Lección 4. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN

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1 Lección 4. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN Mtemátics II GITI (26 27) Dibujos de Isc Brrow (669), el 9 es el que usó pr probr su fmos regl. ÁREAS DE REGIONES PLANAS. LA INTEGRAL DEFINIDA Integrl definid. Se f: [, b] R un función continu y positiv. Nos plntemos el problem de hllr el áre de l región A comprendid entre el intervlo [, b] del eje OX y l curv y = f(x). L región A y ls sums de Riemnn pr n = 5 y n = 2. El proceso de construcción es el siguiente: Se tomn n + puntos = x < x < < x n = b que dividen el intervlo [, b] en n subintervlos igules de tmño x k x k = (b )/n. En cd uno de dichos subintervlos se tom un punto culquier, digmos t k [x k, x k ] pr cd k =, 2..., n, y se form l sum de Riemnn S n (f), que es l sum de ls áres de n rectángulos dycentes que proximn l región A: n S n (f) = f(t k )(x k x k ). k= 64

2 4. Aplicciones de l Integrción 65 Se prueb entonces que si n, de mner que el tmño de los subintervlos tiende cero, ls sums de Riemnn tienden un número que coincide con el áre de A. Este límite de ls sums de Riemnn se llm integrl de f en [, b] y se represent por f(x) dx, o se, f(x) dx = lím n S n(f) = áre de A, Proceso de convergenci de ls sums de Riemnn. Este proceso se puede plicr funciones continus que cmbin de signo pero, en este cso, lo que result es l diferenci entre el áre de l porción de l figur que está por encim del eje OX y el áre de l porción que está por debjo (zul y mrill, respectivmente, en l figur). Sum de Riemnn pr un función culquier. Son muy pocs ls integrles que se pueden clculr plicndo pso pso el proceso que cbmos de describir. L portción esencil de Newton y Leibniz fue probr que, con crácter generl, l integrción es l operción invers l derivción, lo que se concret en el teorem fundmentl del cálculo y l regl de Brrow, que es el método práctico de clculr integrles. Teorem del vlor medio pr integrles. Se f: [, b] R un función continu. Entonces existe un punto c [, b] tl que f(x) dx = f(c)(b ). En términos geométricos, si f es positiv, entonces c es un punto que cumple que el áre del rectángulo de bse el intervlo y ltur f(c) es igul l áre que encerrd por l curv. Áre bjo un curv y teorem del vlor medio.

3 66 Mtemátics II GITI (26 27) Teorem fundmentl del cálculo. Se f: [, b] R un función continu y se F : [, b] R l función definid por F (x) = x f(t) dt Entonces F es derivble en [, b] y F (x) = f(x) pr cd x [, b]; es decir, F es un primitiv de f en el intervlo [, b]. Regl de Brrow. Se f: [, b] R un función continu y se F : [, b] R un primitiv de f en [, b] (o se, F es tl que F (x) = f(x) pr todo x [, b]). Entonces f(x) dx = F (b) F (). Un vez clculd l primitiv F (x), l expresión F (b) F () se suele representr como F (x) b, de mner que se suele escribir f(x) dx = F (x) b. Áre encerrd por un curv dd en coordends polres. Se r = r(θ), con θ b, l ecución de un curv en coordends polres y se R l región limitd por l curv y ls semirrects de ecuciones θ = y θ = b. Áre en coordends polres. Si r(θ) es continu en [, b], entonces el áre de l región R limitd por l curv y ls semirrects de ecuciones θ = y θ = b viene dd por l fórmul áre de R = 2 [ r(θ) ] 2 dθ. Est fórmul se deduce proximndo el áre medinte sectores circulres, como se ve en l siguiente figur, lo que result ser un sum de Riemnn de l función [ r(θ) ] 2 /2 en [, b]. Aproximción l áre en coordends polres.

4 4. Aplicciones de l Integrción 67 Áre encerrd por un curv pln dd en coordends prmétrics. En ocsiones no tenemos l curv dd en l form y = f(x), sino que l tenemos dd en coordends prmétrics (x(t), y(t)) pr t [α, β]. Si l curv está por encim del eje OX, es decir y(t), entonces podemos hllr el áre de l región A comprendid entre l curv y el intervlo [, b] del eje OX en el que se proyect l curv hciendo el cmbio de vribles ddo por l prmetrizción y = f(x(t)) = y(t), con lo que dx = x (t) dt y nos qued áre de A = f(x) dx = β α y(t) x (t) dt. Es importnte hcer notr que est fórmul no es válid pr curvs prmetrizds culesquier; puede usrse solo cundo cd vlor de x le corresponde un único punto (x, y) en l curv; esto ocurre, por ejemplo, cundo x(t) es estrictmente creciente, es decir, x (t) > en (α, β); y tmbién cundo es estrictmente decreciente, es decir, x (t) < en (α, β) (precismente, el vlor bsoluto de x prece en l fórmul pr grupr mbos csos). EJERCICIOS DE LA SECCIÓN Ejercicio. Determin el áre de l figur limitd por el eje OX y l curv y = x m/n sobre el intervlo [, b] (este es el primer ejemplo de Isc Newton en su exposición del nuevo cálculo). Ejercicio 2. Determin el áre de l figur limitd por el eje OX, ls rects verticles x = y x = 2, y l gráfic de l función f definid pr x > por f(x) = x 2 log ( + x 2). Ejercicio 3. Consider l función f : [, 4] R dd por f(x) = (x + )e x. Dibuj l región limitd por l curv y = f(x), el eje OX y ls rects verticles x = y x = 4, y clcul su áre. Ejercicio 4. Clcul el áre de l región limitd por l gráfic de f(x) = log(x), el eje de bsciss y l rect norml l gráfic de f en el punto de bscis x = e. Ejercicio 5. Se f l función definid en el intervlo [2, 3] por f(x) = 3/(x 2 5x + 4), clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de f, el eje OX, y ls rects verticles x = 2 y x = 3. Ejercicio 6. Consider ls funciones f: R R y g: [, + ) R definids por f(x) = x 2 /4 y g(x) = 2 x. Clcul el áre del recinto limitdo por ls gráfics de f y g. Ejercicio 7. Esboz l gráfic de l curv dd en coordends polres por r(θ) = / cos(θ) y clcul el áre limitd por l curv y ls semirrects θ = y θ = π/6. Ejercicio 8. Clcul el áre de l región limitd por l ros de cutro hojs r = 4 cos(2θ). Ejercicio 9. Clcul el áre de l región limitd un lóbulo de l lemnisct r = cos(2θ). Ejercicio. Clcul el áre de l región limitd por un vuelt de l espirl r = θ. Ejercicio. Esboz l región pln limitd por l curv cuy ecución en coordends polres es r = + 2 sen(θ) y clcul su áre. Ejercicio 2. Hll el áre de l región limitd por l curv C dd en polres por r = sen 2 (θ). Ejercicio 3. Hll el áre de l región limitd superiormente por l curv C dd en coordends polres por r = + sen(θ) e inferiormente por l rect y = 3/4.

5 68 Mtemátics II GITI (26 27) Ejercicio 4. Clcul el áre de l región limitd por l crdioide r = 2 2 cos(θ) y l circunferenci r = 6 cos(θ). Ejercicio 5. Esboz l región limitd por l circunferenci de ecución r = r (θ) = 2 sen(θ) y l lemnisct de ecución r = r 2 (θ) = cos(2θ) y clcul su áre. Ejercicio 6. Clcul el áre limitd por l cicloide x(t) = rt r sen(t), y(t) = r r cos(t) pr t [, 2π] (indicción: hz el cmbio de vrible x = rt r sen(t) en l integrl). Ejercicio 7. Us ls prmetrizciones usules pr hllr el áre de un elipse y el áre limitd por un hipérbol entre su vértice y un rect perpendiculr l eje. Ejercicio 8. Comprueb que en l prmetrizción x(t) = cosh(t), y(t) = senh(t) de l prte superior de l rm derech de l hipérbol x 2 y 2 =, se cumple, como se decí en l Lección, que el prámetro t correspondiente un punto P de l curv represent el doble del áre de l figur delimitd por el eje OX, l hipérbol y el segmento OP (mir l figur de l págin 6). Ejercicio 9. L curv de l figur inferior puede ser prmetrizd medinte x(t) = 2 cos 2 (t) e y(t) = cos(3t), pr t π. Determin el áre encerrd por el lzo (l prte sombred). 2. VOLÚMENES DE SÓLIDOS Volumen de un cuerpo de revolución lrededor del eje OX. Se f: [, b] R un función continu. Al hcer girr l curv de ecución y = f(x) lrededor del eje OX, se engendr un cuerpo U cuyo volumen podemos expresr medinte un integrl: volumen de U = π [ f(x) ] 2 dx. Cuerpo de revolución lrededor de OX y discos de proximción. Est iguldd se llm fórmul de los discos pues se obtiene como el límite de ls sums de Riemnn que representn l sum de los volúmenes de un colección de discos cilíndricos dycentes que se vn proximndo U.

6 4. Aplicciones de l Integrción 69 Volumen de un cuerpo de revolución lrededor del eje OY. Si suponemos que entonces podemos considerr el cuerpo de revolución U que se engendr l hcer girr l curv de ecución y = f(x) lrededor del eje OY. Cuerpo de revolución lrededor de OY. El volumen de este cuerpo viene expresdo por l fórmul volumen de U = 2π x f(x) dx. Cuerpo de revolución lrededor de OY y tubos que lo proximn. Est iguldd se conoce como fórmul de los tubos y que se obtiene como el límite de ls sums de Riemnn que representn l sum de los volúmenes de un colección de tubos cilíndricos concéntricos e incluidos unos dentro de otros que se proximn U. Volúmenes por secciones prlels. Se U un cuerpo que está situdo en el espcio entre dos plnos prlelos de ecuciones x = y x = b. Supongmos que pr cd x [, b] conocemos el áre A(x) de l sección pln que se produce l cortr U con el plno prlelo los nteriores que ps por x. Si A(x) es un función continu entonces el volumen de U viene ddo por volumen de V = A(x) dx. Secciones prlels (triángulos, en este ejemplo). Est relción se conoce como fórmul de ls secciones prlels o trnsversles, o fórmul de ls lámins, y que lo que se hce es construir sums de Riemnn que representn l sum de los volúmenes de un colección de lámins que se proximn V.

7 7 Mtemátics II GITI (26 27) EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 2 Ejercicio. Us los resultdos nteriores pr deducir ls fórmuls de los volúmenes de un esfer, un cilindro, un pirámide y un tronco de cono. Ejercicio 2. Clcul el volumen del sólido que result de tldrr un gujero cilíndrico de rdio r trvés del centro de un esfer mciz de rdio R > r. Ejercicio 3. Se consider un tronco de cono de diámetro myor A, diámetro menor y ltur h, l cul se le quit l prte centrl correspondiente otro tronco de cono de diámetro myor B, diámetro menor b y mism ltur, cuyo eje coincide con el del nterior. Clcul su volumen. Ejercicio 4. Determin el volumen del cuerpo de revolución que gener l girr lrededor del eje OX el trozo contenido en el primer cudrnte de l curv y = 2x 2 x 3. Ejercicio 5. Clcul el volumen de un csquete de ltur h que se obtiene cortndo un esfer de rdio r por un plno perpendiculr su eje. Ejercicio 6. En l esfer x 2 + y 2 + z 2 = 25 se bre un orificio consistente en eliminr el csquete esférico obtenido l cortrl con el plno y = 4. En el punto (, 25, ) se sitú un foco luminoso que ilumin prte del interior de l esfer. Clcul, usndo l fórmul del volumen de revolución, el volumen de l prte no ilumind de l esfer. Ejercicio 7. Determin el volumen de los sólidos que se obtienen l girr lrededor de los ejes coordendos el círculo de centro (R, R) y rdio r < R. Ejercicio 8. Determin el volumen del sólido que se obtiene l girr lrededor del eje OY l región pln encerrd por l curv y = x 2 pr x 2. Ejercicio 9. Determin el volumen del sólido que se obtiene l girr lrededor del eje OY l región del primer cudrnte limitd por l prábol y = 4 x 2. Ejercicio. Clcul el volumen del cuerpo de revolución que se gener l girr lrededor del eje OY l región limitd por el intervlo x π/2 del eje de bsciss, ls rects verticles x = y x = π/2 y l gráfic de l solución del problem de vlor inicil y + y = 2 cos(x) con y() =. Ejercicio. Clcul el volumen del cuerpo engendrdo por l revolución lrededor del eje OY de l superficie pln comprendid entre el eje de bsciss pr t y l gráfic de l solución del problem de vlor inicil y y = e t con y() =.

8 4. Aplicciones de l Integrción 7 Ejercicio 2. Un depósito de gu tiene l form del hemielipsoide de revolución que se obtiene l hcer girr lrededor del eje OY el trmo de l elipse de ecución x 2 /6 + y 2 /9 = situdo en el primer cudrnte. Clcul el volumen de dicho depósito. Si el volumen de gu contenid en el depósito es l curt prte de su cpcidd, cuál es l ltur del nivel de gu? (Resuelve l ecución resultnte usndo tres psos del método de Newton, tomndo como punto inicil el vlor cero.) Ejercicio 3. Consideremos el sólido con form de bl formdo por l unión de un cilindro de ltur unidd y rdio r y un porción de prboloide de revolución de ltur r y mismo rdio. Clcul el volumen de dicho sólido y us el método de Newton pr hllr proximdmente el vlor de r pr el cul el volumen vle π. Ejercicio 4. L cistern de un cmión tiene form de cilíndro elíptico de nchur 2.6 m, ltur 2 m y longitud 8 m. Determin el volumen de líquido que contiene sbiendo que l superficie del líquido está un ltur de.6 m sobre el fondo. Cmión y sección de l cistern. Ejercicio 5. L bse de un sólido es un círculo de rdio unidd y ls secciones plns perpendiculres l bse son triángulos equiláteros. Clcul el volumen de dicho sólido. Ejercicio 6. Un cuñ de mder tiene un bse semicirculr de rdio r y un inclinción de 45. Ls secciones perpendiculres l diámetro de l bse son triángulos rectos isósceles, con el ángulo rector sobre l semicircunferenci. Clcul el volumen de l cuñ. Ejercicio 7. Tommos un vso cilíndrico de rdio r y ltur h lleno de gu y empezmos beber hst que vemos que l líne del fondo coincide con el diámetro del círculo, A qué ltur del vso quedrá el gu restnte cundo lo pongmos verticl? Ejercicio 8. L bse de un sólido es l región del plno encerrd por ls curvs x = y 2 y x = 3 y 2. Clcul su volumen sbiendo que sus secciones perpendiculres l eje OY son cudrdos.

9 72 Mtemátics II GITI (26 27) 3. INTEGRACIÓN NUMÉRICA A veces es imposible clculr el vlor de un integrl f(x) dx porque f no dmite un primitiv mnejble; por ejemplo f(x) = e x2. Por eso es necesrio buscr métodos que permitn clculr de mner proximd el vlor de un integrl. Aproximción medinte polinomios de Tylor. Un form de proximr f(x) dx es clculr un polinomio de Tylor p(x) de l función f(x) centrdo, por ejemplo, en lguno de los extremos o en el punto medio del intervlo de integrción [, b] y proximr el vlor de l integrl medinte l integrl del polinomio f(x) dx p(x) dx. Si, demás, l expresión del resto de Tylor no es muy complicd, entonces podemos determinr un cot del error que se comete. Otr ide es construir l sum de Riemnn de un prtición en subintervlos suficientemente pequeños. En generl, sin embrgo, pr obtener un buen proximción hce flt tomr muchos subintervlos y hcer muchs operciones. Si pensmos en términos de áres, un estrtegi más eficz es tomr áres de figurs que se proximen mejor que los rectángulos l región cuy áre queremos clculr. L regl del trpecio se obtiene cundo elegimos trpecios en vez de rectángulos. Regl del trpecio. Regl del trpecio. Se f: [, b] R un función continu. Dividimos el intervlo [, b] en n subintervlos de l mism nchur h = (b )/n, cuyos extremos podemos expresr entonces como x i = + ih pr i =,,..., n. Sobre cd uno de estos subintervlos [x i, x i+ ] construimos un trpecio cuyo ldo superior es l líne rect que ps por los puntos (x i, f(x i )) y (x i+, f(x i+ )). Entonces l sum de ls áres de estos trpecios produce un proximción T h (f) l integrl de f en [, b] que viene dd por [ ] b f(x) dx T h (f) = h n f() + 2 f(x i ) + f(b) 2 y se llm regl del trpecio o, en muchos textos, regl compuest del trpecio )pr indicr que se us más de uno). Si, demás, f existe y es continu, entonces existe un punto c [, b] tl que el error de l regl del trpecio viene ddo por i= f(x) dx T h (f) = b 2 h2 f (c). L regl del trpecio es el método de integrción numéric más simple. En l signtur Métodos Mtemáticos de segundo curso estudirás métodos más vnzdos, como el de Simpson, que us prábols en vez de trpecios, y el de Guss-Kronrod, que utilizn lguns clculdors. En l Bibliogrfí, l finl del guion, se incluye un págin web que incluye l regl del trpecio.

10 EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 3 4. Aplicciones de l Integrción 73 Ejercicio. Aproxim ls siguientes integrles usndo el polinomio de Mclurin de grdo 3 y l regl del trpecio con cutro trpecios y compr los resultdos con el vlor excto. () x 2 e x dx (2) x dx (3) + x2 x cos(2x) dx (4) /2 rcsen(x) dx Ejercicio 2. Aproxim ls siguientes integrles usndo el polinomio de Tylor de grdo 3 en el centro del intervlo y l regl del trpecio con cutro trpecios. () (4) 3 2π log(x) dx (2) x sen(2x) dx (5) 2 3π4 x dx (3) log(sen(x)) dx e x2 /2 dx (6) π/4 π/2 π/2 cos(x 2 ) dx Ejercicio 3. Se define l función seno integrl como si(x) = x sen(t) t dt (x R). Aproxim el vlor de si(π) medinte l regl del trpecio con ocho trpecios y medinte el polinomio de Mclurin de grdo 6 de l función dd por f(t) = sen(t)/t pr t y f() =. Ejercicio 4. Ls integrles de Fresnel son ls funciones dds pr x por C(x) = x cos(t 2 / 2 ) dt y S(x) = x sen(t 2 / 2 ) dt, siendo un constnte positiv. Pr el cso =, clcul el vlor de S(2) y C(2) proximndo el vlor de ls integrles medinte el método de los trpecios con 5 trpecios y medinte el polinomio de Mclurin de grdo de l función que se integr. 4. INTEGRALES IMPROPIAS El concepto de integrl surge de l necesidd de clculr el áre de l región limitd limitd por un curv continu sobre un intervlo finito del eje de bsciss. Ls integrles impropis surgen de l necesidd de sber si es finit y, en ese cso, clculr, el áre encerrd entre un curv y su síntot. Según que l síntot se horizontl o verticl, l generlizción del concepto de integrl que hremos se ocup, respectivmente, de integrles en intervlos no cotdos, que se suelen llmr de primer especie, y de integrles en intervlos cotdos de funciones que no son cotds, que se conocen como integrles de segund especie. En mbos csos se procede del mismo modo: se integr en un subintervlo cerrdo y cotdo en el que l función es continu trozos y después se hll el límite de dich integrl cundo el subintervlo tiende l intervlo de integrción ddo. Cundo tl límite existe y es finito se dice que l integrl impropi es convergente.

11 74 Mtemátics II GITI (26 27) Integrl impropi de primer especie. Se R y se f: [, ) R un función continu (o continu trozos). Se dice que l integrl impropi de primer especie f(x) dx es convergente, o que f es integrble en [, ), si existe y es finito el límite r f(x) dx = lím f(x) dx <. r Si este límite es infinito, entonces se dice que l integrl es divergente. Integrl impropi de primer especie. En términos geométricos: si l función del integrndo es positiv, l convergenci indic que l figur infinit limitd por l gráfic de l función y el eje OX desde el punto tiene un áre finit que viene dd por el vlor de l integrl impropi. Ls integrles impropis del tipo f(x) dx se definen y trtn de form nálog. Integrl impropi de segund especie. Se (, b] un intervlo cotdo y se f: (, b] R un función continu tl que lím f(x) =, o se, tl que x = es un síntot verticl de l gráfic x + de f. Se dice que l integrl impropi de segund especie f(x) dx es convergente, o que f es integrble en (, b], si existe y es finito el límite f(x) dx = lím f(x) dx <. r + r Si este límite es infinito, entonces se dice que l integrl es divergente. En términos geométricos: si l función del integrndo es positiv, l convergenci indic que l figur infinit limitd por l gráfic de l función, su síntot x = y el eje OX tiene un áre finit que viene dd por el vlor de l integrl impropi. Integrl impropi de segund especie. De form nálog, si f no está cotd cerc de b se define f(x) dx = lím que l integrl converge cundo este límite es finito. r b r f(x) dx y se dice Ls propieddes de linelidd, monotoní, regl de Brrow, integrción por prtes y cmbio de vrible se pueden trsldr ls integrles impropis en el cso en que ls integrles sen convergentes. Vmos enuncir, modo de ejemplo, l regl de Brrow pr integrles impropis.

12 4. Aplicciones de l Integrción 75 Regl de Brrow pr integrles impropis. Supongmos que b es un número rel myor que o que b = +. Se f: [, b) R un función continu y se F : [, b) R un primitiv de f. Entonces l integrl impropi f(x) dx converge si, y solo si, existe el límite lím F (x), en x b cuyo cso f(x) dx = lím x b F (x) F () = F (x) b. Ejemplo. Aplicndo l regl de Brrow podemos comprobr que l integrl impropi e x dx converge y vle. Más generlmente, si n es un número nturl, entonces l integrl impropi siguiente converge y tiene el vlor ddo e x x n dx = (n )! Integrles impropis de primer especie de ls funciones potenciles. Sen p R y dx >, entonces se tiene que x p converge si, y solo si, p >, en cuyo cso dx x p = p p. Trnsformd de Lplce. Se f: [, ) R un función continu. Se define l trnsformd de Lplce de f como l función F definid por F (s) = f(t)e st dt cundo dich integrl se convergente. Ls siguientes funciones elementles tienen l trnsformd de Lplce que se indic en l siguiente tbl, de l que hrás uso menudo en otrs signturs de l crrer. f(t) F (s) f(t) F (s) () /s (2) sen(t) s (3) cos(t) (5) t n (7) te 2t s s (4) e t n! s n+ (6) t (s + 2) 2 (8) te t s Γ( + ) s + (s ) 2 (9) e t cos(bt) s + (s + ) 2 + b 2 () e t t n n! (s ) n+

13 76 Mtemátics II GITI (26 27) Integrles impropis de segund especie de ls funciones potenciles. Seprndo los csos en los que el integrndo es un función potencil no cotd cerc de un punto por su derech o por su izquierd se tiene que si < b, entonces ls integrles (b x) p dx e (x ) p dx son impropis pr p < y convergen si, y solo si, p >. El cso en el que el punto es el cero es especilmente útil: Si >, entonces l integrl xp dx es impropi pr p < y converge si, y solo si, p >. Integrles impropis por más de un motivo. A veces debemos trbjr con integrles que son impropis por más de un rzón, pueden estr extendids desde hst o tener vris síntots verticles. Lo que se hce en ests ocsiones es dividir l integrl de mner que cd un de ls integrles resultntes se impropi solo de primer o de segund especie y se dice que l integrl converge cundo tods ests integrles en ls que se divide son convergentes, en cuyo cso su vlor es l sum de los vlores de cd un de ells. Integrl impropi pr vrios motivos. Por ejemplo l integrl f(x) dx, siendo f l función de l figur, es impropi porque está extendid de y tiene dos síntots verticles, ls rects x = y x = b. Entonces elegimos tres puntos α, β y γ tles que α < < β < b < γ que permiten seprr cd un de ls impropieddes y, en consecuenci, l integrl f(x) dx converge si lo hce cd un de ls siguientes (l primer y l últim son de primer especie, ls intermedis son de segun especie): α f(x) dx, α f(x) dx, β f(x) dx, β f(x) dx, γ b f(x) dx, γ f(x) dx. Por ejemplo (/ x) dx es impropi porque está extendid hst y porque l función del integrndo no está cotd en x =. En este cso, tomrímos un número positivo culquier y escribirímos dx x y L primer de ests integrles converge pero l segund no, por lo que (/ x) dx es divergente. Criterios de convergenci. Como en los ejemplos que hemos visto, l form hbitul de clculr un integrl impropi es hllr un primitiv del integrndo, determinr si existe el límite en cuestión y plicr l regl de Brrow. Sin embrgo, hy un clse mpli de funciones continus cuys primitivs no son clculbles por métodos elementles. En estos csos puede que nos interese sber, l menos, si l integrl converge, unque no sepmos clculr su vlor. Los criterios de convergenci dx x.

14 4. Aplicciones de l Integrción 77 son condiciones que nos permiten grntizr l convergenci de lguns integrles impropis. Empezremos estudindo los criterios de convergenci pr integrles impropis f(x) dx que son impropis en b, bien porque el intervlo es no cotdo (b = +, primer especie), bien porque l función no está cotd cerc de b (segund especie), y cuyo integrndo es positivo. Ejemplo. Si queremos sber si l integrl ( + x) e x dx converge, vemos que no es posible hllr un primitiv mnejble del integrndo, sí que debemos rzonr de otr form. Puesto que + x pr x, tenemos que ( + x) e x e x pr x. Esto nos dice que l curv de ecución y = ( + x) e x está situd entre el eje OX y l curv de ecución y = e x. Ahor bien, est últim curv limit un región de áre finit cundo x [, ) porque e x dx =. En consecuenci, l curv de ecución y = ( + x) e x tmbién limit un región de áre finit cundo x [, ) y se tiene ( + x) e x dx e x dx =. L técnic empled en este ejemplo sugiere el siguiente criterio. Criterio de l myornte. Supongmos que b es un número rel myor que o que b = +. Sen f, g : [, b) R dos funciones continus trozos tles que f(x) g(x) pr todo x [, b). Entonces pr ls integrles impropis f(x) dx y g(x) dx se verific que: () Si (2) Si b g(x) dx converge, entonces f(x) dx diverge, entonces b f(x) dx tmbién converge y g(x) dx tmbién diverge. L función Γ. Usndo el criterio de l myornte se puede comprobr que Γ(x) = e t t x dt f(x) dx g(x) dx. converge si, y solo si, x >. L función Γ(x) se llm función gmm de Euler. Si n es un número nturl, entonces, usndo lo que vimos ntes, tenemos que Γ(n) = (n )! de donde se deduce que l función Γ crece más rápidmente que l función exponencil. Gráfic de l función Γ. Funciones de densidd de probbilidd. Ls funciones f que son continus (o continus trozos) positivs y cumplen que + f(x) dx = reciben el nombre genérico de funciones de densidd de probbilidd. Sus primitivs F (x) = x f(t) dt se llmn funciones de distribución de probbilidd. Ls funciones de densidd y ls funciones de distribución son esenciles en l estdístic (que estudirás en l signtur Estdístic e Investigción Opertiv del segundo cutrimestre) y en mecánic cuántic.

15 78 Mtemátics II GITI (26 27) L función de densidd más importnte, con diferenci, es l función de densidd norml, de Lplce, o gussin dd por f(x) = 2π e x2 /2, cuy gráfic se llm cmpn de Guss. L cmpn de Guss. Es fácil ver, usndo el criterio de comprción con e x, que su integrl impropi es convergente, pero no tenemos técnics decuds pr ver que, efectivmente, el áre sombred vle ; esto lo veremos en Mtemátics III. Criterios de comprción con pso l límite. Supongmos que b es un número rel myor que o que b = +. Sen f, g : [, b) R dos funciones continus y positivs tles que g no se f(x) nul en [, b) y existe el límite L = lím. Se cumple que: x b g(x) () Si < L < +, entonces ls dos integrles impropis tienen el mismo crácter, es decir, un converge si, y solo si, converge l otr. (2) Si L = y (3) Si L = + y g(x) dx converge, entonces g(x) dx diverge, entonces f(x) dx tmbién converge. f(x) dx tmbién diverge. Ls funciones de comprción más hbitules son ls funciones potenciles cuyo comportmiento hemos visto ntes. Cómo elegimos l función con l que comprr? Pr esto no hy regls fijs. Sin embrgo, en el cso de ls integrles impropis de segund especie suele ser buen ide empezr considerndo el desrrollo de Tylor. Criterio de l integrl pr l convergenci de series. L convergenci de un serie n de términos positivos puede plnterse en términos de áres. Si sobre cd intervlo [n, n + ] construimos un rectángulo de ltur n, entonces l serie converge si, y solo si, ls sums de ls áres de estos rectángulos es finit. Si hllmos un función cuy gráfic esté por encim de los rectángulos y cuy integrl impropi se convergente, tendremos grntizdo que l serie converge. Y vicevers, si hllmos un función cuy gráfic esté por encim de los rectángulos y cuy integrl impropi se divergente, tendremos grntizdo que l serie diverge (como en l figur). Criterio de l integrl. El ejemplo de plicción más hbitul de este rzonmiento es cundo f: [, + ) R un función continu trozos y monóton decreciente tl que f(n) = n pr cd n N. Entonces l serie n converge si, y solo si, l integrl impropi f(x) dx converge.

16 EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 4 4. Aplicciones de l Integrción 79 Ejercicio. Determin si ests integrles impropis convergen y, en ese cso, clcul su vlor. () x(x 2 dx (2) + ) log(x) x dx Ejercicio 2. Determin si ests integrles impropis convergen y, en ese cso, clcul su vlor. () (3) (5) 2 dx (2) + x2 log(x) x 3 dx (4) 3 dx (x )(x + 2) (6) + 2 dx x /2 (x + ) 6x + 4 (x )(x 2 + 4x + 5) dx 2 x(x + )(x + 2) dx. x Ejercicio 3. Consideremos l función f(x) = x 2 pr x. Dibuj l curv de ecución + 3x + 2 y = f(x) y clcul el volumen generdo l girr dich curv lrededor del eje OX. x 3 Ejercicio 4. Hll el áre de l región limitd por l gráfic de f(x) = 4 x (Indicción: pr hllr l primitiv, hz el cmbio de vrible x = 4 sen 2 (t).) pr x [, 4). Ejercicio 5. Se n un número nturl. Prueb que l integrl impropi ( ) ndt log(t) converge y vle n! (indicción: hz el cmbio de vrible x = log(t)). Ejercicio 6. Utiliz l regl de Brrow pr comprobr l tbl de trnsformds de Lplce que se muestr en l págin 76. Ejercicio 7. Se F l trnsformd de Lplce de un función f con derivd continu en [, ). Prueb que, si existe, l trnsformd de Lplce de f es sf (s) f(). x Ejercicio 8. Dd l función f(x) = pr x [, ), se R l región encerrd entre l x gráfic de dich función, el eje OX y l rect x =. Se pide: () Determinr si el áre de R es finit y, en ese cso, clculrl. (2) Determinr si el volumen del sólido obtenido l girr R lrededor del eje OX es finito y clculrlo en cso firmtivo. (3) Determinr si el volumen del sólido obtenido l girr R lrededor del eje OY es finito y clculrlo en cso firmtivo. Ejercicio 9. Dd l función f(x) = / cosh(x) pr x R, se R l región encerrd entre l gráfic de dich función y el eje OX. Se pide: () Determinr el áre de R. (2) Se S l prte de R en l que x, es finito el volumen del sólido obtenido l girr S lrededor del eje OY.

17 8 Mtemátics II GITI (26 27) Ejercicio. Ddo >, en l figur se muestr l gráfic de f(x) = x( + x) pr x <. 2 x2 L curv y = x( + x)/ 2 x 2. () Clcul el volumen del cuerpo de revolución que se gener l girr lrededor del eje OX l región A limitd por l curv y el eje de bsciss pr x (l más oscur en el dibujo, l izquierd). (2) Clcul el áre de l región B limitd por l curv, su síntot y el eje de bsciss pr x < (l más clr en el dibujo, l derech) (3) Clcul el volumen del cuerpo de revolución que se gener l girr lrededor del eje OX l región B limitd por l curv, su síntot y el eje de bsciss pr x <. (4) Clcul el volumen del cuerpo de revolución que se gener l girr lrededor del eje OY l región B limitd por l curv, su síntot y el eje de bsciss pr x <. Ejercicio. Determin si l integrl impropi Ejercicio 2. Hll los vlores de > pr los que l integrl integrl impropi convergente. Ejercicio 3. Hll los vlores de > pr los que l integrl x( + x) dx es convergente. Ejercicio 4. Se l función f definid pr cd α R como f(x) = () Clcul lím f(x) según los vlores de α. x + (2) Cuándo, según los vlores de α, es impropi l integrl π/2 log( + x) x + x 2 sen(x dx es un ) x dx es convergente. + x4 xα sen(x) ( cos(x)) 2. f(x) dx? (3) Determin los vlores de α pr los cules l integrl del prtdo nterior es convergente. Ejercicio 5. Consider l integrl impropi prámetro. Pr qué vlores de α converge? Ejercicio 6. Estudi, según los vlores de, l convergenci de cundo se convergente. x sen(x) e 2x xα dx. en l que α R es un x 2 dx y clcul su vlor +

18 4. Aplicciones de l Integrción 8 Ejercicio 7. Se f l función definid pr x > por f(x) = xα sen 2 (x) e x, donde α es un prámetro rel, y se A l región limitd por ls rects x = y x = π, el eje de bsciss y l curv y = f(x). () Determin los vlores de α pr los que el áre de l región A es finit. (2) Determin los vlores de α pr los que es finito el volumen del cuerpo de revolución A OX que se obtiene l girr l región A lrededor del eje OX. (3) Determin los vlores de α pr los que es finito el volumen del cuerpo de revolución A OY que se obtiene l girr l región A lrededor del eje OY. (4) Es convergente l integrl π f(x) dx? Justific l respuest. Ejercicio 8. Consider el cuerpo de revolución que se gener l girr lrededor del eje OX l gráfic de l función 2x α f(x) = x (, + ). (x + )(x + 3) () Determin los vlores de α pr los que el volumen de dicho cuerpo es finito. (2) Clcul el volumen del cuerpo pr el cso α =, comprobndo que l primitiv que clculs es correct. Ejercicio 9. Se y(x) l solución del problem de vlor inicil y + y = e x con y() =. Determin si l integrl y(x) dx es convergente y, en ese cso, clcul su vlor. Ejercicio 2. Determin l convergenci de l integrl impropi dx según los vlores + xβ de los prámetros reles α y β y clcul el vlor de est integrl en cd uno de los siguientes csos () α = y β =. (2) α = y β = 2. (3) α = y β = 3. e αx Ejercicio 2. Determin, según los vlores del prámetro α, l convergenci de y clcul el vlor de dich integrl en el cso α =. rctn(x) x α ( + x 2 ) dx Ejercicio 22. Utiliz el criterio de l integrl pr determinr l convergenci de l serie n n p según los vlores del prámetro p. ALGUNAS NOTAS HISTÓRICAS. L integrl definid fue introducid por Isc Newton y Gottfried Leibniz finles del siglo xvii como l herrmient que permite clculr el áre de muchs figurs plns. Ls mtemátics de l ntigüedd ofrecen un método riguroso pr resolver este problem: el método de exhución, que consiste en ir proximndo l figur medinte sums de áres de rectángulos o triángulos. Aunque es un herrmient teóric rzonble, este método es difícil de llevr l práctic, sí que hst comienzos de siglo xvii pens se dieron soluciones los problems de clculr áres de figurs limitds por curvs. No obstnte, debemos reseñr los trbjos de Arquímedes en el siglo iii.c. sobre el áre del círculo y el áre encerrd por un rco de prábol y, y comienzos del siglo xviii, los de Bonventur Cvlieri sobre el áre encerrd por l cicloide o por ls curvs de ecución y = x k desde k = 2 hst k = 9, que extiende Pierre de Fermt culquier vlor de k. L portción crucil de Newton y Leibniz es el teorem fundmentl del cálculo, que desrrollron de form independiente sobre trbjos previos de Isc Brrow, que conect l integrción con l derivción, de form que l integrl definid de un función se puede clculr un vez se conoce un primitiv. Con este resultdo, ls integrles

19 82 Mtemátics II GITI (26 27) y ls derivds psron ser herrmients básics en l geometrí, l cienci y l ingenierí. El propio Newton y indic en su texto Anlysis per quntittum series, fluxiones c differentis (su primer prte fue escrit y dd conocer como mnuscrito en 669, pero el texto no fue publicdo hst 7) que Los problems de longitud de ls curvs, de cntidd [volumen] y superficie sólid, sí como de centro de grvedd, pueden reducirse clculr l cntidd de superficie pln termind en un líne curv [un integrl]. Aunque Newton y Leibniz proporcionron un enfoque sistemático l integrción, su trbjo recibió crítics por ser poco riguroso y hy que esperr hst el primer tercio del siglo xix pr que Augustin Cuchy y Bernhrd Riemnn desrrollen un teorí de l integrción stisfctori en l que se conectn ls portciones de Newton y Leibniz con el método de exhución. El libro de Antonio Durán Histori, con personjes, de los conceptos del cálculo contiene informción detlld sobre el proceso de creción del concepto de integrl. Con respecto los spectos más concretos estudidos en est lección, señlemos que ls fórmuls pr clculr el volumen de lgunos cuerpos de revolución, como el cilindro, el cono o l esfer, son conocids desde l ntigüedd, siendo reseñbles los trbjos de Arquímedes (siglo iii.c.) y Pppus de Alejndrí (siglo v d.c.). Probblemente, el primer ejemplo de integrl impropi es el cuerno de Gbriel, tmbién conocido como l trompet de Torricelli, que es el sólido infinito que se gener l hcer girr l hipérbol y = /x lrededor del intervlo [, ) del eje OX. Evngelist Torricelli probó el 64 que este sólido infinito tiene un volumen finito usndo l fórmul de los discos. El cuerno de Gbriel. Poco después, René Sluse prueb, usndo est vez l fórmul de los tubos, que el sólido de revolución que se obtiene l hcer girr un cisoide lrededor de su síntot tmbién tiene volumen finito. Ejemplos similres fueron preciendo lo lrgo de los siglos xvii y xviii, como l cmpn de Guss, presentd por primer vez por Abrhm de Moivre en un rtículo del ño 733, o l función Gmm de Euler. El criterio de l integrl se debe Colin Mclurin (742). Fue, finlmente, Cuchy quién dio ls definiciones preciss de integrl impropi y su clsificción. Bibliogrfí G.L. Brdley y K.J. Smith, Cálculo, vol., Cpítulos 4, 6 y 7. R.E. Lrson, R.P. Hostetler y B.H. Edwrds, Cálculo, vol., Cpítulos 4, 6 y 7. G.B. Thoms, Jr., Cálculo de un vrible, Cpítulos 6 y 8. Págins web de interés: Págin web de interés pr el cálculo numérico de integrles: