Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones

Transcripción

1 Prueba de Evaluación Continua Grupo B 8-X-5.- Un ladrón perseguido por la policía llega a un garaje que tiene dos puertas: una conduce al recinto A en la que hay coches de los que sólo tienen gasolina y la otra al recinto B en el que hay 5 coches y sólo uno con gasolina. Elige al azar una puerta y un coche, se pide: a) Cuál es la probabilidad de escapar? b) Si se sabe que ha escapado, cuál es la probabilidad de que hay salido por la puerta B? Sean los sucesos: E = escapar ; A = elige la puerta A ; B = elige la puerta B Según el enunciado, P(A) = 0.5; P(B) = 0.5; P(E/A) =/= 0.75; P(E/B)= 0.; a) P(E) = P(E/A) P(A) + P(E/B) P(B) = = 0.75 b) PE/B PB PE/B PB P(B / E) P E/A P A = La longitud de una cierta pieza se distribuye con la función de densidad: ( )( ) si << f() 0 en otro caso Se pide: a) El valor de para que efectivamente sea una función de densidad b) Función de distribución. c) Mediana de la distribución. d) Si una pieza se considera valida únicamente cuando su longitud está comprendida entre,7 y,. d ) Cuál es la probabilidad de una determinada pieza sea útil? d ) Si las piezas se empaquetan en lotes de 5 unidades y se acepta el lote si contiene menos de piezas defectuosas, cuál es la probabilidad de un cierto lote sea rechazado? a) Se tiene que cumplir que f()d, luego,

2 b) Probabilidad, Variables Aleatorias y Distribuciones f ()d 0d ( )( )d 0d =/ F() P(X ) f (t)dt, en nuestro caso, si tenemos F() P(X ) 0, si << tenemos si tenemos F()=, resulta, 6 9 F() P(X ) (t )( t)dt, 0 si 6 9 F() si si c) Mediana d) M 6M 9M F(M) 0,5 M,, P,7 X, f() d ()() d F(,) F(,7) 0,505,7,7 Consideramos la variable aleatoria X= pieza defectuosa, donde la probabilidad es p = P, 7 X, 0,505 0, 9775 Tenemos una distribución B(5,0.9775) P(X = ) = n n p.( p) 5 0, , 9775 = 5

3 Un lote se rechaza cuando de las 5 piezas se encuentra o mas defectuosas PX PX F 0,8575 0,85 0, , , Se sabe que la probabilidad de que un alumno anote mal un dato en una medición es 0.000, en una lista de 000 datos. Determinar: a) La probabilidad de que eistan eactamente datos incorrectos. b) El número medio de datos mal anotados. a) Puede ser una distribución binomial de parámetros n=000 y p=0,000 o bien una distribución de Poisson de media np=0,; ya que se trata de una variable aleatoria discreta con dos situaciones éito o fracaso. Puesto que np es inferior a 5 utilizaremos la distribución de Poisson (Ley de casos raros). Distribución de Poisson de parámetro λ=0,, luego 0, P(X ) e! 0, y eactamente cuatro datos incorrectos b) Media: λ=np= 0, 0, P(X ) e! 0, 0, Sabiendo que los errores de observación, X, de una determinada magnitud siguen una distribución N(0,.5), calcular: a) Probabilidad de que al hacer una observación el error sea mayor que 0,5. b) El error tal que P(X<)=0,975. a) Sea X la observación que tiene la misma distribución que la población. cuya función de distribución es: (t ) (t 0).5 F() P(X ) e dt e dt.5 Así pues: PX 0,5P X 0,5F(0,5) b) F() P(X ) =

4 Prueba de Evaluación Continua Grupo A 8-X-5.- En una carretera eisten cuatro puntos con radar que funcionan el 0%, 0%, 0% y 0% de tiempo. Si un conductor supera el límite de velocidad con probabilidad de 0,, 0,, 0,5 y 0, cuando pasa por cada uno de los puntos con radar. a) Cuál es la probabilidad de que reciba una multa? b) Sabiendo que ha recibido una multa, cuál es la probabilidad de que proceda del primer radar? Consideramos los siguientes sucesos: M = multa por eceso de velocidad B = radar B = radar B = radar B = radar Datos: P B 0, ; P(M / B ) 0, P B 0,; P(M/B ) 0, P B 0,5; P(M/B ) 0, P B 0,; P(M/B ) 0, a) Por el Teorema de la probabilidad total (probabilidad a priori) P(M) P M P(B ) P M P(B M M ) P P(B ) P P(B ) B B B B 0, 0, 0,0,0, 0,5 0,0, 0, 7 b) Por el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori) P M P(B ) PB M B B 0, 0, P 8 M P(M) P(M) 0,7 7.- La longitud de una cierta pieza se distribuye con la función de distribución:

5 0 si F() ( 6 9 ) si si Se pide: a) El valor de para que efectivamente sea una función de distribución de una variable aleatoria continua b) Función de densidad. c) Moda de la distribución. d) Si una pieza se considera valida únicamente cuando su longitud está comprendida entre,7 y,. d ) Cuál es la probabilidad de una determinada pieza sea útil? d ) Si las piezas se empaquetan en lotes de 5 unidades y se acepta el lote si contiene menos de piezas defectuosas, cuál es la probabilidad de un cierto lote sea rechazado? a) Se tiene que cumplir que lím F() F() 0;lím F() F(), luego, b) f() F'(), en nuestro caso, ( 6 9) =-/ 0 si 6 9 F() si si f() 0 en otro caso - ( -+9) si << c) La moda se corresponde con el máimo de la función de densidad f'() 60 M

6 d),, P,7 X, f() d ()() d F(,) F(,7) 0,8575,7,7 Consideramos la variable aleatoria X= pieza defectuosa, donde la probabilidad es p = P, 7 X, 0,505 0, 9775 Tenemos una distribución B(5,0.9775) P(X = ) = n n p.( p) 5 = 0, , Un lote se rechaza cuando de las 5 piezas se encuentra o mas defectuosas PX PX F 0,8575 0,85 0, , , Por un punto de una carretera pasan vehículos de acuerdo con la distribución de Poisson, a razón de seis vehículos por minuto. Hallar: A) Probabilidad de que transcurran 0 segundos y pase más de 5 vehículos. B) Si un peatón tarda 0 segundos en cruzar la carretera, calcular la probabilidad de que no pase ningún vehículo. Distribución de Poisson de parámetro λ=6 en 60 segundos, luego para 0 segundos la frecuencia de paso de vehículos es : P(X ) e = e!! a) 5 P(X5) P(X5) e 0, ! b) Para 0 segundos λ= 0 P(X 0) e 0! 0 0, Los cierres de triángulos de una red están normalmente distribuidos con media y desviación típica. Calcular:

7 a) Probabilidad de que un cierre sea mayor que. b) El valor tal que P(X<)=0,975. La variable aleatoria cierre de triángulo X N(,) cuya función de distribución es: (t ) (t ) F() P(X ) e dt e dt a) P(X ) P(X ) =-F() b) P(X ) =F()=0,975,999