8Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 170

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1 PÁGINA 70 Pág. P RACTICA Representación de rectas Representa las rectas siguientes: a) y b) y c) y d) y c) b) a) d) Representa estas rectas: c) a) y 0,6 b) y c) y, d) y d) a) b) Representa las rectas siguientes, eligiendo una escala adecuada: a) y b) y c) y d) y 00 0 a) b) 0 y y

2 c) d) y y Pág. Representa las rectas siguientes: a) y + b)y + c) y 8 d) y e) y, f) y + b) a) e) d) f) c) 6 Representa las rectas siguientes: a) + y b) y c) y d) + y 6 e) + 9y 0 f) y + 0 0

3 a) y b) y + c) y d) y e) y 9 f) y + a) b) d) 8 f) 6 e) c) Pág Representa, en los mismos ejes, las dos rectas dadas en cada caso, y halla el punto en el que se cortan: +y 7 y + a) b) y + y y ( +) y c) d) + y y a) b) + y 7 y + y y + Punto de corte: (, ) Punto de corte: (, )

4 c) d) Pág. y ( + ) + y + 0 y + y Punto de corte: (, ) Punto de corte: (, ) Ecuaciones de rectas 8 Halla la pendiente y escribe la ecuación de las siguientes rectas: r r B r 6 C A Observa que r, r y r corresponden a funciones de proporcionalidad por ser rectas que pasan por el origen de coordenadas. Pendiente de r : las coordenadas del punto A son(, ); por tanto: m. La ecuación de una función de proporcionalidad adopta la forma y m: Ecuación de r : y Pendiente de r : las coordenadas de B son (, ); por tanto, m. Ecuación de r : y Pendiente de r : las coordenadas de C son (7, ); por tanto, m. Ecuación de r : y 7 7

5 9 Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto P en cada uno de los casos siguientes: a) P (, ) b) P (, c) P ( 7, ) d) P (0, 6) ) a) m ; por tanto, y. b) m : ( ) ; por tanto, y. 8 8 c) m ; por tanto, y 7 d) m 6 ; por tanto, y Pág. PÁGINA 7 0 Halla la ecuación de la función de proporcionalidad que pasa por el punto (, ). Por ser la ecuación de una función de proporcionalidad sabemos que la recta pasa por el origen de coordenadas. Además, por pasar por el punto (, ) la pendiente de la resta es: m. Por tanto, la ecuación de la recta es: y. Escribe la ecuación de la recta de la que conocemos un punto y la pendiente, en cada uno de los casos siguientes: a) P(, ), m b) P (, ), m c) P( 7, ), m d) P(, ), m En todos los casos, utilizamos la ecuación punto-pendiente de la recta: a) y + ( +) b)y ( ) c) y + ( +7) d)y ( +) Escribe las rectas del ejercicio anterior en forma general. a) y + ( + ) y b) y ( ) y c) y + ( + 7) 8 y + ( + 7) y d) y ( + ) 8 y ( + ) y 6

6 a) Escribe la ecuación de cada recta: Pág. 6 a 6 c b 6 d b) Cuáles de ellas son funciones crecientes y cuáles decrecientes? Comprueba el signo de la pendiente en cada caso. a) a: Pasa por (, ) y (, ): m ( ) Ecuación: y ( +) b: Ordenada en el origen:. Pendiente: cuando aumenta, y aumenta 8 m Ecuación: y + c: Ordenada en el origen:. Pendiente: cuando aumenta, y aumenta 8 m Ecuación: y + d: Recta de pendiente 0 que pasa por (0, ). Ecuación: y b) a: m, pendiente negativa. Función decreciente. b: m, pendiente positiva. Función creciente. c: m, pendiente positiva. Función creciente. d: m 0. Función constante, ni crece ni decrece. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B, y escribe su ecuación en cada uno de los casos siguientes: a) A(, ), B(, ) b) A(, ), B(, ) c) A( 7, ), B(9, ) d) A(0, 6), B(, 0) e) A (,, B, ) ( ) f) A (, ), B (, )

7 a) Pendiente: m ( ) Ecuación: y + ( ) b) Pendiente: m ( ) Ecuación: y ( +) c) Pendiente: m ( ) 9 ( 7) 6 Ecuación: y ( +7) 6 d) Pendiente: m Ecuación: y 6 + e) Pendiente: m Ecuación: y + 8 ( ) 8 f) Pendiente: m 0 ( ) 6 Ecuación: y + ( + 0 ) Pág. 7 6 Asocia cada una de las rectas r, s, t, p y q a una de las ecuaciones que aparecen debajo: q a) y b) y + t r c) y d) y + e) y s p a) y es la recta s. b)y + es la recta q. c) y es la recta r. d)y + es la recta t. e) y es la recta p.

8 7 Di cuál es la pendiente de cada una de estas rectas. Después, representa todas ellas en los mismos ejes y observa la relación que hay entre sus gráficas. Qué conclusión sacas? a) y b) y c) y + 0 d) y + 0 Pág. 8 a) m b) m c) m d) m d) c) a) b) Las cuatro rectas son paralelas. Concluimos que las rectas que tienen la misma pendiente o son paralelas o son coincidentes. PÁGINA 7 8 Escribe la ecuación de cada una de estas rectas y represéntalas: a) Pasa por (, ) y (, ). b) Pasa por (, y su pendiente es. ) c) Pasa por el punto (, ) y su ordenada en el origen vale. d) Pasa por (, ) y es paralela a y. e) Es paralela al eje y pasa por el punto (, ). f) Es paralela al eje y pasa por el punto (, ). Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. a) m 6 ( ) Ecuación de la recta: y ( +) b) Ecuación de la recta: y ( ) c) m ( ) 0 Ecuación de la recta: y +

9 d) Como es paralela a y, tenemos que m. Ecuación de la recta: y + ( ) e) Como es paralela al eje, para cualquier valor de, y tiene el mismo valor. Ecuación de la recta: y f) Como es paralela al eje, el valor de permanece constante. Ecuación de la recta: Pág. 9 a) f) c) d) b) e) 9 a) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (, ) y es paralela a la que pasa por los puntos (, 0) y (, ). b) Con la recta que has obtenido en el apartado anterior, obtén el valor de y cuando. c) Con la recta obtenida en el apartado a), halla el valor de cuando y 0. a) Pendiente de la recta que pasa por (, 0) y (, ): m 0. Como son paralelas, la recta que pasa por (, ) tiene la misma pendiente. Ecuación de la recta: y ( ) b) 8 y ( ) 8 y c) y ( ) 8 9 Puntos de una recta Comprueba que el punto (, 7) pertenece a la recta y 8. 8 y 8 7 El punto (, 7) sí que pertenece a la recta y 8.

10 Averigua si la recta siguiente pasa por el punto (0, 8): Pág. 0 Ecuación de la recta: y y El punto (0, 8) sí que pertenece a la recta. Considera estas rectas: 7 r : y 6 s : y + 8 t : y 7 + ( ) Averigua cuál de ellas pasa por cada uno de los siguientes puntos: 0 P (, ), Q (,, R ( 0, ) ) r: P (, ) 8 y 6 8 y 9? Q (, 8 y 6 8 y? ) ( ) R( 0, ) 8 ( 0) y 6 8 y La recta r pasa por el punto R( 0, ). 7 s: P(, ) 8 y y Q (, 8 y y? ) ( ) 7 6 R( 0, ) 8 y ( 0) y? La recta s pasa por el punto P(, ). t: P(, ) 8 y 7 + ( ) 8 y? 0 0 Q (, ) 8 y 7 + ( ) 8 y R( 0, ) 8 y 7 + ( 0 ) 8 y 9? 0 La recta t pasa por el punto Q (, ).

11 Calcula c para que la recta y c pase por el punto (, ). El punto (, ) tiene que verificar la ecuación de la recta. Por tanto: ( ) c 8 c 6 Pág. Calcula b para que la recta + by pase por el punto (, ). El punto (, ) tiene que verificar la ecuación de la recta. Por tanto: + b ( ) 8 b Pendiente y ordenada en el origen 7 Halla la pendiente y la ordenada en el origen de cada una de las rectas siguientes: a) +8y b) 7y 8 c) y d) 6 y 0 a) +8y 8 8y + 8 y Pendiente: m 8 Ordenada en el origen: n 8 8 b) 7y y 8 y Pendiente: m 7 8 Ordenada en el origen: n 7 c) y 8 y Pendiente: m 0 Ordenada en el origen: n d) 6 y y 8 y Pendiente: m Ordenada en el origen: n P IENSA RESUELVE 8 En cada caso, escribe la función y di el significado de la pendiente: a) El precio de kilos de patatas, si pagué, por kg. b) Los gramos que hay en kg. c) El precio de un artículo que costaba euros, si se ha rebajado un %.

12 a), m 8 m 0, Ecuación: y 0, La pendiente de la función es el precio de kilo de patatas. b) Ecuación: y 000 La pendiente de la función es el número de granos que hay en kilo. c) 0, 0,8 Ecuación: y 0,8 La pendiente de la función es el valor de después de la rebaja. Pág. PÁGINA 7 9 Comprueba si eiste alguna recta que pase por los puntos siguientes: A(, ) B(, ) C (6, 97) Para ello, halla la ecuación de la recta que pasa por A y por B, y prueba después si el punto C pertenece o no a esa recta. Ecuación de la recta que pasa por A y B: m Ecuación: y + ( ) Vemos si el punto C pertenece a la recta, es decir, cumple la ecuación: y + (6 ) 8 y 97 8 C sí que pertenece a la recta. Por tanto, los puntos A, B y C están alineados. 0 Las gráficas siguientes muestran la distancia que recorre el sonido dependiendo del tiempo, al propagarse a través de diferentes medios: DISTANCIA (km) GRANITO AGUA AIRE TIEMPO (s) a) Halla la pendiente de cada una y eplica su significado. b) Escribe sus ecuaciones.

13 a) Aire: Pendiente: m La pendiente indica que cada segundos, el sonido recorre kilómetro. Es decir, la velocidad del sonido en el aire es de 0, ) km/s. Agua: Pendiente: m,, La pendiente indica que cada segundo, el sonido recorre, kilómetros. Es decir, la velocidad del sonido en el agua es de, km/s. Granito: Pendiente: m,7 7, 6 ) 0, La pendiente indica que cada segundos el sonido recorre 7 kilómetros. Es decir, la velocidad del sonido en el granito es de, 6 ) km/s. b) Aire: y Agua: y, Granito: y 7 Pág. Israel y Susana, para su próimo viaje a Estados Unidos, han ido a cambiar euros por dólares. A Susana le han cambiado 89 dólares por 0 euros; y a Israel le han cambiado, dólares por 0 euros. a) Halla la ecuación de la función que nos permite obtener cuántos dólares recibimos según los euros que entreguemos. b) Cuántos dólares nos darían por 00 euros? por 0 euros? c) Cuántos euros teníamos si nos hubieran dado 0, dólares? a) La función de cambio es una recta que pasa por los puntos (0; 89) y (0;,). Por tanto: m 89, 7, Ecuación: y ( 0) 8 y b) Por 00 : y y dólares 0 Por 0 : y y dólares 0 c) Por y 0, dólares: 0, euros 0 En una academia cobran, por las clases de inglés, 0 fijos en concepto de matrícula más una cuota de mensuales. a) Halla la epresión analítica de la función n. de meses 8 coste total b) Represéntala gráficamente.

14 Ordenada en el origen: 0 a) 8 y 0 + Pendiente: b) 70 COSTE TOTAL ( ) Pág TIEMPO (meses) Esta es la gráfica del espacio que recorren tres montañeros que van a velocidad constante: 000 ESPACIO (m) C B 00 A a) Qué velocidad lleva cada uno? b) Escribe la epresión analítica de estas funciones. a) Montañero A: m 00 Velocidad, ) m/min. Montañero B: m 00 Velocidad, ) m/min. Montañero C: m 00 Velocidad, ) m/min. b) Montañero A: y 00 ( ) Montañero B: y Montañero C: y 00 TIEMPO (min) 0 0

15 Dos depósitos de agua, A y B, funcionan de la forma siguiente: a medida que A se va vaciando, B se va llenando. Estas son las gráficas: Pág CAPACIDAD (l ) TIEMPO (min) a) Indica cuál es la gráfica de A, cuál la de B y escribe sus ecuaciones. b) Cuál es la velocidad de entrada y de salida del agua? c) En qué momento los dos depósitos tienen igual cantidad de agua? a) Función creciente: B. Ecuación: y 0 Función decreciente: A. Ecuación: y b) La velocidad coincide con la pendiente. Velocidad de entrada: v e 0 0 l/min Velocidad de salida: v s 00 0 l/min c) A los minutos los dos depósitos tienen 0 litros. En una bañera hay 00 litros de agua. Al quitar el tapón, se vacía a una velocidad constante de 0 l/min. a) Cuánto tiempo tarda en vaciarse? b) Obtén la ecuación de la función que nos da la cantidad de agua que queda en la bañera (en litros), según el tiempo transcurrido (en minutos). c) Representa gráficamente la función y di cuál es su dominio. a) minutos CAPACIDAD (l ) 00 Tarda min en vaciarse. 80 b) y c) El dominio de la función es 0 Ì Ì y TIEMPO (min) 6

16 6 Una receta para hacer helados recomienda poner 0 g de vainilla por cada 00 cm de leche. Encuentra la relación entre la cantidad de leche y de vainilla, y representa la función. Si y son los granos de vainilla que corresponden a centímetros cúbicos de leche: 00y 0 8 y 0 Pág. 6 0 VAINILLA (g) LECHE (cm ) PÁGINA 7 7 Una milla equivale, aproimadamente, a,6 km. a) Haz una tabla para convertir millas en kilómetros. b) Dibuja la gráfica y escribe su ecuación. a) MILLAS b) y,6 KILÓMETROS,6, DISTANCIA (km) DISTANCIA (millas)

17 8 La temperatura de ebullición, T, de un líquido depende de la presión, P, a la que esté sometido. Cuanto menor es P menor es T. La tabla nos muestra esta dependencia: Pág. 7 Supongamos que la presión que soporta el líquido a nivel del mar es atmósfera. a) Es de proporcionalidad esta relación? Razónalo. b) Representa gráficamente estos valores. a) No, porque los puntos (, 00), (0,69; 90), (0,67; 80), (0,; 0) no están alineados. b) TEMPERATURA ( C) P (atm) (0,67; 80) T ( C) 00 0, , , 0 (0,69; 90) (, 00) 60 0 (0,; 0) , 0, 0, 0, 0, 0,6 0,7 0,8 0,9 PRESIÓN (ATM) 9 En una agencia de alquiler de coches cobran, para un modelo concreto, 0 fijos más 0, por cada kilómetro recorrido. En otra agencia, por alquilar el mismo modelo, cobran 0 fijos más 0, por cada kilómetro recorrido. a) Obtén, en cada uno de los dos casos, la epresión analítica de la función que nos da el gasto total según los kilómetros recorridos. b) Representa, en los mismos ejes, las dos funciones anteriores. (Elige una escala adecuada, tomando los kilómetros de 00 en 00).

18 c) Analiza cuál de las dos opciones es más ventajosa, según los kilómetros que vayamos a recorrer. a) Agencia : y 0 + 0, Agencia : y 0 + 0, b) 80 PRECIO ( ) Pág Agencia Agencia (00, 0) 0 DISTANCIA (km) c) Si vamos a recorrer menos de 00 km es mejor elegir la agencia. Si vamos a recorrer más de 00 km es mejor elegir la agencia. Si vamos a recorrer 00 km eactos, nos da igual qué agencia elegir. 0 En una cooperativa están obteniendo grandes beneficios, por lo que han decidido que, además de subir el sueldo a sus socios en un %, les van a dar un complemento de 0 mensuales a cada uno. a) Cuánto ganará Lorena, después de la subida, si su sueldo era de 00 mensuales? b) Escribe la ecuación de la función que nos da el nuevo sueldo (y) en función del antiguo (). c) Si Jaime ganara 98 después de la subida, cuál era su sueldo? d) Representa gráficamente la función. a) 00, Lorena ganará 60. b) y 0 +,0 c) , Jaime ganaba 00.

19 d) 00 SUELDO ACTUAL ( ) Pág (00, 60) (00, 98) SUELDO ANTIGUO ( ) En el contrato de trabajo, a un vendedor de libros se le ofrecen dos alternativas: A: Sueldo fijo mensual de 000. B: Sueldo fijo mensual de 800 más el 0% de las ventas que haga. a) Haz una gráfica que muestre lo que ganaría en un mes según la modalidad del contrato. Toma, como, las ventas que haga, y como y, el sueldo. b) Escribe la epresión analítica de cada función. c) A cuánto tienen que ascender sus ventas para ganar lo mismo con las dos modalidades del contrato? Qué ganancias obtendrá? a) SUELDO ( ) A (000, 000) 800 B VENTAS ( )

20 b) A: y 000 B: y , c) Sus ventas tienen que ascender a 000. En ese momento, con cualquier alternativa cobrará 000. Pág. 0 El precio de un viaje en tren depende de los kilómetros recorridos. Por un trayecto de 0 km, pagamos 7, y si se recorren 60 km, cuesta 9. Escribe y representa la ecuación de la recta que relaciona los kilómetros recorridos,, con el precio del billete, y. m Ecuación de la recta: y 9 + ( 60) 0 y + 0 PRECIO ( ) 0 0 y + 0, 0 0 DISTANCIA (km) La temperatura de fusión del hielo en la escala centígrada es 0 C, y en la Fahrenheit es F. La ebullición del agua es 00 C, que equivale a F. a) Encuentra la función lineal que nos da la relación entre las dos escalas y represéntala. b) Epresa en grados Fahrenheit las temperaturas siguientes: C; 6, C; 0 C. c) Pasa a grados centígrados 86 F y 6, F. Grados Fahrenheit (y) a) La recta pasa por (0, ) y (00, ). Grados Centígrados ()

21 m Ecuación de la función: y + 9 Pág. 0 TEMPERATURA ( F) (60, 0) (0, 0) TEMPERATURA ( C) b) 8 y y 77 8 C 77 F 6, 8 y + 9 6, 8 y 97,7 8 6, C 97,7 F 0 8 y y C 0 F c) y F 0 C y 6, 8 6, , 8 6, F 7, C En el recibo de la luz aparece esta información: CONSUMO 8 00 kwh PRECIO DEL kwh 8 0, a) Cuánto cobrarán por la energía consumida?

22 b) Haz una gráfica y escribe la ecuación de la relación consumo-coste. Utiliza estas escalas: Eje horizontal 8 cuadradito 00 kwh Eje vertical 8 cuadradito 0 c) Si, además, nos cobran al mes 0 por el alquiler del equipo, cómo queda la ecuación consumo-coste? Represéntala junto a la anterior y escribe su ecuación. d) Qué transformación sufre el precio si añadimos el 6% de IVA? Cómo se transforma el alquiler del equipo? Representa, junto a las otras, la gráfica de la función resultante y escribe su ecuación. a) 00 0, 80 Por 00 kwh cobrarán 80. b) y 0, Pág. 60 COSTE ( ) y, + 0, y 0 + 0, 0 y 0, CONSUMO (kwh) c) y 0 + 0, d) Coste de kwh: 0,,6 0, Coste del alquiler del equipo: 0,6, Ecuación: y, + 0, PÁGINA 7 R EFLEIONA SOBRE LA TEORÍA Pon un ejemplo de una función de proporcionalidad, halla tres puntos de ella y comprueba que el cociente entre la ordenada y la abscisa es constante. Cómo se llama esa constante? Respuesta abierta. La constante se llama constante de proporcionalidad.

23 6 En la función y m + n, cómo debe ser m para que la función sea decreciente? Para que sea decreciente m tiene que ser negativa. Pág. 7 Representa cada una de estas rectas, e indica en cada caso si la gráfica corresponde a una función o no: a) y b) c) y + 0 d) 0 a) Sí, es una función constante. b) No es una función. c) Sí, es una función constante. d) No es una función. b) a) y c) y d) 8 Sea la recta y +. a) Escribe la ecuación de dos rectas paralelas a ella. b) Escribe la ecuación de una recta con la misma ordenada en el origen y que no sea paralela a ella. a) Respuesta abierta. Por ejemplo: y + 0; y b) Respuesta abierta. Por ejemplo: y + 9 Cuál es la pendiente de la recta y 7? La pendiente de la recta es m 0. 0 Halla la ecuación de la bisectriz del primer cuadrante. Pasa por (0, 0) y (, ). Ecuación: y.

24 Cuál es la recta que tiene por ecuación y 0? la de ecuación 0? y 0 8 es el eje de abscisas, eje. 0 8 es el eje de ordenadas, eje. Pág. Escribe la ecuación de una recta paralela al eje vertical y que pase por el punto (, ). Paralela a 0, pasa por el punto (, ). Ecuación de la recta:. Sean las rectas: a) y b) y + 0 c) y + d) y Compara sus pendientes y di, sin dibujarlas, cuáles son paralelas. Después, represéntalas gráficamente y comprueba tus respuestas. Son paralelas las rectas a) y b). a) y d) y b) y + c) y + Justifica si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas: a) La recta es paralela al eje de abscisas. b) La recta 0 es paralela al eje de ordenadas. c) La recta y es paralela al eje de abscisas. d) Las rectas y e y son paralelas. a) Falsa. Porque es paralela al eje de ordenadas. b) Verdadera. c) Verdadera. d) Falsa. Porque la pendiente de la primera recta es y la pendiente de la segunda recta es.

25 a) Cuál es la ordenada del punto de corte de una recta con el eje? b) Cuál es la abscisa del punto de corte de una recta con el eje? a) La ordenada es 0. Porque todos los puntos del eje tienen la ordenada igual a 0. b) La abscisa es 0. Porque todos los puntos del eje tienen la abscisa igual a 0. Pág. 6 Halla, sin representar las rectas, el punto de corte con el eje y el punto de corte con el eje de cada una de estas rectas: a) y b) y 6 c) y d) y + Ten en cuenta las respuestas del ejercicio anterior. a) 0 8 Punto de corte con el eje : (, 0) 0 y 8 y Punto de corte con el eje : (0, ) b) Punto de corte con el eje : (, 0) 0 y 6 8 y 6 Punto de corte con el eje : (0, 6) c) 0 8 Punto de corte con el eje : (, 0) y 0 8 y Punto de corte con el eje : 0, ( ) d) Punto de corte con el eje : (, 0 ) y y Punto de corte con el eje : (0, )

26 P ROFUNDIZA Pág. 6 7 Considera las rectas r, r, r y r que aparecen en la gráfica siguiente: r r r r a) Sin hacer operaciones, ordena las rectas de menor a mayor pendiente. b) Dibuja una recta cuya pendiente sea menor que la de r. a) r, r, r, r m r < m r < m r < m r b) Respuesta abierta. Por ejemplo: una recta con pendiente. 8 Considera el triángulo cuyos lados están sobre las rectas siguientes: r : y 0; s : +y 6 0; t : y 0 Halla las coordenadas de sus vértices. Para hallarlas, resolvemos los sistemas formados por cada pareja de ecuaciones de las rectas: r: y 0 s: + y Punto A: (, ) r: y 0 t: y 0 s: +y 6 0 t: y 0 8 Punto B: (, ) 8 Punto C: (, )

27 9 Los puntos A(, ), B(, ) y C (, ) son los vértices de un triángulo. Halla las ecuaciones de sus tres lados. Ecuación del lado que pasa por A y B: A (, ) 8 m B (, ) r: y ( ) Ecuación del lado que pasa por A y C: A (, ) 8 m C (, ) s: y + ( ) Ecuación del lado que pasa por B y C: B (, ) 8 m C (, ) t: y + ( ) Pág Halla el punto de corte de las diagonales del rectángulo cuyos vértices son los puntos A(, 7), B(6, 7), C (, ) y D (6, ). d A B E C D A (, 7) Ecuación de la diagonal que pasa por A y D: 8 m 7 D (6, ) 6 d : y ( 6) 8 y 9 B (6, 7) Ecuación de la diagonal que pasa por B y C: 8 m 7 C (, ) 6 d : y + ( ) 8 y + Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de d y d : y 9 8 E (, ) y + Observación: En el dibujo del cuadrado ya se veía que la solución tenía que ser E (, ). d