Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Departamento de Matemática Segundo Cuatrimestre de 2002 ÁLGEBRA LINEAL

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1 Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Departamento de Matemática Segundo Cuatrimestre de 2002 ÁLGEBRA LINEAL Práctica N 2: Matrices Ejercicio 1 Probar que los siguientes conjuntos son subespacios de K n n y calcular su dimensión i) S 1 = {A K n n /A = A t } (matrices simétricas) ii) S 2 = {A K n n /A = A t } (matrices antisimétricas) iii) S 3 = {A K n n /A ij = 0 si i > j} (matrices triangulares superiores) iv) S 4 = {A K n n /A ij = 0 si i j} (matrices diagonales) v) S 5 = {A K n n /A ij = 0 si i j y A 11 = A 22 = = A nn } (matrices escalares) vi) S 6 = {A K n n /tr(a) = 0} Ejercicio 2 Sean S 1, S 2, S 5 y S 6 los subespacios del ejercicio anterior i) Probar que, si 2 0 en K, ii) Probar que, si K = Q, IR ó C, S 1 S 2 = K n n S 5 S 6 = K n n Ejercicio 3 Sean m, n y r IN Probar que: i) Si A K m n, B K n r y C K r s, entonces (AB)C = A(BC) ii) Si A K m n, B, C K n r, entonces A(B + C) = AB + AC iii) Si I r K r r denota la matriz identidad y A K m n, entonces I m A = AI n = A b 1j iv) Si A K m n y B K n r con B = (b ij ), sea B j = para 1 j r (B j es la columna j-ésima de B) Entonces AB = (AB 1 AB r ) (es decir, AB j es la columna j-ésima de AB) v) Sean A, A K n n ; B, B K n m ; C, C K m n y D, D K m m ( ) A B Sea M K (n+m) (n+m) definida por M = y sea M C D K (n+m) (n+m) definida ( A por M B = ) C D ( AA Entonces MM = + BC AB + BD ) CA + DC CB + DD b nj

2 Ejercicio 4 i) Probar que, n IN, n 2, el producto de matrices en K n n no es conmutativo ii) Caracterizar el conjunto {A K n n /AB = BA B K n n } iii) Sea A K n n Probar que el conjunto S de todas las matrices que conmutan con A es un subespacio de K n n Probar que I n S y que A j S j IN iv) Sea A K n n con n 2 Probar que el conjunto {I n, A, A 2, A 3,, A n2 1 } es linealmente dependiente v) Dar condiciones necesarias y suficientes sobre A y B K n n para que (a) (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (b) A 2 B 2 = (A B)(A + B) vi) Probar que si A y B K n n no necesariamente vale A 2 B 2 = (AB) 2 Ejercicio 5 Sean A, B y C K n n (n 2) Mostrar la falsedad de las siguientes afirmaciones: i) AB = 0 A = 0 ó B = 0 ii) AB = AC y A 0 B = C iii) AB = 0 BA = 0 iv) A j = 0 A = 0 v) A 2 = A A = 0 ó A = I n Ejercicio 6 Sea A K n n Probar que el conjunto T = {B K n n /AB = 0} es un subespacio de K n n Si S K n es el subespacio de soluciones del sistema homogéneo cuya matriz asociada es A, probar que dim T = n dim S Ejercicio 7 Sean A, A K m n ; B K n r ; D, D K n n ; α K Probar: i) (A + A ) t = A t + (A ) t ii) (αa) t = αa t iii) (AB) t = B t A t iv) tr(d + D ) = tr(d) + tr(d ) v) tr(αd) = αtr(d) vi) tr(dd ) = tr(d D) Ejercicio 8 Sean A y B K n n i) Probar que si A y B son triangulares superiores, AB es triangular superior ii) Probar que si A y B son diagonales, AB es diagonal iii) Probar que si A es estrictamente triangular superior (es decir, A ij = 0 si i j), A n = 0 2

3 Ejercicio 9 Sea A K n n i) Probar que AA t y A t A son simétricas Encontrar un ejemplo donde AA t A t A ii) El producto de dos matrices simétricas, es una matriz simétrica? iii) Si K = IR, probar que A = 0 AA t = 0 tr(aa t ) = 0 Ejercicio 10 Sea A = ( ) IR 2 2 i) Hallar b y c IR / A 2 + ba + ci 2 = 0 ii) Calcular A n n IN Ejercicio 11 Describir GL(1, K) Ejercicio 12 Sea A K 2 2 con A = ( ) A GL(2, K) y A 1 = 1 d b c a ( ) a b c d y = ad bc Si 0, probar que Ejercicio 13 Sea A GL(n, K) y B, C K n m Probar que: i) AB = AC B = C ii) AB = 0 B = 0 Ejercicio 14 Decidir si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa i) A, B GL(n, K) A + B GL(n, K) ii) A GL(n, K) A t GL(n, K) iii) tr(a) = 0 A / GL(n, K) iv) A nilpotente (es decir, j IN / A j = 0) A / GL(n, K) Ejercicio 15 Sea A K m n y sea b K m Sea H = {x K n / Ax = b} Probar que: i) Si C GL(n, K), entonces H = {x K n / (CA)x = Cb} ii) Si m = n y A GL(n, K), entonces H tiene un solo elemento Cuál es? (Notar que esto significa que si A es inversible, cualquier sistema lineal cuya matriz asociada sea A tiene solución única) Ejercicio 16 Para cada i, j (1 i, j n), sea E ij K n n la matriz: { (E ij 1 si i = k y j = l ) kl = 0 si no Las matrices E ij se llaman matrices canónicas de K n n i) Si a K {0} y 1 i n, se define M i (a) K n n como M i (a) = E 11 + E ae ii + E (i+1)(i+1) + + E nn = I n + (a 1)E ii Escribir todas las posibles M i (a) para n = 2, 3, 4 (a K) 3

4 ii) Sean 1 i, j n, con i j Se define la matriz P ij K n n como la matriz que se obtiene permutando la fila i con la fila j de la matriz identidad Comprobar que P ij = I n E ii E jj + E ij + E ji Escribir todas las posibles P ij para n = 2, 3, 4 iii) Sean 1 i, j n, con i j y a K Se define la matriz T ij (a) K n n como T ij (a) = I n + ae ij Escribir todas las posibles T ij (a) para n = 2, 3, 4 (a K) Las matrices M i (a), P ij y T ij (a) se llaman matrices elementales de K n n Ejercicio 17 Sean M i (a), P ij y T ij (a) las matrices elementales de K n n Probar: i) M i (a) GL(n, K) con (M i (a)) 1 = M i ( 1 a ) ii) P ij GL(n, K) con (P ij ) 1 = P ij iii) T ij GL(n, K) con (T ij (a)) 1 = T ij ( a) Ejercicio 18 Sea A K n m, A = (a ij ) y sea F i (1 i n) la i-ésima fila de A, es decir, F 1 F i = (a i1,, a im ) y A = Sean E ij las matrices canónicas y sean M i (a), P ij y T ij (a) las matrices elementales de K n n Probar que: i) Si A = E ij A, entonces A = ii) Si A = M i (a)a, entonces A = iii) Si A = P ij A, entonces A = iv) Si A = T ij (a)a, entonces A = con F k F n = (0,, 0) si k i y F i = F j con F k = F k si k i y F i = af i con F k = F k si k i, j ; F i = F j y F j = F i con F k = F k si k i y F i = F i + af j 4

5 Notar como conclusión de ii), iii) y iv) que triangular por filas una matriz es multiplicar a izquierda por varias matrices elementales Cómo se pueden obtener las matrices elementales a partir de la matriz identidad? Ejercicio 19 i) Sea A = T 12 (1) IR 2 2 Calcular A 20 y 20A ii) Calcular (P ij ) 15 y (P ij ) 16 iii) Sea B = M 3 (2) IR 4 4 Calcular B 20 y 20B Ejercicio 20 Averiguar si las siguientes matrices son inversibles y en caso afirmativo exhibir sus inversas cos θ sen θ 0 i) A = 0 1 1, ii) A = sen θ cos θ 0, iii) A = , iv) A = , v) A = Escribir las que sean inversibles como producto de matrices elementales a a a nn Ejercicio 21 Sea A K n n y sea b K n i) Probar que el sistema Ax = b tiene solución única A GL(n, K) ii) Probar que A GL(n, K) las filas de A son linealmente independientes las columnas de A son linealmente independientes Ejercicio 22 Sea A K n n i) Probar que B K n n /BA = I n A GL(n, K) ii) Deducir que B K n n /AB = I n A GL(n, K) 5