OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS A TRAVÉS DE LOS PRODUCTOS KRONECKER PARA MODELOS BALANCEADOS

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Raquel Farías Redondo
hace 6 años
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1 UNVERSS SCENRUM Rvista d la Facultad d Cicias ulio-dicimbr d PONFC UNVERSDD VERN Vol. 8, 9- OBENCÓN DE L MRZ DE VRNZS Y COVRNZS RVÉS DE LOS PRODUCOS RONECER PR MODELOS BLNCEDOS Luz Maria Moa Moa Facultad d Cicias, Potificia Uivrsidad avriaa, Bogotá, Colombia luz.moa@javriaa.du.co RESUMEN S prsta ua mtodología basada la toría d productos rocr qu facilita la costrucció d la matriz d variazas covariazas cuado s trabaja disños co structura balacada d datos. El método propusto pud sr aplicado a modlos mixtos co fctos fijos o alatorios co cualquir úmro d factors. La matriz d variazas covariazas s costru bajo los supustos usuals para modlos fiitos o ifiitos. Palabras clav: Productos rocr, matriz d variazas covariazas, disños balacados, modlos lials. BSRC W prst a mthod for costructig variac ad covariac matrics for balacd dsig usig th rocr product. h mthod ca b applid to fixd, radom, or mixd modls with a umbr of factors. h covariac matrics ar costructd udr th usual ifiit ad fiit modl assumptios. words: rocr product, variac ad covariac matrics, balacd dsigs, liar modls. NRODUCCÓN Los modlos d fctos mixtos ti gra importacia por sus múltipls aplicacios spcialmt la dtrmiació d parámtros géticos ídics d slcció d spcis aimals /o vgtals. E st tipo d modlo s importat dtrmiar los mjors stimadors lials issgados (MEL), los mjors prdictors lials (BLUP), co l objto d ralizar ifrcia putual por itrvalos, para tomar dcisios apropiadas. ato los MELS como los BLUP dpd dl coocimito d la structura apropiada d la matriz d variazas covariazas, así como d su ivrsa. través d los años alguos autors s ha dado a la tara d prstar propustas para hallar sta matriz. Muchos d stos trabajos s ha cocbido dsd la prspctiva puramt tórica. dudablmt la dscripció más complta sobr l studio d modlos d variaza s cutra Sarl t al. (97), dod s aborda PNOL, DNEL. los métodos stadísticos l mjoramito gético. HENDERSON, C.R, LMOE RO, PERSON HOMSON //, 9:8 a.m.

2 Uivrsitas Scitiarum Vol. 8, Ed. Espcial, Matmáticas, 9- dtalladamt varias propustas por otros autors; dsd su formulació, hasta dtalls técicos d cálculo stimació. El objtivo d st artículo s provr u algoritmo basado la toría d productos rocr qu s apliqu dirctamt a disños balacados co cualquir úmro d factors fijos o alatorios para costruir la matriz d variazas covariazas. El modlo mixto gral La formulació dl modlo mixto gral origialmt propusta por Harl Rao (967) acptada como stádar l campo d la stimació d las compots d variaza s la siguit: Sa l modlo = X β + ZU + () Dod : Vctor d obsrvacios. β: Vctor d parámtros dscoocidos asociados a los fctos fijos. X : Matriz coocida asociada a los fctos fijos. U : Vctor o obsrvabl asociado a los fctos alatorios. Z : Usualmt s ua matriz d icidcia asociada a fctos alatorios gral obsrvabl. : Vctor o obsrvabl o vctor d térmios dl rror. Como: ZU = Z Z Zs U U Us Etocs: s = Xβ + Z U + i = i i la variaza d s dfi como: s Var( ) = Z Z σ + σ i= i i i N dicioalmt, l valor sprado d s: E( ) = Xβ E( U) = Xβ + ZU por lo cual = E ( U). s l atribu la structura usual d variaza-covariaza d u compot d rror, sto s: ( ) = ( ) =σ N E Var omamos l siguit modlo por jmplo, si: = µ + + +, i =,,, i =,, i i co ivls dl factor alatorio ivls dl factor alatorio.. Etocs la structura dl modlo () para st jmplo srá: X = st vctor columa s d tamaño co tradas d uos, µ l fcto mdio gral, µ = β. E l modlo () U = co = [,,, ], = [,,, ] Z = ; dod Z = Z = asumimos qu: N(, σ ) N(, σ ), s la traspusta d ua matriz, s dcir las filas s itrcambia por las columas. N (, σ ) ti distribució ormal co mdia cro variaza σ 6//, 9:8 a.m.

3 ulio-dicimbr d Por lo tato, la variaza d utilizado la fórmula () s Productos rocr El producto rocr d dos matrics pxq B mx s dfi como: pxq Ejmplo: Sa = rocr s: Var( ) = ZZ σ i + σ = σ i= ab aqb Bmx = apb apqb B = l producto B= = tmos las siguits propidads:. ( B) = B.. Para X Y vctors: X Y = YX = Y X. i i N N + ( ) σ + ( ) σ.. Sa λ u scalar: λ = λ= λ = λ.. E matrics particioadas: [ ] B= [ B; B] [ B B ] [ B ; B ] 5. Para B matrics cuadradas o sigulars ( B) = B 6. Sa D ua matriz diagoal d ord co lmtos d i : D = d d d5 5 p D = ( )( q D) q = ( )( i = D) 7. λ( B) = ( λ) B = ( λb) para todo scalar λ. 8. ( B C) = ( B) C 9. ( B)( F G) = ( F) ( BG). ( + B) C = C + BC. ( B + C) = B + C MERLES Y MÉODOS Los modlos d compots d variaza so modlos lials qu icorpora térmios alatorios, lo cual gra ua matriz d variazas covariazas. Esta matriz V como lo vimos los modlos mixtos ti la structura V s = ZiZi σ i dod Z i Z i pud sr scri- i= ta térmios d productos rocr, d matrics S S6. D acurdo a sta structura l algoritmo d la matriz V s: Sa P l úmro d subídics asociados a la variabl rspusta, los cuals dpd O 5 rprsta la suma dircta. B= O B 6 S Rprsta la matriz idtidad d tamaño S x S, S la matriz d uos co tamaño S x S. 6//, 9:8 a.m.

4 Uivrsitas Scitiarum Vol. 8, Ed. Espcial, Matmáticas, 9- d los fctos itraccios fijos alatorios dl modlo. S ti tocs P particios d productos rocr co matrics S S, las cuals so rsumidas por la xprsió. L L = M P L L Para jmplizar l algoritmo tomamos u disño factorial a dos vías jrárquico, cuo modlo ti la forma: ( ) = µ iii i i ii iii i =,,,, i =,,,, i =,,, dod µ s l fcto mdio gral, i s l fcto dl i -ésimo ivl dl factor rgló, i s l fcto dl i -ésimo ivl dl factor columa, ( ) ii s l fcto d la itracció tr i i, ii i s l compot dl rror alatorio N(, σ ), N(, σ ), i i ( ) N(, σ ), N(, σ ). ii E st modlo P= corrspod a la catidad d subídics prsts l modlo, por lo tato s: = () dfiido la fució idicadora si aparc δ fcto = s si aparc s s pud rscribir () como = [ ;; ;;] Para l jmplo atrior = [ ;;;;;;;] Caractrizado l vctor s costru l vctor asociado co las compots d variaza θ, sgú l siguit critrio: σ a Las compots dl vctor fila θ so si xist ua rlació dircta tr l subídic dl fcto la posició dl cro, s dcir para ustro jmplo la primra compot d s tocs l subídic dl fcto qu ti trs compots s ii i por lo tato la a s rmplaza por la variaza qu tomamos para sa primra posició s σ, caso d qu o haa igua rlació s coloca cro. Etocs θ = σ σ σ σ () Co sto tmos V como V ( θ ) θ, multiplicado ob- rmplazado tmos:, =, V = σ + σ + σ + σ ido cuta l procdimito atrior podmos dducir la fórmula gral d V para disños jrárquicos balacados. 6//, 9:8 a.m.

5 ulio-dicimbr d Dfiimos l modlo gral d la forma: dod Si P= corrspod a la catidad d subídics prsts l modlo podmos vr qu l úmro d lmtos corrspodits s s ti qu como: = M M Sustitudo V ( θ ) ( ) ( ) = µ ii i i i i i ii ii ( ) + ( ) + + ( ) + + ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + + ( ) + ii ii ii ii ii i i ii i ii i i i i i ii i i =,,,, i =,,,, ; i =,,, ; i =,,, ( ) ( ) N (, σ ), N (, σ ),, N (, σ ),, i i ii N (, σ ), N (, σ ) ii i θ = σ ; σ ;; ; ;; ; ; ;; ;; σ σ σ σ σ =, obtmos la fórmula gral d la matriz d variazas covariazas para disños jrárquicos balacados como. V = σ + σ + + σ = + σ = = ( si,,, ) + σ σ Vamos ahora l siguit jmplo: S toma u xprimto qu cosist dtrmiar a largo plazo l cotido d calcio promdio las hojas d u cultivo d abo. S tomaro cuatro platas d abo d cada parcla forma alatoria, lugo s slccioaro trs hojas al azar d cada plata d cada hoja s tomaro dos mustras d mg, las qu s dtrmió l cotido d calcio por métodos microquímicos. BL Plata, i i =,..., Hoja, i i i =,, Dtrmiacios i i i i. i El modlo utilizado l jmplo s = µ iii i ( i) i ( ii ), i i =,,, i =,,, i =,. Dod µ s la mdia gral, s l fcto d la i -ésima plata, s l fcto d la i -ésima hoja la i -ésima plata la s l rror alatorio, admás s supo qu: (, ), (, ) (, ) N σ N σ N σ E primr lugar hallamos θ para hallar la matriz d variazas covariazas para st modlo: = θ = σ ;;;; σ ; σ ;; 6//, 9:8 a.m.

6 Uivrsitas Scitiarum Vol. 8, Ed. Espcial, Matmáticas, 9- d dod tmos: σ V = σ σ = σ + σ + σ. Para prdcir l valor promdio utilizamos l mjor prdictor lial issgado: ( ( )) BLUP( β ) = ( ) x DZ V x x V x x V Dod D s ua matriz diagoal d tamaño 6x6 qu coti todas las variazas σ, σ dl modlo su diagoal pricipal los lmtos por fura d la diagoal so cros. Efctuado los productos hallado la ivrsa d V s obti qu: BLUP( xβ ) =,8 l valor promdio qu s prdic s d,8 calcio las hojas d abo. CONCLUSONES. Esta mtodología sirv para agilizar l dsarrollo solució d alguos problmas d aplicació la dtrmiació d parámtros géticos ídics d slcció d spcis aimals / o vgtals qu rquir d la matriz d variazas covariazas.. Facilita la ifrcia putual dod s csita la matriz d variazas covariazas.. El algoritmo para la obtció d la matriz d variazas covariazas rquir d P, l úmro d subídics asociados a la variabl rspusta. S ti tocs P particios d productos rocr co matrics S S, d dod obtmos. Utilizado la fució idicadora podmos caractrizar, para podr costruir l vctor asociado co las compots d variaza θ, co sto tmos V como V ( θ ) =, rmplazado, θ obtmos la matriz d variazas covariazas para modlos balacados co vías d clasificació. LERUR CD GRYBLL, F.. ON QUDRC ESMES OF VRNCE COMPONENS, NN. MH. S. 95, 5: LÓPEZ, L., & EMM,. ON HE ESMON OF VRNCE COMPONENS, BOMERCS. 97, 9: -. LÓPEZ, L.. CÁLCULO DE L MRZ NVERS DE COMPONENES DE VRNZS EN ESRUCURS BLNCEDS Y DESBLNCEDS, REVS COLOMBN DE ESDÍSC, SN FE DE BOGOÁ, 9-, 989, -. SERLE, S.R, NOHER LOO HENDERSON S MEHODS OF ESMNG VRNCE COMPONENS, BOMERCS, 968, : SERLE, S.R, LNER MODELS, OHN. WLEY ND SONS. NEW YOR, N.Y. 97. SERLE, S.R, CSELL, G. & MCCULLOCH, C.E, VRNCE COMPONENS, OHN. WLEY ND SONS. NEW YOR, N.Y. 99. Rcibido: -5- cptado: //, 9:8 a.m.

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