1.1 Definición 1.2 Enfoque geométrico 1.3 Igualdad 1.4 Operaciones 1.5 Aplicaciones

Transcripción

1 Vectores en. Definición. Enfoque geométrico. Iguldd. Operciones.5 Aplicciones Objetivos. Se persigue que el estudinte: epresente geométricmente un vector de Determine mgnitud dirección de un vector. Sume vectores, multiplique por un esclr un vector, obteng el productor esclr el producto vectoril entre vectores Obteng el áre de un prlelogrmo sustentdos por dos vectores. Obteng el volumen del prlelepípedo sustentdo por tres vectores.

2 Vectores en Tomndo como referenci l teorí de vectores en el plno, se obtienen definiciones propieddes de los vectores en el espcio.. DEFINICIÓN Un vector de es un tern ordend de números reles. Denotd de l siguiente mner: (, ) v,. ENFOQUE GEOMÉTICO Geométricmente un vector de como un segmento de rect dirigido. Supong que se tienen los puntos (, ) se lo represent en el Espcio P,. Si, P, P P trmos un segmento de rect dirigido desde hci tenemos un representción del vector v P P, (, ) P (, ), v P (, ), Este vector puede tener muchs otrs representciones equivlentes en el espcio. Un representción equivlente útil es quell que se reli ubicndo l vector con el origen como punto de prtid. P (,, ) v

3 Vectores en.. Mgnitud o norm Se v (,, ). L mgnitud o norm de v denotd como v, se define como: v Note que l norm serí l longitud del segmento de rect que define el vector. Es decir, serí l distnci entre los puntos que lo definen. Pr v (, ), serí: v ( ) ( ) ( ).. Dirección L dirección de v (,, ) está definid por l medid de los ángulo que form l líne de cción del segmento de rect con los ejes,, γ v α β Los ángulos α, β γ son llmdos Ángulos Directores.

4 Vectores en Observe que: Cosα v Cosβ v Cosγ v Ejercicio. Demostrr que cos α cos β cos γ.. Sentido v El sentido de lo define l flech dibujd sobre el segmento de rect.. IGUALDAD DE VECTOES DE. OPEACIONES.. Sum v v Dos vectores,,,, son igules si sólo si, v v Sen dos vectores de v (, ), (,, v tles que ) entonces l sum de v con v, denotd como v v, se define como: (, ) v, v

5 Vectores en... Propieddes v v v v v v v Sen, vectores de. l sum es conmuttiv v v v v v v, entonces:. l sum es socitiv.,. v tl que Donde (,, ) v v, es llmdo Vector Neutro v, v tl que Donde v v v es llmdo Vector Inverso Aditivo de v Geométricmente: v (, ), v v v (, ), Los vectores v v sustentn un prlelogrmo, el vector de l digonl mor es el Vector Sum el vector de l digonl menor es el Vector Diferenci... Multiplicción por esclr ) Se α v (,, un vector de entonces: ( α, α α) α v, 5

6 Vectores en... Propieddes. α, v, v α v v α v α v. α, β, v ( α β ) v α v β v. α, β, v α β v αβ v Culquier vector de, v (,, ), puede ser epresdo en combinción linel de los vectores,,,,, i j k (,,) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) v v i j k... Producto Esclr. Producto Punto o Producto Interno Sen v, v, vectores de como, (,. El Producto esclr de v con v denotdo v v se define como: ) v v Ejemplo Si v (,, ) v (,, ) entonces v v ()( ) ()() ( )()... Propieddes v v Sen vectores de. v v v v. Entonces: 6

7 Vectores en. v v v v v v v. α v β v αβ v v Si v (,, Por lo tnto ) entonces: (,, ) (,, ) v v v v v o tmbién v v v.... Producto Vectoril. Producto Cru Sen v, v, vectores de, (,. El Producto Vectoril de denotdo como v v se define como: ) v con v (, ( ) ) v v, Un mner práctic pr obtener el resultdo de l operción Producto Cru entre dos vectores es resolver el siguiente determinnte, pr l primer fil: i j k v v Ejemplo. Se v (,, ) v (,, ) entonces i j v v i j 5k k 7

8 Vectores en... Propieddes. v v v Sen, vectores de. El vector v es tnto perpendiculr v v como v. El sentido del vector v se lo puede v obtener emplendo l mno derech. Mientrs los dedos se dirigen desde hci v v v. v, el pulgr indic l dirección de v v v v. v v v v. v v 5. Si v // v entonces v v 6. α v α v α α v v 7. v v v v v v v 8. v v v v v v De l últim epresión, emplendo l propiedd del producto esclr, se obtiene un resultdo mu importnte: 8

9 Vectores en [ ] θ θ θ θ cos cos cos sen v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v Finlmente: senθ v v v v.5 APLICACIONES.5. CALCULO DEL ÁEA DEL PAALELOGAMO SUSTENTADO PO DOS VECTOES. Sen dos vectores, no prlelos. Observe l figur: v v v v θ h v v Tomndo como bse, tenemos: v h v ltur bse Are Observe que v h senθ entonces θ sen v v Are Y por l propiedd del producto cru: v v Are 9

10 Vectores en Ejemplo Hllr el áre del triángulo sustentdo por los vectores v (,, ) SOLUCIÓN: v (,, ) El áre del triángulo sustentdo por dos vectores v v es l mitd del áre del prlelogrmo sustentdo por los vectores, es decir: i Are Triángulo j v v Como v v i j 5k entonces k Are Triángulo v v ( ) ( 5) Ejemplo Hllr el áre del triángulo que tiene por vértices los puntos (,,), (,, ) (,,) SOLUCIÖN: Primero se formn dos vectores entre los puntos ddos, tomndo rbitrrimente el orden de estos puntos; luego se procede de mner nálog lo menciondo nteriormente debido que el áre del triángulo es l mitd del áre del prlelogrmo. v P (,, ) (,,) P v P (,, ) v P P,, En este cso, v P P (,, ) (,, ) (,, ) Entonces, i j v v i j 9k k Are Triángulo v v () ( ) ( 9) 9

11 Vectores en.5. CALCULO DEL VOLUMEN DEL PAALELEPÍPEDO SUSTENTADO PO TES VECTOES v v v Sen, tres vectores. Observe l figur. v v v h h v Tomndo como bse el prlelogrmo sustentdo por, l ltur h del prlelepípedo será l proección esclr sobre, entonces: Volumen Are bse ltur Donde Are bse v v v v v v v v ltur h Pr o v v v v v v v v Por tnto. Volumen v v v v v v v Finlmente, simplificndo result: Volumen v v v Est últim epresión es denomind, EL TIPLE PODUCTO v v v ESCALA de los vectores,, su interpretción es el volumen del prlelepípedo sustentdo por los vectores, v. Observe demás que no import el orden de operción de los vectores, por qué?. v v

12 Vectores en Ejemplo Hllr el volumen del prlelepípedo sustentdo por los vectores v,,, (,, ) v v,,. SOLUCIÖN. Por lo definido nteriormente, Volumen v v v u Ejercicios propuestos V. Sen los vectores V ˆ i ˆj kˆ V ˆ i ˆj kˆ. V ) Determinr l proección vectoril de sobre el vector. V V b) Clculr l componente de perpendiculr. esp. ) Pr o ( 5, 5 V ) V,. Sen los vectores A A iˆ 5 ˆj kˆ B iˆ ˆ j B k. Clcule los vlores de A B pr los cules A B es prlelo : ) l eje b) l eje esp. ) A 5 B 5 b) A 5 B 5. Clculr el áre del triángulo que tiene sus vértices en los puntos (-,,); (,,7) ; (,,6) esp. Are 7. Ddos tres vectores V ( 5,,6), V, (, 7,),8, ˆ b) V formn un tetredro con vértice en el origen. Determinr su ltur desde el origen. esp. h Un tetredro tiene por bse el triángulo de vértices (.-6,-), (,,-) (-,-,); Si el vértice opuesto es el punto (8,,6), determine su ltur. esp. h Sen u v vectores no nulos, diferentes tles que: w u v, w u v, w ( u v). Hllr w w w esp. 7. Se V un vector diferente de cero, entonces, demostrr que si U es un vector culquier, el vector U V W U V V es ortogonl V. 8. Demuestre que si U es ortogonl V W, entonces U es ortogonl cv d W pr c d esclres culquier. 9. Demostrr que el áre del triángulo, cuos vértices son los etremos de los vectores A, B C, es B A C A. Demostrr que el volumen del tetredro de rists A B, B C C A es el doble del volumen del tetredro de rists A, B C.. Pruebe que ls digonles de un rombo (prlelogrmo con ldos igules) son perpendiculres.

13 Geometrí Anlític en. ECTAS EN. PLANOS. POSICIONES ELATIVAS. SUPEFICIES.. SUPEFICIES CILINDICAS.. SUPEFICIES DE EVOLUCIÓN.. CUADICAS.5 COODENADAS CILÍNDICA..6 COODENADAS ESFÉICAS. Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre ecuciones de ects Plnos. Grfique ects Plnos. Encuentre distncis. Grfique Superficies Cilíndrics, de evolución Cuádrics.

14 Geometrí Anlític en. ECTAS EN.. DEFINICIÓN se S un vector de Se P un punto de ect l se define como el conjunto de puntos P de contiene P tl que los vectores Al Vector S.. Un que V P P son prlelos Es decir: l P(,, ) / P l S// V donde V P P.. ECUACIÓN S se lo llm VECTO DIECTIZ de l rect. Se P (, ) se el vector S (, b, c),. l (, b c) S, P (,, ) P (, ), V El vector entonces: S es prlelo l vector V P P (, ) V k S,, eemplndo result: (, ) k(, b, c), Por iguldd de vectores, se plnte lo siguiente:

15 ( ) ( ) k kb kc Entonces tenemos: b c Geometrí Anlític en Ecución de l rect definid P, por un punto (, ) un vector prlelo S (, b, c) En ocsiones nteriores se h menciondo que dos puntos definen un rect, observe l figur: V P (,, ) S l P (, ), P (, ), Ahor tenemos que, P (, ) Entonces, se tiene: P el vector directri serí:, b c S P P,,, Ecución de l rect definid por dos puntos Tmbién se l llm ECUACIÓN CANÓNICA O ECUACIÓN SIMÉTICA. 5

16 Geometrí Anlític en Si considermos: Tenemos: b c t bt ct t Ecuciones Prámetrics De lo nterior: (,, ) ( ) t, bt, ct (,, ) (,, ) t(, b, c) V S Se puede epresr de l siguiente mner: V V t S Ecución Vectoril Ejemplo Hllr ls Ecuciones prmétrics de l rect que contiene l punto (, ) S. es prlel l vector (,, ) P SOLUCIÓN: De cuerdo lo definido: t t bt ct t Ejercicios Propuestos... Hlle ecuciones prmétrics de l rect que contiene los puntos (,, ) (,, -). Grfíquel t esp. l : t t. Hlle ecuciones prmétrics de l rect que contiene los puntos (,, ) (,, 5). Grfíquel. Qué conclusión puede emitir? Cuál serí l ecución del eje?. Hlle ecuciones prmétrics de l rect que contiene los puntos (,, ) (,5, ). Grfíquel. Qué conclusión puede emitir? Cuál serí l ecución del eje?. Escrib ecuciones prmétrics de rects prlels l eje. 6

17 Geometrí Anlític en 5. Hlle ecuciones prmétrics de l rect que contiene los puntos (,, 5) (,, ). Grfíquel. Qué conclusión puede emitir? 6. Hlle ecuciones prmétrics de l rect que contiene los puntos (,, ) (,, ). Grfíquel. Qué conclusión puede emitir? 7. Hlle ecuciones prmétrics de l rect que contiene los puntos (,, ) (,, ). Grfíquel. Qué conclusión puede emitir? 8. Hlle ecuciones prmétrics de l rect que contiene el punto (-, -6, ) es prlel l vector (,, -). Grfíquel t esp. l : 6 t t 9. Hlle ecuciones prmétrics de l rect que ps por el origen es perpendiculr l rect cu ecución es: ( ). t esp. l : t 5t. PLANOS.. DEFINICIÓN Se P un punto de se n un vector de. Un Plno π se define como el conjunto de puntos P de tles que n es perpendiculr l vector V que se define entre P P. Es decir: π P,, / n V donde V P P P.. ECUACIÓN Sen n (, b, c) P (, ),. Observe l figur: 7

18 Geometrí Anlític en (, b c) n, π (, ) P, V P (, ), Entonces n V (, b, c) (,, ) Por tnto, tenemos: ( ) b( ) c( ) Ecución de un plno definid por UN PUNTO Y UN VECTO PEPENDICULA. Si se simplific, tenemos: ( ) b( ) c( ) b c ( b c ) Considerndo d b c, tenemos: b c d ECUACIÓN GENEAL de un plno. 8

19 Geometrí Anlític en Ejemplo Hllr l ecución del plno que contiene los puntos P (,, ), (,, ) P (,,) SOLUCIÓN: P Con los tres puntos ddos se formn dos vectores (no import el orden) pr de hí obtener un vector perpendiculr l plno buscdo. V V n V P (,, ) V P (,, ) (,, ) P EE En este cso: V P P P P,,,, V (,, ) (,, ) Entonces i j k ( 6 6) i ( 6) j ( )k n V V 6 n { i 8{ j { 8 k b c,, P Podemos tomr (,, ) P (puede ser culquier otro punto del plno) Finlmente, emplendo l ecución: b c esult: Ejemplo Demostrr que l ecución del plno que tiene intersección A, B, C, respectivmente con los ejes,, es. A B C SOLUCIÓN: 9

20 Geometrí Anlític en Si el plno tiene intersección A, B, C con los ejes coordendos entonces tenemos tres puntos que pertenecen l plno se puede determinr su ecución como en el ejemplo nterior. Observe l figur: (,,) P B π P P V P ( A,,) P P V (, ) P,C En este cso tommos: V ( A,,) B V ( A,, C) Entonces: i j k n V V A B A C Si tommos (,, ) P ( A,,) ( ) b( ) c( ) ( BC) i ( AC) j ( AB)k P reemplndo en l ecución esult: BC BC ABC AC AB BC AC AB ABC Dividiendo pr ABC BC AC AB ABC ABC ABC ABC ABC A B C ( A) AC( ) AB( ).. CONDICIONES ESPECIALES. Si el plno es PAALELO AL PLANO, entonces sólo tendrá intersección con el eje, su vector norml será de l form n (,, k). Su ecución será de l form C. PO QUÉ?. Cuál es l ecución del plno? PEGUNTA: Cómo serán ls ecuciones de los plnos: prlelo l plno, prlelo l plno, prlelo l eje, prlelo l eje, prlelo l eje?.

21 Geometrí Anlític en Ejercicios Propuestos... Dibuje los plnos cus ecuciones son: ) 6 d) g) b) 6 6 e) 6 c) 5 f). Encuentre l ecución del plno que contienen l punto (-5,7,-) que es prlelo l plno "" esp. 7. Encuentre l ecución del plno que contienen l punto (-5,7,-) que es perpendiculr l eje "" esp. 5. Encuentre l ecución del plno que contienen l punto (-5,7,-) que es prlelo tnto l eje "" como l de "" esp. 5. Encuentre l ecución del plno que contienen l punto (-5,7,-) que es prlelo l plno 7 esp Hllr l ecución del plno prlelo l plno tl que l sum de sus intersecciones con los ejes coordendos se igul 5. esp Hllr l ecución del plno que es prlelo l plno que intercept los ejes coordendos en los puntos A, B C, de tl mner que A B C. esp POSICIONES ELATIVAS.. ENTE UN PUNTO P Y UNA ECTA l... EL PUNTO PETENECE A LA ECTA: P l : l b c P (, ), Si un punto pertenece un rect entonces ls coordends del punto stisfcen l ecución de l rect, es decir b c

22 Geometrí Anlític en... EL PUNTO NO PETENECE A LA ECTA: P l P (, ), : l b c Si un punto no pertenece un rect entonces ls coordends del punto no stisfcen l ecución de l rect, es decir: o o b c b c... Distnci del punto l rect Si escogemos un punto P culquier de l rect definimos un vector V entre este punto P el punto P. P (, ), V d h : l b c θ (, ) P, S L distnci entre el punto P l rect l, será l ltur del prlegrmo sustentdo por los vectores Entonces: Are V V S S. Observe l figur nterior. V S senθ

23 Geometrí Anlític en Observe que h senθ entonces h V senθ V eemplndo result V S S h Finlmente: h d, V ( P l) S S... Ecución del plno que contiene l punto l rect. S Un vector norml l plno será el resultnte del producto cru de V con (, ) P, V n V S P (, ), S π Como punto del plno tenemos pr escoger entre P culquier punto de l rect. Ejemplo. Se P (,, ) se l :. Hllr l distnci de P l l ecución del plno que contiene P l. SOLUCIÓN: Tommos como punto de l rect P (,,), entonces: V PP (,, ) (,,) De l ecución de l rect, tenemos como informción (,, ), entonces: S V S i j k (,, 8)

24 Geometrí Anlític en V S ( 8) 76 S ( ) 7 Por lo tnto: V S d( P, l) 7 7 S Por otro ldo, un vector norml l plno serí: n V S (,, 8) Escogiendo el punto P, tenemos: ( ) b( ) c( ) ( ) 8( ) 8 8 Por tnto, l ecución del plno serí: π :7 5.. POSICIONES ELATIVAS ENTE UN PUNTO P Y UN PLANO π... EL PUNTO PETENECE AL PLANO: P π. P (, ), π : b c d En este cso ls coordends del punto deben stisfcer l ecución del plno, es decir: b c d.... EL PUNTO NO PETENECE AL PLANO: P π. (, b c) n, P (, ), d P (,, ) π : b c d

25 Geometrí Anlític en En este cso ls coordends del punto NO stisfcen l ecución del plno, es decir: b c d. V... Distnci del punto l plno. Si tommos un punto P culquier del plno formmos el vector ( ) PP,,. Observe l figur nterior. L distnci del punto l plno será l proección esclr de n, es decir: V sobre d ( P, π ) V n n (,, ) (, b, c) b c Observe que: Por lo tnto: b b c b b d b c b c c c b c c d b c ( P π ), b c d Ejemplo P π :. Hllr l distnci entre P π. SOLUCIÓN: Se (,, ) Aplicndo l formul nterior ( P, ) () () () d π b b c c d ( ) 5

26 Geometrí Anlític en.. POSICIONES ELATIVAS ENTE DOS ECTAS l Y l.... ECTAS COINCIDENTES l : b c ( b c) S,, l : b c ( b c ) S,, Dos rects son coincidentes si sólo si:. Sus vectores directrices son prlelos: S // S ;,. Todos los puntos que pertenecen un rect tmbién pertenecen l otr rect; pr esto, bstrá que un punto de un rect stisfg l ecución de l otr rect. Ejemplo Sen l : Observe que: 9 8 l : S (,, ) S (6,9, ) son prlelos, debido que: 6 9. El punto (,, ) de l stisfce l ecución de l rect l, debido que l reemplr ls coordends de este punto en l ecución de l, tenemos: Por tnto l l son coincidentes. 6

27 Geometrí Anlític en... ECTAS PAALELAS: l //l l : b c ( bc) S,, l : b c ( b c ) S,, Dos rects son prlels si sólo si:. Sus vectores directrices son prlelos: S // S ;,. Ningún punto de un rect pertenece l otr rect; pr esto, bstrá que un punto de un rect NO stisfg l ecución de l otr rect. Ejemplo Sen l : l :. 6 9 ) Demuestre que son l l son rects prlels. b) Determine l distnci entre l l. c) Encuentre l ecución del plno que contiene l l. SOLUCIÓN: ) Observe que:. S (,, ) S (6,9, ) son prlelos, debido que 6 9. El punto (,, ) de l NO stisfce l ecución de l rect l, debido que l reemplr ls coordends de este punto en l ecución de l, tenemos: 6 9 Por tnto l l son prlels. b) L distnci entre ls dos rects prlels es igul l distnci entre un punto de un rect l otr rect. (,, ) P d l : l : 6 9 V (,,) (,, ) P ( 6,9, ) S 7

28 Geometrí Anlític en d ( l, l ) d( P l ), V S S V i j k S ( 7,7,7) V S ( 7) ( ) S 6 9 Por tnto: d ( l l ) d( P, l ), 7 d) Ls dos rects prlels definen un plno que contiene mbs. n V S (,,) P (,, ) V π l l S ( 6,9, ) Un vector norml l plno serí: n V S 7,7,7 Escogiendo el punto P, tenemos: b c ( ) ( ) ( ) 7( ) 7( ) 7( ) Por tnto, l ecución del plno serí: π : 8

29 Geometrí Anlític en... ECTAS INTESECANTES. l S l P (, ), S Dos rects son intersecntes si sólo si:. Sus vectores directrices NO son prlelos;,. Sólo un punto de un rect pertenece l otr rect; pr esto, deberá eistir sólo un punto cus coordends stisfg ls ecuciones de mbs rects. Ejemplo Sen l : l :. ) Demuestre que son l l son rects intersecntes. b) Determine l medid del ángulo que formn ls rects. c) Determine, de eistir, l distnci entre l l. d) Encuentre, de eistir, l ecución del plno que contiene l l. SOLUCIÓN: ) Observe que:. S (,,) S (,, ) NO son prlelos, debido que. Deberá eistir un punto P (,, ) que stisfg ls ecuciones de mbs rects, es decir: Encontremos el punto, pr lo cul: t k t k t k Igulndo ls dos primers ecuciones: t k t k esolviendo el sistem simultáneo, tenemos: 9

30 Geometrí Anlític en t k Entonces: () () Note que igul resultdo se obtiene en l segund condición: () () Por tnto, ls rects se intersecn en sólo un punto. b) El ángulo de corte está determindo por el ángulo que formn los vectores directrices; es decir: S θ rccos S S S rccos (,,) (,, ) ( ) rccos θ rccos 9 66 c) ( l l ) d por ser rects intersecntes., d) Un vector norml l plno que definen ls rects intersecntes serí el resultnte del producto cru entre los vectores directrices de ls rects. S S n S (,,) l l π (,, ) P S (,, ) Entonces n S S ( 8,7,9) eemplndo, tenemos: b 8 i j k ( ) ( ) c( ) ( ) 7( ) 9( ) Por tnto, l ecución del plno serí: π :

31 Geometrí Anlític en... ECTAS OBLICUAS O ALABEADAS. Dos rects son Oblicus o Albeds si sólo si:. Sus vectores directrices NO son prlelos;,. Ningún punto de un rect pertenece l otr rect. S l S l En este cso no eistirá lgún plno que conteng mbs rects. Ejemplo Sen l : l :. Demuestre que son l l son rects Oblicus. SOLUCIÓN: Observe que:. S (,,) S (,, ) NO son prlelos, debido que:. Ahor nos qued demostrr que NO son intersersecntes. Es decir no debe eistir punto de intersección. Por contrdicción, supongmos que: t k t k t k Tomndo ls dos primers ecuciones: t k t k esult: t 7 5 k 5 eemplndo result: 7 9 ( ) ( ) ( ) 5 5 ( ) ( ) Por tnto, como los son distintos en ls rects, se conclue que son OBLICUAS.

32 Geometrí Anlític en... Distnci entre ects oblicus. Definmos un vector V, entre un punto culquier de un rect con otro punto culquier de l otr rect, Observe l figur: S S S l S } d V l L menor distnci d entre ls rects l l, está dd por l proección esclr del vector mbs rects, que estrí dd por el vector V sobre l dirección perpendiculr S S ; es decir: d V S ( l l ), S S S Ejemplo Hllr l distnci entre ls rects Oblicus l :. l : SOLUCIÓN: En este cso, un punto de l rect l serí (,, ) P un punto de l otr rect l serí P (,, ), entonces V PP (,, ). Los vectores directrices serín: S (,,) S (,, ) i j k S S ( 5,5,5), entonces:

33 Geometrí Anlític en Por tnto, (, ) d l l V S S S S (,,) ( 5,5,5) (, ) d l l (,, ) 5 (,,) 5.. POSICIONES ELATIVAS ENTE DOS PLANOS.... PLANOS COINCIDENTES. Dos plnos son coincidentes si sólo si:. Sus vectores normles son prlelos;,. Todos los puntos que pertenecen un plno tmbién pertenecen l otro plno. n n π : b c d π : b c d En este cso se cumple que: b b c c d d

34 Geometrí Anlític en Ejemplo Los plnos π : π : 6 son coincidentes debido que: 6... PLANOS PAALELOS: π //π Dos plnos son Prlelos si sólo si:. Sus vectores normles son prlelos;,. Todos los puntos que pertenecen un plno NO pertenecen l otro plno.. n π : b c d n π : b c d En este cso se cumple que: b b c c Ejemplo Sen π : π : 6 ) Demuestre que π π son plnos prlelos. b) Encuentre l distnci entre los plnos. SOLUCIÓN: ) En este cso, por tnto los plnos son prlelos. 6 b) L distnci entre dos plnos prlelos es igul l distnci entre un punto de un plno con el otro plno. En este cso tomemos de π el punto P (,, ), entonces: ( P, ) b () 6() d π b c c d ( 6)

35 Geometrí Anlític en... PLANOS INTESECANTES Dos plnos son intersecntes si sólo si sus vectores normles NO son prlelos. π : b c d n n π : b c d En este cso se cumple que: b c b c b c b c Ejemplo Sen π : π : ) Demuestre que π π son plnos intersecntes. b) Encuentre l distnci entre los plnos. c) Determine l ecución de l rect de intersección. d) Hlle l medid del ángulo formdo por los plnos intersecntes. SOLUCIÓN: ) En este cso, por tnto son plnos intersecntes. b) d ( π, π ) por ser plnos intersecntes. c) Primer Método: hllndo el conjunto solución del sistem simultáneo: F F 5 5 5

36 Geometrí Anlític en 5 5 Hciendo t, entonces: t l : t 5t Segundo Método: Un vector directri de l rect buscd estrí ddo por el vector resultnte del producto cru entre los vectores normles de los plnos, es decir: i j k S n n (,, 5) Pr obtener ls coordends de un punto P que pertenec mbos plnos, bstrí con considerr un vlor pr un vrible en ls ecuciones de los plnos resolver el sistem simultáneo que resultnte. Por ejemplo, considerndo, tenemos: Entonces ( P, ),, Finlmente, l ecución de l rect serí: t l : t 5t d) L medid del ángulo que formn los plnos está ddo por el ángulo que formn sus vectores normles, es decir: (,, ) (,, ) n n θ rccos rccos rccos n n π 6

37 Geometrí Anlític en..5 POSICIONES ELATIVAS ENTE UNA ECTA Y UN PLANO...5. ECTA PETENECIENTE A UN PLANO. Un rect pertenece un plno si sólo si todos los puntos de l rect pertenecen tmbién l plno. n S t l : b t c t π : b c d En este cso se cumple que:. Los vectores directrices de l rect los vectores normles del plno son OTOGONALES.. Un punto culquier de l rect stisfce l ecución del plno. Ejemplo t Sen π : l : t t Demuestre l rect l pertenece l plno π. SOLUCIÓN:. Vemos si es que los vectores n (,, ) S (,, ) son ortogonles. elindo el producto punto se obtiene: n S Entonces son Si ortogonles. (,, ) (,, ). Vemos si es que el punto de l rect (,, ) P stisfce l ecución del plno : eemplndo se obtiene: Entonces Si stisfce. Por tnto l rect pertenece l plno. 7

38 Geometrí Anlític en..5. ECTA PAALELA A UN PLANO. Un rect es prlel un plno si sólo si todos los puntos de l rect NO pertenecen l plno. n S t l : b t c t π : b c d En este cso se cumple que:. Los vectores directrices de l rect los vectores normles del plno son OTOGONALES.. Un punto culquier de l rect No stisfce l ecución del plno. Ejemplo t Sen π : l : t t ) Demuestre l rect l es prlel l plno π. b) Hlle l distnci entre l rect el plno SOLUCIÓN: ). Vemos si es que los vectores n (,, ) S (,, ) son ortogonles. elindo el producto punto se obtiene: n S Entonces son Si ortogonles. (,, ) (,, ). Vemos si es que el punto de l rect (,, ) plno : eemplndo se obtiene: Entonces NO stisfce. Por tnto l rect es prlel l plno. P stisfce l ecución del c) L DISTANCIA entre un rect prlel un plno es igul l distnci entre un punto culquier de ls rect el plno 8

39 Geometrí Anlític en (,, ) d P t l : t t π : Tomndo el punto P (,, ) ( P, ), entonces b () () d π b c c d..5. ECTA Y PLANO INTESECANTE. Un rect un plno son intersecntes si sólo si un punto de l rect pertenece l plno. n S t l : b t c t P π : b c d En este cso se cumple que los vectores directrices de l rect los vectores normles del plno NO son OTOGONALES. 9

40 Geometrí Anlític en Ejemplo t Sen π : l : t t ) Demuestre que l rect l intersec l π en sólo un punto. b) Encuentre ls coordends del punto de intersección c) Determine l distnci entre l rect el plno d) Determine l medid del ángulo que formn l rect el plno. e) Hlle l ecución de l rect que es l proección de l rect l sobre el plno π. SOLUCIÓN: ) En este cso n (,, ) S (,, ), entonces: (,, ) (,, ) n S Por tnto, como no son ortogonles, l rect el plno son intersecntes. b) Ls coordends del punto de intersección se obtienen hllndo el conjunto solución del sistem simultáneo que se form con ls ecuciones de l rect del plno. En este cso, tenemos: t t t Hllmos primero el vlor de t, reemplndo l segund, tercer curt ecución en l primer ecución: t t t t P,, Entonces c) ( l, π ) d Por intersecntes. d) El ángulo θ que form l rect el plno intersecntes está definido por el ángulo que form un vector directri de l rect un vector norml del plno. Observe l figur: t l : b t c t n ϕ S θ L P S π : b c d

41 Geometrí Anlític en θ π ϕ donde S n S n rccos ϕ En este cso: rccos,,,, rccos rccos S n S n ϕ d) Un vector directri S de l rect proección L, está ddo por: n S n S Por qué? Entonces:,, k j i S n,, k j i n S n S Y tomndo el punto de intersección,, P l ecución de l rect serí t t t L : Ejercicios Propuestos.. Clcule l distnci entre el punto de coordends (,,-) l rect de ecución:,, t t. esp. d. Determine si ls rects 5 : l : l se interceptn en un punto.. Hllr l distnci entre ls rects: : l : l esp. 5 d. Hllr l distnci entre ls rects: 5 : l 8 9 : l esp. d 5. Determine ls coordends del punto que está en l bse de l perpendiculr trd desde P(-,-,) l rect esp. 7, 7, 7 7 P

42 Geometrí Anlític en 6. Clcule l distnci del plno 6 l punto (,, -). esp. d 5 7. Hllr l distnci entre ls rects: l : l : esp. d 8. Hllr ls ecuciones de l rect que contiene el punto (,6,), intercept l eje es prlel l plno 5 6 t esp. l : 6t t t 9. Hllr l ecución del plno que contiene l rect l : t es perpendiculr l t plno esp. 5. Hllr l ecución del plno que contiene l rect perpendiculr l plno l : es esp Encuentre el punto que l rect: t, t, t, intercept l plno esp. P (,, ). L rect "l" tiene prmetrición: t, t, t. Hlle un ecución del plno que contiene l l punto (5,,). esp Hllr l ecución de l rect que es l proección de l rect sobre el plno 5t esp. l : t 7t. Encuentre l ecución del plno que ps por el punto (,,) que intersec l plno en l mism rect que el plno 6 esp. 6 t t 5. Dds ls rects: l t l t t t ) Demostrr que no se intersecn b) Encontrr dos plnos prlelos que contengn cd un de ells por seprdo. esp. b) Hllr ls ecuciones de l rect que contiene l punto (,6,), intercept l eje es prlel l plno 5

43 Geometrí Anlític en esp. t l : t t 7. Demostrr que ls rects: l l 8 Son prlels hllr l ecución del plno que ls contiene. 8. Hllr l distnci entre los plnos: esp. d 9. Encontrr l menor distnci entre el punto (,,) el plno determindo por (,,), (,-,), (-,,). esp. d. Encuentre l ecución del plno que contiene l punto (-,,6) tiene l mism tr en el plno XZ, que el plno 5 8. esp Hllr l ecución del plno que es perpendiculr los plnos 5, que ps por el punto (,,-). esp.. Hllr l ecución del plno que contiene ls rects: : l 5 l : 5 esp. 9 t. Hllr l ecución del plno que contiene l rect l : t es perpendiculr l t plno. esp Se l rect l : el plno π : hllr el punto de intersección de l rect con el plno, sí como l ecución que determin l proección de l rect sobre el plno. esp. P,, 5. Encontrr l ecución del plno que es perpendiculr l plno YZ contiene l punto (,,) demás que hg un ángulo de rcos(/) rd. Con el plno. esp. 6. El triángulo que tiene por vértice (,,), (,,), (,,) se lo proect sobre el plno Z-. Clculr el áre de proección. esp. Are

44 Geometrí Anlític en. SUPEFICIES.. SUPEFICIES CILINDICAS. Se C un curv de un plno π se l un rect no prlel π. Se define Superficie Cilíndric l conjunto de puntos que perteneces rects prlels l que intersecn C. A C se l denomin Curv Genertri (o Directri) l se l denomin ect Genertri. Ls superficies Cilíndrics que trtremos quí serán quells que tienen l Curv Genertri perteneciente los plnos coordendos ects Genertrices Prlels los ejes coordendos. Es decir, si tienen un de l form siguiente: f (, ) Curv Genertri perteneciente l plno, (, ) ects Genertrices prlels l eje. f Curv Genertri perteneciente l plno, ects Genertrices prlels l eje. f (, ) Curv Genertri perteneciente l plno, ects Genertrices prlels l eje. Ejemplo Grficr SOLUCIÓN. Se dibuj primero l curv eje siguiendo est curv. en el plno luego se trn rects prlels l

45 Geometrí Anlític en Ejemplo Grficr ln SOLUCIÓN. Se dibuj primero l curv eje siguiendo est curv. ln en el plno luego se trn rects prlels l ln Ejemplo Grficr sen SOLUCIÓN. Se dibuj primero l curv sen en el plno luego se trn rects prlels l eje siguiendo est curv. 5

46 Geometrí Anlític en Ejemplo Grficr SOLUCIÓN. Se dibuj primero l curv en el plno luego se trn rects prlels l eje siguiendo est curv. Ejercicios Propuestos.. Bosqueje l superficie cilíndric cu ecución se indic. ) d) f) e b) sen e) g) 9 c).. SUPEFICIES DE EVOLUCIÓN Ls Superficies de evolución que trtremos quí son quells que se genern l girr 6º un curv perteneciente uno de los plnos coordendos lrededor de uno de los ejes coordendos. Por ejemplo supong que se tiene l curv f () (contenid en el plno ZY) l hcemos girr 6º lrededor del eje, entonces se form un superficie de revolución, observe l figur: 6

47 Geometrí Anlític en r r L ecución de l superficie de revolución se l deduce de l siguiente mner L sección trnsversl es circulr, por tnto: ( ) ( ) ( f ) f r Como tmbién se observ que: ( ) ( ) ( ) r Entonces, igulndo result: [ f ] ECUACIÓN DE UNA SUPEFICIE DE EVOLUCIÓN CON CUVA GENEATIZ f () (EN EL PLANO ) O TAMBIÉN f () (EN EL PLANO ), GIADA ALEDEDO DEL EJE. A, se le llm Binomio de Circulridd. En cmbio, si l curv genertri nterior l hcemos girr lrededor del eje, obtendrímos otr superficie de revolución, observe l figur: 7

48 Geometrí Anlític en (,, ) r (, f, ) r (,, ) f Aquí en cmbio: Y tmbién ( ) ( f ) ( ) f r ( ) ( ) ( ) r Entonces, igulndo result: [ f ] El Binomio de Circulridd seri ECUACIÓN DE UNA SUPEFICIE DE EVOLUCIÓN CON CUVA GENEATIZ f () (EN EL PLANO ) O TAMBIÉN f () (EN EL PLANO ), GIADA ALEDEDO DEL EJE.. L curv nterior no puede ser gird lrededor del eje. PO QUÉ? L ecución de un superficie de revolución con curv genertri f () (en el plno ) o f () (en el plno ) gird lrededor del eje, serí: f () DEDUZCALA! [ ] 8

49 Geometrí Anlític en Ejemplo Encontrr l ecución de l superficie de revolución que se generr l girr lrededor del eje. SOLUCIÓN. Primero grfiquemos l curv genertri en el plno formemos l superficie de revolución. Como el eje de rotción es el eje, el binomio de circulridd será: Curv Genertri. Por tnto, l ecución de est superficie será de l form: [ f ], donde f () es l ecución de l curv genertri; que en este cso seri: f Por tnto, l ecución de l superficie serí: Ejemplo Identificr grficr l superficie que tiene por ecución 9 9. SOLUCIÓN. Primero identifiquemos el binomio de circulridd l ecución de l curv genertri 9 9 ( ) 9 Por tnto de cuerdo l form de l últim ecución se conclue que se trt de un superficie de revolución con curv genertri o tmbién, gird lrededor del eje ( l vrible que no prece en el binomio de circulridd). 9

50 Geometrí Anlític en Ejercicios Propuestos.5. Hlle un ecución de l superficie de revolución que se gener l girr l curv pln dd, lrededor del eje ddo. Grfique. ) 6, lrededor del eje. b) sen, lrededor del eje. c), lrededor del eje. d), lrededor del eje. e) 6, lrededor del eje. f) e, lrededor del eje.. Encuentre el eje l curv genertri de cd un de dichs superficies de revolución. elice el gráfico correspondiente. ) b) c) e d) 6 5

51 Geometrí Anlític en.. SUPEFICIES CUADICAS. Ls Superficies Cuádrics o simplemente Cuádrics con eje centrl prlelo los ejes coordendos, tienen por ecución: A B C D E F G Si l llevmos l form cnónic, completndo cudrdo, tendremos los siguientes lugres geométricos.... ESFEA. L ecución cnónic de l esfer es de l form: ( h) ( k) ( l) r Donde, su centro es C ( h k, l) con r >, su rdio es r Ejemplo L ecución ( ) ( ) ( ) 9 esfer de centro C (,, ) rdio r, tiene como lugr geométrico un r C(,, ) Anlice el lugr geométrico, si < r si r 5

52 Geometrí Anlític en 5... ELIPSOIDE L ecución cnónic de un elipsoide es de l form: c l b k h Donde, su centro es l k h C,, Ejemplo L ecución 9 represent un elipsoide con centro el origen. Su tr (intersección) con el plno, se obtiene hciendo, Entonces, result 9, l ecución de un elipse. Además tods ls secciones trnsversles son elipses. Por qué?... HIPEBOLOIDE DE UNA HOJA Un hiperboloide de un hoj con eje de simetrí prlelo l eje, tiene por ecución: c l b k h Supong que h, k, l, se tiene c b. 9 9

53 Geometrí Anlític en Si (Tr ) b (Elipses) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán elipses. Por qué? Si ( Tr ) c (hipérbols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán hipérbols. Por qué? Si (Tr ) c b (hipérbols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán hipérbols. Por qué? b c b PEGUNTA: Cómo serín ls gráfics de: c b c b 5

54 Geometrí Anlític en... HIPEBOLOIDE DE DOS HOJAS Un hiperboloide de dos hojs con eje de simetrí prlelo l eje, tiene por ecución: ( h) ( k) ( l) b c Supong que h, k, l, se tiene. b c Si (Tr ) b (No tenemos lugr Geométrico) Si Si c, tenemos b > c c (punto) < tenemos elipses. Por qué? Si (Tr ) c (hipérbols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán hipérbols. Por qué? Si (Tr ) c b (hipérbols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán hipérbols. Por qué? b c 5

55 Geometrí Anlític en PEGUNTA: Cómo serín ls gráfics de:...5 DOBLE CONO c c b b Un Doble Cono con eje de simetrí prlelo l eje, tiene por ecución: ( h) ( k) ( l) b c Supong que h, k, l, se tiene b c Si (Tr ) (un punto) b Si tenemos elipses. Si ( Tr ) c Si tenemos hipérbols Si (Tr ) c Si b tenemos hipérbols (dos rects) (dos rects). 55

56 Geometrí Anlític en PEGUNTA: Cómo serín ls gráfics de: c c b b...6 PAABOLOIDE ELIPTICO Un Prboloide Elíptico con eje de simetrí prlelo l eje, tiene por ecución: ( h) ( k) Supong que h, k, l Si (Tr ) b Si >, tenemos elipses. (Con b b ± ( l), grfiquemos: (un punto) cuo cso se lo denomin Prboloide Circulr). Si <, no tenemos lugr geométrico. Si (Tr ) tenemos b tenemos circunferencis, en (prábols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán prábols. Por qué? Si (Tr ) tenemos (prábols) b Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán prábols. Por qué? 56

57 Geometrí Anlític en PEGUNTA: Cómo serín ls gráfics de: b l b b b...7 PAABOLOIDE HIPEBÓLICO Un Prboloide Hiperbólico con eje de simetrí prlelo l eje, tiene por ecución: Grfiquemos ( h) ( k) b. b ± ( l) Si (Tr ) tenemos Si > o < b tenemos hipérbols. Si (Tr ) tenemos ( rects) (prábols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán prábols. Por qué? Si (Tr ) tenemos (prábols) b Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno serán prábols. Por qué? 57

58 Geometrí Anlític en PEGUNTA: Cómo serín ls gráfics de: b l b b b Ejemplo Grfic el lugr geométrico cu ecución es: SOLUCIÓN: Trnsformemos l ecución dd un de ls forms descrits nteriormente: Despejndo ls vribles: Dividendo pr simplificndo: 58

59 Geometrí Anlític en De cuerdo l form de l últim ecución, se conclue que represent un PAABOLOIDE DE DOS HOJAS, con el eje como eje de simetrí (el término negtivo lo indic ) Ejercicios Propuestos.6 Dig el nombre de ls superficies cuádrics cus ecuciones se dn continución. Hg l gráfic en cd cso. ) 6 9 g) 5 6 b) h) 6 5 c) 6 9 i) d) 6 9 j) 5 6 e) k) 8 f) l) 5 59

60 Geometrí Anlític en.5 COODENADAS CILÍNDICA. Un punto P en Coordends Cilíndrics está denotdo como ( r, θ, ) donde r θ son ls Coordends Polres. ( r,θ ) P, θ r Entonces ls trnsformciones serín: r cosθ rsenθ r θ rctn () Ejemplo. El cilindro que tiene por ecución en coordends rectngulres 9, su ecución en coordends cilíndrics será r 9 r 6

61 Geometrí Anlític en Ejemplo El plno que tiene por ecución en coordends rectngulres coordends cilíndrics será π θ, su ecución en π θ Ejemplo El Doble Cono Circulr que tiene por ecución en coordends rectngulres, su ecución en coordends cilíndrics será r r 6

62 Geometrí Anlític en Ejemplo El Prboloide Circulr que tiene por ecución en coordends rectngulres, su ecución en coordends cilíndrics será r r.6 COODENADAS ESFÉICAS. Un punto de, puede ser denotdo tmbién como un vector que inici en el origen con: Mgnitud ρ, Angulo θ, que form su proección r en el plno con respecto l dirección positiv del eje, Angulo φ con respecto l dirección positiv del eje φ r P( ρ, θ, φ) θ ρ r ρ < θ π φ π 6

63 Geometrí Anlític en Observe que: ρ θ rctg φ rccos ρ senφ cosθ ρ senφ cosθ ρ cosφ Ejemplo L Esfer que tiene por ecución en coordends rectngulres 9, su ecución en coordends esférics será ρ ρ Ejemplo El Cono que tiene por ecución en coordends rectngulres, su ecución en coordends esférics será π φ π φ 6

64 Geometrí Anlític en Ejemplo Identificr grficr l superficie que tiene por ecución ρ SOLUCIÓN: Utilindo ls ecuciones de trsformción: ρ cosφ ρ ρ ρ cosφ. 9 ( ) De l últim ecución se conclue que es un esfer de centro,, rdio (,, ) r ρ cosφ Ejercicios propuestos.7 Hlle un ecución en coordends rectngulres dibuje ls siguientes superficies. ) r f) ρ secφ k) r b) r g) r 5 l) r cosθ c) π θ h) r senθ m) ρ d) φ π i) r sen θ n) r e) ρ 5 j) ρ cosφ o) ρ cscφsecθ p) r ( cos θ sen θ) q) ρ csc φ 6

65 Geometrí Anlític en Misceláneos. Identifique Y GAFIQUE ls siguientes superficies. ) 8 k) b) 9 5 l) c) 5 m) d) n) 5 e) 5 o) ln f) p) g) q) sen 5 h) r) ln( ) i) 9 8 s) j) Encuentre l ecución generl de l esfer que es tngente l plno 8 que tiene el mismo centro que 6. esp. ( 6 ) ( ) ( ) 9. Hllr l menor distnci que h entre el plno, l esfer que tiene por ecución 6 esp. d. Dibújese l región limitd por ls gráfics de ls ecuciones. ), b),,,, c),, d),, e),, f), 5. Encuentre ls coordends de los focos de l elipse que result de l intersección de con. 9 esp. (, 5,) (, 5,) 6. Encuentre ls coordends del foco de l prábol que result de l intersección de con. 9 esp. (,, 5 ) 7. Pruebe que l proección en el plno de l curv que es l intersección de ls superficies, es un elipse encuentre sus diámetros mor menor. 8. Dibuje el triángulo en el plno que está rrib del plno, debjo del plno, dentro del cilindro 8. Después encuentre el áre de este triángulo. esp. A 65

66 Geometrí Anlític en 9. Encontrr los vlores de k pr los cules l intersección del plno k el hiperboloide elíptico de dos hojs es: ) Un elipse b) Un hipérbol esp. ) k (, ) (, ) b) k (, ). Demostrr que l intersección del prboloide hiperbólico b el plno c b consiste de dos línes rects que se interceptn.. Sen P, Q los puntos de intersección del prboloide hiperbólico con l rect, hllr l proección del vector PQ sobre el vector V î ˆ j kˆ esp. Pr o PQ (,,) V 66

67 Superficies. SUPEFICIES CILINDICAS. SUPEFICIES DE EVOLUCIÓN. CUADICAS. COODENADAS CILÍNDICA..5 COODENADAS ESFÉICAS. Objetivos. Se persigue que el estudinte: Grfique Superficies Cilíndrics, de evolución Cuádrics.

68 Superficies. Este cpítulo está dedicdo conocer ciertos lugres geométricos de. SUPEFICIES CILINDICAS. Se C un curv de un plno π se l un rect no prlel π. Se define Superficie Cilíndric l conjunto de puntos que perteneces rects prlels l que intersecn C. A C se l denomin Curv Genertri (o Directri) l se l denomin ect Genertri. Ls superficies Cilíndrics que trtremos quí serán quells que tienen l Curv Genertri perteneciente los plnos coordendos ects Genertrices Prlels los ejes coordendos. Es decir, si tienen un de l form siguiente: (, ) f Curv Genertri perteneciente l plno, ects Genertrices prlels l eje. f (, ) Curv Genertri perteneciente l plno, ects Genertrices prlels l eje. (, ) f Curv Genertri perteneciente l plno, ects Genertrices prlels l eje. Ejemplo Grficr SOLUCIÓN. Se dibuj primero l curv eje siguiendo est curv. en el plno luego se trn rects prlels l

69 Superficies Ejemplo Grficr ln SOLUCIÓN. Se dibuj primero l curv eje siguiendo est curv. ln en el plno luego se trn rects prlels l ln Ejemplo Grficr sen SOLUCIÓN. Se dibuj primero l curv eje siguiendo est curv. sen en el plno luego se trn rects prlels l

70 Superficies Ejemplo Grficr SOLUCIÓN. Se dibuj primero l curv prlels l eje siguiendo est curv. en el plno luego se trn rects Ejercicios Propuestos.. Bosqueje l superficie cilíndric cu ecución se indic. ) d) f) e b) sen e) g) 9 c). SUPEFICIES DE EVOLUCIÓN Ls Superficies de evolución que trtremos quí son quells que se genern l girr 6º un curv perteneciente uno de los plnos coordendos lrededor de uno de los ejes coordendos. Por ejemplo supong que se tiene l curv f () (contenid en el plno ZY) l hcemos girr 6º lrededor del eje, entonces se form un superficie de revolución, observe l figur:

71 Superficies r r L ecución de l superficie de revolución se l deduce de l siguiente mner L sección trnsversl es circulr, por tnto: ( ) ( ) ( f ) f r Como tmbién se observ que: ( ) ( ) ( ) r Entonces, igulndo result: [ f ] ECUACIÓN DE UNA SUPEFICIE DE EVOLUCIÓN CON CUVA GENEATIZ f (EN EL PLANO f ( ) O TAMBIÉN ) (EN EL PLANO ), GIADA ALEDEDO DEL EJE. A, se le llm Binomio de Circulridd. En cmbio, si l curv genertri nterior l hcemos girr lrededor del eje, obtendrímos otr superficie de revolución, observe l figur: 5

72 Superficies (,, ) r (, f, ) r (,, ) f. Aquí en cmbio: Y tmbién ( ) ( f ) ( ) f r ( ) ( ) ( ) r Entonces, igulndo result: [ f ] El Binomio de Circulridd seri ECUACIÓN DE UNA SUPEFICIE DE EVOLUCIÓN CON CUVA GENEATIZ f () (EN EL PLANO ) O TAMBIÉN f () (EN EL PLANO ), GIADA. ALEDEDO DEL EJE L curv nterior no puede ser gird lrededor del eje QUÉ?. PO L ecución de un superficie de revolución con curv genertri f () (en el plno ) o f () (en el plno ) gird lrededor del eje, serí: f () DEDUZCALA! [ ] 6

73 Superficies Ejemplo Encontrr l ecución de l superficie de revolución que se generr l girr lrededor del eje. SOLUCIÓN. Primero grfiquemos l curv genertri en el plno formemos l superficie de revolución. Curv Genertri Como el eje de rotción es el eje, el binomio de circulridd será:. Por tnto, l ecución de est superficie será de l form: f () es l ecución de l curv genertri; que en este cso seri: Por tnto, l ecución de l superficie serí: [ f ( ] ) f, donde Ejemplo Identificr grficr l superficie que tiene por ecución 9 9. SOLUCIÓN. Primero identifiquemos el binomio de circulridd l ecución de l curv genertri 9 9 ( ) 9 Por tnto de cuerdo l form de l últim ecución se conclue que se trt de un superficie de revolución con curv genertri o tmbién, gird lrededor del eje ( l vrible que no prece en el binomio de circulridd). 7

74 Superficies Ejercicios Propuestos.. Hlle un ecución de l superficie de revolución que se gener l girr l curv pln dd, lrededor del eje ddo. Grfique. ) 6, lrededor del eje. b) sen, lrededor del eje. c), lrededor del eje. d), lrededor del eje. e) 6, lrededor del eje. f) e, lrededor del eje.. Encuentre el eje l curv genertri de cd un de dichs superficies de revolución. elice el gráfico correspondiente. ) b) c) e d) 6 8

75 Superficies. SUPEFICIES CUADICAS. Ls Superficies Cuádrics o simplemente Cuádrics con eje centrl prlelo los ejes coordendos, tienen por ecución: A B C D E F G Si l llevmos l form cnónic, completndo cudrdo, tendremos los siguientes lugres geométricos... ESFEA. L ecución cnónic de l esfer es de l form: ( h) ( k) ( l) r con r > C ( h, k, l) su rdio es r Donde, su centro es Ejemplo L ecución ( ) ( ) ( ) 9 esfer de centro C (,, ) rdio r, tiene como lugr geométrico un r C(,, ) Anlice el lugr geométrico, si < r si r 9

76 Superficies.. ELIPSOIDE L ecución cnónic de un elipsoide es de l form: c l b k h Donde, su centro es l k h C,, Ejemplo L ecución 9 represent un elipsoide con centro el origen. Su tr (intersección) con el plno, se obtiene hciendo, Entonces, result 9, l ecución de un elipse. Además tods ls secciones trnsversles son elipses. Por qué? HIPEBOLOIDE DE UNA HOJA Un hiperboloide de un hoj con eje de simetrí prlelo l eje, tiene por ecución: c l b k h Supong que h, k, l, se tiene c b.

77 Superficies Si (Tr ) b (Elipses) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno Por qué? Si ( Tr ) c (hipérbols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno hipérbols. Por qué? Si (Tr ) c b (hipérbols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno hipérbols. Por qué? serán elipses. serán serán b c b PEGUNTA: Cómo serín ls gráfics de: c b c b

78 Superficies.. HIPEBOLOIDE DE DOS HOJAS Un hiperboloide de dos hojs con eje de simetrí prlelo l eje, tiene por ecución: ( h) ( k) ( l) b c Supong que h, k, l, se tiene. b c Si (Tr ) b (No tenemos lugr Geométrico) Si Si c, tenemos b > c c (punto) < tenemos elipses. Por qué? Si (Tr ) c (hipérbols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno hipérbols. Por qué? Si (Tr ) c b (hipérbols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno hipérbols. Por qué? serán serán b c

79 Superficies PEGUNTA: Cómo serín ls gráfics de:..5 DOBLE CONO c c b b Un Doble Cono con eje de simetrí prlelo l eje, tiene por ecución: ( h) ( k) ( l) b c Supong que h, k, l, se tiene b c Si (Tr ) Si b tenemos elipses. Si ( Tr ) c Si tenemos hipérbols Si (Tr ) c Si b tenemos hipérbols (un punto) (dos rects) (dos rects).

80 Superficies PEGUNTA: Cómo serín ls gráfics de: c c b b..6 PAABOLOIDE ELIPTICO Un Prboloide Elíptico con eje de simetrí prlelo l eje, tiene por ecución: ( h) ( k) Supong que h, k, l Si (Tr ) b Si >, tenemos elipses. (Con b b ± ( l), grfiquemos: (un punto) cuo cso se lo denomin Prboloide Circulr). b tenemos circunferencis, en Si <, no tenemos lugr geométrico. Si (Tr ) tenemos (prábols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno prábols. Por qué? Si (Tr ) tenemos (prábols) b Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno prábols. Por qué? serán serán

81 Superficies PEGUNTA: Cómo serín ls gráfics de: b l b b b..7 PAABOLOIDE HIPEBÓLICO Un Prboloide Hiperbólico con eje de simetrí prlelo l eje, tiene por ecución: ( h) ( k) b ± ( l) Grfiquemos b. Si (Tr ) tenemos Si > o < b tenemos hipérbols. Si (Tr ) tenemos ( rects) (prábols) Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno prábols. Por qué? Si (Tr ) tenemos (prábols) b Y tods sus secciones trnsversles prlels l plno prábols. Por qué? serán serán 5

82 Superficies PEGUNTA: Cómo serín ls gráfics de: b l b b b Ejemplo Grfic el lugr geométrico cu ecución es: SOLUCIÓN: Trnsformemos l ecución dd un de ls forms descrits nteriormente: Despejndo ls vribles: Dividendo pr simplificndo: 6

83 Superficies De cuerdo l form de l últim ecución, se conclue que represent un PAABOLOIDE DE DOS HOJAS, con el eje como eje de simetrí (el término negtivo lo indic ) Ejercicios Propuestos. Dig el nombre de ls superficies cuádrics cus ecuciones se dn continución. Hg l gráfic en cd cso. ) 6 9 g) 5 6 b) h) 6 5 c) 6 9 i) d) 6 9 j) 5 6 e) k) 8 f) l) 5 7

84 Superficies donde. COODENADAS CILÍNDICA. Un punto P en Coordends Cilíndrics está denotdo como ( r, θ, ) r θ son ls Coordends Polres. ( r,θ ) P, θ r Entonces ls trnsformciones serín: r cosθ rsenθ r θ rctn () Ejemplo. El cilindro que tiene por ecución en coordends rectngulres 9, su ecución en coordends cilíndrics será r 9 r 8

85 Superficies Ejemplo El plno que tiene por ecución en coordends rectngulres coordends cilíndrics será π θ, su ecución en π θ Ejemplo El Doble Cono Circulr que tiene por ecución en coordends rectngulres, su ecución en coordends cilíndrics será r r 9

86 Superficies Ejemplo El Prboloide Circulr que tiene por ecución en coordends rectngulres, su ecución en coordends cilíndrics será r r.5 COODENADAS ESFÉICAS. Un punto de, puede ser denotdo tmbién como un vector que inici en el origen con: Mgnitud ρ, Angulo θ, que form su proección r en el plno respecto l dirección positiv del eje, Angulo φ con respecto l dirección positiv del eje con φ r P( ρ, θ, φ) θ ρ r ρ < θ π φ π

87 Superficies Observe que: ρ θ rctg φ rccos ρ senφ cosθ ρ senφ cosθ ρ cosφ Ejemplo L Esfer que tiene por ecución en coordends rectngulres 9, su ecución en coordends esférics será ρ ρ Ejemplo El Cono que tiene por ecución en coordends rectngulres, su ecución en coordends esférics será π φ π φ

88 Superficies Ejemplo Identificr grficr l superficie que tiene por ecución ρ SOLUCIÓN: Utilindo ls ecuciones de trsformción: ρ cosφ ρ ρ ρ cosφ. 9 ( ) De l últim ecución se conclue que es un esfer de centro,, rdio (,, ) r ρ cosφ Ejercicios propuestos. Hlle un ecución en coordends rectngulres dibuje ls siguientes superficies. ) r f) ρ secφ k) r b) r g) r 5 l) r cosθ c) π θ h) r senθ m) ρ d) φ π i) r sen θ n) r e) ρ 5 j) ρ cosφ o) ρ cscφsecθ p) r ( cos θ sen θ) q) ρ csc φ

89 Superficies Misceláneos. Identifique Y GAFIQUE ls siguientes superficies. ) 8 k) b) 9 5 l) c) 5 m) d) n) 5 e) 5 o) ln f) p) 9 8 g) q) sen 5 h) r) ln i) s) j) Encuentre l ecución generl de l esfer que es tngente l plno 8 que tiene el mismo centro que 6. esp. ( ) ( ) ( ) 6. Hllr l menor distnci que h entre el plno, l esfer que tiene por ecución 6 esp. d. Dibújese l región limitd por ls gráfics de ls ecuciones. ), b),,,, c),, d),, e),, f), 5. Encuentre ls coordends de los focos de l elipse que result de l intersección de con. 9 esp. (, 5,) (, 5,) 6. Encuentre ls coordends del foco de l prábol que result de l intersección de con. 9 esp. (,, 5 ) 7. Pruebe que l proección en el plno de l curv que es l intersección de ls superficies, es un elipse encuentre sus diámetros mor menor. 8. Dibuje el triángulo en el plno que está rrib del plno, debjo del plno, dentro del cilindro 8. Después encuentre el áre de este triángulo. 9

90 Superficies esp. A 9. Encontrr los vlores de k pr los cules l intersección del plno k el hiperboloide elíptico de dos hojs ) Un elipse b) Un hipérbol es: esp. ) (, ) (, ) k b) k (, ). Demostrr que l intersección del prboloide hiperbólico b b consiste de dos línes rects que se interceptn. c el plno. Sen P, Q los puntos de intersección del prboloide hiperbólico con l rect, hllr l proección del vector PQ sobre el vector V î ˆ j kˆ esp. Pr o PQ (,,) V

91 Funciones Esclres..... FUNCIÓN VECTOIAL. GAFICA DE UNA FUNCIÓN ESCALA. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN ESCALA. CONJUNTO DE NIVEL 5. LIMITES DE FUNCIONES DE VAIAS VAIABLES 6. CONTINUIDAD 7. DEIVADA DE UNA FUNCIÓN ESCALA 8. DIFEENCIABILIDAD 9. GADIENTE. LA DIFEENCIAL. EGLA DE LA CADENA. DEIVACIÓN IMPLICITA Objetivos. Se persigue que el estudinte: Conceptulice funciones Vectoriles, Esclres Curvs Describ conjunto de niveles. Estblec límites, continuidd derivds de funciones de dos vribles. Estblec si un función de dos vribles es diferencible o no. Determine ecuciones de plnos tngentes superficies. Obteng derivds de funciones compuests Obteng derivds de funciones implícits

92 Funciones Esclres. FUNCIÓN VECTOIAL. DEFINICIÓN n m Un función del tipo f : U se l denomin FUNCIÓN VECTOIAL o CAMPO VECTOIAL. Ejemplo. Se f : tl que f (, ) (,, 5) Esquemáticmente tenemos: f (,) (,,8 ) (,) (, 6) f : U n Si m, tenemos, se l denomin FUNCIÓN ESCALA, CAMPO ESCALA, O FUNCIÓN DE VAIAS VAIABLES. Si f : U, tenemos un FUNCIÓN DE DOS VAIABLES. Ejemplo. Se f : tl que f (, ) 6 Si f : U, tenemos un FUNCIÓN DE TES VAIABLES. Ejemplo. Se f : tl que f (, ) Si m n, tenemos, l cul se l denomin TAYECTOIA o CUVA. f : U

93 Funciones Esclres Ejemplo. Se f : tl que f ( t) ( t, t, t) Tenemos un CUVA de. Este cpítulo lo dedicremos l estudio de FUNCIONES ESCALAES.. GAFICA DE UNA FUNCIÓN ESCALA. DEFINICIÓN Se n f : U. Se llm gráfic de f l conjunto de puntos (,,, f ( ) n de, n, donde (,,, ) U n Si tenemos f (, ). un función de dos vribles. Su gráfico se,, de, tles que f (, ). El define como el conjunto de puntos lugr geométrico es llmdo Superficie, como se lo h nticipdo. Alguns superficies que corresponde funciones, se hn grficdo en el cpítulo nterior. Ejemplo. Pr de f : tl que f (, ) 6 tles que 6 (un plno), su grfico es el conjunto (,, ) 6 6

94 Funciones Esclres Elborr gráfics de un función de dos vribles no es tn sencillo, se requerirí de un computdor en l morí de ls ocsiones. Pero si podemos sber crcterístics de sus grfics nlindo su regl de correspondenci.. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN ESCALA Se f : U el conjunto U n, entonces su DOMINIO es Es decir, su DOMINIO está constituido por vectores de ( n,,,, n ) pr los cules tiene sentido l regl de correspondenci; su ECOIDO por vectores de Aquí Si f : U,,, n m, f ( f, f,, fm ). se ls denominn VAIABLES INDEPENDIENTES., su dominio será un subconjunto del plno. Estblecer el Dominio Nturl, igul que pr funciones de un vrible, es un necesidd en muchs ocsiones. Ejemplo Hllr el Dominio Nturl pr f (, ) SOLUCIÓN. Observe que l regl de correspondenci no tiene restricciones, por tnto se le puede dr culquier vlor rel ls vribles independientes, es decir Domf. Además, se puede decir que el Dominio de un función de dos vribles será l POYECCIÓN QUE TENGA SU GÁFICA EN EL PLANO. ecuerde que l gráfic de es un prboloide. Por tnto l proección es todo el plno

95 Funciones Esclres Ejemplo Hllr el Dominio Nturl pr f (, ) 9 SOLUCIÓN. Observe que l regl de correspondenci tiene sentido cundo 9, pr que se pued clculr l rí cudrd lo interior del rdicl debe ser un número positivo o cero. Despejndo se tiene 9. Es decir: Domf / 9 circunferenci centrd en el origen de rdio su interior., los pres de números que pertenecen l 9 Además el gráfico de 9, es l semiesfer: Ejemplo Hllr el Dominio Nturl pr f (, ) Solución. Pr que l regl de correspondenci teng sentido se necesit que Es decir Domf /.. 5

96 Funciones Esclres El gráfico, hor es un lugr geométrico no conocido. Pero tenemos un indicio de l región en que hbrá gráfico. Ejercicios Propuestos Descríbse l región del plno que corresponde l Dominio Nturl de l función dd. ) h) b) ln ( ) i) w ln 6 j) rcsen( ) c) d) ( ) e) f, sen ln rcsen k) ln e l) ( ) f, f) ln( ) g) rccos rcsen ( ) Obtener trs de ls secciones trnsversles de l superficie es suficiente, en muchs ocsiones, pr su nálisis.. CONJUNTO DE NIVEL. DEFINICIÓN n Se f : U. Se llm CONJUNTO DE n NIVEL de f, l conjunto de puntos de tles que f (,,, ) k, donde k n Si tenemos f (, ) Nivel es llmdo CUVAS DE NIVEL serín ls trectoris en el plno un función de dos vribles. El Conjunto de tles 6

97 Funciones Esclres que f (, ) c. Es decir, serín ls curvs que resultn de l intersección de l superficie con los plnos, proectds en el plno. Ejemplo Pr c f : tl que f (, ) 6, su conjunto de nivel serán puntos de tles que 6 k. En este cso se llmn CUVAS DE NIVEL. Si k, tenemos el Nivel, 6 Si k, tenemos el Nivel, 6 Si k, tenemos el Nivel, 6 etc. 6 6 k : k : k : 5 k : 6 Ls curvs de nivel se dibujn en el plno, pr este cso serín: k : 6 k : 5 k : k : 7

98 Funciones Esclres Ejemplo. Grfique lguns curvs de nivel pr f (, ) SOLUCIÓN: Ls curvs de nivel, pr este cso, es l fmili de trectoris tles que c (Circunferencis centrds en el origen). C C C C 9 C 6 Si tenemos w f (,, ) un función de tres vribles. El Conjunto de Nivel es llmdo SUPEFICIES DE NIVEL Ejercicios Propuestos Descríbse ls curvs de nivel ls secciones trnsversles de cd función en su correspondiente plno, luego dibújese l gráfic de l superficie en ) b) f (, ) c) d) f (, ) 6 e) f (, ) 8

99 Funciones Esclres 5. LIMITES DE FUNCIONES DE VAIAS VAIABLES. Hciendo nlogí con funciones de un vrible, pr definir el límite hor, primero empecemos generlindo l definición de entorno o vecindd otrs definiciones que nos permitirán comprender el concepto de límite. 5. BOLA ABIETA. Se llm n bol biert de centro en rdio δ, denotd por B ( ; n ) n δ, l conjunto: ( ; δ ) { / } n < B n Donde, mu pequeño. δ < ; un intervlo Si n, tenemos B( ; ) { / } (como en funciones de un vrible) Si n, tenemos: { } ((, ); ) (, ) / (, ) (, ) B δ < ( ) ( ) < <, 5. PUNTO INTEIO Se U n n, se dice que es un punto interior de U, si sólo si >, Bn ( ; ) contenid en U. 5. CONJUNTO ABIETO U puntos son interiores U. n es un conjunto bierto, si todos sus 9

100 Funciones Esclres 5. PUNTO EXTEIO. Se U n n, se dice que es un punto Eterior de U, si sólo si >, Bn ( ; ) totlmente fuer de U. 5.5 PUNTO DE FONTEA Se dice que es un punto de fronter de U, si no es ni interior ni eterior. 5.6 CONJUNTO CEADO. n U es un conjunto cerrdo si su complemento es bierto 5.7 CONJUNTO SEMIABIETO. n U es un conjunto semibierto si no es bierto tmpoco cerrdo. 5.8 DEFINICIÓN DE LÍMITE n Se f : U, donde U es un conjunto bierto, se un punto interior o de fronter de U, entonces: lím f L ξ >, > / B ( ; ) f L < ξ n Si n tenemos: lím f, L ξ >, > / < < (, ) (, ) f, L < ξ L ( ( ξ ξ ( ) f,,

101 Funciones Esclres Es decir, que si tommos (, ) cercno f (, ) estrá próimo L. Ejemplo Demostrr emplendo l definición que lím (, ) (. ) Solución: Debemos segurr que ( ) ( ) entonces, ξ >, > / < < < ξ ecuerde que Por otro ldo Ahor note que: entonces entonces. < Se conclue finlmente que: Es decir tomndo ζ, suficiente pr concluir que: lím (, ) (. ) < Lo nterior v ser complicdo hcerlo en l morí de ls situciones, por tnto no vmos insistir en demostrciones formles. Pero si se trt de estimr si un función tiene límite cuál podrí ser este, podemos hcer uso del cercmiento por trectoris. Ejemplo Clculr lím (, ) (. ) Solución: Aproimrse (,), signific estr con, en un bol de < (,)

102 Funciones Esclres Si el límite eiste, signific que si nos cercmos en tods ls direcciones tender l mismo vlor.. Aproimémonos trvés del eje, es decir de l rect o Entonces, tenemos lím lím. (, ) (. ). Aproimémonos trvés del eje, es decir de l rect o Entonces, tenemos lím lím. (, ) (. ) Se observ que los dos resultdos nteriores son diferentes. f deberá Por tnto, se conclue que: lím (, ) (. ) no eiste. Ejemplo Clculr lím (, ) (. ) Solución: Determinndo l convergenci de f, pr diverss direcciones:. Eje ( ): lím lím. Eje ( ): lím lím. ects que psn por el origen ( m) : lím ( m) m lím lím lím ( m) m ( m ) ( m ) m m. Prábols que tengn vértice el origen ( ) lím ( ) lím lím ( ) Por tnto, lím NO EXISTE. (, ) (. ) lím El cercmiento por trectori no nos grnti l eistenci del límite, sólo nos hce pensr que si el límite eiste, ese debe ser su vlor. Entonces cómo lo grntimos?. Si l epresión lo permite podemos usr coordends polres.

103 Funciones Esclres Ejemplo Clculr lím (, ) (. ) Solución: Determinndo l convergenci de f, pr diverss direcciones:. Eje ( ): lím lím. Eje ( ): lím lím. ects que psn por el origen ( m) : lím ( m) m m lím lím lím ( m) m ( m ) ( m ). Prábols que tengn vértice el origen ( ) ( ) lím lím ( ) lím Probemos con otr trectori 5. lím m lím 5 5 ( ) lím lím lím ( ) ( ) Precer ser que el límite es cero, pero todví no está grntido. Por qué? Demostrrlo, no es un tre sencill. Usemos coordends polres: lím ( r cosθ ) ( rsenθ ) lím r (, ) (.) r r rsen θcosθ lím r r lím rsen ( θcosθ) En l prte últim se observ que senθ cosθ es cotdo por tnto lím rsenθ cosθ r Lo nterior quiere decir que en situciones especiles ( cuáles?), podemos utilir coordends polres pr demostrr o hllr límites. Ejemplo sen( ) Clculr lím,. Solución: Emplendo coordends polres sen lím (, ) (.) sen( r ) lím r r

104 Funciones Esclres 5.8. TEOEMA DE UNICIDAD. Se f : U n, donde U es un conjunto bierto, se un punto interior o de fronter de U, entonces: lim f L lim f M entonces L M Si 5.8. TEOEMA PINCIPAL. Si lim f L lim g M... f lim f L. lim entonces: lim f g lim f lim g L M lim f g lim f lim g LM lim f g lim f lim g LM g lim g M ; M Por tnto en situciones elementles, l sustitución bst Ejemplo lím ( ) 8,. Ejercicios Propuesto. Clculr los siguientes límites: sen ) k lim b) k lim sen( ) c),, d) lim g) ( ) lim h) sen lim π lim,, lim f) ( ) e i) lím (, (,) )

105 Funciones Esclres e) sen( ) lim. Clcúlese el límite de f (, ) cundo ( ) (, b) lim g ( ) limh, donde f (, ) g h( ) b ) ( sen)( cos ) lim b) ( ) lim ( ). Se: f (, ) 6 6, hllndo los límites: c) lim cos sen d) lim ( ) e pr qué vlores de "" eiste el lím f (, ) ( )?,, 6. CONTINUIDAD Sen f : U n, se un punto U. Decimos que f es continu en si sólo si: lim ( ) f f Ejemplo. Anlir l continuidd de En el punto (, ). SOLUCIÓN: ; (, ) ( f(, ), ;,, ) Pr que l función se continu se debe cumplir que f ( ) Determinemos el límite. lim (, ) (, ) Acercándonos por trectoris. ; lim ; lim ; lim Entonces lim no eiste. (, ) (, ) Por tnto, NO ES CONTINUA EN,. f lim,,, 5

106 Funciones Esclres 6. CONTINUIDAD EN UN INTEVALO n Se f : U. Se dice que f es continu en todo U si sólo si es continu en cd punto de U. 6.. Teorem Si f g son continus en, entonces tmbién son continus: f g, f g, fg, f ( g( ) ) g. Ejercicios propuestos Anlice l continuidd en (,) de ls siguientes funciones: ) f (, ) b) f (, ) c) f ( ) d) f (, ) e) f (, ) f) f ( ) g) f (, ) h) f (, ) i) f (, ) sen, (, ) (,, (, ) (,) e, (, ) (,), (, ) (,),,, (, ) (, (, ) (,) ( ) cos 8,,,,,,, ) ) (, ) (, ) (, ) (,), 6 (, ) (,,,, ) 5, (, ) (,,,, ), (, ) (,,,, ) 6

107 Funciones Esclres 7. DEIVADA DE UNA FUNCIÓN ESCALA. Pr función de un vrible l derivd se l definió como el cmbio instntáneo que eperiment l función cundo cmbi su vrible independiente. Aquí hbí que considerr un sol dirección, pr función de vris vribles deberí ser el cmbio instntáneo que tiene l función en tods ls direcciones en l vecindd de un punto. 7. Derivd Direccionl. Derivd de un cmpo esclr con respecto un vector. Se n f : U, donde U es un conjunto bierto, un punto de U. Se un vector de n. L derivd de f en con respecto v, denotd por f ; v define como: f v f f ; v lim v v Cundo este límite eiste v o tmbién D f ( ) v, se Ahor bien, si decimos que v h entonces v hu donde u un VECTO UNITAIO de n, entonces: L derivd direccionl de f en con respecto u es: f hu f f ; u lim h h ( ) 7

108 Funciones Esclres Ejemplo ; n f. Clculr f, v. SOLUCIÓN: f hu f ( ) f ; v lim h h Se hu lim h h hu hu lim h h hu h u u lim h h hu h u u lim h h lim h u u hu u Si f : U f (, ) (un función de dos vribles), entonces: ; u lim h f (, ) hu f (, ) h Ejemplo Se f (, ). Hllr D f (, ) donde SOLUCIÓN: Emplendo l definición: lim h u 5 5 h h lim h h u, f (, ) h, f (, ) D f (, ) lim u h h f h, h (,) f lim h h h h lim h h h h h h [ 5] lim h h h h h h ( h) lim 8

109 Funciones Esclres Ejemplo Se ; (, ) ( (, ), ) f. ;(, ) (,) Hllr D f (, ) donde u ( cos θ, senθ ) u SOLUCIÓN: Aplicndo l definición: D f u ((, ) ( cos θ, θ) ) (, ) f h sen f (, ) lim h h f ( hcos θ, hsenθ) f (, ) lim h h ( hcosθ)( hsenθ) h lim h h cosθsenθ lim h h En l últim epresión:. π π Si θ,, π, entonces D f (, ) u. π π Si θ,, π, entonces D f (, ) no eiste. u Ejemplo Se ; (, ) ( (, ), ) f. ;(, ) (,) Hllr D f (, ) donde u ( cos θ, senθ ) u Solución: Aplicndo l definición: D f u ( cos θ, θ) (, ) f h hsen f, lim h h ( hcosθ) ( hsenθ) ( hcosθ) ( hsenθ) lim h h h cos θsenθ ( cos θ θ) h h sen lim h h cos θsenθ lim h cos h θ sen θ En l últim epresión:. Si θ, π ( senθ ) entonces D f, u cos θ. Si θ, π entonces D f (, ) ( eiste). u senθ 9

110 Funciones Esclres Más delnte dremos un técnic pr hllr derivds direccionles sin empler l definición. Un cso especil de ls derivds direccionles es cundo considermos dirección con respecto eje con respecto l eje. Ejercicios Propuestos 5 Determine l derivd direccionl de ( b, ). ) f (, ) b) f (, ) f si,, en el origen en l dirección del vector unitrio si (, ) (,) si (, ) (, si, ) (,) 7. Derivd Prcil. Si n Se f : U, donde U es un conjunto bierto, un punto de U, h. Se e i (,,,,, ) un vector cnónico unitrio n de. L derivd prcil de f en con respecto e i (o con respecto su ésim f denotd por ( ) i i vrible),, se define como: f h e f ( ) i lim h h i Cundo este límite eiste f : U vectores cnónicos unitrios serín: derivds prciles serín: f ( ), lim f ( ) (un función de dos vribles), entonces los iˆ (, ) e ˆj e,. Ls ((, ) (, )) (, ) f h f h h

111 Funciones Esclres f f f f h, f, lim h Denotd simplemente como: Y l otr derivd prcil serí: f ( ) Denotd simplemente como: o tmbién, es decir: h ((, ) (, )) (, ), lim h f f f f, h f, lim h h f h f h o tmbién, es decir: Ejemplo Se (, ) SOLUCIÓN: f, obtener h f f. (, ) (, ) f f h f lim h h h lim h h ( ) h h lim h h h h lim h h h h lim h h ( h ) lim f h (, ) (, ) f f h f lim h h h lim h h ( ) h h h lim h h h h h lim h h h h h lim h h ( h h) lim f

112 Funciones Esclres Note que f se obtiene como un derivd pr función de un vrible, en este cso, considerndo l otr vrible como constnte. f Análogmente, si se dese obtener, deberímos derivr considerndo sólo como vrible. Ejemplo Se f (, ) sen SOLUCIÓN:, obtener f f. ( ) f cos f cos ( ) ( ) En otros tipos de funciones hbrá que plicr l definición. Ejemplo ( Se ;,, ) f(, ). ;(, ) (,) Hllr f ) f (, ) (, SOLUCIÓN: Aplicndo l definición: h ) f ( h,) f (,) h f (, ) lim lim lim h h h h h h h f (, h) f (, ) h b) f (, ) lim lim lim h h h h h h Ejercicios propuestos 6 f f. Encontrr, si : ) f (, ) d) f (, ) b) f (, ) ( ) loge ( ) e e) f (, ) cos cos, sen f) f (, ) g ( t ) dt c) f ( ) cos ( e ). Hllr f (, ) f (, ), pr: sen

113 Funciones Esclres ) f (, ) b) f (, ) si(, ) (,) si(, ) (,), (, ) (,,,, f,,, f, sen( ) ;(, ) (, ;,, sen,,, ) c) ( d) ) (,) ) 7.. INTEPETACIÓN GEOMÉTICA DE LAS DEIVADAS PACIALES Se h definido l derivd trtndo de que se entiend como l vrición de l función con respecto un dirección. Entonces l f derivd prcil, será l pendiente de l rect tngente prlel l plno, observe l figur: f m (, ) ( ) f, (,, f (, )) h h, ( h, ) En cmbio, l derivd prcil tngente prlel l plno f, será l pendiente de l rect, observe l figur:

114 Funciones Esclres ( ) f, f m (, ) (,, f ( )), h h, ( h), Ejemplo Encontrr l ecución de l rect tngente l curv de intersección de l superficie que tiene por ecución con el plno en el punto (,,5 ). SOLUCIÓN: elindo un gráfico, tenemos: (,,5 ) d m (,) d d (, o c) S,

115 Funciones Esclres t L ecución de tod rect es de l form l : bt. ct El punto está ddo: (,, ) (,,5 ). Los vectores directrices son prlelos l plno por tnto son de l form: S (, o, c ). Por qué? L pendiente de l rect será (,) directores. Ahor bien, si entonces. Evlundo tenemos: c Entonces: Por tnto (, o, c) (,, S ) Finlmente l ecución de l rect buscd será: t t l : bt t ct 5 t m ; que definirá l dirección de los vectores d 7.. DEIVADAS PACIALES DE ODEN SUPEIO Sen f : U tl que f (, ). f f Supong que ls derivds prciles eistn. Entonces ls Derivds prciles de Segundo Orden se definen como: f f ( h, ) (, ) f f lim f h h f f (, h) (, ) f f lim f h h 5

116 Funciones Esclres h f h f h f f f,, lim h f h f h f f f,, lim Cundo estos límites eistn. A se ls denominn Derivds Mits o Derivds Cruds. f f Ejemplo Se, e f, obtener tods ls derivds prciles de segundo orden. Solución: Ls Derivds prciles de primer orden son: e e e e f e e f Por tnto ls derivds prciles de segundo orden serín: 6 6 e e e e e e e e f e e e e f e e e e f e e e e f Note que ls derivds cruds son igules. 7.. TEOEMA DE SCHWAZ Se, un función definid en el U f : bierto de U. Si ls derivds prciles f f eisten son funciones continus en U, entonces: f f 6

117 Funciones Esclres Anlicemos el siguiente ejemplo, donde se hce necesrio empler ls definiciones de ls derivds prciles. Ejemplo ;(, ) ( Se f (, ) ;(, ) ( Hllr ) f (, ) b) f (,),, ) ) SOLUCIÓN: ) f (,) (,) f f lím (, h) (,) h f Necesitmos l derivd prcil de primer orden. f Pr l derivd en culquier punto diferente de (,) tenemos: f Evlundo Pr l derivd Por tnto: f b) f (,) (,) f f ( ) h ( ) h, h ( h ) en (,) f (,) f lím h (,) f ( ) 5 h 5 h h tenemos: ( h, ) f (,) f lím h h h h lím h h h lím h h ( ) (, h) f (,) h f lím h 5 5 h h lím h h ( h, ) (,) h f 7

118 Funciones Esclres Pr l derivd f en culquier punto diferente de, tenemos: 5 5 f Evlundo: h h h h h h h h f 5 5, Pr l derivd f en, tenemos:,,, h lím h h h h lím h f h f lím f h h h Por tnto:,,, h h lím h f h f lím f h h Note que ls derivds mits no son igules. Por qué? Demuéstrelo! Ejercicios propuestos 7. Clculr, si eisten, l derivd mit f, f, pr: ), si si f b), si si f c) (,,,,, si si f ) 8

119 Funciones Esclres 8. DIFEENCIABILIDAD. Eisten funciones que poseen tods sus derivds direccionles, sin embrgo no pueden ser considerds diferencibles debido que no son continus (ejemplo de derivd direccionl), entonces deberá eistir un criterio más fuerte pr l diferencibilidd. ecordemos l definición de diferencil pr función de un vrible, observe l gráfic: f ( ) f h f ( ) h d r } } d } h Note que d r, donde r le vmos llmr residuo. eemplndo tenemos: d r f h f f hr Dividiendo pr h tomndo limite f ( h) f r lim f ( ) lim h h h h Podemos decir que pr que f se diferencible se debe dr que: r lim h h Hciendo nlogí pr funciones de dos vribles. El punto debe ser (, ) h debe ser un vector, digmos ( h, h ), entonces l epresión pr l diferencibilidd debe ser de l form: 9

120 Funciones Esclres ((, ) (, )) (, ) f h h f Ah Ah r Y deberá ocurrir que Encontremos A. r lim h h Supong que h ( h,), entonces: f, h, f, Ah A r ( ) h tomndo límite: Dividiendo pr lim (, ) (, ) f h f r A lim h h h h A f, Tenemos que Análogmente obtengmos A Supong que h (,h ), entonces: (,, ) (, ) f h f A A h r h tomndo límite: Dividiendo pr lim (, ) (, ) f h f r A lim h h h h A f, Tenemos que Ahor sí podemos proponer l siguiente definición pr l diferencibilidd. Se f : U bierto., un función definid en el, U, si U f es DIFEENCIABLE en ( ) sus derivds prciles en (, ) ( h, h ) (,) eisten si [ f ( h, h ) f (, )] [ f (, )] h f, lim h h h Ejemplo Demuestre que (, ) SOLUCIÓN: f es diferencible en todo (, ) Aplicndo l definición, pr que l función se diferencible el límite

121 Funciones Esclres ( h, h ) (,) lim debe ser cero. [ f ( h, h ) f (, )] [ f (, )] (, ) h f h Obtengmos primero ls derivds prciles: h h f (, ) (, ) f (, ) (, ) eemplndo simplificndo: [ f ( h, h ) f (, )] [ f ], h, lim f h ( h, h) (,) h h ( h, h ) (,) ( h, h ) (,) ( h, h ) (,) lim lim lim ( h, h ) (,) lim Se observ que ( h, h ) (,) ( ) ( ) [ ] [ ] h h h h h h h h hh h h h h h h h h lim h h Por tnto f ES DIFEENCIABLE EN TODO PUNTO. Ejemplo Se ; (, ) ( f(, ), ). Determine si SOLUCIÓN: Aplicndo l definición: ( h, h ) (,) lim ;(, ) (,) f es diferencible en (, ) [ f ( h, h ) f (,) ] [ f (,) ] (,) h f h h h Ls derivds prciles fueron obtenids nteriormente : f, f, eemplndo: [ f ( h, h) f (,) ] [ f ], h, lim f h ( h, h) (,) h h lim ( h, h) (,) lim hh h h hh,, ( h h) ( h h ) [ ] h [ ] h h h

122 Funciones Esclres El último límite lo clculmos por coordends polres hh r cosθrsenθ cosθsenθ r lim lim lim h, h, r r ( ) ( h h ) ( r ) Este límite no eiste, por tnto f NO ES DIFEENCIABLE en (, ). Los siguientes teorems permiten scr conclusiones rápids. 8. TEOEMA Si f : U, es diferencible en(, ) entonces es continu en (, ). U, 8. TEOEMA Se f : U. Si ls funciones derivds, entonces f es prciles son continus en diferencible en (, ). Ejercicios propuestos 8. Demostrr que si f (, ) es diferencible en ( b, ) entonces es continu en ( b, ). Anlir l diferencibilidd en el origen pr: si(, ) (,) ) f (, ) ( ) si(, ) (,) ( ) sen si (, ) (, b) f (, ) si,, c) f (, ), (, ) (,,,, d) ( sen f,,, ),,, ) (,) f, sen( ), (, ) (,, (, ) (, ) e) f) f (, ) si (, ) (, si, (,) ) ) )

123 Funciones Esclres 9. GADIENTE. Se f : U n un función diferencible. Se define el vector grdiente de f en, denotdo por ( ) f o grd f ( ), como el vector de ( ) n : f f f f f,,,, n ( ) Ejemplo f Se f,. Hllr el grdiente de en (,),. SOLUCIÓN: f f f (, ),,,, ( ) 9. GADIENTE Y DEIVADA DIECCIONAL En l epresión pr el residuo. f (, ) ( h, h) f, [ f, ] h [ f, ] h r Observe que h ) es un vector unitrio. Supong que Ahor, dividiendo pr ( h, h lo podemos epresr como h h que u ( u, u ) h tomndo límite: h h u, donde u entonces h hu (, u) f ((, ) hu) f (, ) h h r lim [ f(, )] [ f (, ) ] lim h h h h h h r lim. h h f ((, ) hu) f (, ) lim [ f(, )] u [ f (, ) ] u h h D f (, ) f (, ) u u Si f es diferencible entonces Con lo cul result: Finlmente

124 Funciones Esclres Ejemplo Se f (, ) SOLUCIÓN:. Hllr D f (, ) u donde u Emplendo lo nterior D f (, ) f (, ) u u Ahor, el grdiente serí: f, f, f,, eemplndo resolviendo D f (, ) f (, ) u (, ), u,,, Ejemplo Se f (, ) sen ( ) f (,). Hllr l derivd de en el punto dirección que v desde este punto l punto Q (, ) SOLUCIÓN: P en l Primero obtengmos u sus derivds prciles en P (,) PQ (,) u, PQ (,) f, cos cos (,) f, cos cos Emplendo l últim definición 6 D f (,) f (,) u ( cos,cos ), cos u Ejercicios propuestos 9. Hlle l derivd direccionl de l función en el punto P en l dirección de Q. ) f (, ), P(,), Q(, ) b) f (, ) cos( ), P(, π), Q(,) π f,, ln, P(,,), Q(,, c) ) d) g(,, ) e, P(,,), Q(,,) n. Ddo el cmpo esclr f tl que f X X, clculr: ) f '( X, v) (Derivd direccionl de f en l dirección de v) : b) Si n, hllr todos los puntos (,) en pr los cules: f ' i j; i j 6 c) Si n, hllr todos los puntos (,) en pr los cules f ' i j k; i j k 6

125 Funciones Esclres. Clcule l derivd de l función f ( ) sen, en el punto (,), en l dirección del vector tngente l prábol en el punto (,) 9. POPIEDADES DEL GADIENTE. El Grdiente es un vector ortogonl los conjuntos de nivel. D f f u D f f u cosθ. De l iguldd ( u ) u tenemos θ ) Si el grdiente el vector unitrio tienen l mism dirección ( entonces l derivd direccionl tendrí el máimo vlor serí: D f u f má Si el grdiente el vector unitrio tienen dirección contrri (θ π ) entonces l derivd direccionl tendrí el mínimo vlor serí: u D f f Ejemplo mín Supong que l distribución de tempertur dentro de un hbitción está dd por : (,,)., donde,, se miden prtir del rincón T,, 5 e ) En qué dirección ument l tempertur con mor rpide? b) Cuál es el vlor máimo? SOLUCIÓN: ) L tempertur umentrá con mor rpide en dirección de su grdiente, es decir: T T T T,, b) El vlor máimo serí u (,,) ( e (), e (, ) e ) (,, ) (,, ) T DT,,,, 7 má 5

126 Funciones Esclres Ejercicios propuestos, de un plc viene dd por: T. Hállese l dirección de mor crecimiento del clor desde el punto (, ).. Se describe l superficie de un montñ medinte l ecución h(, )... Supóngse que un lpinist está en el punto (5,, 9). En qué dirección debe moverse el lpinist en orden scender lo más rápido posible?. Suponer que l tempertur en el punto P(,,) en el espcio está dd por T (,, ) se un prtícul que vij por l helice circulr σ() t ( cos t, sen t, t) se T(t) su tempertur en el punto t.. Cuál es el vlor de T(t)?. 5. Qué dirección debe tomr l prtícul pr vnr hst l región de más bj tempertur?. 6. El Cpitán Améric tiene dificultdes cerc del ldo soledo de Mercurio. L tempertur del csco de l nve, cundo él está en l posición (,,) estrá dd. L tempertur en el punto por T,, e donde,, se miden en metros. Si l nve del Cpitán Améric se encuentr en el punto (,,). 7. En qué dirección deberá vnr pr disminuir más rápido l tempertur? 8. Desfortundmente el csco de l nve se curterá si se enfrí un ts mor de e grdos por segundo. Describir el conjunto de direcciones posible en ls que puede vnr pr bjr l tempertur. 9. VECTOES NOMALES Y PLANOS TANGENTE Cundo se interpretó geométricmente ls derivds prciles, se definió que un vector directri de l rect tngente prlel l plno,en un punto de l superficie f (, ), está ddo por S,, f ( ) ; un vector directri de l rect tngente prlel l plno S,, ( f ). n S S está ddo por S,, ( f ) (,, f (, )) S,, ( f ) f (, ), 6

127 Funciones Esclres Si multiplicármos en cru estos vectores obtendrímos un vector norml l superficie en ese punto i j k S S f f, f, f ( ( ) ( ) ) Por tnto el plno tngente en ese punto tendrí por ecución ( )[ ] [ ] [ ] f f Ejemplo Hllr l ecución del plno tngente l ecución de l rect norml l superficie que tiene por ecución SOLUCIÓN: f(, ) en el punto (,, 5 ). ) L ecución del plno tngente estrí dd por: f, f, 5 [ ] [ ] [ ] Ls derivds prciles serín:, 5 eemplndo f f (, ) (,) 5 (,) 5 ( 5)[ ] [ ] [ 5] 5 5 ( ) ( ) ( ) 5 5 b) L ecución de l rect norml estrí dd por: [ f (, )] t f (, ) t t eemplndo: [ ] 5 t 5t t 5 t 5 5 t 7

128 Funciones Esclres. LA DIFEENCIAL. DEFINICIÓN Se f : U n un función diferencible en U. Entonces pr cd U se tiene: f f f ( h) f d d r A l prte f f d d Se le denomin diferencil de, se l denot como df.. APOXIMACIONES Si se dice que f df, entonces tenemos: [ ] ( ) f, f, f, d f, d Como d d Tenemos l formul de proimción: [ ( )] ( ) f, f, f, f, Ejemplo.98 Aproimr el vlor de (, 8) SOLUCIÓN: f Utilicemos l función (, ) tomemos: ( por qué? entonces.8 entonces. Ls derivds prciles serín: f ( ) (, ), (,) f, ln Emplendo l formul de proimción: 8

129 Funciones Esclres (, ) (, ) [ (, )], (.8;.98) (, ) [ (, ) ].8 (, ) (.) f f f f f f f f.98 (.8) [ ].8 [ ](.) CALCULO DE EOES El error en un función se lo puede considerr como l vrición de l función, entonces tenemos que: Ejemplo f f f El rdio r l ltur h de un cilindro circulr recto se miden con un posible error del % % respectivmente. Aproime el error porcentul l clculr el volumen. SOLUCIÓN: El volumen de un cilindro circulr recto está ddo por: V π r h Se sbe que los errores porcentules en ls mediciones de r h son del % %, por tnto ± r r ± h h. V V Por otro ldo V r h r h eemplndo: ( π )( ) ( π )( h) V rh r r V V π r h ( ) Por tnto el error porcentul del volumen serí : V % V Ejercicios propuestos. Clculr proimdmente ).. b) [ ] / c) (.) [(.98 ) (.5 ) / ] -/ 9

130 Funciones Esclres. Clcule l longitud del segmento de rect.,. 95 que se encuentr entre l superficie 5 su plno tngente en el punto (,,6).. Clcule el vlor proimdo de l función f (, ) en el punto (.,.9). Dos ldos de un triángulo miden 5 mts. Y el ángulo que formn es de 6º. Sbiendo que los errores probbles en l medición es de. mts. en l medid de los ldos de º en l del ángulo. Determine el máimo error probble que se puede cometer l evlur su áre. Determine tmbién el error en porcentje. 5. L ltur de un cono es h cm, el rdio de su bse cm. Cómo vrirá el volumen de dicho cono si H se ument mm se disminue mm?. DEFINICIÓN GENEAL DE DIFEENCIAL n Se f : U m. Se dice que f ( f, f,, fm ) es diferencible en U si sólo si f Df r es un buen proimción de f en un vecindd de ; es decir: f ( h) f Df r r Y se cumple que lim. h h A Df ( ) se le llm MATIZ DIFEENCIAL O JACOBINA se define como: f f f n f f f n Df ( ) fm fm fm n Ejemplo Se f :, tl que f (, ), entonces: (, ) [ 6 ] Df f f

131 Funciones Esclres Ejemplo Se, tl que f (,, ) (,,, ) f : Df (,, ), entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). EGLA DE LA CADENA. n m p n Se f : U se g : V. Si g es diferencible en diferencible en g( ), entonces: D f ( g ( )) [ Df ] [ Dg] g f es Ejemplo Se f :, tl que f (, ) ( t,cos ) g t e t ; entonces: se dg f f dt D ( () t f g ) [ Df ] () [ Dg] gt t t ( e,cost) dg dt t d( e ) [ 6] dt ( t ) t 6cos e,cost g :, tl que d ( cost) dt t t e e 6cost sent e En términos sencillos, si tenemos f (, ) donde () t ( t), entonces: d df d d dt dt dt dt tsent ( () t, () t )

132 Funciones Esclres Ejemplo Se f, donde t SOLUCIÓN: d dt d dt ( t) ( ) Poniendo todo en función de t d t dt d ( t )( t) ( t) dt d dt d t, hllr dt t 8t Ejemplo Se f :, tl que f (, ) g ( uv, ) ( uvu, v) ; entonces: se g g f f u v D ( g ( u, v) f ) [ Df ] [ Dg] guv, ( uv, u v ) g g u v g : ( uv) ( uv) u v uv, u v ( u v ) ( u v ) u v v u uv( u v ) ( uv) ( u v ) u v, tl que uv ( u v ) 6u v ( u v ) u v( u v ) 9u v ( u v ) u v Y Por lo tnto, si tenemos f (, ) ( uv, ), entonces: u u u v v v donde ( uv, ) ( ( uv, ), ( uv, )) ( ( uv, ), ( uv, )) Ejemplo f,, Se f Hllr: u SOLUCIÓN: donde f v. uv, u v 5, u

133 Funciones Esclres ) b) f f f f u u u u ( uv,5u v, u ) ( 6)( v ) ( u) ( u ) uv,5u v, u ( uv )( v ) ( u v )( u) ( u )( u ) uv u uv 6u 5 f f f f v v v v ( uv,5u v, u ) ( 6)( 8uv) ( v) uv,5u v, u ( uv )( uv) ( u v )( v) uv uv v Ejemplo 5 Se f :, tl que f (,, ) (,,, ) tl que g( u, v, w) ( u v, uv w, e uw ) D f g se, hllr [ ] (,,) Solución: D f g Df Dg [ ] (,,) [ ] g(,,) [ ] (,,) Ahor bien g e,,,,,, eemplndo: D f g Df Dg [ ] [ ] [ ],, g,, (,, ) uv u vw uvw uv uw uw we ue,,,, u v w ()() () ( ) () (),, ()() () g : e e () ()(),,, u v w

134 Funciones Esclres Ejemplo 6 Demostrr que f (, ) stisfce l ecución Solución: f u, v donde u, v Ls derivds prciles de primer orden serín: u v u v u v u v () u v u v Hllemos u v u v Ahor, hllemos eemplndo () u v u v u vu uv v u vu uv v () () u vu v u v u v u v u v u v u u v v () () u vu uv v u vu v u v u v u v u v 5 5 u v En l últim epresión, dividiendo pr 5 cmbindo de vrible u v, se comprueb lo que pretendímos.

135 Funciones Esclres Ejercicios propuestos. Hllr. Se, si t t, donde e, lnt. sent f (, ) ln donde encuentre ( t ). L demnd de cierto producto es Q(, ) uniddes por mes, donde es el precio del producto e el precio de un producto competidor. Se estim que dentro de t meses el precio del producto será, 5t dólres por unidd mientrs que el precio del producto competidor será,8,t dólres por unidd. ) A qué rón cmbirá l demnd del producto con respecto l tiempo dentro de meses? b) A qué rón porcentul cmbirá l demnd del producto con respecto l tiempo dentro de meses?. Supong que cundo ls mnns se venden CENTAVOS PO LIBA los pnderos gnn DÓLAES PO HOA, el precio de los psteles de mnn en el supermercdo locl es (, ) df dt p DÓLAES PO PASTEL. Supong demás que dentro de t MESES, el precio de ls mnns será 8t CENTAVOS PO LIBA que los sueldos de los pnderos serán,96, t 6 DÓLAES PO HOA. Si el supermercdo puede vender Q( p) PASTELES p PO SEMANA cundo el precio es p DÓLAES PO PASTEL, qué rón CAMBIAÁ l demnd semnl Q con respecto l tiempo dentro de dos meses? 5. Hllr, u, si f ( u, v), donde u. v e u sen v u cosv : g ( X) f ( X) f ( clculr l mtri jcobin pr g ( X ), donde f ( X ) 6. Hllr,, si rctg, donde. u v 7. Se f, un función diferencible se 8. Demostrr que si u φ ( ) u u. ϕ ψ 9. Sbiendo que ), donde,, encuentre Z, Z : u v u v uv u v b) e uv e uv c) ucos v usen v cv, c I n. Se l función:. Hllr k k. Demuestre que u(, ) u u u. e ( e e ) d sen X ) ; cosϕcosψ cosϕsenψ, entonces senϕ stisfce l ecución diferencil prcil 5

136 Funciones Esclres. Se F (, ) f(, ) que f (, ) (, ) v,, donde f : es diferencible. Supong. Determine l derivd de l función F en el origen en l dirección del vector. Se f (, ) con derivds prciles de segundo orden continus: ) Si r s, rs determine,, r s s r b) Si s t, s t demuestre que: s t d d. Trnsforme l ecución d d, poniendo. t 5. Trnsformr l ecución d, psndo ls coordends polres: d rcos ϕ, rsenϕ. 6. Tomndo u, v, como nuevs vribles independientes trnsformr l siguiente ecución: ( ), si u ln ; v rctg 7. Trnsformr l ecución, tomndo como nuevs vribles independientes u, v, como nuev función w. 8. Trnsformr l ecución ϕ ϕ ϕ psándol en coordends ϕ ρsenφcosθ esférics ρsenφsenθ, ϕ? en coordends esférics. ρcosφ. DEIVACIÓN IMPLICITA Supong que se tiene F(, ), un ecución implícit pr un lugr geométrico de. Obteniendo diferencil mbos miembros de l ecución Despejndo, se obtiene: d d ( (, )) D[ ] D F Fd Fd F F 6

137 Funciones Esclres Ejemplo. Se Solución:, hllr En este cso tenemos d emplendo derivds prciles. d F, Emplendo l formul: d F d F Supong que se tiene F,,, un ecución implícit pr un lugr geométrico de. Obteniendo diferencil mbos miembros de l ecución Si queremos ( (,, )) D[ ] D F Fd Fd Fd eemplndo despejndo se obtiene: d, debemos considerr constnte, por tnto. F F d d Si queremos, debemos considerr. eemplndo despejndo se obtiene: Si queremos F F, debemos considerr. eemplndo despejndo se obtiene: F F constnte, por tnto constnte, por tnto Ejemplo Se e sen( ) Solución:, hllr. En este cso tenemos F (, ) e sen( ) Emplendo ls formuls: 7

138 Funciones Esclres ( ) ( ) e F cos F e cos F e sen F e cos Por otro ldo, supong que se tiene un superficie cu ecución está F,,, el vector norml que estb ddo de est form n,,, hor puede ser ddo de otr form. dd en form implícit eemplndo: Multiplicndo por : F F n,, F F F n ( F, F, F) Ejercicios Propuestos. Hllr, emplendo derivds prciles, pr: ) 6 8 b) ( 5 e ). Hllr en 8. Determine l derivd direccionl de l función u f (,, ) implícitmente por u definid u e en el origen de coordends en l v (,, ) dirección del vector. En el tiempo t se ln un prtícul desde el punto (,,) sobre l superficie 6 en un dirección norml l superficie, con un rpide de uniddes por segundo. En qué instnte en qué punto cru l esfer 5. Demuestre que el plno tngente l cono b ps por el origen. 6. Demuestre que culquier rect norml un esfer ps por su centro. 7. Demuestre que el plno tngente l elipsoide en el punto b c (,, ) puede escribirse en l form. b c 8. Demostrr que los plnos tngentes l superficie: interceptn los ejes coordendos en segmentos cu sum es constnte. 8

139 Funciones Esclres 9. Encuentre un punto de l superficie, donde el plno tngente es perpendiculr l rect cus ecuciones prmétrics son: t; 8t; 6t. Demostrr que el elipsoide 9 l esfer son tngentes en el punto (,,).. Hllr l ecución de l rect tngente ls superficies e en el punto (,,).. En qué puntos el grdiente de l superficie u es : ) perpendiculr l eje. b) Es prlelo l eje.. Encontrr l ecución de l rect tngente l curv intersección de ls superficies π φ ρ cscφsecθ en P(,, 8 ). 9

140 Etremos de Funciones Esclres POLINOMIOS DE TAYLO EXTEMOS DE FUNCIONES 5.. ESCALAES EXTEMOS CONDICIONADOS 5.. ( Multiplidores de Lgrnge) Objetivos. Se persigue que el estudinte: Encuentre Polinomios de Tlor pr funciones de dos vribles. Optimice funciones de dos tres vribles sin restricciones con un dos restricciones de iguldd

141 Etremos de Funciones Esclres 5. POLINOMIOS DE TAYLO En el cpitulo nterior se mencionó que si f es un función f Df diferencible entonces buen proimción de l función en l vecindd de, es decir: f f Df Pr funciones de dos vribles tenemos: (, ) (, ) f f f Un polinomio de primer orden: f (, ) debe ser un (, ) (, ) (, ) f (, ) [ ] [ ] f f f r Ejemplo. Se f (, ) sen en l vecindd de (, ). SOLUCIÓN: En este cso tenemos:. Hllr el polinomio de Tlor de Primer orden f f f (, ) f (,) r Ls derivds prciles, serin: f (, ) cos( ) (,) f (, ) cos( ) (,) ( ) [ ] [ ] sen r (, ) (, ) [ ] [ ]

142 Etremos de Funciones Esclres es: 5.. Polinomio de Tlor de segundo orden. Pr función de un vrible el polinomio de Tlor de segundo orden [ ] [ ] f f f f r Hciendo nlogí pr funciones de vris vribles f f Df D Df r donde ( ) D Df seri l mtri diferencil de l mtri diferencil, es decir l mtri de segund derivds, l cul se l denomin mtri H f se l define de l siguiente mner: Hessin, se l denot por H ( f ) f f f f f f f f f f f f n n n f f f f n f f f f n n n n n Si f es un función de dos vribles, l mtri Hessin serí: f f H( f (, ) ) f f Si f es un función de tres vribles, l mtri Hessin serí: f f f H ( f (,, ) ) f f f f f f Bien, el polinomio de Tlor de segundo orden pr funciones de dos vribles seri: f f f f f (, ) f(, ) [ ] r f f,, T

143 Etremos de Funciones Esclres Ejemplo. Se f(, ) e vecindd de (,). Hllr el polinomio de Tlor de segundo orden en l SOLUCIÓN: En este cso tenemos f f f (, ) f(,) f f [ ] r (,) f f (,) Ls derivds prciles de primer orden serin: (,) (,) f, e f, e Ls derivds prciles de segundo orden serin f, 9e 9 (,), 6 6 (,) f e f, (,) f, e eemplndo resolviendo: 9 6 f (, ) [ ] [ ] r 6 f (, ) [ ] r f (, ) ( ) r 9 f (, ) 6 r L formul de Tlor de segundo orden puede ser usd en form direct: f f f f f f r (, ) (, ) [ ] (, ) f f (, ) (, ) (, ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] f (, ) f(, ) f [ ] f [ ] f [ ] f [ ][ ] f [ ] r f f f f f f f f r

144 Etremos de Funciones Esclres Ejercicios propuestos 5.. Determinr el polinomio de Tlor de segundo orden pr l función lrededor del punto indicdo: ) f (, ) ( ),, b) f (, ) e,,,, sen cos,, c) f ( ) e cos,, d) f ( ) e) ( f e ),,,. Obteng un desrrollo de Tlor de segundo orden pr: f (, ),, Luego utilice el resultdo pr hllr el vlor proimdo de f (.,.).. Aproime ln(.85 ) con l formul de Tlor de segundo orden. Se f (,) 5, f (,), H (,). Obteng el vlor proimdo pr f (.99,.98) 5. EXTEMOS DE FUNCIONES ESCALAES 5.. DEFINICIÓN n Sen f : U, U, Bn (, ).. f ( ) es un vlor MÁXIMO LOCAL f en B n, si f f ( ), Bn.. f ( ) es un vlor MÍNIMO LOCAL de f en B n, si f f ( ), Bn.. Si f ( ) es tl que en su vecindd, en cierts direcciones h un máimo en otrs un mínimo, entonces se llm PUNTO DE SILLA. Bien, están definidos los etremos, hor debemos definir cómo encontrrlos. Igul que pr función de un vrible deberán eistir puntos cndidtos ser etremos. L morí de ls funciones son diferencibles por tnto nos regiremos l estudio de este tipo de funciones. 5

145 Etremos de Funciones Esclres 5.. TEOEMA (Condición necesri pr l eistenci de etremos locles) n Sen f : U, un función diferencible, se U. Si en, f ( ) tiene un etremo locl entonces f ( ). A tl que f se lo llm PUNTO CÍTICO ESTACIONAIO. Lo nterior quiere decir que los etremos se producen necesrimente en los puntos críticos, igul que pr función de un vrible. Entonces los primeros que debemos hcer es obtener los puntos críticos luego clsificrlos en máimos, mínimos o ninguno. Pr función de un vrible, emplendo el criterio de l segund derivd, tenímos que si est es positiv en un punto crítico estcionrio entonces estmos nte un mínimo;, si l segund derivd es negtiv entonces tenemos un máimo. Esto es debido que según Tlor de segundo orden l función se proim medinte un prábol cu concvidd depende justmente del signo de l segund derivd: [ ] [ ] f f f f Pr funciones de vris vribles, podemos tmbién hcer uso de l formul de Tlor de segundo orden. Supong que tenemos un función diferencible que su grdiente se nul en un punto f f f H f Análogmente, hor debemos nlir l mtri Hessin pr clsificr los etremos. T 6

146 Etremos de Funciones Esclres 5.. TEOEMA (Condición suficientes pr l eistenci de etremos) n Se f : U, supong que es un punto tl que f ( ), supong que f tiene derivds prciles se segundo orden continus, entonces:. Si l mtri Hessin H f ( ) es definid POSITIVA (todos sus vlores propios son positivos) entonces f ( ) es un vlor MÍNIMO de f.. Si l mtri Hessin ( ) H f es definid NEGATIVA (todos sus vlores propios son negtivos) entonces f ( ) es un vlor MÁXIMO de f.. Si l mtri Hessin ( ) DEFINIDA H f es SEMI- POSITIVA (vlores propios no negtivos) entonces f ( ) PUEDE ser un vlor MÍNIMO de f.. Si l mtri Hessin ( ) H f es SEMI- DEFINIDA NEGATIVA (vlores propios no positivos) entonces f ( ) PUEDE ser un vlor MÁXIMO de f. 5. Si l mtri Hessin ( ) H f es NO DEFINIDA (vlores propios no positivos no negtivos) entonces f ( ) es un PUNTO DE SILLA de f. Obtener los vlores propios de l mtri Hessin puede resultr un tre dificultos por tnto, podemos utilir otro mecnismo que lo vmos ir 7

147 Etremos de Funciones Esclres indicndo primero pr dos vribles, luego pr tres hst llegr generlirlo. 5.. TEOEMA Se f (, ) un función dos veces diferencible en U, se (, ) U un punto crítico estcionrio de f. Defínnse ls mtrices: f f H [ f ] (, ), H H f f (, ) Entonces:. Si H > H >, entonces f (, ) es un MÍNIMO de f en U.. Si H < H >, entonces f (, ) es un MÁXIMO de f en U.. Si H <, entonces f (, ) es un PUNTO DE SILLA de f en U.. Si H, no se puede concluir. Ejemplo Hllr los etremos pr SOLUCIÓN: f (, ) PIMEO se encuentrn los puntos críticos, cndidtos ser etremos. δf δ Ls derivds prciles pr f (, ) son: δf δ El sistem d como resultdo Por tnto tenemos en este cso un sólo punto crítico ( ) (,), SEGUNDO Clsifiquemos el punto crítico: f Ls segunds derivds prciles son: f f f 8

148 Etremos de Funciones Esclres L mtri Hessin en este cso es: δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ (,) f f f f H Ahor, como > H > H concluimos que en h un vlor mínimo pr l función, que serí: (,) (,) f Mín Ejemplo Hllr los etremos pr f 6 ), ( SOLUCIÓN: PIMEO: Pr hllr los puntos críticos, tenemos: Ls derivds prciles son: f f 6 6 esolviendo el sistem tenemos: 6 6 En l segund ecución se obtiene l reemplrlo en l primer ecución encontrmos los vlores de, es decir : 6 6 Luego; si entonces ;, si entonces Es decir, quí tenemos dos puntos críticos,,. SEGUNDO: Clsificndo los puntos críticos Ls segunds derivds prciles son: f f f f L mtri Hessin en este cso es: δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ f f f f H L mtri Hessin pr el punto es:,) ( 6 6 6() 6 6 6() H 9

149 Etremos de Funciones Esclres 6 Como H 6 < concluimos que (,) h un punto de sill. 6 6() 6 6. L mtri Hessin pr el punto (, ) es: H Como H > H 6 > entonces en (, ) 6 h un vlor Mínimo pr l función, es: f MIN (, ) 6() 8 Ejemplo Un supermercdo vende tipos de cerve. Un mrc locl que se obtiene un costo de c/ cd lt un mrc ncionl que se obtiene un costo de c/ por lt. El tendero clcul que si l de mrc locl se vende "" centvos por lt l de mrc ncionl " " centvos por lt, se venderán cd dí proimdmente 7 5 lts de l mrc locl lts de l mrc ncionl. Qué precio deberí fijr el tendero cd mrc pr mimir ls utiliddes? SOLUCIÓN: Con l informción proporciond determinmos l función utilidd U I C U U [ (7 5 ) (8 6 7) ] [ ( ) (7 5 ) ( ) (8 U Ls derivds prciles pr l función Utilidd son: U U (7 5 ) (8 6 7) 6 7) U Pr los puntos críticos hcemos es decir U Despejmos en l primer ecución: ( ) eemplmos en l segund ecución: Luego 55 5 Por tnto, tenemos un sólo punto crítico P(5,55) U L mtri Hessin es H U U U 55 5,55 Como H < H > entonces utiliddes máims se producirán cundo 5 55 ]

150 Etremos de Funciones Esclres Pr el cso de tres vribles tenemos: TEOEMA Se f un función dos veces diferencible en U, se,, U un punto crítico estcionrio de f. Defínnse ls mtrices: f f H, [ f] (,, ), H f f (,, ) f H H f f f f f f f f (,, ) Entonces:. Si H > H > H >, entonces f (,, ) es un MÍNIMO de f en U.. Si H < H > H <, entonces f (,, ) es un MÁXIMO de f en U. Ejemplo Hllr los etremos pr f (,, ) SOLUCIÓN: PIMEO determinmos los puntos críticos estcionrios. f f Ls derivds prciles son: 8 f esolviendo el sistem simultáneo 8 tenemos: Despejndo " " en l segund ecución result. 8 Despejndo " " en l tercer ecución result. Luego reemplndo " " " " en l primer ecución, encontrmos " ", es decir:

151 Etremos de Funciones Esclres 8 8 Por lo tnto 8 8 H un solo punto crítico P(,,) SEGUNDO: Clsificndo el punto crítico. f f L mtri Hessin serí: H f f f f f f f,, De quí tenemos: H [] H H H 8 8 Clculndo los determinntes tenemos: H > H > H H 8 5 > 8 Por lo tnto, se conclue que en el punto f (,,) f min 8 P(,,) se produce un mínimo, cuo vlor es: Pr el cso de n vribles, tenemos: TEOEMA Se l Función Objetivo w f (,,,, n ), dos veces diferencible. Supong que se obtiene el punto crítico estcionrio (,,,, ) Defínnse ls mtrices: H n f f f f f f, H, H f f f f f f f f, Hn H Entonces:.- Si H > H > H > Hn >, entonces en (,,,, n ) l función tiene un MÍNIMO.

152 Etremos de Funciones Esclres.- Si H < H > H < ( ) n Hn >, entonces en (,,,, n ) l función tiene un MÁXIMO. Ejercicios propuestos 5.. Determine clsifique los puntos críticos de : ) f (, ) b) f (, ) c) f (, ) f (, ) ln( d) ) (, ) e) f ( 8 ) ( ) f) f (, ) ln( ) g) f (,, ) h) f (,, ). Determine el máimo mínimo bsolutos de l función sen sen( ) región π, π.. Determine los puntos críticos de (, ) ln( ) sen en l π π esp., Máimo locl t f dt t. Un compñí de teléfonos plne introducir dos nuevos tipos de sistems de comunicciones. Se clcul que si el primer tipo de sistem se vlor en cientos de dólres por sistem el segundo tipo en cientos de dólres por sistem, proimdmente 8 5 consumidores comprrán el primer tipo comprrán el segundo tipo. Si el costo de fbricción del primer tipo es de $ por sistem el costo del segundo tipo es $ por sistem. Qué precio deberí fijr l compñí de teléfonos los sistems pr generr l máim utilidd posible?. 5. Supong que un empres monopolist tiene ls siguientes funciones de precio P 6 Q P 5 5Q P 75 6Q Q Q Q, l función de costo totl C 5Q Q donde Q. Determine los niveles de demnd que hg máimo el beneficio. 6. Pr los productos A, B C de un monopolist l función costo está dd por C( p A, pb, pc ) pa pb pc pa pb pc pa donde p A, pb, pc son los precios de los productos. Encuentre los precios que minimicen el costo.

153 Etremos de Funciones Esclres 5. EXTEMOS CONDICIONADOS ( Multiplidores de Lgrnge) En muchs ocsiones nos enfrentremos situciones de optimición cundo ls vribles independientes deben ser tomds de un subconjunto de su dominio. Es decir presentn restricciones 5.. TEOEMA. Criterio pr estblecer etremos con un restricción en funciones de dos vribles Supong que se dese optimir l función de dos vribles f, dos veces diferencible, sujet l restricción o ligdur g(, ) k, donde k es un constnte. Defínse l Función Lngrgin L( λ,, ) f(, ) λ[ g(, ) k] donde λ es llmdo Multiplicdor de Lgrnge. Supong que se obtiene el Punto crítico (,, λ ) de l Función Lngrgin. Defínse el Hessino Orldo, como l mtri: L L L g g λλ λ λ H Lλ L L g L L Lλ L L g L L (,, λ ) Entonces:. Si H > entonces en (, ) l función f tiene un MÁXIMO.. Si H < entonces en (, ) l función f tiene un MÍNIMO.

154 Etremos de Funciones Esclres Ejemplo Hllr los vlores máimos mínimos de f ), (, sujeto que 8 SOLUCIÓN: En este cso. Por tnto l función Lngrgin serí: ), ( g [ ] [ ] 8 ), ( ), ( ),, ( λ λ λ k g f L λ λ λ λ λ 8 ), ( k g L g f L g f L Despejndo en ls dos primers ecuciones, e igulndo se obtiene: λ ± λ λ eemplndo en l tercer ecución, result: 8 8 Por tnto: Es decir, eisten cutros puntos críticos:,,), (, ), ( ), (. Hllemos el Hessino Orldo λ λ L L g L L g g g H Y como λ, se tiene H Ahor clsifiquemos los puntos críticos:.- Pr tenemos: (,) H Entonces, como 6 (8) 8) ( > H se dice que ()(),) ( f es un MÁXIMO..- Pr tenemos: ), ( H Ahor, como 6 (8) (8) < H se dice que ) ()( ), ( f es un MÍNIMO..- Pr se tiene: (,) H 5

155 Etremos de Funciones Esclres Ahor, como H ( 8) ( 8) 6 < se dice que f (,) () es un MÍNIMO..- Pr (, ) se tiene: H Entonces, como H (8) ( 8) 6 > se dice que f (, ) ( ) es un MÁXIMO. Ejemplo A un editor se le hn signdo $6, pr invertir en el desrrollo l promoción de un nuevo libro. Se clcul que si se gstn "" miles de dólres en desrrollo " " miles en promoción se venderán proimdmente f (, ) ejemplres del libro. Cuánto dinero debe signr el editor desrrollr cuánto promoción pr mimir ls vents? SOLUCIÓN: En este cso l Función objetivo serí 6 f (, ) sujet l restricción L función Lngrgin serí: L ( λ,, ) λ( 6) Pr obtener los puntos críticos, hcemos: L L L λ 6 λ() λ() λ λ Igulndo ls dos últims ecuciones, result: 6 Lo último lo reemplmos en l primer ecución se obtiene: 5 Por tnto: (6) 6. Es decir, eiste sólo un punto crítico: (6,) El Hessino Orldo serí: H 5 Y pr el punto (6,) es: H

156 Etremos de Funciones Esclres Como el determinnte es: H ( 8) () >, concluimos que el editor debe invertir $6 en desrrollo $ en promoción pr obtener ls máims vents. Ejemplo Un consumidor tiene $6 pr gstr en rtículos, el primero de los cules tiene un vlor de $ / unidd el segundo $ / unidd. Si l utilidd obtenid por el consumidor de " " uniddes del primer rtículo " " uniddes del segundo está dd.6. por f (, ). ) Cuánts uniddes de cd rtículo deberí comprr el consumidor pr mimir su utilidd? SOLUCIÓN: En este cso l función Objetivo es 6. L función Lngrgin es L( λ,, ).6. f (, ) sujet que L( λ,, ) f (, ) λ( g(, ) k).6. λ( 6) Obteniendo los puntos críticos tenemos: Lλ L 6 λ λ L λ λ () 5( ) 5 9 eemplndo en l primer ecución (l estricción), tenemos: Y como entonces 8. 9 Por lo tnto result el punto crítico (8,8). Pr clsificr el punto crítico, clculmos el Hessino Orldo:.. H (8) (8) (8,8).(8) (8)..6.(8) (8).6.6.(8) (8) Como H > entonces el consumidor, pr obtener ls máims utiliddes, debe comprr 8 uniddes del primer rtículo 8 uniddes del segundo rtículo. 7

157 Etremos de Funciones Esclres Ejemplo Un fbricnte plne vender un nuevo producto $5 l unidd estim que si se invierten "" miles de dólres en desrrollo "" miles en promoción, los 5 consumidores comprrán uniddes del producto, proimdmente. Los 5 costos de fbricción de este producto son $5 por unidd. ) Cuánto deberí invertir el fbricnte en desrrollo cuánto en promoción pr generr l máim utilidd posible, si dispone de fondos ilimitdos? En este cso hbrá que formr l Función Objetivo, que es l Utilidd: U Ingresos Costos Inversión [ ] 5 5 U U (, ) 5 El punto crítico, sin restricciones, será: 5 U ( 5) 5 U ( 5) 5 5 ( 5) 5 5( 5) ( 5) 5 ± 5 ( ) U 5 ( ) U ( ) 5 5 ( ) 5 5( ) ( ) 8 Compruebe que en el punto crítico (5,8) se produce un máimo (Hessino). Es decir que el fbricnte deberí invertir $5 en desrrollo $8 en promoción del nuevo libro pr obtener ls máims utiliddes. b) Si el fbricnte sólo tiene $, pr invertir en el desrrollo l promoción del nuevo producto. Cómo deberí distribuirse este dinero pr generr l máim utilidd posible? Pr este cso tenemos l mism Función Objetivo 5 U (, ) 5 pero hor sujet l restricción de que. Trbjmos hor con l función Lngrgin 5 L ( λ,, ) λ( ) 5 Encontrndo los puntos críticos, tenemos: Lλ L λ ( 5) L λ ( ) Igulndo ls dos últims ecuciones, result: ( 5) ( ) / ( ) 5 / ( 5) 8

158 Etremos de Funciones Esclres eemplndo Entonces: 7 en l restricción, tenemos: 8 Compruebe que en el punto crítico (,7) se produce un máimo. (Hessino Orldo). Por tnto, cundo sólo h $ pr inversión, hbrá que distribuirlos de l siguiente mner pr obtener ls máims utiliddes: $ en desrrollo $7 en l promoción del nuevo libro. Ejemplo 5 Hllr l menor distnci entre l elipse de ecución ecución. 9 l rect de SOLUCIÓN: El problem lo resolveremos definiendo l distnci entre un punto de l elipse l rect. d (, ) 9 Entonces, l función objetivo serí d sujet que g : 9 d g λ λ g 5, es dcir: lo cul d d g λ λ 5 Igulndo simplificndo result: Ahor d λ eemplndo en l restricción: 9 ( ) 9 ± De cuerdo l posición, observe el dibujo, tommos el positivo. (En otro cso hbrí que probrlo) Entonces Hemos hlldo ls coordends del punto de l elipse que d l mínim distnci, por tnto 7 est distnci mínim será: dmin

159 Etremos de Funciones Esclres Ejercicios Propuestos 5.. Encuentre los etremos de l función f (, ) sujet que 6. Mimir f (, ) sujet que esp. ( 5,5) ; 5 f má. Encuentre los etremos de l función f (, ) sujet que. Emplendo multiplicdores de Lgrnge, hlle l distnci mínim de l rect con ecución l origen. esp. d min 5. Emplendo multiplicdores de Lgrnge, hlle l distnci mínim de l circunferenci con ecución l origen. esp. d 6. Emplendo multiplicdores de Lgrnge, hlle l distnci mínim de l punto de coordends (, ) esp. min d min Los cursos de dos ríos (dentro de los límites de un región determind) representn proimdmente un prábol, un rect. H que unir estos ríos por medio de un cnl rectilíneo que teng l menor longitud posible. Porqué puntos hbrá que trrlos?. esp. Prábol,, rect 5, Hllr l distnci mínim entre esp. elipse 8, 6 6 ; d min En un esfer de rdio inscribir un cilindro cu superficie se máim. esp. r, h ( 5 ) Clculr l superficie totl del cilindro de máimo volumen inscrito en un esfer de rdio. A π esp. U q. Dds ls ecuciones de utilidd presupuestl de un consumidor q. Determine los q q vlores de q q que mimin l utilidd del consumidor.. L relción entre ls vents "S" ls cntiddes "" "" gstds en dos medios de publicidd está dd por S. L Utilidd net es de ls vents menos el gsto en publicidd. 5 5 El presupuesto pr publicidd es de $5. Determine cómo debe signrse este presupuesto entre los dos medios pr mimir l utilidd net.. Un empres de computdors tiene un presupuesto mensul publicitrio de $6,. Su deprtmento de vents estim que si se gstn " " dólres cd mes en publicidd en periódicos " " dólres cd mes en publicidd por televisión, ls vents mensules estrán dds por S 9 dólres. Si l utilidd es el % de ls vents menos el costo de l publicidd, determine cómo signr el presupuesto publicitrio pr mimir l utilidd mensul. Compruébelo utilindo el Hessino Orldo.

160 Etremos de Funciones Esclres. Usndo L uniddes de mno de obr K uniddes de cpitl, un empres puede elborr P uniddes de su producto, en donde P ( L, K) 6 5( L K ). Los costos de l mno de obr de cpitl son de $ $ por unidd. Supong que l empres decide elborr 5 uniddes. Hlle el número de insumos de mno de obr de cpitl que deben emplerse con objeto de minimir el costo totl. 5. En un tller de mecánic se reprn tipos de utos A. L función de trbjo conjunto está ddo por: f (, ), donde e represent el números de utos por dí del tipo A B reprdos, respectivmente. Pr minimir el trbjo, cuántos utos de cd tipo deben reprrse, si dirimente se puede reprr 8 utos? 6. Un compñí puede destinr su plnt l elborción de dos tipos de productos A. Obtiene un utilidd de $ por unidd de A de $6 por unidd de B. Los números de uniddes de los dos tipos que pueden producir medinte l plnt están restringidos por l ecución del trnsformción del producto: Con los números de uniddes (en miles de dólres) de A B respectivmente, producidos por semn. Hlle ls cntiddes de cd tipo que deben producirse fin de mimir l utilidd. 7. Si un empres gst " " miles de dólres en publicidd en l ciudd A, sus vents potenciles (en miles de dólres) en tl ciudd están dds por. Si gst " " miles de dólres en l 5 ciudd B, sus vents potenciles (en miles de dólres) en tl ciudd son. Si l utilidd es.5 del 5% de ls vents l empres dispone de un restricción del presupuesto de 65 destindos publicidd en ls dos ciuddes. Cuánto deberá gstr en cd ciudd con objeto de mimir l utilidd net de l empres? Utilice el Hessino Orldo pr verificr los resultdos. B B 5.. TEOEMA. Criterio pr estblecer etremos con un restricción en funciones de tres vribles Supong que se dese optimir l función de tres vrible f, dos veces diferencible, sujet l restricción g(,, ) k. Defínse l Función Lngrgin L( λ,,, ) f(,, ) λ[ g (,, ) k) ] Supong que se obtiene el Punto Crítico (,,, λ ) en l Función Lngrgin. Defínse el Hessino Orldo, como l mtri: g H g g g g Sen H g L L g L L g L L L g L L L g L L L (,, λ), H H

161 Etremos de Funciones Esclres Entonces. Si H > H < entonces en (,, ) l función f tiene un MÁXIMO.. Si H < H < entonces en (,, ) l función f tiene un MÍNIMO. Ejemplo Encuentre los etremos de f (,, ) 5 9 sujet que 5. SOLUCIÓN: L función Lngrgin es: L ( λ,,, ) 5 λ( 5) Pr el punto crítico obtenemos: Lλ 5 L λ( ) L 5 λ( ) L 9 λ( ) Multiplicndo por, respectivmente ls tres últims ecuciones, despejndo, result: eemplndo en l restricción: De donde : 5 λ 9 λ λ Pr este cso λ λ 5 5 Por lo tnto h un solo punto crítico: ( 5,, ) el Hessino Orldo serí: 5 9 H λ λ λ λ λ λ 5 5 λ De quí tenemos: H Los determinntes serí: H < H H 675 <

162 Etremos de Funciones Esclres Por tnto en ( 5,, 5 ) l función tiene un mínimo. Ejemplo Se quiere construir un cj rectngulr biert cuo volumen se de cm, Cuáles deben ser ls dimensiones de l cj pr utilir l menor cntidd de mteril posible? SOLUCIÓN: Hciendo un esquem En este cso l función objetivo es el áre totl : A Y l restricción será el volumen: V cm Yendo un tnto más rápido podemos plnter que A λ ( V ) T Porqué? AT V λ AT V O lo que es lo mismo λ AT V λ Entonces, tenemos: λ λ λ Multiplicndo por,, respectivmente: λ λ λ Igulndo: Aquí tenemos dos ecuciones, que pueden ser: T

163 Etremos de Funciones Esclres Tomndo l primer: Tomndo l segund: eemplndo en l restricción: Por tnto Ejemplo Hllr el volumen máimo de un sólido rectngulr que tiene l propiedd de que l sum de ls áres de ls seis crs es 6. SOLUCIÓN: Semejnte l nterior, pero en este cso l función objetivo es el volumen: V sujeto que A 6 T Igulmente, podemos plnter rápidmente V λ A, es decir: ( ) λ λ λ Multiplicndo por,, respectivmente: Igulndo: λ λ λ Aquí tenemos dos ecuciones que pueden ser: Tomndo l primer: T Tomndo l segund ecución: eemplndo en l restricción

164 Etremos de Funciones Esclres Lo que quiere decir que ls dimensiones de l cj deben ser igules, pr obtener un volumen máimo, cuo vlor es Vmá. Ejemplo Hllr l ecución del plno que contiene l punto (,, ) en el primer octnte que forme con los plnos coordendos un tetredro que teng el menor volumen posible. SOLUCIÓN: Esquemáticmente tenemos: c (,, ) b En este cso l función objetivo es el volumen del tetredro: V bc 6,, pertenec l plno, es decir debe stisfcer su ecución: Sujeto que el punto, est debe ser su restricción g ( bc,, ) b c Plntendo rápidmente: V g λ V g λ b b V g λ c c Tenemos: 5

165 Etremos de Funciones Esclres bc λ 6 c λ 6 b b λ 6 c bc λ 6 Multiplicndo por bc,, respectivmente: bc λ 6 b bc λ 6 c Igulndo: b c eemplndo en l restricción: Clculndo b c result: b c Por tnto l ecución buscd es: Ejercicios propuestos 5.. Determine el vlor máimo o mínimo de l función f (,, ) si 9... Determine el vlor máimo o mínimo de l función f (,, ) si 5... Determine el vlor máimo de f (,, ) si 6.. Encuentre el mínimo pr f (,, ) siempre que f,, sujet que 6 5. Minimir esp. (,,) ; f min 6. L sum de tres números es 5. Determinr el vlor de cd uno de ellos pr que el producto se máimo. esp.,, 7. Demuestre que el producto de tres números positivos cu sum es S es máimo si los tres números son igules. 8. Un pquete en form rectngulr se puede envir por correo, si l sum de su longitud el perímetro de un sección trnsversl perpendiculr l longitud es igul cm. Encuentre ls dimensiones del pquete de máimo volumen que puede ser envido por correo. 7 7 esp.,, 9. Demostrr que un triángulo es equilátero si el producto de los senos de sus ángulos es máimo.. Demostrr que entre todos los triángulos inscritos en un mismo circulo, el de mor perímetro es el triángulo equilátero.. Muestre que el triángulo de mor áre que puede ser inscrito en un circunferenci, es un triángulo equilátero. 6

166 Etremos de Funciones Esclres. Un cj rectngulr está colocd en el primer octnte, con un de sus esquins en el origen tres de sus ldos sobre los tres plnos coordendos. El vértice opuesto l rigen se encuentr en el plno 6. Cuáles son sus dimensiones? cuál es el volumen máimo de dich cj?. esp.,, ; Vmá u. Encontrr ls dimensiones del prlelepípedo rectngulr de volumen máimo con crs prlels los plnos coordendos, que se puede inscribir en el elipsoide 6 9. esp.,,. Determinr el volumen del prlelepípedo rectngulr más grnde que puede inscribirse en el elipsoide b c bc esp. V má 5. Encuentre los puntos más cercnos l origen de l superficie esp. 6, 6, 6 6. Determínese el punto más próimo l origen de l superficie 7. Determine los puntos en l superficie distnci mínim. esp. (,, ) que estén más cercnos del origen clcule l esp. (,,) ± ; D 8. Hállense ls dimensiones de un pquete rectngulr de volumen máimo, tlque l sum de su longitud el perímetro trnsversl no ecedn de 8 pulgds. esp. 6 ; 8 ; 8 9. El mteril pr construir l bse de un cj biert cuest.5 veces lo que el mteril pr construir los ldos. Pr un cntidd fij de dinero C, hállense ls dimensiones de l cj de volumen máimo que puede hcerse. mìn C esp., 9. Hállese l distnci mínim de l superficie con ecución l punto (,, ) esp c) d min 5 C 9 7

167 Etremos de Funciones Esclres 5.. TEOEMA. Criterio pr estblecer etremos con un restricción en funciones de n vribles Se l Función Objetivo w f(,,,, n ) sujet l restricción g(,,,, n ) k Defínse l Función Lngrgin L( λ,,,,, n ) f (,,,, n ) λ[ g(,,,, n ) k] Supong que se obtiene el Punto Crítico (,,,,, λ) resolviendo el sistem: n Lλ g (,,,, λ) k L f λg L f λg L f λg L f n λg n n Defínse el Hessino Orldo, como l mtri: Se g H g g n g L L L n g g H g L L g L L g L L L, n H g L L L n Entonces:. Si 5 g n L n Ln L nn g g g (,,,, n, λ) g L L L g L L L g L L L,, H n H H > H < H > ( ) n H n > entonces en (,,,, ) n l función tiene un MÁXIMO.. Si 5 H < H < H < H n < (todos negtivos) entonces en (,,,, ) l n función tiene un MÍNIMO. 8

168 Etremos de Funciones Esclres 5.. TEOEMA. Criterio pr estblecer etremos con dos restricción en funciones de tres vribles Supong que se dese optimir l Función Objetivo w f (,, ) sujet que g (,, ) k h (,, ) k Defínse l función Lngrgin: L( λµ,,,, ) f (,, ) λ [ g(,, ) k] µ [ h(,, ) k] Entonces el MÁXIMO o el MÍNIMO de l función se producen en el Punto Crítico (,,, λ, µ ) que se obtiene l resolver el sistem: Lλ g(,, ) k Lµ h(,, ) k L f λ g µ h L f λ g µ h L f λ g µ h Ejemplo Encuentre los puntos críticos de 8 8 SOLUCIÓN: f (,, ) sujet que En este cso l función Lngrgin es: L( λ, u,,, ) f (,, ) λ g(,, ) k L( λ, u,,, ) λ( Pr los puntos críticos tenemos: [ ] µ [ h(,, ) k ] Lλ g(,, ) k Lµ h(,, ) k L f λg µ h L f λg µ h L f λg µ h De l últim ecución µ. 8) µ ( 8) 8 λ λ 8 µ λ µ µ 9

169 Etremos de Funciones Esclres De l penúltim ecución De l ntepenúltim ecución: Igulndo se obtiene λ λ λ λ λ 8 eemplndo en l primer ecución: 8 Por tnto ± ± como ± (,,), (,, ), (,,) (,, ) 8 8 resultn los siguientes puntos críticos: Ejemplo Obteng los puntos del primer octnte sobre l curv de intersección del elipsoide el plno que estén más cerc del origen, clculr l distnci mínim. SOLUCIÓN: D f,,, ls En este cso l función objetivo será l distnci: g: restricciones serín h: f λ g µ h Podemos hcer (,,) λ (,8,8) µ (,, ) L segund ecución por esult λ µ 8λ µ 8λ µ l tercer por 8λ µ 8λ µ µ µ eemplndo en l segund restricción: eemplndo en l primer restricción: Tomndo en el primer octnte, el punto serí:, luego se ls sumn lgebricmente ±, 8,

170 Etremos de Funciones Esclres Ejercicios Propuestos 5.5. Mimir f (, ). Minimir, sujet que: f,, sujet que: 8 esp. ( 8,6,8) ; f m esp. (,,) ; f min. Encuentre los puntos críticos de f (,, ) sujet que que.. Encuentre los puntos críticos de f (,, ) sujet que que. 5. Encuentre los puntos críticos de f (,, ) sujet que que. 6. Encuentre los puntos críticos de f (,, ) sujet que que Hllr el punto de l rect de intersección de los plnos, más próimo l origen. esp.,, 8. Encontrr los puntos pr los vlores máimo mínimo de l distnci del origen l porción del primer octnte de l curv según l cul el plno cort l superficie 5. esp. (,6,); 5, 9 5, 5 ; 5,9 5, ( 5) 9. Cuál es l distnci mínim entre C el origen. esp. ±, ±, ± D min. El plno intersect l prboloide en un elipse. Determine los puntos más ltos más bjos de est elipse.,,8,,8 esp. más lto ( ) ; más bjo 6. Determine l distnci más cercn del origen l curv C. ; d min 5 T,, l tempertur en cd punto de l esfer 5.. Se esp. (,,) Hállese l tempertur máim en l curv formd por l intersección de l esfer el plno. esp. (, 5, ) ; T m 5

171 Integrles Dobles 6 6. DEFINICIÓN. 6. TEOEMA DE INTEGABILIDAD 6. TEOEMA FUBINI 6. INTEGALES DOBLES SOBE EGIONES GENEALES 6.5 POPIEDADES 6.6 CÁLCULO DE INTEGALES DOBLES INVITIENDO LOS LÍMITES DE INTEGACIÓN 6.7 VALO MEDIO PAA UNA FUNCIÓN DE DOS VAIABLES 6.8 VOLÚMENES CON INTEGALES DOBLES 6.9 INTEGALES DOBLES EN COODENADAS CILÍNDICAS. 6. CAMBIO DE VAIABLES PAA INTEGALES DOBLES (TANSFOMACIONES) 6. ÁEA DE UNA SUPEFICIE OBJETIVOS Se pretende que el estudinte: Clcule integrles dobles. Inviert orden de integrción Clcule Volúmenes. Evlué integrles dobles emplendo trnsformciones. Clcule áres de un superficie

172 6. DEFINICIÓN. L integrl definid pr funciones de un vrible se l definió de l siguiente mner: b n f d lím f ( i ) i n i L cul se llm Integrl (Sum) de iemnn, que significb el áre bjo l curv f en un intervlo [, ] b. Si quisiérmos obtener un Integrl definid pr un función de dos vribles; primero deberímos suponer que hor l región de integrción b, cd,, es decir un rectángulo de. serí de l form [ ] [ ] d c b Hciendo prticiones de l región, de dimensiones no necesrimente igules: m d m m i j i c n i n b n

173 ij ésim L prtición tendrá form rectngulr. Ahor cbe referirse l áre de est prtición, que estrí dd por: A ij i j Podemos definir un función de dos vribles f (, ) j ésim región, que pr l i prtición serí: (, j ) f i i j en l Bien, vemos hor su significdo geométrico. Observe l gráfic siguiente: f (, ) i (, ) i j f c d b i j ( i, j ) El punto (,, represent culquier punto del ij ésimo i j ) rectángulo. El volumen del V ij, estrí ddo por: ij ésimo prlelepípedo, denotémoslo como (, ) i j V f. ij i j Por tnto, si desemos el volumen bjo l superficie, tendrímos que hcer un sum de volúmenes de un cntidd infinit de prlelepídedos, es decir:

174 n m j i ( j ) m n V lim f, De quí surge l definición de Integrl doble i i j Se f un función de dos vrible definid en l región pln [, b] [ c, d] {(, ) / b c d} m n Al lim ( i, j ) f i j n se le denomin l m j i Integrl Doble de f en siguiente mner: d c b f (, ) dd se l denot de l Además, si eiste este límite decimos que integrble en. f es Por el momento no vmos seguir con l interpretción geométric de l Integrl doble, empecemos estudindo sus propieddes l mner de cómo evlurl. En l definición se dice que si el límite eiste l función es integrble, pero surge l interrognte cuándo será que el límite eist?. Esto lo veremos en el siguiente teorem. 6. TEOEMA DE INTEGABILIDAD Se f un función de dos vrible definid en l región pln [, b] [ c, d] {(, ) / b c d} Si f está cotd en si f es continu en ecepción de un número finito de curvs suves, entonces f es integrble en. Este teorem nos hce suponer que igul pr funciones de un vrible, si l función es continu será integrble.

175 Bien, hor nos compete indicr l form de como evlur un integrl doble. 6. TEOEMA FUBINI Se f un función de dos vrible definid en l región pln [, b] [ c, d] {(, ) / b c d}. Si f es continu en, entonces: d b f ( da, ) f( dd, ) c b d c f dd (, ) Este teorem nos present l integrl doble pr que sen evluds como integrles simples, dichs integrles se denominn Integrles Iterds. Ejemplo dd Clculr SOLUCIÓN: Por el teorem de Fubini, integrndo desde dentro hci fuer, es decir: dd d d 8 d d Aquí pudimos hber integrdo con respecto, sin mor trbjo. No deje de hcerlo., luego con respecto Hst el momento hemos trbjdo con regiones de integrción rectngulres, pero en ls morís de ls ocsiones se presentrán otros tipos de regiones. 5

176 6. INTEGALES DOBLES SOBE EGIONES GENEALES El teorem de Fubini puede ser etendido pr regiones generles. En delnte vmos hcer plntemientos directos. Un región pln, como l que se muestr en l figur, puede ser prticiond de l siguiente mner: Lo cul d lugr un elemento diferencil de l form: Cu áre, denotd como da, está dd por: da dd dd Entonces, igul como lo hbímos menciondo nteriormente, un integrl doble sobre l región pln tiene l form: f (, ) da Est integrl doble puede ser clculd de dos mners: PIMEO hciendo un brrido verticl 6

177 b f ( g ( ) f (, ) dd ) SEGUNDO: Hciendo primero un brrido horiontl d c f ( g ( ) f (, ) dd ) decir: Si f (, ), l integrl doble represent el áre de l región, es A da L región nterior es llmd un región simple-, sin embrgo pueden eistir regiones simple-, sólo se puede emper hciendo primero un brrido verticl. 7

178 f d d g b Como tmbién pueden eistir regiones simpleemper hciendo primero un brrido horiontl., sólo se puede d g d d f c Ejemplo Clculr 6 dd SOLUCIÓN: Integrndo desde dentro hci fuer, tenemos: 6 d d 6 d ( ) ( ) d [ ] 9 d 6 8

179 Ejemplo Clculr e dd SOLUCIÓN: Integrndo desde dentro hci fuer, tenemos: e e d d d e e d [ ( ) e e ] d e d e e e d Ejemplo Clculr e dd SOLUCIÓN: Integrndo desde dentro hci fuer, tenemos: e d d e dd e L últim integrl, se l reli PO PATES: u v e d e e u dv [ e ] ( ( ) ) d e d v d du d ( e e ) ( e e) ( ) En los dos ejemplos nteriores estbn ddos los límites de integrción, por tnto no hbí más que plicr el teorem de Fubini pr evlur ls integrles dobles, pero en otrs ocsiones es necesrio identificr l región de integrción porque los límites no están definidos. 9

180 Ejemplo Clculr da donde es l región limitd por SOLUCIÓN: Primero identificmos l región : Note que es un región simple-, l clculremos de ls dos forms. PIME MÉTODO: Hciendo primero un brrido verticl. L integrl doble con límites será: Clculndo l integrl, result: d d dd [ ] d [ ( )] ( ) d d SEGUNDO METODO: Hciendo primero un brrido horiontl. 6

181 L integrl doble con límites será: dd Clculndo l integrl doble, result: 8 8 d d d d d Ejemplo Clculr da donde : SOLUCIÓN: L región es: Aquí es mejor hcer un brrido verticl primero: dd dd Clculndo ls integrles dobles, tenemos:

182 ln ln d d d d d d d d Ejemplo Clculr da e donde en el primer cudrnte. : SOLUCIÓN: L región es: Aquí es mejor primero un brrido horiontl Por qué? Observe qué ocurre si hcemos primero un brrido verticl? Plntendo l integrl doble con límites clculándol, tenemos: d e d e d e d e dd e

183 Hciendo cmbio de vrible t. De quí tenemos: dt d eemplndo resolviendo: e d e d e e e t dt e t e dt t t te dt t t [ te e ] [ ] t dt e Ejemplo Clculr ( )da donde es el triángulo que tiene por vértices los puntos (,), (,) (, ) SOLUCIÓN: L región es: No olvide que dos puntos definen un rect, por tnto l determinción de ls ecuciones de ls rects se ls puede obtener emplendo l formul ( ). Aquí tmbién es mejor primero un brrido horiontl:

184 ( ) dd ( ) ( ) dd [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] [( ) ( ) ] [ ] ( ) d d d d 6.5 POPIEDADES Sen f g funciones de dos vribles continus en un región, entonces:. kda k da ; k. f ± g da fda ± gda. da da da donde

185 6.6 CÁLCULO DE INTEGALES DOBLES INVITIENDO LOS LÍMITES DE INTEGACIÓN Alguns Integrl Iterd pueden ser clculd de ls dos forms, pero teng mucho cuiddo cundo invierte el orden de ls integrles. Ejemplo e ln Clculr dd SOLUCIÓN: Primero se debe identificr l región de integrción. En este cso, l integrl doble está dd primero con brrido verticl porque el diferencil es de l form dd, entonces tenemos que interpretr l integrl doble de l siguiente mner: e ln ln Por tnto, l región es :, es decir: e dd Invirtiendo los límites de integrción h que hcer hor un brrido horiontl primero, es decir: 5

186 e e e e e e e d e d e d e e d dd e e e e Ejemplo Inviert el orden de integrción pr ), ( d d f SOLUCIÓN: Interpretndo los límites de integrción ddos, tenemos:. Se h hecho primero un brrido verticl ), ( dd f Entonces l región de integrción es : Ahor h que hcer un brrido horiontl primero, es decir: ), ( d d f 6

187 Ejemplo Inviert el orden de integrción pr f (, ) dd SOLUCIÓN: Interpretndo los límites de integrción ddos, tenemos: hecho primero un brrido verticl Entonces l región de integrción es : Ahor h que hcer un brrido horiontl primero, es decir: f (, ) dd f (, ) dd. Se h Ejemplo Inviert el orden de integrción pr f (, ) dd SOLUCIÓN: 6 6 Interpretndo los límites de integrción ddos, tenemos: f (, ) dd Se h hecho un brrido verticl primero 6 Entonces l región de integrción es : Ahor h que hcer un brrido horiontl primero, es decir: 7

188 f, ) dd 6 ( f (, ) dd Ejercicios propuestos 6.. Clculr e dd 9. Emplee un integrl doble pr hllr el áre de l región limitd por 9. Emplee un integrl doble pr hllr el áre de l región limitd por: 5. Clculr: da donde es l región limitd por 5. Clculr da donde es l región limitd por 6. Clculr cos dd 7. Clculr e dd 8. Inviert el orden de integrción: f (, ) dd f (, ) dd 9. INVETI el orden de integrción EVALUA. dd dd 8

189 . Clculr: e da, donde es l región del primer cudrnte limitd por. epresentr l región de integrción pr: f, dd f, dd e invertir el orden de integrción VALO MEDIO PAA UNA FUNCIÓN DE DOS VAIABLES Se f un función continu en ls vribles. El vlor Medio de f en un región pln está ddo por: Vlor Medio f (, ) da da Ejemplo Encuentre el vlor medio de l función f (, ) sobre l región limitd por SOLUCIÓN: L región de integrción es: Emplendo l fórmul, tenemos: 9

190 Vlor Medio f(, ) da da ( ) dd dd d d d d Ejercicios Propuestos 6.. Clcule el vlor medio de l función f (, ) e en l región del primer cudrnte limitd por,6,. Pr un compñí concret, l función de producción de Cobb-Dougls es f (, ). Estimr el nivel medio de producción, si el número de uniddes de trbjo vrí entre 5 el de uniddes de cpitl entre 5.. Hllr el vlor medio de f (, ) sobre l región limitd por ls rects,,. Encuentre el vlor medio de l función f (, ) e sobre l región 5. Encuentre el vlor medio de l función f (, ) ( ), sobre l región < 6. Hllr el vlor medio de f ( ), en l región limitd por

191 6.8 VOLÚMENES CON INTEGALES DOBLES Y definimos el volumen bjo un superficie. Ejemplo Hllr el volumen del sólido limitdo por el plno el plno en b c el primer octnte. SOLUCIÓN: Hciendo un dibujo c c b h b da El volumen del elemento diferencil serí dv hda da Por tnto el volumen totl está ddo por : Donde l región serí: V c b da b b Escogemos un brrido verticl primero, es decir que l integrl iterd quedrí:

192 Evlundo: b V c dd b b V c dd c b b b b b c b d b b c d bc bc 6 bc [ ] 6 bc V 6 d Ahor consideremos un sólido limitdo por superficies. Por ejemplo: f (, ) (, ) g

193 En el gráfico, el volumen del sólido limitdo por ls superficies está ddo por: (, ) (, ) V f g da, es l región pln que tiene por proección l superficie en el plno. Ejemplo Hllr el volumen del sólido limitdo por SOLUCIÓN: el plno Hciendo un dibujo h da En este cso V h ( ) da da Pr ponerle los límites de integrción identificmos l región, en este cso serí l curv de intersección de proectd en el plno. Igulndo simplificndo: Entonces l región serí:

194 Entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) V ( ) dd ( ) d ( ) d 8 L últim integrl se l reli por sustitución trigonométric. d d d Hciendo sent entonces d cost dt los nuevos límites serín t π t

195 π 8 8 V ( ) d ( sen t) cost dt 8 8 π ( ) π π π cos costdt cos tdt 8 cost dt ( cos t cos t) 6 π π π sent cost t dt π t π π π V π π sent 8 π dt L evlución de l integrl doble puede resultr un sunto tedioso, sin embrgo si l región de integrción es simple-θ, podemos hcer uso de coordends cilíndrics. 5

196 6.9 INTEGALES DOBLES EN COODENADAS CILÍNDICAS. Supong que l región de integrción es simple-θ, l integrl doble f (, ) da puede ser epresd de l form: Definmos el da ( cos θ, rsenθ) f r da en coordends cilíndrics. Observe l figur: r f θ ds dr θ θ En este cso da dsdr pero ds rdθ entonces da rdrdθ Finlmente l integrl doble en coordends polres quedrá de l form: (, θ ) f r rdrdθ Ejemplo Hllr el volumen del sólido limitdo por SOLUCIÓN: Hciendo un dibujo de ls superficies, e identificndo el sólido el plno 9. 6

197 9 9 h 9 L región de integrción serí: r 9 Por tnto el volumen estrá ddo por 9 ( ) Cmbindo cilíndrics Evlundo π V da V ( ) 9 r rdrdθ 7

198 π π ( 9 ) θ ( 9 ) V r rdrd rr π r r 9 dθ π 8 8 dθ 8 θ V 8 u π drdθ Ejemplo Encuentre el volumen de l región limitd por ls superficies ( ). SOLUCIÓN: Hciendo un dibujo de ls superficies, e identificndo el sólido ( ) Clculremos el volumen de l porción superior, que el sólido es simétrico lo multiplicremos por dos. L región de integrción es: V da 8

199 ( ) r senθ Cmbindo coordends cilíndrics. senθ V da r rdrd π π π ( r ) 8 π senθ ( sen θ) ( 8 8cos θ) dθ dθ dθ π π 8dθ cos θcosθdθ π π 8 θ ( sen θ) cos θdθ π π 8 cos π θdθ sen θ cos θdθ π π sen θ 8 π senθ [ 8 π ] 6 V π θ 9

200 Ejercicios Propuestos 6.. Usndo integrles dobles determine el volumen del sólido limitdo por : ) 5 ; ; ; el plno. b) ; c) ; ;, d) ; ;. Encontrr el volumen de l porción de l esfer situd entre los plnos ±.. Clculr el volumen del sólido que está en el interior de l esfer ; rrib del prboloide. Hllr el volumen del sólido que está en el interior ; eterior 5. Clcule el volumen del sólido intersección de los cilindros Prece ser que l evlución de ls integrles dobles pueden resultr difíciles de relir, el hecho utilir coordends cilíndrics nos permite pensr que en ocsiones será posible empler diverss trnsformciones que hrá nuestro trbjo más plusible. 6. CAMBIO DE VAIABLES PAA INTEGALES DOBLES (TANSFOMACIONES) Supongmos que se tiene l siguiente trnsformción (, ) (, ) u v u v Aplicándol l integrl doble f (, ) ( (, ), (, )) f uv uv da da, quedrí de l form Donde será un nuev región de integrción en el plno uv por tnto el será el correspondiente. da Determinemos en nuevo da. Observe l figur:

201 v ( ( uv, v) ; ( uv, v) ) ( uv, v) Q P (, ) ( ( u u, v) ; ( u u, v) ) ( uv, ) ( u u, v) ( ( uv, ); ( uv, )) u Hciendo un nálisis vectoril: P ( ( u uv, ) ( uv, ); ( u uv, ) ( uv, )) Q ( uv, v) ( uv, ); ( uv, v) ( uv, ) Dividiendo multiplicndo l vector P pr u tomndo límite: ( u uv, ) ( uv, ) ( u uv, ) ( uv, ) P lim ; lim u ; du u u u u u u Dividiendo multiplicndo l vector Q pr v tomndo límite: ( uv, v) ( uv, ) ( uv, v) ( uv, ) Q lim ; lim v ; dv v v v v v v da P Q El áre de l región está dd por: El producto cru será: i j k u u P Q du du dudv kˆ u u v v dv dv v v Al determinnte menor resultnte se lo denomin JACOBIANO se lo denot por:

202 Por tnto: Finlmente (, ) u u ( uv, ) v v (, ) ( uv, ) P Q dudv kˆ da (, ) ( uv, ) dudv 6.. TEOEMA. Sen regiones de los plnos uv. Su pong que se tiene un trnsformción biectiv tl que ( uv, ) ( uv, ) medinte l cul l región es imgen de. Si f es continu en e tienen derivds prciles continus en (, ) en no nul en, entonces: uv, (, ) ( uv, ) f ( da, ) f( ( uv, ), ( uv, )) dudv El cmbio coordends cilíndrics es un ejemplo de un trnsformción, quí tenemos que: rcosθ rsenθ Entonces: (, ) f (, ) da f ( r cos θ, rsenθ) drdθ r, θ Clculemos el Jcobino

203 (, ) r r cosθ senθ rcos θ rsen θ r ( r, θ ) rsenθ r cosθ θ θ Por tnto se demuestr lo que ntes hbímos presentdo como un resultdo geométrico: (, ) ( cos, ) f da f r θ rsenθ rdrdθ Ejemplo Clculr SOLUCIÓN: Primero identificmos l región. En l integrl dd, se tiene: u v dd emplendo el siguiente cmbio de vrible uv d d, por tnto Cmbindo de vrible, l integrl tomrí l form: (, ) dd dudv ( uv, ) Donde pr el Jcobino tenemos: ( uv, ) v v, u u v v u uv uv u u u

204 Y pr l región, tenemos:. En, reemplndo se tiene: u uv ( ) uv u v uv u uv u( v) u v. En, reemplndo se tiene:. En uv u v uv u uv u uv, reemplndo se tiene: u( v) u v ( v) u u uv. En, reemplndo se tiene: L lo tnto, serí: uv u v u ( v) u u uv u v u v u v v v u Obteniendo l nuev integrl evlundol:

205 v (, ) ( uv, ) dd dudv ududv v u ( v) ( v) ( )( ) ( v) ( ) ( ) dv dv [ ] Ejemplo Emplendo trnsformciones decuds, hllr el áre de l región limitd por: SOLUCIÓN: L región de integrción serí:

206 u Podemos utilir l siguiente trnsformción: v u u Ls trectoris se trnsformn : v v L nuev región de integrción serí: v u u v Entonces: Hllemos el jcobino u u, (, ) ( uv, ) A da dudv Note que como v v(, ) (, ) Podemos decir que: ( uv, ) ( uv, ) (, ) Entonces: ( uv) ( uv) u v u v Finlmente:,,,, ( ) ( uv, ), A dudv dudv v u Ejemplo Clculr e da donde es el prlelogrmo con vértices (, ). SOLUCIÓN: (, ), (, ), (, ) 6

207 Primero identificmos l región, ubicndo los puntos en el plno encontrndo ls ecuciones de ls rects que definen l prlelogrmo (,) (,) (, ) (,) u Escogemos l trnsformción: por qué? v Pr obtener l región, plicmos l trnsformción cd rect que limit l región, Vmos necesitr l trnsformción invers: Sumndo l primer ecución l segund: u v ( u v) u v Multiplicndo por (-) l primer ecución luego sumndo: u u ( ) v ( v u) v v u L ecución, es obvio que se trnsform en v. porqué? L ecución, se trnsform en v Pr l ecución, tenemos: Pr l ecución, tenemos: Por tnto l región, estrí limitd por ( u v) ( v u) v u v u v v v u v u 7

208 v v u v u v Escogemos primero un brrido horiontl, por tnto: u v (, ) ( uv, ) e da e dudv El Jcobino serí: (, ) ( uv, ) ( uv, ) u v, u v eemplndo, poniendo límites clculndo: v u v ( uv) v, u v e dudv e dudv, v u e v v v ve ( e ) dv ( ) ( e e ) ( ) ( e e ) dv e e v 8

209 Ejercicios propuestos 6. da ; siendo el prlelogrmo con vértices; (,);. Clculr ( )( ) (,); (5,); (,-). da ; siendo el triángulo con vértices; (,); (,); (,),. Clculr u usndo l siguiente trnsformción:. uv. Clculr da ; siendo l elipse b b usndo l siguiente r cos θ trnsformción:. r sen θ b da donde es l región limitd por ls curvs: ;. Clculr u 9 ; ;. Utilindo l trnsformción: v 5. Clculr da siendo l región del primer cudrnte limitd por l hiperbol: 6 ; ls rects: ; ; Evlur ( ) cos ( ) da; es l región cotd por el cudrdo con u vértices (,); (,); (,); (,). Utilindo l trnsformción v 9

210 6. ÁEA DE UNA SUPEFICIE. f (, ) Si tuviésemos un superficie con ecución, quisiérmos hllr el vlor del áre de un porción de l superficie, podemos ctur con l mism metodologí con l que hemos resuelto nuestros problems hst el momento; es decir, prticionr l región luego sumr dndo lugr un integrl. Observe l gráfic: f (, ) ds da S Llmemos, l vlor del áre de l porción de l superficie, entonces: región S ds El sunto serí hor proectr l superficie l plno. Podemos pensr en un trnsformción de. obteniendo l Denotndo como l función vectoril pr l superficie, tenemos:,, f (, ) Los vectores de derivds prciles con respecto ( respecto, serín: ) con

211 Entonces: (,, f ) ds da (,, f ) Clculndo el vector producto cru luego su mgnitud: i j k f f,, ( f ) f f f Finlmente: S ds f f da Si l ecución de l superficie está dd en FOMA IMPLÍCITA, es F,, decir. L formul nterior se trnsform : S Ejemplo F F F da Demuéstrel! F Demuestre que el áre de l esfer es π. SOLUCIÓN: Trbjremos con l porción superior de l esfer el resultdo del áre multiplicdo por por ser simétric.

212 L región en este cso serí: F F F El áre estrí dd por S da F eemplndo: ( ) ( ) ( ) F F F S da F eemplndo por l ecución de l superficie Cmbindo polres: da da da S da da da da

213 π S da rdrdθ r π π π ( r ) dθ θ π dθ Ejemplo Encuentre el áre de l región superior de l esfer cilindro. Soluci.on: Hciendo un dibujo 9 limitd por el 9 L región en este cso serí: r cosθ

214 F F F El áre estrí dd por S da F eemplndo: ( ) ( ) ( ) F F F S da F da da da da eemplndo por l ecución de l superficie 9 Cmbindo polres: 9 S da da 9 6 π cosθ 9 S 6 da 6 9 9r π 6 π ( 9 r ) cosθ ( senθ) 6 π ( θ θ) ( π ) ( π ) u 6 cos 6 S 6 6 dθ da rdrdθ dθ

215 Ejercicios propuestos 6.5. Clculr el áre de l superficie de l prte del prboloide que qued dentro de l esfer. Encontrr el áre de l prte de l superficie esféric situd entre los plnos. Clculr el áre de l porción de l superficie limitd por el cilindro. Clculr el áre de l porción de l esfer interior l cilindro ; siendo >o r cos φ 5. Clculr el áre de l superficie dd por: r cos φ φ φ π r, Misceláneos. Emplendo integrles dobles, clculr el áre de l región limitd por: ) 5 ; 6 9 b) ; ; ;. Clcule l integrles doble sobre l región. Clculr sen d d. Clculr dd, 5. Evlur e da donde es l región limitd por,,,. 6. Supong que el triángulo con vértices (,), (,) (, ) represent l región situd dentro del límite de ciert región de l provinci de Mnbí. Después de un torment de invierno, l profundidd del gu en el punto (, ) de er f (, ) e e 5 5 cm. Suponiendo que e se miden en centímetros HALLE un epresión pr estblecer l profundidd medi del gu en l región. 7. Pr ls siguientes integrles: )Clculr el vlor de l integrl. b) Dibujr l región de integrción. c) Cmbir el orden de integrción d) Clculr el vlor de l nuev integrl. dd * ( ) * dd 5

216 π cos * sen dd * * ln8 ( ) ln e dd dd 8. Evlur da ; si es un triángulo con vértices los puntos (,) ; (7,) ; (,5). 9. Clculr da donde D es l región comprendid entre l elipse l D circunferenci en el primer cudrnte. D. Clculr da donde D es el cudrdo con vértices (,); (,); (,); (,-). π. Evlur cos da; donde es el rectángulo [,][-,]. da; es l región cotd por ls gráfics ; ;. Clculr ( ) u ;. Utilindo l trnsformción: v v. Encuentre el áre de l superficie del prboloide hiperbólico comprendid entre los cilindros. 6

217 Integrles Triples 7 7. DEFINICIÓN. 7. INTEGALES TIPLES EN COODENADAS ESFÉICAS OBJETIVO: Se pretende que el estudinte: Clcule Volúmenes con integrles triples

218 Integrles Triples 7. DEFINICIÓN. Pr definir un integrl pr un función de tres vribles, nálogmente integrles dobles, deberímos pensr que nuestr región de integrción se etenderí l form [ b, ] [ cd, ] [ eg, ] ; es decir, hor se tendrí un prlelepípedo, un región de, l cul se l denot como Q : k g Q e b c d Si hcemos prticiones de Q, l ijk -ésim prtición tendrí l form: Δ k Δ j Δ i Δ V ΔΔ Δ Y su volumen serí:. ijk i j k Un función de tres vribles w f (,, ) est prtición serí de l form prtición. Donde ( i,, j k ) (,, k ) i f ΔΔ Δ definid en, pr j i j k represent un punto culquier de l ijk -ésim Q Pr todo es decir: Q, hbrí que considerr un cntidd infinit de prticiones,

219 Integrles Triples l m n lim n m k j i l ( i,, j k ) f Δ Δ Δ i j k De quí surge l definición de integrles triples Se f un función de tres vribles definid en un región de, Q [, b] [ c, d] [ e, g] {(,, ) / b c d e g} l m n Al lim f ( i,, j k ) ΔiΔ jδk n se le m k j i l denomin l Integrl Triple de f en Q se l denot de l siguiente mner: g d b e c f (,, ddd ) Además, si eiste este límite decimos que Q. f es integrble en f,, Si, serí el volumen de l región Q. El teorem de Fubini es plicble pr ests integrles tmbién, porque l igul que integrles dobles, ests pueden ser observds como integrles iterds. Y es más, si tuviésemos regiones generles tmbién el teorem de Fubini es plicble.

220 Integrles Triples Ejemplo Encontrr el volumen de l región cotd por Solución Hciendo un dibujo. L integrl triple pr el volumen serí: V dda da ( ) ( ) da ( ) da Pr definir l región, determinemos l curv de intersección entre ls superficies: Igulndo, tenemos: 9

221 Integrles Triples 9 6 Poniendo límites, tenemos: 6 ( ) ( ) V da dd ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( ) Emplendo sustitución trigonométric: t sent entonces d cost dt π t reeemplndo d d d 5

222 Integrles Triples π π π π π ( t) 8 V ( 6 ) d 6( sent) costd ( 6cos t)( costdt) ( cos ) t dt 6 cos t dt ( cos t cos t) 6 π π π ( cost ) dt costdt dt π sent sent t t 8 π V π u dt Ejemplo Emplendo integrles triples pr clculr el volumen de l esfer que tiene por ecución. Solución: Hciendo un gráfico Q d d d 6

223 MOISES VILLENA Integrles Triples El volumen del prlelepípedo diferencil serí: dv dda (ltur por áre de l bse), será mejor plnterlo de est form pr que el da se plntedo igul que en integrles dobles. El volumen totl serí: V dda Q Trbjndo con l porción superior de l esfer, hciendo un brrido verticl, el límite inferior pr serí l ecución del plno el límite superior serí l ecución de l esfer, entonces: V d da da los demás límites se los obtiene observndo l proección de l superficie en el plno Psndo polres evlundo l integrl: π V da r rdrd π ( r ) ( ) θ π π θ Ls integrles triples igul que ls integrles dobles, pueden presentrse lborios en su evlución; por tnto, quí tmbién es posible utilir trsformciones. 7

224 Integrles Triples 7. INTEGALES TIPLES EN COODENADAS ESFÉICAS ecordemos que ls trnsformciones en coordends esférics son: ρ senφ cosθ ρ senφ cosθ ρ cosφ Análogmente integrles dobles, hor un integrl triple en condiciones especiles puede ser epresd de l siguiente form: Q Q (,, ) ( ρθφ,, ) f ( dv,, ) f( ρ, θφ, ) dρdθdφ Hllemos el Jcobino: (,, ) ( ρθφ,, ) ρ ρ ρ θ θ θ φ φ φ senφcosθ senφsenθ cosφ ρsenφsenθ ρsenφcosθ ρcosφcosθ ρcosφsenθ ρsenφ cosφ ρ senφcosφsen θ ρ senφcosφcos θ ρsenφ ρsen φcos θ ρsen φsen θ sen cos sen cos ρ φ φ θ θ ρ ρ senφcos φ ρ sen φ ρ senφ cos φ sen φ ρ senφ Por tnto: sen φ sen θ cos θ (,, ) ( ρθφ,, ) ρ senφ 8

225 Integrles Triples Ejemplo Clculr el volumen de l esfer emplendo coordends esférics. Solución: L ecución de l esfer en coordends esférics es ρ ρ φ ρ θ El volumen estrí ddo por: V π π ρ senφ dρdθdφ Evlundo π π π π ρ V sen d d d sen d d ρ φ ρ θ φ φ θ φ π π π θ ( cosφ) ( ) π dθ π dθ 9

226 Integrles Triples Ejemplo Hllr el volumen de l porción del cono l esfer. Solución: Hciendo un dibujo:, limitd superiormente por ρ π φ L integrl pr el volumen serí: Evlundo π π V sen d d d ρ φ ρ θ φ π π π π ρ V sen d d d sen d d ρ φ ρ θ φ φ θ φ π π ( cosφ) π π dθ θ π dθ

227 Integrles Triples Ejercicios Propuestos 7.. Hllr el volumen totl del espcio comprendido entre el cilindro el hiperboloide. Clculr el volumen del sólido limitdo por los tres plnos coordendos, l superficie ; el plno. Clculr el volumen del sólido limitdo por l esfer el cono ;. Clculr el volumen del sólido limitdo superiormente por l esfer e inferiormente por el cono. 5. Clculr el volumen del sólido limitdo por ls superficies: ; ; 6. Utilindo un trnsformción decud, hllr el volumen del cuerpo limitdo por el elipsoide el cono f,, definido sobre un región Q, se define el vlor 7. Se un cmpo esclr medio de f por: f med f V ( Q), Q (, ) Encontrr el vlor medio de f (, ) dv, donde V(Q) es el volumen de Q., sobre el cubo de ldo "L" que se encuentr en el primer octnte con vértice en el origen rists prlels los ejes coordendos

228 Curvs FUNCIÓN VECTOIAL DE UNA 8.. VAIABLE EAL DOMINIO LIMITE CONTINUIDAD 8.5. TAYECTOIA (CAMINO) 8.6. GAFICA. DEFINICIÓN 8.7. TAZA 8.8. CUVA 8.9. DEIVADA 8.. CONCEPTOS ASOCIADOS A LA DEIVADA Objetivos. Se persigue que el estudinte: Describs curvs de. Clcule velocidd, rpide, celerción, ecución de rect tngente, ecución de plno tngente (ectificnte), ecución de plno Norml, ecución del plno Osculdor, Curvtur, celerción norml, celerción tngencil.

229 Curvs 8. FUNCIÓN VECTOIAL DE UNA VAIABLE EAL. Definición. Un FUNCIÓN VECTOIAL DE UNA VAIABLE n EAL, es un función del tipo F: I tl que n Ft () () t, () t,, () t Donde i : I, i,,, n; son funciones reles de vribl e rel t, llmds Funciones Coordends de F. Ejemplo Se F : I tl que Ft () (, t t, t). Ejemplo Se F : I tl que F() t ( cos, t bsent, t). n Ejemplo Se F : I tl que Ft () ( tt,, t,t ) Ejemplo Se F : I Ft () ( tt,, 5 6 ) t t 8. DOMINIO n Se F: I, el dominio de F es el subconjunto de números reles I. En decir, el conjunto de vlores pr t, que d sentido l regl de correspondenci. Ejemplo Pr F() t (, t t, t), Dom F Ejemplo Pr F() t ( cos, t bsent, t), Dom F

230 Curvs Ejemplo Pr F() t ( t, t, t ), Dom F Ejemplo Pr Ft () ( tt,, 5 6 ) t t t, { } t Dom F t / LIMITE 8.. Definición. n Se F: I un función definid en el intervlo bierto I de se t un punto de I o un punto de fronter de I. Entonces lim F t t ( t) L, si sólo si: ξ >, > / < t t < F L < ξ 8.. Teorem n Se F: I, tl que Ft () ( () t, () t,, n () t ). Entonces F( t) L ( l l l ) lim,,, n tt lim l; i,,, n tt Ejemplo. Se F() t ( t,, t sent) SOLUCIÓN: i i Hllr lim F( t). t ( ) lim F( t) lim t, lim t, lim sent t t t t (,,) Ejercicios Propuesto 8. Clculr: ) t,, b) t t t t t lim esp. ) (,, ) lim t si solo si sen t t e,, e t c) t b) (,, ) lim t c) (,, ) ln t t,,t t

231 Curvs 8. CONTINUIDAD. n Se F: I. Entonces F es continu en t I si lim F( t) F( t t t ) 8.. Teorem n Se F: I, tl que Ft () ( () t, () t,, n () t ). Se t I. Entonces F es continu en t si sólo si sus funciones coordends i lo son. Ejemplo F t t t t sent () (,, ) es continu en todo. Ejemplo sent t, t, ; t Ft () t (,, ) ; t sent No es continu en t debido que lim tt,, (,,) que es diferente de t t F (),, Ejemplo F() t, ( t ) t no es continu en t. Ejercicios Propuesto 8. Anlice l continuidd de: ) r ( t) t, t b) r ( t) t, rcsent, t c) r ( t) 8, t, t esp. ) Dom r(t) [, ] b) Dom r( t) [, ] c) Dom r(t) [, ]

232 Curvs 8.5 TAYECTOIA (CAMINO) n Un función F: I continu se l n llm trectori o cmino en si F está definid en un intervlo cerrdo. I b, entonces F( ) F b es el punto finl. F( ) F( b) tenemos un TAYECTOIA CEADA. F es inectiv es un TAYECTOIA SIMPLE. F F b F Supong que el intervlo se [ ] inicil de l trectori SIMPLE. Si Si es el punto Si es inectiv tenemos un TAYECTOIA CEADA 8.6 GAFICA. DEFINICIÓN n Se F: I. Se denomin gráfic de F l conjunto de puntos de n de l form ( tft, ()) tles que t I. Se h ddo est definición siguiendo l líne de l definición de gráfic que se enunció en el cpítulo nterior. L definición siguiente permite drle un interpretción geométric un función vectoril de vrible rel. 8.7 TAZA Se llm TAZA de l trectori F l conjunto de imágenes de F, es decir: n Tr F F t / t I { } 8.8 CUVA Se denomin CUVA l tr de un trectori F. Conocmos lguns curvs de. 5

233 Curvs Ejemplo Se F : I tl que F() t ( cos, t bsent, t). Est curv es llmd HELICE. cost Note que bsent t Se l pude observr como l tr que hce l superficie b cos l cilindro F() t cos, t bsent, t (,, π ) t π (, b, π ) π t ( t,, π ) (, b, π ) t π (,,) t Ejemplo Se F : I tl que F() t ( t, t, t ) t Aquí tenemos t t Est curv l podemos observr como l intersección entre ls superficies 6

234 Curvs F() t t, t, t Ejemplo Se F : I tl que Ft () ( tt,, 5 6 ) t t En este cso l curv será l intersección entre el elipsoide cilindro con el ( tt 5 6 ) Ft (),, t t 7

235 Curvs Ejercicios Propuesto 8.. Dibujr ls siguientes curvs representds por ls funciones vectoriles propuests. ) r () t tî ( t ) ˆj k b) r() t cos tî sen tj ˆ tkˆ c) r() t costî sen tˆj. Hllr trectoris r ( t) que representen ls siguientes curvs. ) (, ) / e { } {, / } b) c) Un rect en I que contiene l origen l punto (, b, c). { / 9 6 } d) (, ) e) {( ρ, θ, φ )/( ρ 6cscφ ) ( θ π )} f) {( ρ, θ, φ )/( ρ cscφ ) ( θ π )}. Dibujr ls curvs en el espcio representd por l intersección de ls superficies propuests, represéntese l curv medinte l función vectoril usndo el prámetro ddo. Superficies Prámetro ), t b) 6, t c), sen t d), t. Muestre que l intersección de l superficie 9 6 el plno 9 es un elipse. 5. Escrib un ecución vectoril pr l curv de intersección de ls superficies: 5 e, 6. L curv cu ecución vectoril es r t t cos t, t sen t, t, t () se define sobre un superficie cuádric. Hllr l ecución de dich superficie. esp Hllr l función vectoril pr l curv de intersección de ls superficies,. esp. r ( t) ( t, t, t t ) 8.9 DEIVADA. Un función F: I n un trectori. Se t I. Entonces l derivd de F en t, denotd como F ( t ), se define como: F( t h) F( t) F ( t ) lim h h si este límite eiste. 8

236 Curvs F En tl cso se dice que es DIFEENCIABLE en. Si Ft ( ) ( ( t), ( t),, n ( t) ) entonces F( t h) ( t h), ( t h),, n ( t h) t. Aplicndo l definición de derivd F( t h) F( t) F ( t ) lim h h ( ( t h), ( t h),, n( t h) ) ( ( t), ( t),, n( t) ) lim h h ( t h) ( t) ( t h) ( t) n( t h) n( t) lim,lim,,lim h h h h h h Es decir: F ( t ) ( ( t ), ( t ),, ( t )) n Ejemplo Se F () t ( t,, t sent) entonces F ( t) ( t,,cost) 8.9. Teorem Se F un trectori diferencible. El vector F t es tngente l trectori en el punto t. Observe l gráfic F t ( h) F( t ) F t h F t ( ) F t (,, ) 9

237 Curvs Ejemplo Se F () t ( cos t, sent, ) π norml en t. SOLUCIÓN: t. Hllr l ecución de l rect tngente l del plno Un vector directri de l rect tngente seri F ( π ) perpendiculr l plno norml. Como F () t ( cos t, sent, ) F t sent,cos t, F π cos π, sen π, π, π, t entonces Tenemos un punto: Y un vector prlelo l rect o perpendiculr l plno norml: F π sen π,cos π,,, ( ) ( ) Por tnto, l ecución de l rect tngente serí: t l: t π t Y l ecución del plno norml serí: 8.9. Trectori egulr π ( ) ( ) ( ), que tmbién serí un vector n Se F: I. Entonces F es un F t pr todo trectori regulr en I, si t I Propieddes Sen F G dos trectoris diferencibles. Se f un función esclr diferencible. Entonces:. Dt ( F() t ± G() t ) F ( t) ± G ( t). Dt ( f F() t ) f F( t) f F ( t). Dt ( F() t G() t ) F ( t) G( t) F( t) G ( t). D F() t G() t F t G t F t G t) t (

238 Curvs 8. CONCEPTOS ASOCIADOS A LA DEIVADA. n Se F: I. Tl que Ft () ( () t, () t,, n () t ) Se define: Vector Posición: rt () Ft () ( () t, () t,, n () t ) Vector Velocidd: vt () r () t ( () t, () t,, n () t ) r' ( t) Vector Tngente Unitrio: Τ r' () t Longitud de un cmino: t s [ ()] () t pide: v() t r' () t [ ] [ ()] t t t ds dt t v ( t) r ( t) t, t,, Acelerción: ( () () n () t ) Τ' ( t) Vector Norml Unitrio: Ν Τ ' t n () Vector Binorml: Β Τ Ν Plno Osculdor: Definido por Τ Ν ortogonl B Plno ectificnte: Definido por Τ B Ν Plno Norml: Definido por Ν B ortogonl Τ dt ortogonl r( t) t ( ) Ν r( t ) Τ (,, ) vt ( )

239 Curvs El vector tngente es unitrio, entonces: Τ Τ, derivndo miembro miembro d d ( Τ Τ ) () dt dt Τ ΤΤ Τ Τ Τ Τ Τ Por tnto se conclue que el vector Τ demuestr l definición del Vector Norml Unitrio. Ejemplo Τ son ortogonles, lo cul Hllr l ecución del plno osculdor pr r( t) ( cos t, sent, t) SOLUCIÓN: en t Pr hllr l ecución de un plno necesitmos un punto un vector norml. r π cos π, senπ, π,, π El punto serí: Y el vector norml es el vector Binorml: Β Τ Ν Hllemos Τ : r' ( π ) sent,cos t,,, Τ r '( π ) sen t cos t Hllemos Ν : ( π ) ( π ) t π Τ' ( cos t, sent,) Ν Τ ' cos t sen t t π Entonces i j k ΒΤ Ν,, Finlmente l ecución del plno osculdor serí: π (,, ) π. 8..Teorem. Formuls de Frenet- Serbet Se r un trectori diferencible, entonces: Β Τ ΝΝ Τ Ν Β ΤΤ Β Τ Ν ΒΒ Ν

240 Curvs Es decir, 8.. Curvtur rdio de curvtur. Se r un trectori diferencible. L CUVATUA, denotd por κ, está definid en dτ l epresión: κ Ν. ds dτ Es decir: κ ds El rdio de curvtur, denotdo por ρ, es: ρ κ Observe que dτ dτ dτ dt κ dt ds dt ds ds dt Τ () t κ r t () Ejemplo Hllr κ pr r( t) ( cos t, sent, t) en t π. SOLUCIÓN: Τ L curvtur en este punto serí: κ r ( π ) ( π ) r ' π Τ κ r En el ejemplo nterior se obtuvo Τ ( π ) ( π ) ( π ) 8.. Torsión. Se r un trectori diferencible. L TOSIÓN, denotd por τ, está definid en l dβ db epresión: Ν. τ Es decir: τ ds ds

241 Curvs 8.. ACELEACIÓN NOMAL Y ACELEACIÓN TANGENCIAL. En cuestiones físics, se hce necesrio presentr l celerción en términos de sus componentes tngencil ortogonl en un punto de l trectori. r( t) N Ν T Τ (,, ) T N Τ Ν L celerción es l derivd de l velocidd: t n v v dt Τ Τ Τ dt dt dt dt dt Deducmos Τ : d d d ds d s ds Τ d Τ dτ En l epresión κ Ν, trnsformndo ds ds dτ dt κν dt ds dτ dt κν ds dt Es decir: ds Τ κ Ν dt

242 Curvs eemplndo: Por tnto: t ds ds Τ Τ dt dt ds dt d s ds ds κ dt dt dt Τ Ν ds ds Τ κ Ν dt dt n ds κ dt Ejemplo Se r() t ( cos t, sent, t) SOLUCIÓN:. Hllr t n t π. Emplendo los resultdos nteriores ds d s. r ( π ) entonces t dt dt. L curvtur l obtuvimos en el ejercicio nterior, por tnto: n ds κ dt En ocsiones determinr los prámetros nteriores no es tn sencillo debido l ecución de l trectori. Podemos drles otr form ls formuls nteriores. Observe l figur: r n h n r v 5

243 Curvs Por teorí de vectores: El áre del prlelogrmo sustentdo por los vectores está dd por: Are r r Pero, por geometrí tmbién tenemos: Are ( bse) ( ltur) r n Igulndo despejndo result: n r r r r v r Pr l curvtur tenemos: r r r r r n κ ds r r dt r r κ r Ejemplo Se r( t) (,cos t t, sent). Hllr v,,,, κ, pr culquier t. Solución: v r ( t) (, sent,cost) r ( t) (, cos t, sent) ds r () t 9 9sen t cos t dt i j k r r sent cost sen t cos t, sent, cost, sent, cost cost t n sent r r 9 6sen t cos t n r 9 9sen t cos t r r 9 6sen t cos t κ r 9 9sen t cos t 6

244 Curvs Finlmente, tmbién se podrí utilir el teorem de Pitágor pr determinr l mgnitud de un de ls celerciones: n t Ejercicios Propuestos 8. σ (). Hlle t σ en cd uno de los csos siguientes: ) σ () t ( sen πt,cos πt,t t ) c) σ ( t) ( t, t,) t t b) () t ( e,cost,sen t) σ t,log σ d) ( t ) ( sen ( t), t) esp. ) σ ( π,,) b) σ (,, ) c) σ (,,) d) σ (),, ln. Un punto situdo en l rosc de un tornillo, que se enrosc en un vig describe un hélice circulr, siendo t el ángulo de giro del tornillo, el rdio del tornillo b l elevción correspondiente l giro de un vuelt. Determine l velocidd el vector celerción del movimiento del punto. b esp. r ( t) sent, cost, r ( t) ( cost, sent,) π. El movimiento de un prtícul está definido por ( t) t( costî sen tj ˆ). Hállese su velocidd, ls componentes tngencil norml de l celerción en t π.. L posición de un prtícul móvil en el tiempo t viene dd por r() t ( t 6t) î 5tˆj. Clcule el instnte en que l rpide de l prtícul es mínim. esp. t 5. Determinr los vectores velocidd celerción, l ecución de l rect tngente pr cd un de ls curvs siguientes en el vlor especificdo de t. ) r () t 6t,t, t, t sen b) r () t t, cost,t, t esp. ) r ( 6,,) ; (,6,) b) r ; 6t l : r cos,sen,, con 6. Se un prtícul de grmo de ms, que sigue l trectori ( t) t t t t uniddes en segundos centímetros. Qué fuer ctú sobre ell en? Not: F m. () σ t 7. Se un trectori en punto. esp. F 5 (,, ) N I con celerción cero. Probr que t t 8. Suponer que un prtícul sigue l trectori r( t) ( e, e,cost) un trectori tngente en σ es un rect o un hst que sle por t? e,, cos sen t. Dónde está en esp. 9. Un prtícul se mueve sobre l curv C que se obtiene de l intersección de l esfer el plno. Obtener l ecución de l trectori que describirí l prtícul si se seprse de l curv C en el punto,, 7

245 Curvs ( t π ) ( t π ) ( t π ) esp. l :. Clculr l curvtur l componente norml de l celerción de l curv t r t cost, e, t, pr t () esp. k N (,,). Encontrr ls ecuciones de l rect tngente el plno norml l curv 6 sen t, cost, sen 5t en el punto t π esp.. El movimiento de un prtícul está representdo por l función () 5 r t t, t,t, t. En el tiempo t, l prtícul es epulsd por l tngente con un rpide de uniddes por segundo. A qué tiempo por qué punto trvies l prboloide? esp. t, 89 seg. 5 P 69,, 6. Dd l curv r() t e, e, t, t t Encontrr l curvtur ls ecuciones de ls rects tngente norml en t esp.. Hllr l función vectoril pr l curv de intersección entre el cilindro el 5 plno 5. Encontrr l curvtur en el punto (,5,). esp. r( t) ( cost, 5 sent, sent) ; k 5 5. Un prtícul se mueve suponiendo l trectori r() t t, t t, 5 en t seg sle por l tngente. Clculr l posición l velocidd de l prtícul en t seg.,8, l 8,8, esp. r 6. Clculr l longitud de rco descrito por el vector r t cos t, sen t, t, t. () 9 esp. L 5 ln 7. Un prtícul se mueve por l trectori ( ( t) cos t, sent, sent ) σ desde t seg hst t π seg. En t π seg l celerción norml dej de ctur, l prtícul sle disprd tngencilmente σ. Clculr l posición de l prtícul seg después que dej de ctur l celerción norml. esp. (, π, π ) 8

246 Integrles de Líne 9 n 9.. CAMPOS VECTOIALES EN DEFINICIONES POPIEDADES CAMPOS VECTOIALES 9.. CONSEVATIVOS 9.5. INTEGALES DE LÍNEAS 9.6. TEOEMA DE GEEN 9.7. INTEGAL DE LÍNEA PAA EL ÁEA DE UNA EGIÓN PLANA Objetivos. Se persigue que el estudinte: Clcule integrles de líne. Aplique el Teorem de GEEN. Clcule el áre de regiones plns emplendo integrles de línes.

247 Integrles de Líne En el cpítulo de funciones de vribles se definió funciones vectoriles generles de l form de l form F: U n n F: U n m, hor trtremos con funciones 9.. CAMPOS VECTOIALES EN n Si Si Sen f, f,, f n funciones esclres de ls vribles,,, n definids en un n n n región Ω de. L función F: U tl que F ( f(,, ), f ) se,,,,, f,, n, n n, n llm Cmpo vectoril sobre Ω. F: U se lo denot como F M(, ), N(, ) F: U se lo denot como: F M(,, ), N(,, ), P(,, ). Ejemplo F : U tl que F (, ) Algunos ejemplos físicos comunes de cmpos vectoriles son: Cmpos de velociddes Cmpos grvitcionles. Cmpos de fuers eléctrics. Un cmpo conocido es el Grdiente, Si llmmos el vector,, f, de un función esclr f. obtener l definición del grdiente otrs definiciones más. 9. DEFINICIONES, operdor NABLA, podemos Se f un función esclr F ( M, N, P) un cmpo vectoril. Se define:. El grdiente de f como el vector

248 Integrles de Líne f f f f,, f,,. L Divergenci de F como F,, ( M, N, P) M N P. El rotcionl de F como el vector i j k F M N P. El Lplcino de f como 9. POPIEDADES f f f,,,, f f f f f Se f un función esclr sen F G cmpos vectoriles. Entonces:. ( F G) F G. ( f F) f ( F) ( f ) F. ( f F) f ( F) ( f ) F. ( F G) ( F) G ( G) F 5. ( f ) F 6.

249 Integrles de Líne f F F 7. Ls demostrciones de ests propieddes se l dejmos l lector. 9. CAMPOS VECTOIALES CONSEVATIVOS Un cmpo vectoril F se dice que es conservtivo si eiste lgun función diferencible f tl que F f. L función f se llm función potencil de F. 9.. Teorem. Un cmpo vectoril F es conservtivo si sólo si F. Ejemplo Determine si F (, ) función potencil. SOLUCIÓN: es conservtivo. En cso de serlo encuentre l El rotcionl de F serí: i j k i j k F (,, ) (,, Por tnto, F si es conservtivo. Note que pr cmpos de M N P, bst que N M pr ser conservtivos. Por qué?. Cundo el cmpo es conservtivo l función potencil eiste demás: f f F f, (, ) Es decir conocemos ls derivds prciles de l función potencil, entonces: f f d f (, ) ( ) f d f g C (, ) Hciendo superposición de soluciones, l función potencil serí: f (, ) C f h C )

250 Integrles de Líne Ejemplo Determine si F (,,) l función potencil. SOLUCIÓN: es conservtivo. En cso de serlo encuentre El rotcionl de F serí: i j k i j k F (,, ),, M N P Por tnto, F si es conservtivo. Ahor tenemos: f f f F f,,,, Entonces f d f(,, ) g, C f d f,, h, C f d f,, h, C Hciendo Superposición de soluciones: f,, C 9.5 INTEGALES DE LÍNEAS En los cpítulos 6 7 trtmos integrles de funciones esclres sobre regiones de o regiones de, hor trtremos integrles de funciones esclres funciones vectoriles sobre curvs Integrles de línes de funciones esclres. n Se f : U un función esclr de n vribles definid en un región U que contiene un curv suve C de longitud finit, l integrl de líne de f sobre C se define como: C (,,, ) lim (,,, n n ) f ds f Δs n Δ i Supuesto que este límite eist. i 5

251 Integrles de Líne Teorem. Clculo de un integrl de líne como integrl definid. Se f continu en un región que contiene un curv suve C, definid por r() t ( () t, () t,, n () t ) donde t b, entonces: C fds f r() t r () t dt b C [ ] [ ()] [ ()] f ( () t, () t,, () t ) () t t t dt Si f entonces tenemos n Ejemplo. Clculr ( ) C C ds, l longitud de l curv. ds donde C : segmento de rect desde el punto (,,) l punto (,, ). SOLUCIÓN: L ecución de C es t t t ; es decir: r() t ( t, t, t). n 6

252 Integrles de Líne Entonces: C fds f r () t r () t dt C t t t d ( t ) 6 t dt t t t Ejemplo Clculr ds donde C : es l curv que se present en el gráfico: C (,) (,) SOLUCIÓN: Por l form de C debemos hcer dos integrles; es decir: ds ds ds donde : C C C t Pr l primer integrl C t C C. : 7

253 Integrles de Líne C t ds t dt t Pr l segund integrl C t Por tnto: C t ds t t dt t t dt 5 8 ds ds ds 5 C C C 9.5. Integrles de líne de Cmpos vectoriles. n Se F: U n un cmpo vectoril continuo definido sobre un curv suve C dd por r( t) ( () t, () t,, n () t ) donde t b. L integrl de líne de F sobre C se define como: F dr F T ds C C eemplndo Entonces: T C () () r t r t ds r t dt () b r t F T ds F r () t dt r t C F dr ( F( () t, () t,, () t )) ( r () t n ) dt C 8

254 Integrles de Líne Ejemplo Clculr r t F dr C () ( cos t, sent, t) SOLUCIÓN: donde F (,, ) C C es l curv definid por desde el punto (,, ) hst el punto (,, π ). π F d r sent t dt π π (,, ) (,cos,) ( cos t, cos tsent, t ) ( sent,cos t,) ( cos cos ) tsent tsent t dt π cos t cos t t 8π 8π dt L integrl de líne que cbmos de definir se l puede interpretr como el trbjo que tiene que relir un cmpo F l desplr un prtícul sobre l curv C, si denotmos l trbjo como W, entonces: W F dr Form Diferencil En l integrl F r () t dt Supong que entonces tenemos que () C eemplndo: F ( M, N, P d d d r t,, dt dt dt C ) que C: r() t ( () t, () t, () t ) () t (,, ),, dt dt dt C d d d F r dt M N P dt C 9

255 Integrles de Líne Entonces: C F r ( t) dt Md Nd Pd C Ejemplo Clculr F dr C hst el punto (, ). donde F (, ) SOLUCIÓN: Emplendo l form diferencil En este cso eemplndo: C F dr Md Nd C d d C entonces d ( ) C desde el punto (, ) C: d ( ) ( ) d d d d ( ) d ( ) d 69 Vemos hor que eisten cmpos vectoriles que producen el mismo efecto independientemente de l trectori.

256 Integrles de Líne 9.5. Independenci de l Trectori Ejemplo Clculr F dr C hst el punto,. donde F (, ) SOLUCIÓN: Emplendo l form diferencil En este cso eemplndo: C F dr Md Nd C d C entonces d C d d C: d d d d 8 d 8 Si emplemos l trectori entonces d d eemplndo: C 5 d d d d d 5 Si emplemos l trectori entonces d d eemplndo: desde el punto (, )

257 Integrles de Líne C d d d d 6 6 d Note que se obtienen los mismos resultdos pr diferentes trectoris, demás observe que el cmpo F es conservtivo debido que: N M ( ) Teorem Si F es continuo en un región biert cone, entonces l integrl de líne F dr es independiente del cmino si sólo si conservtivo. Ejemplo C F es Clculr F dr C donde F (, ) desde el punto (, ) hst el punto SOLUCIÓN: Emplendo l form diferencil,. C: r() t ( cos t, sent)

258 Integrles de Líne C F dr Md Nd C C ( ) d d cost d sentdt En este cso entonces sent d costdt eemplndo: C d d sen t sentdt cost sen t costdt Se observ que integrl está difícil de evlur. Ahor vemos si F es conservtivo: N M C ( ) ( ) Como F si es conservtivo, entonces es independiente de l trectori: cost sent (, ) (,) Mejor empleemos un trectori simple: entonces d eemplndo: C ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d

259 Integrles de Líne Sin embrgo podemos evlur l integrl de líne de otr mner pr cmpos conservtivos Teorem Fundmentl Se C un curv suve troos situd en un r egión biert dd por dd por r() t ( () t, () t,, n () t ) donde t b. Si F ( M, N, P) es conservtivo en ; M, N P son continus en entonces: F dr f dr f f C C finl inicil Siendo f un función potencil de F. Es decir: f f f F d r f d r,, d, d, d C C C f f f d d d C C df f f finl inicil Ejemplo En el ejemplo nterior, como F (, ) encontrr su función potencil plicr el teorem nterior: Hllndo l función potencil. f f ( ) g C f f h C Entonces: f, C es conservtivo podemos

260 Integrles de Líne F dr f finl f C inicil ( ) C ( ) C Ejemplo Clculr F dr donde F,,ln C C: r t, t t, t t () t. SOLUCIÓN: elir el cálculo de l integrl de linel convencionlmente puede resultr complicdo. Vemos si F es conservtivo: i j k i j k F,,,, M N P ln ( ) Entonces F es conservtivo por ende independiente de l trectori; se podrí utilir un trectori simple, por ejemplo el segmento de rect que v desde el punto r ( ), ( ) ( ), ( ),, l punto r (), () (), (),, () O mejor ún, se podrí utilir l función potencil, hllémosl: f f f F f,,,,ln f d ln g (, ) C f d ln h, C ln ln (, ) ln ln (, ) f d I C g C Por tnto f,, ln C 5

261 Integrles de Líne F dr f,, f,, C ln C ln () C ln ln ln Si l trectori es cerrd si el cmpo es conservtivo continuo dentro de l región que encierr l curv entonces: F dr C Ejemplo Clculr F dr donde F, C SOLUCIÓN: Vemos si F es conservtivo. Como es un cmpo de : C : ( ) ( ) N M Por tnto F si es conservtivo. Como l trectori es cerrd se podrí pensr que el vlor de l integrl de líne deberí ser cero, pero observe que el cmpo no es continuo en (, ), entonces debemos evlur l integrl de líne. cost L curv en form prmétric es C : sent L Integrl de líne serí: en form vectoril r() t ( cos t, sent) 6

262 Integrles de Líne C π F dr F r dt, ( sent, cost) dt C π sent cost, ( sent,cost ) dt π π π ( sen t cos ) Eiste otro mecnismo pr evlur integrles de línes en el cso de cminos cerrdos. dt t dt 9.6 TEOEMA DE GEEN Se F ( M, N) un cmpo vectoril de. Se un región simplemente cone con fronter C suve troos orientd en sentido N ntihorrio. Si M, N,, M son continus en un región biert que contiene, entonces: N M F dr Md Nd da C C Ejemplo Clculr F dr donde F (, ) C : es el cmino desde (, ) C (,) sobre desde (, ) (, ) sobre. SOLUCIÓN: L evluremos primero emplendo un integrl de líne luego por el Teorem de Green pr comprr procedimientos comprobr resultdos. 7

263 Integrles de Líne (,) (,) PIME MÉTODO: Por integrl de líne: ( ) F dr Md Nd d d C C C H trectoris: C entonces d d : C ( ) ( ) d d d d C entonces d d : 6 6 ( 6 ) d 6 ( 7 ) d

264 Integrles de Líne C Por lo tnto: ( ) d d d d 5 5 ( ) d ( 5 ) C C C d 7 5 F dr F dr F dr 5 SEGUNDO METODO: Emplendo el TEOEMA DE GEEN N M ( ) ( ) F dr da da C L región es: (,) (,) 9

265 Integrles de Líne ( ) d ( ) N M da ( ) dd d dd d Ejemplo Clculr F dr donde F ( rc sen,cos ) C que se describe en l gráfic: C : es el cmino SOLUCIÓN: Aquí es mejor por GEEN, Porqué?

266 Integrles de Líne C Psndo Polres: N M F dr da ( cos ) ( rc sen ) ( ) da ( ) ( cos ) π π ( sen ) ( senθ θ) da da r θ rsenθ rdrdθ cosθ θ r drdθ π r ( cosθ senθ) dθ cos 8 8 π 9.7 INTEGAL DE LÍNEA PAA EL ÁEA DE UNA EGIÓN PLANA. Con integrles de línes tmbién podemos clculr el áre de regiones M N N M da Md Nd C da d d C da d d plns. En l formul de Green, si tommos C entonces

267 Integrles de Líne 9.7. Teorem Se un región pln limitd por un curv cerrd simple troos C. El áre de viene dd por: A d d C Ejemplo Empler un integrl de líne pr clculr el áre de l región limitd por SOLUCIÓN: Hciendo un dibujo de l región C : (,) C : (, 5) 5 L curv C que encierr está compuest por dos trectoris diferentes, clculremos l integrl de líne por cd trectori, luego sumremos los resultdos. Primero: C : entonces d d eemplndo evlundo:

268 Integrles de Líne C d d ( d) ( ) d d d Segundo: C : entonces d d eemplndo evlundo: Finlmente, sumndo: C d d ( d) ( ) d ( ) d 8 A ( ) 8 d Ejemplo Hllr el áre de l elipse con ecución b SOLUCIÓN: cost Ls ecuciones prmétric de l elipse son: C : bsent d sent dt Entonces d bcost dt eemplndo en l formul nterior luego evlundo, result:

269 Integrles de Líne π A d d t b tdt bsent sentdt C π π π ( cos )( cos ) cos b tdt bsen tdt b( cos t sen t) dt b π bt π b bdt dt π Ejercicios Propuestos 9.. L fuer ejercid por un crg eléctric ubicd en el origen sobre un prtícul crgd situd en un punto (,, ), con vector posición r ( t) ( ( t), ( t), ( t) ) es F ( r) k r r,donde k es un constnte. Encuentre el trbjo relido cundo l prtícul se mueve lo lrgo de un rect de (,,) (,,5).. Ddo el cmpo vectoril F(,, ) ( sen ) i j k, demostrr que F es un cmpo conservtivo encontrr su función potencil.. Clculr siendo C l trectori F dr C( t) 5 8 ( t ), cos ( πt ), cos ( πt ), C t [,] F(,, ) ( 6, 6, ). Clculr d d donde C es el círculo unitrio centrdo en el origen. C F(, ) e, e, clculr el trbjo de F en el 5. Se contorno del cudrdo determindo por: ; 6. Evlur l integrl d d ; donde C es l curv que const del rco C de (,) (,) del segmento de rect que v de (,) (,) 7. Verificr el teorem de Green en l integrl ( ) d ( ) d, siendo C el C contorno del triángulo con vértices en los puntos (,),(,), (,). 8. Hllr donde C const de los segmentos de rect que vn desde (,) (- d d C,) de llí (,) luego l prte de l circunferenci pr > >.

270 Integrles de Líne 9. Un prtícul empie en el punto (-,), se mueve lo lrgo del eje hci (,) luego lo lrgo de l semicircunferenci hci el punto inicil. Encontrr el trbjo sobre est prtícul por el cmpo de fuers F (, ) (, ).. Clculr: d ln d, donde C es l circunferenci. Utilindo un integrl de líne clculr el áre de l región encerrd por l curv. Emplendo un integrl de líne, encuentre el áre de l región limitd por ls gráfics ; ; ;. 5

271 Integrles de Superficies.. INTEGALES DE SUPEFICIES DE FUNCIONES ESCALAES... SUPEFICIES PAAMETIZADAS TEOEMA DE STOKES.... INTEGALES DE SUPEFICIES DE CAMPOS VECTOIALES. INTEGALES DE FLUJO.. TEOEMA DE GAUSS Objetivos. Se persigue que el estudinte: Clcule integrles de Superficies de Volúmenes. Aplique el Teorem de Stokes. Aplique el Teorem de Guss.

272 Integrles de Superficies. INTEGALES DE SUPEFICIES DE FUNCIONES ESCALAES. En el cpítulo de integrles Dobles se estbleció l mner de clculr áre de un superficie, hor se trt de clculr el efecto de un función esclr sobre un superficie. Es decir, evlur integrles del tipo: S Ejemplo. f (,, ) ds ds donde S : porción del plno en el primer Clculr S octnte. SOLUCIÓN: Primero hcemos un dibujo de l superficie: S: Proectmos l superficie en el plno, por tnto: S L región de integrción serí: ds dd

273 Integrles de Superficies Hciendo ls sustituciones correspondientes evlundo l integrl doble: ( ( )) ( ) dd ( ) ( ) ( ) d dd dd d d u dv d

274 Integrles de Superficies Puede ocurrir que no se posible proectr l superficie en el plno que si se l pued proectr en el plno o en el plno, en tles csos tenemos: Proectndo en el plno. Si l ecución de l superficie está dd por f (, ) ds f f dd O en form implícit, si F(,, ) entonces; ds Proectndo en el plno. F F F F dd Si l ecución de l superficie está dd por f (, ) ds f f dd F,, O en form implícit si ds F F F F, entonces: dd Ejemplo Demuestre que el áre lterl del cilindro, que se muestr es π h. h S: SOLUCIÓN: Proectndo en el plno

275 Integrles de Superficies h F F F S dd dd F h rcsen rcsenrcsen h π h π h h dd.. SUPEFICIES PAAMETIZADAS. Si pr un superficie están dds sus ecuciones prmétrics: ( uv, ) S: ( uv, ) ( uv, ) Que definen su vector posición: r( uv, ) ( uv, ), ( uv, ), ( uv, ) Entonces el diferencil de superficie está ddo por: ds ru r v dudv Ejemplo. Hllr el áre de l superficie de l esfer. SOLUCIÓN: Emplendo ls ecuciones prmétrics pr l esfer: senφ cosθ S : senφ senθ ; φ π; θ π cosφ El vector posición pr los puntos de l esfer serí: r φθ, senφ cos θ, senφ senθ, cosφ Ls derivds prciles serín: rι ( cosφ cos θ, cos φ senθ, senφ ) rθ senφ senθ, senφ cos θ, El producto cru su mgnitud: 5

276 Integrles de Superficies i j k rι rθ cosφ cosθ cosφ senθ senφ senφ senθ senφ cosθ ( sen φ cos θ, sen φsenθ, senφcosφcos θ senφcos φsen θ) rι rθ sen φ cos θ sen φsen θ senφcos φcos θ senφcosφsen rι rθ sen ( θ) ( cos ) cos ( cos ) sen φ θ sen θ sen φ φ θ sen θ sen φ sen φcos φ ( sen cos ) senφ φ φ φ El áre de l esfer estrí ddo por: π π S senφ dφdθ cosφ θ π π π π Ls integrles de funciones esclres sobre superficies prmetris serín de l form: f ( ( uv, ), ( uv, ), ( uv, )) ru r v dudv Ejercicios propuestos.. Encontrr el áre de l superficie totl que encierr el sólido formdo por el cilindro, los plnos ;. Evlur ( ) ds, siendo S l superficie del cono ( ) entre S. Considere l superficie S S S, siendo S l superficie del cilindro entre, S l superficie semiesféric ( ),. Si F (,,, evlur l integrl F nds ) S rcosφ. Clculr el áre de l superficie dd por: rcosφ φ r, φ π Ls integrles de superficies nos permitirán evlur integrles de funciones vectoriles sobre curvs que encierrn superficies, pr lo cul tenemos un generlición del teorem de GEEN. 6

277 Integrles de Superficies. TEOEMA DE STOKES Se S un superficie orientd con vector unitrio N cuo contorno es un curv cerrd simple C, suve troos. Si F es un cmpo vectoril cus funciones componentes tienen derivds prciles continus en un región biert que contiene S C, entonces: F dr F N ds C S Ejemplo. Comprobr el Teorem de Stokes pr F (,, ) prboloide 5 C : tr de SOLUCIÓN: Identificndo S C : S en el plno., S : superficie del S : 5 S N S C : PO INTEGAL DE LÍNEA. F dr Md Nd Pd C C C d d d 7

278 Integrles de Superficies cost d sent dt En este cso C: sent entonces cos d t dt d eemplndo evlundo: C π [ ] [ ] d d d sentdt cost costdt sent π π cos tdt ( cost ) sent t π APLICANDO EL TEOEMA DE STOKES. PO INTEGAL DE SUPEFICIE. F dr F N ds C S π Clculndo el rotcionl, el vector norml l superficie el diferencil de superficie: i j k F (,,) S N (,,) S ( ) ( ) ds dd eemplndo: (,,) ( F ) NdS (,,) dd S ( ) dt dd En este cso l región de integrción es el círculo centrdo en el origen de rdio, psndo coordends cilíndrics: 8

279 Integrles de Superficies π ( ) ( ( cosθ )( θ) θ ) dd r rsen rsen rdrdθ π π r r r senθ senθ dθ senθ senθ dθ cos θ 8 ( cosθ) θ π π Ejercicios propuestos. nds. Clculr rotf, donde F (,, ) i j k S es l superficie S semiesféric con >. Comprobr el teorem de Stokes si F(,, ) ( ) i ( ) j ( )k clculndo l circulción lo lrgo de l curv de intersección de con.. Clcule el trbjo efectudo por el cmpo de fuer F(,, ) ( ) i ( ) j ( )k ;cundo un prtícul se mueve bjo su influenci lrededor del borde de l porción de l esfer que se encuentr en el primer octnte, en dirección opuest l de ls mnecills del reloj cundo se observ desde rrib. d d d. Donde C es l curv de intersección entre. Clculr C ls superficies ;. 5. Ddo el cmpo de fuers F (,, ) (,, ). Encontrr el trbjo que relirá F l mover un prtícul trvés de los puntos: (,,) (,, ) (,, 5) 6. Evlur, siendo F dr F i rctg j k ln C: el triángulo C con vértices (,,), (,,), (,,). 7. Evlur ( ) d ( ) d ( ) d donde C es l fronter de l superficie C ; 8. Clculr ;donde C es l intersección del cilindro, d d d C el plno, l orientción de C corresponde l movimiento en sentido contrrio l de ls mnecills del reloj. 9. Clculr ( ) d ( ) d ( )d ; donde C es l curv de C intersección de l superficie del cubo ; ; ; el plno 9

280 Integrles de Superficies. INTEGALES DE SUPEFICIES DE CAMPOS VECTOIALES. INTEGALES DE FLUJO Se trt hor de determinr el efecto de funciones vectoriles F S, pr esto se emplerá integrles de superficie F N ds trvesndo un superficie de l form: S Este tipo de integrles son llmds integrles de Flujo. Ejemplo. Clculr F NdS pr F (,, ) en el primer octnte. SOLUCIÓN: S S : porción del plno F N S: El flujo trvés del plno estrí ddo por: (,, ) F NdS (,, ) ds S S S ( ) Proectndo l superficie en el plno, l región de integrción serí: ds