MATEMÁTICA FINANCIERA
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- Héctor Figueroa Contreras
- hace 6 años
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1 MATEMÁTICA FINANCIERA SISTEMA DE CAPITALIZACIÓN CONTINUA Luis Alcalá UNSL Segundo Cuatrimeste 2015 Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
2 Sistema de Capitalización Continua Hemos visto que la TEA equivalente a una tasa nominal fija, aumenta a medida que aumentamos la frecuencia de capitalización Se cumplen las siguientes relaciones 1 + i = (1 + i (p)) p J (p) = pi (p) Si dejamos fijo el valor de la tasa efectiva i, qué sucede a medida que aumenta el período de capitalización p? Vamos a demostrar que J (p) converge a medida que p La tasa nominal con capitalización continua también suele denominarse tasa instantánea Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
3 Frecuencia p i (p) = (1 + i) 1 p 1 J (p) = pi (p) anual semestral cuatrimestral trimestral bimestral mensual semanal diario por hora continuamente Una TEA del 20% es equivalente a una tasa nominal instantánea del 18,2322%. Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
4 Derivación del factor de capitalización continua Claramente, i (p) 0 a medida que p + Ahora bien, el ĺımite de la tasa nominal J (p) cuando p tiende a infinito [ ] lim p + J(p) = lim pi (p) = lim p (1 + i) 1/p 1, p + p + una indeterminación del tipo 0, que podemos transformar en una del tipo 0/0 y resolver la indeterminación aplicando la regla de L Hospital (1 + i) 1 p 1 lim p + 1 p = L H lim p + ) (1 + i) 1 p ln(1 + i) ( 1p ) ( 2 = ln(1 + i), 1p 2 por lo tanto, el ĺımite existe J := lim p J (p) = ln(1 + i) Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
5 Derivación del factor de capitalización continua Hemos establecido una relación de equivalencia entre la tasa efectiva y la tasa nominal instantánea cuando la capitalización es continua i = e J 1, Dicho de otra manera, el factor de capitalización continua (para un período) equivalente a un factor (1 + i) es igual a 1 + i = e J. Para t períodos, (1 + i) t = (e J ) t = e Jt. Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
6 Derivación del factor de capitalización continua Una manera alternativa: fijar una tasa nominal anual J Calcular el capital final que produce la capitalización compuesta a medida que se incrementa la frecuencia de capitalización C 0 (1 + J 1 ( )t C J(2) 2 ( C J(3) 3 ( C J(4) 4 ( C J(6) 6 ( C J(). ) t ) t ) t ) t ) t Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
7 $ C 0e Jt C 0 ( 1 + (J ) ) ) t ( ) 6t C (J6 ) 6 ) ( ) 4t C (J4 ) 4 ( ) 3t C (J3 ) 3 ( ) 2t C (J2 ) 2 C 0(1 + J) t C Años Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
8 Capitalización Continua Definición Se denomina capitalización continua a la ley financiera por la cual un capital inicial C 0 impuesto durante t períodos a una tasa nominal (anual) J produce un capital final C t := C 0 e Jt (1) Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
9 Capitalización Continua $ J C 0 e Jt C 0 0 hoy t años t Años Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
10 Capitalización Continua Observación En capitalización continua, el tiempo t en la fórmula (1) siempre se debe colocar en años, para que sea dimensional compatible con la tasa nominal continua J Ejemplo (1) Calcular el capital final que producirá un capital de $ impuesto a capitalización continua durante 7 años a una tasa nominal continua del %. Sólo debemos aplicar la fórmula (1): C 7 = e 0, 7 = , 3954 Por lo que al cabo de 7 años dispondremos de $ ,40. Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
11 Capitalización Continua Ejemplo (2) Calcular el capital final que producirá un capital inicial de $ impuesto a capitalización continua durante 8 meses a una tasa nominal del %. No es más que calcular C 8 = e 0, 8 = Observe que debimos convertir los 8 meses a 8 en las fórmula de capitalización continua. años para poder usarlos Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
12 Capitalización Continua Ejemplo (3) Hoy extraemos del banco $17.251,75. Cuál fue el capital original si nos pagan una tasa nominal continua del 18,5% y el depósito fue pactado por 8 meses? Sabemos que C n = C 0 e Jt de donde C 0 = C n e Jt = , 75e 0,185 8 = Luego el depósito original fue por $ Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
13 Capitalización Continua Ejemplo (4) Determinar el interés total obtenido al depositar $5.000 a plazo fijo por el término de 3 meses capitalizados en forma continua con una tasa nominal del,3%. Por definición: I T = C final C original. Es decir I T = C 0 e Jt C 0 ) = C 0 (e Jt 1 ) = 5000 (e 0,3 3 1 = 156, Por lo que el interés total obtenido es de $156,14. Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
14 Capitalización Continua Ejemplo (5) Hallar el capital que produce unos intereses de $1.110 al cabo de 45 días, a una tasa nominal continua del 25%. Del problema anterior sabemos que ) I T = C 0 (e Jt 1 (2) Luego C 0 = I T e Jt 1 = = , ,25 e Por lo que el capital buscado es $ ,71. Si se hubiera usado el año comercial, el resultado sería: C 0 = ,25 e = , Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
15 Capitalización Continua Ejemplo (6) Depositamos en un banco $ y al cabo de 30 meses nos entregan $ Cuál es la tasa nominal que le pagó el banco si el mismo usa capitalización continua? Como C n = C 0 e Jt, tenemos que J = ( 1 t ) ln ( Cn C 0 ). (3) Luego J = ( 1 30 ) ln ( ) = 0, i.e., una tasa nominal continua del 22,0288%. Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
16 Capitalización Continua Ejemplo (7) Durante cuantos días hay que imponer un capital de $3.000 a una tasa nominal continua J = 23, 85%, para obtener no menos de $4.100? Deseamos hallar el primer t, en días, tal que e 0,2385( t 365) como la función logaritmo es monótona creciente, ln ln , 2385 ( t 365), luego t 365 ln ln , , Por lo tanto, debemos imponer el capital al menos 479 días. Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
17 Equivalencia de Series de Capitales Dado un capital A disponible al momento t, en capitalización continua el valor del mismo a la fecha focal f es: pues si A al momento f = Ae J(f t), t < f, debemos capitalizar A por (f t) años J(f t) A al momento f = Ae si t > f, debemos actualizar el capital A por (t f ) años: A al momento f = Ae J(t f ) Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
18 Equivalencia de Series de Capitales Esto nos permite concluir: Proposición Dada una tasa nominal continua J, la serie de capitales A 1, A 2,..., A n disponibles en los momentos t a 1, ta 2,..., ta n es financieramente equivalente a la serie de capitales B 1, B 2,..., B m disponibles en los momentos t b 1, tb 2,..., tb m, a la fecha focal f en el sistema de capitalización continua si n A j e J(f ta j ) m = B j e J(f tb j ) j=1 donde todos los datos temporales deben ser expresados en años. j=1 Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
19 Equivalencia de Series de Capitales Ejemplo (8) Se desea sutituir el siguiente esquema de pagos: $ hoy, $ a los cinco años y $ a los 10 años, por dos pagos iguales, el primero al año, y el segundo a los 6 años. Hallar el nominal de los montos a pagar usando una tasa nominal continua J = 13, 5%, y tomando como fecha focal el día de hoy. Resolver nuevamente el problema usando como fecha focal f = 5 años. El valor del primer esquema de pagos está dado por e 0,135f e 0,135(f 5) 0,135(f 10) e El valor del segundo esquema de pagos a la fecha focal f es x e 0,135(f 1) 0,135(f 6) + x e Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
20 Equivalencia de Series de Capitales Usando como fecha focal el origen f = 0, tenemos e 0,135( 5) e 0,135( 10) = x e 0,135( 1) + x e 0,135( 6) e 0, e 1,35 = x e 0,135 + x e 0, , , 03 = 1, x , 41 1, = x i.e., los nuevos pagos serán de $80.748,91. El caso f = 5 queda como ejercicio , 91 = x. Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
21 Equivalencia de Series de Capitales Ejemplo (9) Debemos realizar 3 pagos, el primero de $ dentro de tres meses, el segundo de $ dentro de 6 meses y último de $ a los 9 meses. Por razones de flujo de caja (disponibilidad de efectivo) queremos sustituir estos 3 pagos por dos: uno de $ dentro de 5 meses y otro de monto a determinar a los 10 meses. Se conviene una tasa del 25% nominal continua. Debemos igualar los valores a la fecha focal dada de ambas operaciones: valor de la operación original a la fecha focal f = valor de la operación nueva a la fecha focal f Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
22 Equivalencia de Series de Capitales Usando como fecha focal: f = 6 meses fecha focal $ 500 C $ 400 $ 300 $ 500 meses Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
23 Equivalencia de Series de Capitales e 0, e 0,25 ( 3 ) = e 0, Ce 0,25 ( 4 ) de donde = , C C = , = Por lo que el a los 10 meses deberemos pagar $ Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
24 Tasa Media Continua Como ya vimos, se le llama tasa media a la tasa que produce el mismo efecto final que un grupo de tasas dadas actuando simultáneamente. Consideremos el siguiente ejemplo: Ejemplo (10) Ud. tiene $ invertidos al 18%, $ al 8% y $ al 2%, donde todas las tasas son nominales anuales continuas y todas las inversiones son por 3 años. Qué tasa nominal (anual) continua debería ofrecerle una entidad financiera para que ud. coloque todo su capital, $ , en la misma (por tres años)? Este no es más que un problema de equivalencia financiera, donde la incognita es una tasa. Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
25 Tasa Media Continua Al cabo de 3 años, la inversión original genera e 0, e 0, e 0,02 3 La operación nueva genera al cabo de 3 años e J 3 Si queremos que ambas operaciones sean equivalentes, tenemos que e 0, e 0, e 0,02 3 = e J 3 Por lo que la tasa nominal continua J que buscamos J media = 1 3 ln e0, e 0, e 0, = 0, Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
26 Tasa Media Continua Por lo tanto, la entidad financiera debe ofrecer al menos una tasa nominal continua del 36, %. Esta tasa, produce igual rentabilidad en tres años que a las otras tres inversiones en conjunto. En resumen, a tres años ambas inversiones producen el mismo capital final de $ ,38. Comprobación: e 0, e 0, e 0,02 3 = e 0, = Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
27 Tasa Media Continua En general, la serie de capitales C k, con k = 1,..., n, los cuales hoy son colocados a las tasas nominales continuas J k, con k = 1,..., n, durante t años, es equivalente a colocar hoy la suma de todos los capitales C = n C k, k=1 a la tasa nominal continua media J media durante t años, la cual realiza la igualdad en la siguiente ecuación: n C k e Jkt = Ce J media k=1 despejando la tasa media obtenemos ( ) ( 1 1 J media = ln t C ) n C k e J kt. (4) k=1 Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
28 Tasa Media Continua Observación Observe que la fórmula para la tasa media en capitalización continua depende del tiempo t, los capitales C k y de las tasas nominales J k, con k = 1,..., n. Luis Alcalá (UNSL) CAPITALIZACIÓN CONTINUA Mat. Financiera / 28
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