Preguntas de examen. Apéndice A. A.1 Abril de 2008 (Examen parcial) Preguntas de test (30%) Teoría (10 %)

Transcripción

1 Apédice A Pregutas de exame A. Abril de 2008 (Exame parcial) Pregutas de test (30%) A. Se cosidera las sucesioes ( ) a b. Etoces: (a) Si b coverge, etoces a tambié coverge y sus límites coicide. (b) Si b coverge, etoces a tambié coverge y su límite es cero. (c) Si b está acotada etoces a tambié. A.2 Sea a = l( 6 ). Etoces se verifica que: (a) 3 4 a. (b) a 3 4. (c) a l( 6 ). A.3 Sea f(x) = x3 x 2 +2 x 5 2. Etoces podemos asegurar que: (a) f tiee al meos ua raíz e el itervalo [ 2, ]. (b) f tiee al meos ua raíz e el itervalo [ 2, 2 ]. (c) f o tiee raíces por o ser cotiua. A.4 La ecuació e diferecias x +2 +4x = 0: (a) o tiee solucioes reales. (b) x = 2 cos π es ua solució particular. 4 (c) x = 2 si π es ua solució particular. 2 A.5 Si S = k se verifica: k= (a) S. (b) S. (c) S. 3 2 A.6 Si la serie a diverge, etoces (a) lim a 0. a (b) tambié diverge. 2 (c) (a + ) tambié diverge. 2 Teoría (0 %) Estudiar la covergecia de la serie geométrica r para r > 0.

2 52 Apédice A. Pregutas de exame Problema (20 %) Sea x = e + e + e + e e + e a) (2 5 putos) Utilizar la regla del sadwich para calcular el lim x. b) (2 5 putos) Demostrar que x O( 2 e ), es decir está domiada asitótocamete por 2 e. c) (2 5 putos) Estudiar la covergecia de la serie d) (2 5 putos) Utilizar el resultado aterior para estudiar la covergecia de x. 2 e. Problema 2 (20 %) a) (8 putos) Obteer la forma explícita de las siguietes ecuacioes e diferecias: { x = x = 2 x + 2 ( )!, 2. { y = ; y 2 = 0 y + 4y + 4y = 0, 2. b) (2 putos) Comparar los órdees de magitud de x y de y ( )!. Problema co ordeador (20%) Dada la ecuació ello: 4x 3 e =, se desea aproximar los valores de x que la resuelve. Para 3x 20 a) (4 putos) Escribir la ecuació a resolver de la forma f(x) = 0 dode f sea ua fució cotiua. b) (4 putos) Demostrar que e el itervalo (, 0] tiee ua úica solució real y localizar u itervalo de logitud e el que se ecuetre dicha solució. c) (2 putos) Determiar cuatos pasos hay que dar para garatizar u error iferior a 0 5 usado el método de la bisecció y dar ua aproximació que garatice dicha cota de error (detallar el proceso seguido e idicar la última fila).

3 Juio de A.2 Juio de 2008 Pregutas de test (30%) Pregutas correspodietes al primer parcial: A.7 Dadas las sucesioes a = e2 5, b 3 = e 6, c = e se tiee que: l() (a) a b c (b) a c b (c) c b a A.8 Sea f : [a, b] R ua fució derivable e (a, b) y tal que f (x) > 0 x (a, b), etoces podemos asegurar que: (a) No puede existir igua raíz de f e [a, b] ya que f o es cotiua e este itervalo. (b) Podemos asegurar que existe ua úica raíz de f e [a, b] ya que f (x) > 0 x (a, b) (c) No podemos asegurar ada respecto a la existecia de raíces de f e [a, b]. A.9 La solució de la ecuació x = x +, x = es: (a) x =! ( + ) (b) x = 2 (c) x = a = A.0 La sucesió a + = 3 a + (a) Es moótoa y acotada. (b) Es moótoa, pero o acotada. (c) No es moótoa. A. La suma de la serie (a) 2 5 (b) 2 9 (c) 9 Pregutas correspodietes al segudo parcial: A.3 Recordado que e x = x x R, =0! el desarrollo de e x e toro a x 0 = 0 es: (a) e x = x =0! (b) e x = ( ) x =0! (c) e x = ( ) + x! =0 A.4 Sea f : [a, b] R cotiua e [a, b] ( 2 7) es: A.2 Se puede asegurar que la serie 2 : (a) Coverge, puesto que 2 N. (b) Diverge, puesto que 2 = 2 y la serie armóica diverge. (c) Coverge, puesto que lim 2 = 0. tal que f(a) < 0, f(b) < 0 y b f = 0 y sea a F(x) = x f(t)dt. Se puede asegurar que: a (a) existe c (a, b) tal que F (c) = 0. (b) existe c (a, b) tal que c f < 0 y a b f < 0. c (c) b f = 0. a A.5 El poliomio de Taylor de orde 2 e x 0 = 0 de la fució F(x) = x 0 cos(t2 ) dt es: (a) P 2 (x) = x.

4 54 Apédice A. Pregutas de exame (b) P 2 (x) = x2 2. (c) P 2 (x) = x x 2. A.6 Dada la siguiete tabla de putos x 0 2 su poliomio iterpolador y es: (a) 5 2 x2 + x (b) x x2 x (c) 3 2 x3 3x 2 x A.7 Idicar cuál de los siguietes métodos de itegració umérica daría el valor exacto de 0 f(x) dx siedo f(x) = 5x2 6x + 20: (a) Método del trapecio e 6 putos equiespaciados. (b) Método de Simpso e 6 putos equiespaciados. (c) Método de Simpso e 5 putos equiespaciados. A.8 Si el poliomio de Taylor de orde 2 de ua fució f cetrado e x 0 = es 4 5x+x 2 etoces el poliomio de Taylor de orde de f cetrado e x 0 = es: (a) 4 5x. (b) 4 5(x ). (c) 3 3x. Teoría (0 %) Obteer el desarrollo e serie de Taylor de la fució f(x) = e x e x 0 = 0 y demostrar que lim R (x) = 0 para todo x R. Problema Se cosidera la sucesió Se pide: ( a = 3 2 e se π ) 2 (a) (3 putos) Estudiar la covergecia de a cuado. (b) (3 putos) Justificar que a O( 2 e ) Se puede afirmar que a 2 e? Justificar la respuesta. (c) (4 putos) Sea x defiida mediate la ecuació e diferecias x +2 + x 4 = 0, x 0 = 0, x = 2 Calcular la forma explícita de x y lim x. Problema 2 (a) (3 putos) Estudiar la covergecia de la serie (l()) 2. 3 (b) (3 putos) Demostrar la divergecia de la serie =2 l() magitud de la sucesió de sumas parciales de la misma. (c) (4 putos) Estudiar para qué valores de x R coverge la serie y determiar el orde de =0 (3x) +.

5 Juio de Problema 3 Se cosidera las fucioes { 3 x si x 0 f(x) = e 3x si x > 0 y F(x) = x f(t) dt x R (a) (3.5 putos) Estudiar e qué putos F es cotiua y e cuáles derivable. Calcular F (x) e los putos e los que sea posible. (b) (3.5 putos) Hallar ua forma explícita de F(x) para x [, ). (c) (3 putos) Estudiar la covergecia de covergete. 0 f(t) dt y calcular su valor e caso de que sea Problema co ordeador a. (3.5 putos) Se quiere aproximar l(.5) mediate u poliomio de Taylor de orde 5 cetrado e x 0 = de la fució f(x) = l(x). Dar el valor de la aproximació y ua cota del error cometido. b. (4 putos) Sabiedo que l(x) = ( ) + (x ) si 0 < x 2 aproximar l(.5) co u error meor que 0 4 utilizado técicas de suma aproximadas de series. c. (2.5 putos) Determiar el paso h ecesario para que utilizado iterpolació lieal a trozos para aproximar f, el error global de la aproximació e el itervalo (, 2) sea meor que 0 2. Cuátos putos habría que tomar? Problema co ordeador 2 Para calcular la tasa (o razó) λ de atalidad de ua població, es preciso resolver la ecuació siguiete, que depede del úmero de habitates al comiezo del año, de las persoas que llega durate el mismo y el úmero de habitates al fial de año. + 3 λ + = (λ + ) 2. a. ( puto) Escribir la ecuació aterior como ua expresió f(λ) = 0 co f cotiua e R. b. (4 putos) Separar las raíces de la ecuació e itervalos de amplitud y justificar que o existe más raíces. c. (5 putos) Aproximar la raíz que represeta la tasa de atalidad co u error meor que 0 6, usado el método de la bisecció. (Idicar razoadamete el umero de iteracioes, el itervalo fial y la solució propuesta). úmero total de acimietos Nota: Tasa de atalidad= 000. població total

6 56 Apédice A. Pregutas de exame A.3 Septiembre de 2008 Pregutas de test (30%) A.9 Si a y b so sucesioes de úmeros reales tales que a 2 b a partir de u. Etoces se puede asegurar que: (a) a b (b) a b (c) a O(b ) 2 A.20 El valor de dx es: 2 x2 (a) (b) 4 (c) Dicha itegral diverge. A.2 Ua expresió de la ecuació + 3 λ + = (λ + ) 2 de la forma f(λ) = 0, co f cotiua e R, es: 3 859(λ + ) (a) f(λ) = 859(λ + ) (b) f(λ) = 859(λ + ) 2(λ + ) + 3 (c) f(λ) = (λ + ) 2 + 3(λ + ) A.22 Sea a y b sucesioes acotadas de úmeros reales. Etoces: (a) La sucesió k a +k 2 b está acotada para todos k, k 2 R. (b) La sucesió k a +k 2 b está acotada sólo si k y k 2 so positivos. (c) La sucesió k a + k 2 b puede o estar acotada. A.23 El desarrollo e serie de Taylor de la fució f(x) = e 2x cetrado e x 0 = 0 es: 2 (a) =0! x ( 2) + (b) x =0! ( ) 2 (c) x =0! A.24 Si p(x) = x 2 + es el poliomio de Taylor de orde 3 de ua fució f(x) e x 0 = 0, podemos asegurar que: (a) f (0) = 0, f (0) = 0 (b) f (0) =, f(0) = (c) f() = 2, f(0) = A.25 Sea la serie covergete S = =5 f() dode f() 0 para todo N (a) Se puede afirmar que la serie S 2 = f() es tambié covergete y S S 2. (b) Se puede afirmar que la serie S 2 es covergete y S S 2. (c) Auque S es covergete o se puede afirmar que S 2 siempre lo sea. A.26 Dada la siguiete tabla de putos x i 0 2 3, se quiere aproximar el f(x i ) valor e 2. (a) El meor error se comete al utilizar iterpolació lieal a trozos. (b) El meor error se comete al utilizar iterpolació cúbica. (c) Si o se tiee más iformació sobre f(x), o se puede asegurar e qué caso se comete el meor error. A.27 La solució geeral de la ecuació e diferecias x +2 4x = 0 es: (a) c 2 + c 2 2 (b) c 2 + c 2 ( 2) (c) 2 (c cos( π 2 ) + c 2 se( π 2 )) A.28 Sea la ecuació f(x) = 0 siedo f ua fució real de variable real cotiua y derivable. Sabiedo que f tiee ua solució úica e el itervalo (4, 5), después de hacer 5 iteracioes por el método de la bisecció, podemos asegurar que dicha solució está e el itervalo [4.69, 4.72]: (a) si f(4.69) = 0.0, f(4.72) = (b) si f(4.69) =, f(4.72) =. (c) si f(4.69) = 0.0, f(4.72) = 0.2.

7 Septiembre de Teoría (0 %) Demostrar las siguietes desigualdades de la jerarquía de ifiitos: (a) (7 putos) p r para p, r R tales que p > 0 y r >. (b) (3 putos) r p para p, r R tales que p > 0 y 0 < r. Problema (2 %) (a) (3.5 putos) Estudiar la covergecia de la sucesió a = 3 + (b) (3.5 putos) Resolver la ecuació e diferecias x 0 = siedo k R y k x + = kx + k, 0 3 (c) (3 putos) Calcular el orde de magitud de la solució x del apartado (b). Problema 2 (2 %) (a) (3 putos) Estudiar la covergecia de la serie l( 3 ). (b) (3 putos) Utilizar adecuadamete el criterio itegral para calcular el orde de magitud de la sucesió de sumas parciales de la serie aterior y determiar si dicha sucesió está acotada. Justificar la respuesta. (c) (4 putos) Dada de x R. Problema 3 (2 %) x 3, estudiar la covergecia de dicha serie para los distitos valores Se cosidera las fucioes f : R R y F : R R defiidas por: 0 si x < 2 x f(x) = 2 y F(x) = f(t) dt si x 2 x 2 0 (a) (3 putos) Estudiar la derivabilidad de F(x) hallado F (x) e los putos e los que exista. (b) (3 putos) Hallar la forma explícita de F(x). (c) (4 putos) Dar ua expresió del poliomio iterpolador de F(x) e los putos de abscisas {0, 2, 4}.

8 58 Apédice A. Pregutas de exame Problema co ordeador (2%) Se cosidera la fució f(x) = l( + x) y se pide: (a) (4 putos) Calcular su poliomio de Taylor de orde 2 e x 0 = 0. Utilizarlo para dar u valor aproximado de l(.25) y calcular ua cota del error cometido, utilizado el resto de Lagrage. (b) (6 putos) Calcular ua aproximació de l(.25) mediate u poliomio de Taylor e x 0 = 0 co u error meor que 0 5. NOTA: Este último apartado puede hacerse obteiedo ua expresió geeral para f (+) (x) y hallado u N que garatice R (x) < 0 5, o bie utilizado que l( + x) = ( ) x si x (, ] y técicas de suma aproximada de series. Problema co ordeador 2 (2%) Dos hermaos mal aveidos hereda u gra olivar que decide repartir e dos partes lo más iguales posible. Ua frotera atural la daría el río que corta la fica e dos mitades. Para que la divisió sea equilibrada, acuerda que si ua de las partes fuera más de u 5% mayor que la mitad de la fica, el que heredara la parte más pequeña recibiría como compesació ua catidad e metálico durate los primeros 50 años. El olivar puede cosiderarse como u rectágulo de 2 km de base por 3 km de altura y el río respode aproximadamete a la gráfica de la expresió: f(x) = x5 l(x) 3x 3 + e x + 2 (a) (4 putos) Aproximar el área de la superficie por debajo del río utilizado el método de Simpso co 3 putos y dar ua cota del error cometido. (Cota del error del método de Simpso: M(b a)5 siedo f (IV ) (x) M para todo x (a,b)) 80 4 (b) (4 putos) Calcular el úmero de putos que hay que tomar para aproximar el área aterior co u error meor que 0 m 2 utilizado el método del trapecio y dar ua aproximació del área co esa cota de error. (Cota del error del método del trapecio: M(b a) siedo f (x) M para todo x (a,b)) (c) (2 putos) De acuerdo co el resultado obteido, habrá que compesar a alguo de los hermaos?

9 A.4 Diciembre de 2008 Diciembre de Pregutas de test (30 %) A.29 La sucesió a = si ( ) π 2 (a) a. verifica: (b) a O ( ). (c) a es ua sucesió o covergete. A.30 Sabiedo que el poliomio de Taylor de orde 2 de cierta fució f(x) cetrado e x 0 = es T 2 (x) = 2 (x )(7x 5) etoces, el poliomio de Taylor de orde de la misma fució cetrado e x 0 = es: (a) 2 + (x ). (b) 4 (x ). (c) (x 2). A.3 Se utiliza el método de bisecció para aproximar ua solució de ua fució f(x) e el itervalo [ 2, 2]. Tras 6 pasos, ua cota del error cometido al aproximar dicha solució por u valor cualquiera del itervalo obteido es: (a). 2 5 (b). 2 4 (c) 2 6. A.32 Idicar cuál de las siguietes itegrales impropias es divergete: (a) (b) (c) x dx. e 2x dx. dx. x 2 A.33 La sucesió a = (!) 2 verifica: (a) Es divergete. (b) Es moótoa. (c) Su límite es. A.34 La serie ( 3 3+), (a) Coverge. (b) Diverge. (c) Coverge o diverge depediedo del criterio elegido. A.35 Si F(x) = es: x 2 (a) si (x 2 ) 2x. (b) cos (x 2 ) 2x. (c) (cos () cos (x 2 )) 2x. A.36 La serie si: (a) x ( 4, 0). (b) x [ 4, 0). (c) x [ 4, 0]. si(t) dt, etoces F (x) (x + 2) 2 coverge si y sólo A.37 Dada la ecuació e x = x, podemos asegurar que: (a) No tiee solució porque e x siempre toma valores positivos. (b) Tiee ua úica solució y dicha solució está e el itervalo [, 0]. (c) Tiee más de ua solució. A.38 El poliomio iterpolador de orde 3 de la fució f(x) = x 4 e los putos de abscisas {, 0,, 2} es: (a) x 2. (b) x 3 + x 2 x. (c) 2x 3 + x 2 2x.

10 60 Apédice A. Pregutas de exame Teoría (0 %) Demostrar que l() p q, para 0 < p < q. Problema (5 %) (a) Dada la ecuació e diferecias x +2 2x + + 2x = 0, obteer la solució geeral de la ecuació y la solució particular para el caso x = 0, x 2 = 2. (3 putos) (b) Ecotrar todos los valores de r R tales que x O (r ). ( 5 putos) (c) Estudiar si la sucesió a = ( ) es covergete. (2 putos) 2 + (d) Calcular el límite de la sucesió b = e. (2 putos) 4 + e (e) Ordear por orde de magitud las sucesioes a, b y c = 4 +. ( 5 putos) Problema 2 (20 %) (a) Dada la fució f(x) = x 2 +, obteer los poliomios de Taylor de órdees y 2 de f(x) cetrados e x 0 = 0. (2 putos) (b) Usar el poliomio de orde del apartado eterior para aproximar.25. (0 5 putos) (c) Justificar que, e el itervalo adecuado, f (x) y usar ese resultado para dar ua cota del error cometido e la aproximació aterior. (2 putos) (d) Estudiar la covergecia de la serie ( ) 3. (3 putos) (e) Estudiar si se puede usar el criterio itegral para asegurar que e 2 k= k e k2 xex2 dx. Para ello, estudiar si se verifica todas las hipótesis ecesarias para poder aplicar dicho criterio y, e caso que así sea, aplicarlo. (2 5 putos) Problema 3 (25%) Se cosidera la fució f(x) = {, x < 2, x 2. y sea F(x) = x x f(t) dt. Se pide: (a) Estudiar la cotiuidad y derivabilidad de F(x). ( 5 putos) (b) Hallar la expresió explícita de F(x), x R. (2 5 putos) (c) Aproximar el valor de Simpso. (2 5 putos) 5 Cota del error: M 80 4 (b a) 5, co f (4) (x) M x (a, b) 2 f(x) dx co u error meor que 0 5 usado el método de

11 Juio de (d) Se quiere aproximar F(x) e el itervalo [2, 0] mediate iterpolació lieal a trozos. Calcular ua logitud de paso h que garatice que el error de aproximació para cualquier x [2, 0] es meor que 0 4. Explicar detalladamete el proceso seguido para determiar h. (2 5 putos) (e) Sería suficiete dividir el itervalo [2, 0] e 300 subitervalos para garatizar u error meor que 0 4? Justificar la respuesta. ( puto) A.5 Juio de 2007 Pregutas de test (25%) A.39 La sucesió l(2 + ) es del mismo orde que (a). (b) l(). (c) 3. A.40 Sea (a ) ua sucesió moótoa decreciete co a 0 para todo. Se puede asegurar que (a) (a ) es covergete y lim a = 0. (b) (a ) puede o ser covergete. (c) (a ) es covergete pero su límite puede o ser 0. A.4 Las sucesió a = ( 3) + 3 verifica (a) a 3. (b) a 3. (c) a O(3 ) pero a 3 y a 3. A.42 La sucesió x = 2 es solució de la ecuació e diferecias: (a) x +2 4x + + 4x = 0. (b) x +2 4x = 0. (c) x x = 0. A.43 La ecuació x 3 + 5x + = 0 (a) o tiee igua solució real. (b) tiee ua úica solució real. (c) tiee tres solucioes reales. A.44 La serie ( x ( 3) 2 + ) verifica: (a) No coverge para igú valor de x, ya que su térmio geeral o tiede a 0. (b) Es covergete para cualquier x > 0. (c) Es covergete para cualquier x co x < 3. A.45 Cuál de las siguietes series coverge? ( ) 2+ (a). ( ) 2 (b). ( ) 2 (c). A.46 El poliomio de Taylor de orde 2 de f(x) = arctg(x) e x 0 = 0 es: (a) P 2 (x) =. (b) P 2 (x) = x. (c) P 2 (x) = + x 2. A.47 Sea f(x) = 2x 3 7x y P(x) poliomio iterpolador de f(x) e los putos de abscisas {0,, 2, 3, 4, 5}. Se puede asegurar que el grado del poliomio P(x) es: (a) 3. (b) 4. (c) 5. A.48 La itegral impropia es covergete: (a) Si y sólo si p >. (b) Si y sólo si p > 0. (c) Si y sólo si p > /3. 0 dx ( + x) 3p

12 62 Apédice A. Pregutas de exame Teoría (0 %) Sea a ua sucesió covergete a 2. Demostrar que existe 0 tal que a < 0 para todo 0. Problema (0 %) Estudiar la covergecia de la serie 2!. Problema 2 (2 %) Sea f(x) = 3 x +. Se pide: (a) (5 putos) Aproximar 3 2 mediate el poliomio de Taylor de orde 2 de f(x) e x 0 = 0 y dar ua cota del error cometido. (b) (5 putos) Hallar la logitud de paso h que garatice u error meor que 0 2 al aproximar f(x) mediate iterpolació lieal a trozos e el itervalo [0, 00] co putos equiespaciados a distacia h. Problema 3 (8 %) 0 si x 0 Sea f(x) = 2x si x > 0 y F(x) = x 0 f(t) dt. Se pide: (a) (3 putos) Estudiar la cotiuidad y derivabilidad de F e los putos x = 0 y x = /2, y hallar F (0) y F (/2) si existe. (b) (3 putos) Calcular F(0), F(/2) y F(). (c) (3 putos) Hallar el poliomio iterpolador de F(x) e los putos de abscisas {0, /2, }. (d) ( putos) Estudiar el crecimieto de F e [0, ). Problema co ordeador (2,5%) Sabiedo que f(x) = l( + x 3 ( ) + x 3 ) = si y solo si x (, ] se pide: (a) (2 putos) Justificar que es posible aproximar l( 28 ) co la precisió que se desee usado 27 poliomios de Taylor de f(x) cetrados e x 0 = 0 y determiar el puto x e que hay que evaluar f(x) para obteer dicha aproximació. (b) (8 putos) Obteer ua aproximació de l( ) co u error meor que 0 6 evaluado la expresió dada iicialmete e el puto adecuado.

13 Septiembre de Problema co ordeador 2 (2,5 %) (a) (4 putos) U algoritmo que recibe datos utiliza 2 2 operacioes para reducir el problema a cico problemas de tamaño y ejecuta sobre ellos el mismo algoritmo. Sabiedo que co u dato realiza 2 operacioes, defiir ua sucesió a que represete el úmero de operacioes que se realiza cuado se recibe datos, obteer su forma explícita y dar su orde de magitud. (b) (4 putos) Se tiee otro algoritmo que co u dato tambié realiza 2 operacioes, co dos datos realiza 40 y para 3 reduce cada problema de datos a cico problemas de datos y seis problemas de 2 datos sobre los que se aplica el mismo algoritmo. Defiir ua sucesió b que represete el úmero de operacioes que se realiza cuado se recibe datos, obteer su forma explícita y dar su orde de magitud. (c) (2 putos) Propoer sucesioes c, d y e cuyos órdees de magitud se correspoda, respectivamete, co el de u algoritmo meos eficiete que a y b, el de uo itermedio etre a y b y el de otro más eficiete que cualquiera de los dos. Justificar las respuestas. A.6 Septiembre de 2007 Test (25%) A.49 La serie 2 e a (a) Es covergete a R. (b) Es covergete a 0. (c) Es covergete a 0. A.50 Dada ua fució f cotiua e [a, b] y tal que f(a)f(b) < 0, se le aplica el método de la bisecció e dicho itervalo 3 veces y se obtiee que [a 3, b 3 ] = [,.25]. El itervalo iicial [a, b] podría ser: (a) [, 2] (b) [0, 2] (c) [, ] A.5 Si a es ua sucesió tal que a + para todo N, se puede asegurar que: (a) lim a = (b) lim a = (c) lim a = 0 A.52 Si a = l( ) etoces: (a) p > a O ( p ) (b) p > 2 a O ( p ) (c) p R a O( p ) A.53 La sucesió a = (a) Es covergete a 5. (b) Es covergete a 2. (c) Es divergete. A.54 La serie (a) Es covergete y su suma es 7 2. (b) Es covergete y su suma es 9 2. (c) Es divergete. A.55 Sea f : [a, b] R ua fució cotiua e [a, b] y c (a, b). Si f(a) > 0, f(b) > 0, f es estrictamete decreciete e [a, c] y f es estrictamete creciete e [c, b], etoces se puede asegurar que: (a) Si f(c) < 0 etoces f tiee exactamete 2 raíces e (a, b). (b) Si f(c) < 0 etoces f puede teer más de 2 raíces e (a, b).

14 64 Apédice A. Pregutas de exame (c) f tiee al meos 2 raíces e (a, b) idepedietemete del valor de f(c). A.56 Sea x e y sucesioes covergetes que satisface: x + = x + y 2 N Etoces se puede asegurar que: (a) Ambas tiee el mismo límite. (b) Sus límites so distitos. (c) No hay suficiete iformació para asegurar i (a) i (b). Teoría (0 %) Demostrar que toda sucesió covergete está acotada. Problema (25 %) Se cosidera las sucesioes defiidas por: si = x = 2 x si 2 y = (a) (3 putos) Estudiar la mootoía de x. magitud. (b) (3 putos) Justificar que y es divergete y que y 2. (c) (2 putos) Comparar los órdees de magitud de x e y. (d) (2 putos) Estudiar la covergecia de la serie. x Problema 2 (0 %) Se cosidera la sucesió x defiida por x = x + = x + 3( + ) 2 Calcular su límite y obteer su orde de (a) (2 putos) Hallar ua expresió explícita para x (si o se puede simplificar, es válido dejarlo e fució de ua suma). (b) (8 putos) Utilizar el criterio itegral para obteer el orde de magitud de x. Problema co ordeador (5%) Ua gaceta por Iteret laza ua oticia sobre la imiete colisió de u meteorito cotra la Tierra. Para leer las oticias relacioadas co la catástrofe, es preciso registrarse como lector. El primer día hay registradas 300 persoas, el segudo, 000 y a partir del tercero el úmero de usuarios registrados es igual a 6 veces la suma de los que había registrados los dos días ateriores meos 5 veces los que había registrados dos días ates, porque se da de baja.

15 Diciembre de (a) (3 putos) Escribir ua sucesió x que modelice el úmero de lectores registrados al cabo de días. (b) (2 putos) Dar la expresió explícita para x. (c) (3 putos) Ecotrar, si existe, todos los valores r R + de modo que la sucesió del apartado aterior sea O(r ) o justificar que o es posible. (d) (2 putos) Si la gaceta promete que regalará u kit completo de supervivecia al registrado úmero 0 6, qué día se ha registrado el gaador? Problema co ordeador 2 (5%) Determiar razoadamete cuátas solucioes reales tiee la ecuació x 5 40x x x x = 300, localizar cada ua de ellas e u itervalo de amplitud y aproximar la más cercaa al orige, por el método de la bisecció, co u error meor que 0 3. Detallar el proceso seguido. A.7 Diciembre de 2007 Pregutas de test (25%) A.57 La expresió { explícita de la sucesió a recurrete = 2 a = a es: 2, >, (a) a = ( )! 2, (b) a = ( )! 2, (c) a = ( )! 2 2. A.58 La sucesió S = (a) Es moótoa creciete y acotada, (b) Es acotada pero o es moótoa, (c) Es moótoa pero o acotada. A.59 Se cosidera la ecuació e diferecias a = 6a 9a 2 para 3 para ciertos valores iiciales a y a 2. La solució geeral de la ecuació es de la forma: (a) a = α3 β3, (b) a = 3 (αcos π 3 + βseπ 3 ), (c) a = α3 + β3. A.60 Se utiliza el método de la bisecció para aproximar ua raíz del poliomio P(x) = (x + 2 2)3 (3x + 0) 3 e [, ]. Tras 5 pasos, ua cota del error cometido al aproximar dicha raíz por u valor cualquiera del itervalo obteido es: (a) (b) (c), 2 5, A.6 Se cosidera la serie a = 3 +, b = 2 +, etoces: 2+ (a) ambas coverge, (b) solo b coverge, (c) ambas diverge. A.62 La serie de potecias covergete si y solo si: (a) x (, ), (b) x [, ), (c) x (, ]. =0 x es

16 66 Apédice A. Pregutas de exame A.63 Dada f(x) = cos(x) la serie de Taylor de f(x) cetrada e x 0 = 0 es: (a) ( ) x2 (b) (c) =0 =0 =0 x 2 (2)!, ( x) 2 (2)!. (2)!, A.64 Para aproximar los valores de ua fució f(x) e u itervalo [0, 5] se utiliza la aproximació lieal a trozos e dicho itervalo co u paso h = 0,. Se desea obteer ua cota óptima (la más pequeña) del error cometido para aproximar f(π) y ésta se obtiee utilizado: (a) la expresió M 3. π 3.2 π siedo M 2! ua cota de f e [3., 3.2], (b) la expresió M 8 (0.)2 siedo M ua cota de f e [3., 3.2], (c) ambas expresioes da la misma cota. A.65 El valor de π 0 si2 (x)dx aproximado por el método del trapecio co 5 putos equiespaciados es: (a) 3 8 π, (b) 2 π, (c) 5 4 π. A.66 La itegral impropia 0 e t dt, (a) es covergete y vale, (b) es covergete y vale e, (c) es divergete. Teoría (0 %) Sea {a } ua sucesió covergete a u valor positivo l = lim a > 0. Demostrar que existe u úmero atural 0 tal que a > 0 para todo > 0. Problema (3 %) Se cosidera la sucesió a = 3, a + = es covergete y calcular su límite. 2a 3 + 4a para >. Se pide demostrar que la sucesió Problema 2 (3 %) Sea S = k 2. Se pide: k=0 (a) Demostrar, utilizado el criterio itegral, que S 3. (b) Obteer el úico poliomio iterpolador P() de grado meor o igual a 3 tal que P(0) = S 0, P() = S, P(2) = S 2 y P(3) = S 3. Problema 3 (3 %) Sea { e f(x) = 2x, x, 2 x < x 2,

17 Diciembre de y se cosidera la fució F(x) = x f(s)ds. (a) Calcular de forma explícita F(x), (b) Justificar e qué putos F es cotiua. (c) Calcular, si es posible, F(0), F (0) y F (). Problema co ordeador (3%) Se quiere obteer ua aproximació de l(2) mediate poliomios de Taylor. a. Dada g(x) = l ( ) +x x a. Obteer ua aproximació de l(2) a partir de Taylor de orde 2 de g(x) e x 0 = 0. a2. Dar ua cota del error cometido y justificar que dicho error es meor que 0. b. Dado f(x) = l(x + ), obteer ua aproximació de l(2) co u error meor que 0 a partir de u poliomio de Taylor de f(x) e x 0 = 0 (idicar los pasos seguidos). c. A la vista de los resultados ateriores, cuál de las dos fucioes es más adecuada para obteer aproximacioes de l(x) a partir de sus poliomios de Taylor? Justificar la respuesta. Problema co ordeador 2 (3%) Sea f(x) = 50e 6x x 9 5 se pide: a. Estudiar el úmero de raíces reales de f(x), justificado adecuadamete cuátas so y localizarlas e sedos itervalos de logitud. b. Mediate el método de la bisecció, dar ua aproximació de la mayor de las raíces co u error iferior a 0 3. Idicar el proceso seguido, icluyedo las istruccioes de DERIVE utilizadas y el resultado de las mismas.

18 68 Apédice A. Pregutas de exame A.8 Solucioes a las pregutas de test A. c A.2 b A.3 a A.4 c A.5 b A.6 c A.7 c A.8 c A.9 b A.0 a A. b A.2 b A.3 b A.4 a A.5 a A.6 b A.7 c A.8 c Curso Curso A.9 c A.20 a A.2 c A.22 a A.23 c A.24 a A.25 a A.26 c A.27 b A.28 c A.29 b A.30 b A.3 b A.32 a A.33 c A.34 a A.35 a A.36 b A.37 b A.38 c A.39 b A.40 c A.4 c A.42 a A.43 b A.44 c A.45 b A.46 b A.47 a A.48 c A.49 b A.50 b A.5 c A.52 b A.53 c A.54 a A.55 a A.56 a A.57 c A.58 c A.59 c A.60 b A.6 c A.62 b A.63 a A.64 a A.65 b A.66 a