57 (Soluc: ) 1. Calcular las sguentes operacones combnadas en forma bnómca: a) (+) (Soluc: +11) b) (1+) (Soluc: -+) c) (-) (Soluc: -6-9) d) (-) (Soluc: ) e) -11 (Soluc: ) j) k) l) ( )( + ) ( ) 1 Soluc : ( + ) (1 ) Soluc : ( + )( ) ( ) 1 17 (1 ) (Soluc: ) f) (Soluc: -1) m) (1+ ) 5 8+ (5+ ) (Soluc: -5-) g) h) ) 1 + (Soluc: +) ( ) + ( ) ( (Soluc: 1-1) + )(1 ) ( + ) 1 58 Soluc : n) o) p) + ( ) ( )( ) 17 1 ( )( ) ( ) ( ) ( + )( ) Soluc : Soluc : Soluc : Cuánto ha de valer m para que el complejo z=(m-) (+) sea un número real? E magnaro puro? De qué números se trata? (Soluc: m=1 o m=-; z=10 y z=-0, respectvamente) 15. Determnar x para que el producto z=(-5) (+x) sea: a) Un número real. Qué número resulta? (Soluc: x=15/; z=87/) b) Un número magnaro puro. Qué complejo z se obtene? (Soluc: x=-6/5; z=-87/5) 16. a) Hallar x con la condcón de que (x-) sea un número magnaro puro. (Soluc: x=±) Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 1

17 Matemátcas I COMPLEJOS b) Ídem con (x-) (Soluc: x=±/) c) Ídem con (+x) (Soluc: x=±) 17. Hallar x e y de modo que x = y + (Soluc: x=-16; y=7) Hallar x para que el cocente x + sea un número magnaro puro. De qué número magnaro se trata? + (Soluc: x=-; ) + k 19. Determnar k para que el cocente z = sea: k a) Un número real. Qué número resulta? ( ) b) Un número magnaro puro. Qué número es? ( ) 0. Demostrar la sguente gualdad, obtenda de manera fortuta por el nsgne flósofo y matemátco alemán Gottfred Lebnz ( ): = 6 1. Hallar dos complejos de los que sabemos que su dferenca es un número real, su suma tene la parte real gual a 1 y su producto es -7+ (Soluc: + y -+). Determnar los valores de a y b para que el complejo z=a+b satsfaga la ecuacón z = z. Comprobar que los números complejos ± verfcan la ecuacón x -x+1=0 1 1 Soluc : z = + = = = 1, z, z 0, z 1. Hallar una ecuacón polnómca cuyas raíces sean: a) 1± (Soluc: x -x+10=0) b) 5± (Soluc: x -10x+9=0) c) + y +5 (Soluc: x -(5+6)x+1+1=0) d) ± (Soluc: x +1=0) 5. TEORÍA: Demostrar que s las raíces complejas de Ax +Bx+C=0 son a±b, entonces: A[(x-a) +b ]=Ax +Bx+C (Ayuda: Desarrollar el membro zquerdo y aplcar las relacones de Cardano-Veta) Forma polar de un complejo: 6. Representar los sguentes complejos, sus opuestos y sus conjugados: a) z 1 =+ b) z =1- c) z =-+ d) z =--5 e) z 5 =7 f) z 6 =-7 g) h) - Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 1

18 Matemátcas I COMPLEJOS 7. Pasar a forma polar los sguentes complejos (se recomenda representarlos prevamente, para así elegr correctamente su argumento): a) + (Soluc: 8 60º) b) (Soluc: 6 00º) + ( Soluc: 1º ' ) c) d) (Soluc: 5º) e) (Soluc: 0º) f) 1+ ( Soluc : 5º ) g) 1- ( Soluc : 15º ) h) -1- ( Soluc : 5º ) ) (Soluc: 1 90º) j) - (Soluc: 1 70º) k) + (Soluc: 5 5º 8 ) l) - (Soluc: 5 06º5') m) -+ (Soluc: 5 16º 5 ) n) -5+1 (Soluc: 1 11º 7 ) o) -8 (Soluc: 8 70º) p) 8 (Soluc: 8 0º) q) -8 (Soluc: 8 180º) r) + ( Soluc : 1 º 1' ) s) --5 ( Soluc : 9 8º1' ) 8. a) Hallar m para que el número complejo m+ tenga módulo 5. Justfcar gráfcamente la solucón. (Soluc: m=±) b) Hallar m para que su argumento sea 60º (Soluc: m= ) 9. Hallar a y b para que el complejo (+a)(b-) tenga módulo y argumento 60º. 0. Hallar un número complejo tal que z = e Im(z)=-. Justfcar gráfcamente la solucón. ( Soluc : z = 5, z = 5 ) 1 1. Hallar un número complejo del º cuadrante que tene por módulo y tal que Re(z)=-1. Expresarlo en forma polar. Justfcar gráfcamente la solucón. ( Soluc : -1 + = ) 10º. Hallar un complejo de argumento 5º tal que sumado a 1+ dé un complejo de módulo 5 (Soluc: +). Encontrar un complejo tal que sumándolo con 1/ dé otro complejo de módulo y argumento 60º. Pasar a forma bnómca (no vale pasar los radanes a grados): a) 0º ( Soluc : + ) b) 90º c) 0º d) 5 e) / f) 1 90º g) 1 0º Soluc : + h) 60º ( Soluc : 1 + ) ) 6 5º ( Soluc : ) j) 50º (Soluc: 1,98+,98) k) 10º ( Soluc : + ) l) 150º ( Soluc : + ) m) / Soluc : + n) 100º Soluc: o) 180º (Soluc: -) p) 1 7/6 Soluc : 1 + Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 1

19 Matemátcas I COMPLEJOS 5. Hallar los números complejos, en forma polar y bnómca, que corresponden a los vértces de estos hexágonos: a) b) z z z 1 z 1 (Soluc: a) z 1= 0º=; z =-z 1; z = 60º=1+ ; z 6= z ; z 5=-z ; z =-z 6 b) z 1= 0º= +; z =-z 1; z 6= z 1 ; z =-z 6; z = 90º=; z 5=-z ) 6. Determnar el valor de a para que el complejo z=(-6) (-a) sea: a) Un número real. De qué número se trata? (Sol: a=-; 0) b) Un número magnaro puro. De qué número se trata? (Sol: a=1; -15) c) Tal que su afjo esté en la bsectrz del 1 er y er cuadrantes. De qué número se trata? (Sol: a=6; -0-0) m 7. Determnar el valor de m para que el complejo z = sea: 8 6 a) Un número real. Qué número es? (Soluc: m=/; 1/) b) Imagnaro puro. Cuál en concreto? (Soluc: m=-8/; /) c) Tal que su afjo esté en la bsectrz del º y º cuadrantes. De qué complejo se trata? (Soluc: m=1; 1-) 8. Determnar el valor de a para que el complejo z=(+) (-+a) sea: a) Un número real. Qué número es? (Soluc: a=) b) Un número magnaro puro. De qué número se trata? (Soluc: a=-/) c) Tal que su afjo esté en la bsectrz del 1 er y er cuadrantes. Cuál es? (Soluc: a=/5; -6/5-6/5) 9. a) Dado z= 5º, hallar z en polar. (Soluc: 15º) b) Dado z=1 0º, hallar z c) S z= 0º, hallar su conjugado y su opuesto. d) Hallar un número complejo y su opuesto sabendo que su conjugado es z = 70º 0. Representar razonadamente las sguentes regones del plano complejo: a) Im(z)=- (Sol: recta horzontal) b) Re(z)=Im(z) (Sol: bsectrz del 1 er cuadrante) c) -1<Re(z) (Sol: banda vertcal) d) Im(z)< (Sol: semplano) e) z =5 (Sol: crcunferenca) f) z < (Sol: regón crcular) g) -1 z < (Sol: anllo) h) Arg(z)=0º (Sol: recta) ) Re(z)=- (Sol: recta vertcal) j) z k) Arg(z)=90º Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 15

20 Matemátcas I COMPLEJOS 1. TEORÍA: a) Demostrar que z = z z b) S z=r α, qué relacón tenen con z los números r α+180º y r 60º -α? c) El producto de dos complejos magnaros, puede ser real? Poner un ejemplo. d) Qué relacón exste entre el argumento de un complejo y el de su opuesto? e) Qué condcón debe cumplr un número complejo z para que 1 z = (Soluc: Su módulo tene que ser 1) z Producto y cocente en forma polar:. a) Dados los números complejos 0º y 5 60º, comprobar que el producto en forma polar y en forma bnómca dan el msmo complejo. (Soluc: 15) b) Ídem con y - ( Soluc : = 6 5º ) c) Ídem con el cocente entre 10º y 60º ( Soluc : 1 + = 60º ). Efectuar las sguentes operacones en forma polar y pasar el resultado a bnómca: a) 5º 15º ( Soluc : 660º = + ) b) 150º 5º ( Soluc : 1195º -11,59,11 ) c) 1 º 16º 1º ( Soluc : 6 = 6 ) d) 1º 17º 1º ( = + ) 90º Soluc : 5º = + e) 106º : 1 61º ( ) f) 9 7º : 97º Soluc : 00º = g) ( 0º ) ( Soluc : 810º = + ) h) 1 º : 16º 1º Soluc : 0,79 + 1,7 58º ) 1º : 17º : 1º Soluc : 0,7 0,0 85º. El complejo de argumento 80º y módulo 1 es el producto de dos complejos; uno de ellos tene de módulo y argumento 50º. Escrbr en forma bnómca el otro complejo. ( Soluc : + ) 5. Efectuar las sguentes operacones en forma polar y pasar el resultado a bnómca: 8 a) 15º 15º 170º ( Soluc : 1 0,9 0, ) 0º (1+ ) (1 ) b) 15º -15º c) (1 )(1 )( ) Soluc : 1 10º 1 = ( Soluc : 75º 1,6 + 5,6) d) ( Soluc : 1 = 1) 180º 6. Hallar el valor de para que el producto / 1 sea: a) Un número real postvo. De qué número se trata? (Soluc: =/; 0) b) Un número real negatvo. Ídem. (Soluc: =/; -) 7. Hallar el valor de para que el cocente 5 : sea: a) Un número real postvo. (Soluc: =) b) Un número real negatvo. (Soluc: =0) Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 16

21 c) Un número magnaro puro con su parte magnara postva. (Soluc: =/) d) Un número magnaro puro con su parte magnara negatva. (Soluc: =/) e) stuado en la bsectrz del º cuadrante. (Soluc: =/) Matemátcas I COMPLEJOS 8. Sn necesdad de efectuar el producto en bnómca, hallar cuánto ha de valer m para que el complejo z=(m-) (+) tenga módulo 10 (Soluc: m=±1) 9. Sn necesdad de efectuar el cocente, determnar el valor de a para que el módulo del complejo sea (Soluc: a=±) a + z = Hallar dos números complejos sabendo que su producto es -8 y el cocente de uno entre el cuadrado del otro es la undad. (Ayuda: utlzar la forma polar) (Soluc: z 1= 10º y z = 60º ) 51. Hallar dos números complejos sabendo que su producto es y el cocente de uno entre el cuadrado del otro es ( Soluc : z = ( ) y z = ( ) ) 1 0º 0º 5. Interpretar geométrcamente el resultado de multplcar el complejo z=a+b=r por la undad magnara. (Soluc: Se trata de una rotacón de 90º en el plano complejo) 5. Calcular cos 75º y sen 75º medante el producto 1 0º 1 5º Soluc : cos 75º = ; sen75º = Potencas en forma polar: 5. Calcular, aplcando el método más apropado (es decr, operando en polar o en bnómca) en cada caso; dar el resultado en forma bnómca: a) (1+) (Soluc: ) b) (-) (Soluc: -8) n) ( ) + ( Soluc : ) ( Soluc : ) 5 o) ( ) c) (1+) (Soluc: -+) d) (+) (Soluc: -6+9) e) (1-) (Soluc: -) f) (-+) 5 (Soluc: 8+1) g) h) (1+ ) + + (1+ ) 8 Soluc : Soluc : 1 ) ( + -1 ) (Soluc: --) j) (1+) 0 (Soluc: -10) 6 k) ( + ) (Soluc: 096) l) (Soluc: -1) 7 7 p) + (Soluc: 7) q) (-1+) 0 (Soluc: 15 ) r) ( 1+ ) (1+ ) s) ) 1 Soluc : + ( + ( Soluc : ) ( + ) ( Soluc : ) ( + ) ( Soluc : ) t) u) v) (1+) 5 (Soluc: --) w) (1+) x) (+ 5 ) (Soluc: +5) y) (+) 5 (Soluc: ) m) ( ) (Soluc: -51) Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 17

22 Matemátcas I COMPLEJOS 55. Ídem: a) + = b) ( ) ( + ) 6 c) d) (1 ( Soluc : 180º = ) 1 1 Soluc : = + 0º 8 8 ) ( + ( + ) ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) Soluc : 7 ( Soluc : 15º = + ) + f) ( ) ( 1+ ) ( ) g) ( ) ( + ) h) ) = ( + ) 6 ( ) ( + ) 18 ( ) ( ) (Soluc: ) ( Soluc : 0,77 + 0,0610 ) e) ( ) ( ) + 5 Soluc : 1 0º 1 = j) (1 ) 1 ( ) 1+ ( ) 1 Soluc : º = 56. Dados los complejos z 1 =, z = y z =1+, calcular las sguentes expresones, dando el resultado en bnómca: a) z 1 + z b) z 1 z c) (z 1 ) d) z z 57. Dado el complejo z =, calcular z 5 z (Soluc: -6) + Sol : a) + ; b)( + 1) + ( ); c) ; d) 58. a) Aplcando la fórmula de De Movre 1, hallar sen y cos. Comprobar las expresones obtendas susttuyendo valores apropados de (p.ej. =0º) (Soluc: sen =sen -sen ; cos =cos -cos ) b) Ídem para sen y cos c) Ídem para las ya conocdas sen y cos Raíces de un nº complejo: 59. Calcular las sguentes raíces (dando el resultado en bnómca en aquellos apartados marcados con (*)), y representarlas en el plano complejo: a) b) ( Soluc : 11,5º; 101,5º; 191,5º; 81,5º ) ( Soluc : 105º; 5º; 5º ) (*) c) d) ( Soluc : 60º; 150º; 0º; 0º ) ( Soluc : 5º; 165º; 85º ) 1+ 1 Abraham De Movre ( ), matemátco francés. Como dato curoso, parece ser que predjo exactamente la fecha de su propa muerte: se do cuenta de que cada día dormía 15 mnutos más que el día anteror; a partr de ahí, conjeturó que el descanso eterno le llegaría el día que durmera durante horas. Ese día acago, calculado por él msmo, fue el 7 de novembre de 175. Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 18

23 Matemátcas I COMPLEJOS (*) e) 1 Soluc : ; ± (*) f) + Soluc : + ; 0,97 + 0,6; 0,6 0,97 (*) g) Soluc : + ; h) 1 + ( Soluc : 0,8995º ; 0,8915º; 0,895º ) (*) ) 8 ( Soluc : ; ± + ) (*) j) 1 Soluc : ± ± (*) k) 8 ( Soluc : ; 1 ± ) (*) l) Soluc : + ; ; + ; m) ( Soluc : ) (*) n) o) (*) p) 16 (*) r) Soluc : 100º ; 0º; 0º - ; ± ( Soluc : 8,75º; 8 1,75º; 8 1,75º; 8 0,75º ) ( Soluc : ± ± ) q) 5 ( Soluc : ; ) 1 (*) s) 1+ 0º ; 108º; 180º 5º; º ( Soluc : + ; 1 + ; ; 1 ) (*) t) (*) u) 1+ (*) v) (*) w) x) 1 y) 6 z) 7 ) 6 79 ) 16180º (*) γ) Soluc : + ; + ; ; + Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 19

24 Matemátcas I COMPLEJOS (*) δ) 60. TEORÍA: a) El número + es la raíz cuarta de un certo complejo z; hallar las otras tres raíces. b) Pueden ser +, -+, -1- y 1- las raíces cuartas de un complejo? Justfcar la respuesta. c) Pueden ser 8º, 100º, 17º, º y 16º las raíces de un complejo? De cuál? d) El complejo 0º es vértce de un pentágono regular. Hallar los otros vértces y el número complejo cuyas raíces quntas son esos vértces. e) Una de las raíces cúbcas de un número complejo z es +. Hallar z y las otras raíces cúbcas. 61. a) Hallar las raíces cúbcas de la undad en forma bnómca, y dbujarlas. 1 1 Soluc : 1; + ; b) Hallar las raíces cuartas de la undad en forma bnómca, y dbujarlas. ( Soluc : ± 1; ± ) c) Hallar las raíces quntas de la undad en forma polar, y dbujarlas. ( Soluc :1 1 1 ; 1 ) 0º ; 7º; 1º 16º; 188º d) Hallar las raíces sextas de la undad en forma bnómca, y dbujarlas. 1 Soluc : ± 1; ± ± 6. Resolver las sguentes ecuacones en el campo de los complejos. Dbujar los afjos de las raíces: a) x +8=0 (Soluc: -, 1 ± ) b) x -16=0 (Soluc: ±, ±) c) x +16=0 d) x +1=0 Soluc : ± ± Texto bajo lcenca Creatve Commons: se permte su utlzacón ddáctca así como su reproduccón mpresa o dgtal sempre y cuando se respete la mencón de su autoría, y sea sn ánmo de lucro. En otros casos se requere el permso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es) 150

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