Números complejos Matemáticas I. Números complejos. Necesidad de ampliar el conjunto de los números reales.

Transcripción

1 Números complejos. Necesidad de ampliar el conjunto de los números reales. En ocasiones cuando resolvemos ecuaciones como la siguiente x 1=0 Nos encontramos, si despejamos la incógnita x, con que x=± 1 También, si resolvemos la ecuación x 4=0 x = 4 x=± 4 que podemos expresar como x=±. 1 Y si resolvemos la ecuación x 6 x 13=0 tendremos las soluciones x= 6± 36 5 = 6± 16 Y cuyas soluciones podemos expresar como x= 6± 4 16 =3±. 1 Luego, como hemos podido ver en estos ejemplos, todas las soluciones dependen de un valor 1 cuya raíz cuadrada no existe en los números reales. Así pues, se hace necesario ampliar el conjunto de los números reales, asignando a dicho valor el símbolo raíz, y denominando como unidad imaginaria. Números complejos Número complejo en forma binómica Se denomina número complejo, en forma binómica, a la expresión a b.î î= 1 a dicha Donde al número real a se le denomina parte real, y al número real b, parte imaginaria. Si b=0, dicho número se reduce a un número real, ya que a + 0. î = a. Por ello, los números reales son un subconjunto numérico de los números complejos. Si imaginario puro. a=0 el número complejo sera de la forma 0 b.î =b.î, y se denomina número Si a=0=b, resulta el número complejo cero 0 0 î =0

2 Igualdad entre números complejos a b î =c d î a=c y b=d. Complejos conjugados. Un número complejo w=c d î es conjugado de z=a bî si a=c y b= d Al número complejo conjugado de z, se representa por z # Ejemplo.- 3 î es conjugado de 3 î Operaciones con números complejos en forma binómica Suma de números complejos Si =a 1 î y z =a î z = a 1 î a î = a 1 a î Resta de números complejos Si =a 1 î y z =a î z = a 1 î a î = a 1 a b î Producto de números complejos Si =a 1 î y z =a î # Ejemplos-. z = a 1 î. a î = a 1.a b 1.b a 1.b a. b 1 î 3 î 8 5î =3 8 î 5î =11 3î 3 î 8 5î =3 8 î 5î = 5 7î 3 î. 8 5î = î =34 î Cociente de números complejos Si =a 1 î y z =a î con z 0 # Ejemplo- =. z = a 1 î. a b î z z. z a î. a b î = a 1. a. b a.b 1 a 1. b a a 3 î. 8 5î = 3 î 8 5î 8 5î. 8 5î = 34 î 89 = î Potencias de números complejos a bî n = a b î. a b î. producton veces. a bî î

3 Para desarrollar esta potencia, podemos efectuar el producto de a bî n veces (si n es un número pequeño) o se desarrolla mediante el binomio de Newton, teniendo en cuenta que î 0 =1 î 1 =î î = 1 î 3 =î. î= î î 4 =î.î =1 î 5 =î î 6 = 1 î 7 = î î 8 =1... # Ejercicios resueltos î 544 = î =0 136 =0 î 654 = î =î = î 3 3î 0 30î. 3 î = 3 3î. 3 3î = 90 70î 10 =9 7 î 3î =4 1î 9 î =4 1î 9= 5 1î Representación gráfica de un número complejo Podemos representar los números complejos en el plano euclídeo, haciéndole corresponder a cada número complejo z=a bî el afijo A a,b

4 Módulo de un número complejo Números complejos Matemáticas I Si z=a bî es un número complejo de afijo A a,b y O es el origen de coordenadas, entonces, denominamos módulo de z es z = OA = a Argumento de un número complejo Si z=a bî es un número complejo de afijo A a,b y O es el origen de coordenadas, entonces, denominamos argumento de z es complejo arg z ={ OX, OA} Teniendo en cuenta la definición de tangente trigonométrica de un ángulo, para el número z=a bî se deduce arg z ={Arctg b a si a 0.rad si a=0 y b 0 3. rad si a=0 y b 0} Además, la expresión arg z =Arctg b a no determina unívocamente el argumento de de un número complejo z, pues hay infinitos ángulos que cumplen la igualdad. Ahora bien, si restringimos arg z, tal que 0 arg z, solamente obtendremos un ángulo, siempre que estudiemos el signo de a y de b, para saber en que cuadrante se encuentra el afijo A a,b, ya que si dos ángulos difieren rad, dichos ángulos tienen la misma pendiente. arg z = Forma trigonométrica y polar de un número complejo Si z=a bî es un número complejo en forma binómica tal que r= OA y Teniendo en cuenta las definiciones de seno y coseno, obtendremos la relación a=r cos b=r sen Podemos expresar el número z en forma trigonométrica z=a b î=r cos r sen î=r cos sen î polar. Otra forma de expresar el número complejo z=a b î es r, que denominamos forma

5 En resumen un número complejo z, lo podemos representar en Forma polar Forma trigonométrica Forma polar # Ejercicios.- a b î r. cos î sen r Como el complejo z=4 a 3.î tiene como módulo z = =8 y como argumento =arctg =arctg 3=60º, podemos expresar z como z=8. cos 60º î sen 60º =8 60º Como el complejo z=î tiene como módulo z = 0 1 =1 y como argumento =arctg 1 0 =arctg =90º, podemos expresar z como Si z=6 5º, será z=1. cos90º î sen90º =1 90º z=6. cos 65º î sen 65º = 3 3 î Producto y cociente de números complejos en forma polar Producto de números complejos en forma polar r. r ' ' =r. cos î sen. r '. cos ' î sen ' = =r. r '. cos.cos ' sen. sen ' î sen.cos ' cos. sen ' = =r. r '. cos ' sen ' = = r. r ' ' Cociente de números complejos en forma polar r r. cos î sen r. cos î sen. cos ' î sen ' = = r ' ' r '. cos ' î sen ' r '. cos ' î sen '. cos ' î sen ' = = r. cos. cos ' sen. sen ' î sen.cos ' cos. sen ' = r ' = r. cos ' sen ' = r ' = r r ' ' # Ejemplo.- Hallar el valor de para el cociente 5 3 sea a) Un número positivo. b) Un número negativo.

6 c) Un número imaginario puro positivo Que podemos responder a) Como los números reales positivos tienen de argumento 0 radianes: =0 = rad b) Como los números reales negativos tienen de argumento radianes: = =0rad c) Como los números imaginarios puros tienen de argumento = = rad radianes: Potenciación y radiación de números complejos en forma polar obtenemos Potenciación de números complejos en forma polar Utilizando el producto n veces de un número complejo en forma polar por si mismo, r n = r n n Radicación de números complejos en forma polar Sea un número complejo en forma polar Luego # Ejemplos.- n s =r s = r n = r n n { r= n s n = k } n s = s n k n Para calcular 3î 4, denominando z= 3 î, como z = 3 =4 =Arctg z=arctg 3 =60º z en forma polar será Por tanto z=r =4 60º z 4 4 =4 4.60º =16 40º s

7 Para calcular 3 8.î, denominando z=8î, como z = 0 8 =8 =Arctg z=arctg 8 0 =90º z en forma polar será Por tanto z=r =8 90º 3 z= º = 90º 3 10º. k: k {0, 1, }={ 30º, 150º, 70º } Raíces de una ecuación algebraica. Teorema fundamental del álgebra. Cuando resolvemos ecuaciones lineales, es posible encontrar todas todas sus raíces en el conjunto de los números complejos, ya que por ejemplo, la ecuación z^4 16 = 0 Tiene solamente dos raíces reales x= y x=, mientras que si consieramos el conjunto de los números reales, tiene cuatro soluciones x=, x=, x=.î y x=.î Luego, se cumple el teorema fundamental del Álgebra Toda ecuación lineal de grado n (n un número natural) con coeficientes reales o complejos, tiene n raíces complejas.