Asignaturas antecedentes y subsecuentes Álgebra Lineal I y Cálculo Integral.

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1 PROGRAMA DE ESTUDIOS CALCULO VECTORIAL II Área a la que pertenece: ÁREA SUSTANTIVA PROFESIONAL Horas teóricas: 4 Horas prácticas: 2 Créditos: 10 Clave: F0036 Asignaturas antecedentes y subsecuentes Álgebra Lineal I y Cálculo Integral. PRESENTACIÓN La asignatura de Cálculo Vectorial II forma parte de la columna vertebral de la Licenciatura de Matemáticas, por lo que su comprensión es indispensable para tener éxito en los cursos más avanzados, como Análisis Matemático II, Teoría de la Medida, y Variable Compleja I y II. Para la Licenciatura de Física es de fundamental importancia ya que la teoría de integración que aquí se estudia les servirá para modelar muchos procesos físicos. En este curso se construye la teoría de integración de Riemann en varias variables desde un punto de vista formal con definiciones y teoremas, sin embargo, la parte operativa adquiere su importancia en el cálculo de integrales múltiples y en las aplicaciones más importantes en la física a través de los teoremas integrales del Análisis Vectorial. En los teoremas integrales se vincula el cálculo diferencial vectorial estudiado en el curso de Cálculo vectorial I con el cálculo integral vectorial. OBJETIVO GENERAL Comprender el concepto de integral de Riemann para funciones de varias variables y sus propiedades más importantes Aplicar la teoría de integración en el cálculo de áreas y volúmenes. Aplicar los Teoremas de Green, Gauss y Stokes, en el estudio de electricidad, magnetismo, hidrodinámica, conducción de calor y ecuaciones F0036_Cálculo Vectorial II 1/5

2 CONTENIDO 1 INTEGRALES DOBLES. Comprender y utilizar el concepto de la integral doble en el cálculo de áreas y volúmenes en regiones simples. Aplicar el Teorema de Fubini y del Valor Medio en el cálculo de integrales dobles Introducción Integral doble sobre un rectángulo Integral doble sobre regiones más generales Cambio en el orden de integración Algunos teoremas técnicos de integración. Comprensión de la definición de la Integral doble sobre un rectángulo como una suma de Riemann y su generalización a regiones mas generales. Habilidad para distinguir regiones elementales. Habilidad para utilizar el cambio en el orden de integración Comprensión de los teoremas técnicos de integración. 2 INTEGRAL TRIPLE, FÓRMULA DE CAMBIO DE VARIABLES Y APLICACIONES. Comprender y utilizar el concepto de la integral triple Manejar el Teorema de Cambio de Variables para integrales dobles y triples en coordenadas cilíndricas y esférica. Calcular integrales impropias. Interpretar geométricamente la integral triple como volumen de regiones elementales. Aplicar la teoría de integrales triples para calcular valores promedios, centros de masa, momentos de inercia y el potencial gravitacional Integral triple Geometría de las funciones de R 2 a R Teorema del cambio de variables Aplicaciones de las integrales dobles y triples. Comprensión de la definición de Integral triple como suma de Riemann Habilidad para Interpretar geométricamente la integral triple como un volumen. Comprensión de la Geometría de las F0036_Cálculo Vectorial II 2/5

3 2.5. Integrales impropias Generalización de integrales en R n y cambio de variables. funciones de R n a R n. Capacidad para usar el Teorema del cambio de variables en la solución de problemas. Habilidad para aplicar las integrales dobles y triples. Comprensión de la mecánica para generalizar integrales de funciones en R n y el teorema de cambio de variable. 3 INTEGRALES SOBRE TRAYECTORIAS Y SUPERFICIES Comprender los conceptos de longitud de arco y orientación de una trayectoria Conocer las definiciones de integrales de trayectoria y de línea. Identificar superficies orientables y calcular integrales de funciones escalares y vectoriales sobre este tipo de superficies. Aplicar estos conceptos a otras ciencias La integral de trayectoria Integral de línea Superficies paramétrizadas Área de una superficie Integrales de funcione escalares sobre superficies Integrales de funciones. vectoriales sobre superficies Aplicaciones Comprensión de las definiciones de integral de trayectoria e integral de línea. Habilidad para paramétrizar una superficie. Comprensión de la definición de superficie orientada. Comprensión de las definiciones de integrales de funciones escalares y vectoriales sobre superficie orientadas. 4 TEOREMAS INTEGRALES DEL ANÁLISIS VECTORIAL Conocer y utilizar los Teoremas de Green, Gauss y Stokes. Aplicar estos conceptos al estudio de electricidad, magnetismo, hidrodinámica, conducción de calor y ecuaciones 4.1. Teorema de Green Teorema de Stokes. Comprensión de los teoremas de Green, Stokes y Gauss F0036_Cálculo Vectorial II 3/5

4 4.3. Campos conservativos Teorema de Gauss Aplicaciones a la física y ecuaciones 4.6. Formas Habilidad para resolver ejercicios donde se haga uso de los teoremas anteriores y conocer las aplicaciones a la física y ecuaciones Capacidad para relacionar las integrales de superficies y las integrales de volumen. Sugerencias didácticas Exposición del profesor Motivar al alumno para participar en exposiciones con recursos audiovisuales. Motivar al alumno en la lectura de artículos, capítulos de libros y en la elaboración de trabajos de investigación bibliográfica en Internet para reforzar los temas vistos. Trabajar con los alumnos en grupos pequeños e individualmente. Se recomienda proporcionar ejemplos en cada uno de los conceptos estudiados. Demostrar los teoremas de Green, Stokes y Gauss. Enfatizar las aplicaciones de los conceptos de esta unidad a las ecuaciones diferenciales y a la física. Estrategias de evaluación del aprendizaje Preguntas escritas. Preguntas orales Exposición en equipo e individual. Examen escrito. Tareas individuales Evaluación de ejercicios extraclase Bibliografía Básica 1 Apostol, T. M. Calculus, Editorial: Reverté, Segunda edición (en español) Estrada Castillo, Octavio; García y Colomé, Pablo; y Monsivais Galindo, Guillermo. Cálculo Vectorial y Aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamericana, México, Marsden, J. y Tromba, A. Cálculo Vectorial. Editorial: Addison-Wesley Iberoamericana, Tercera Edición (en español) F0036_Cálculo Vectorial II 4/5

5 Bibliografía Complementaria 1 Bartle, R. Introducción Al Análisis Matemático. Editorial Limusa, México. Última Edición. 2 Zill, D. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica, México, D. F., Última edición. F0036_Cálculo Vectorial II 5/5