Razonar el trazado de rectas tangentes a la elipse y la hipérbola haciendo uso de las circunferencias focales y, a la

Transcripción

1 CURVAS CÓNICAS OBJETIVOS 1 Conocer y/o recordar los elementos y propiedades fundamentales que configuran las tres curvas cónicas, junto a la construcción geométrica de cada una de ellas. 2 Razonar el trazado de rectas tangentes a la elipse y la hipérbola haciendo uso de las circunferencias focales y, a la parábola mediante su recta directriz. 3 Analizar el tratamiento de las cónicas como curvas fundamentales en diversos ámbitos: la arquitectura, la técnica o el arte, el deporte, la forma de los alimentos, etc. 1 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN Se denominan curvas cónicas a las diversas secciones producidas en una superficie cónica, de revolución, por un plano que no pasa por el vértice. Según sea la posición del plano secante ( π ) respecto del eje del cono, en relación con el ángulo del vértice, pueden establecerse tres tipos de secciones: Elipse. Cuando el plano secante corta a todas las generatrices de la superficie, en cuyo caso el plano forma con el eje de la superficie cónica un ángulo mayor que el semiángulo cónico: α < β. La circunferencia resulta ser un caso particular de esta sección. Se contempla cuando el plano secante es perpendicular al eje de la superficie cónica y no pasa por el vértice ( β = 90 ). Parábola. Cuando el plano secante es paralelo a una sola generatriz, en cuyo caso el plano forma con el eje de la superficie cónica el mismo ángulo que el semiángulo cónico: α = β. La curva resulta ser abierta y con un punto impropio (en el infinito). Hipérbola. Cuando el plano secante es paralelo a dos generatrices, en cuyo caso el plano forma con el eje de la superficie cónica un ángulo menor que el semiángulo cónico: α > β. La curva resulta ser abierta con dos ramas simétricas y con dos puntos impropios. 2 ELEMENTOS DE UNA CÓNICA Eje o ejes de simetría. Recta o rectas imaginarias en relación a las cuales una figura es simétrica. Centro. Punto de corte de los ejes de simetría y, por tanto, punto del que equidistan los elementos de la curva. Focos. Son los puntos notables de la cónica. Resul- tan ser los puntos de tangencia de las esferas, inscritas al cono de revolución, con el plano secante que origina la sección cónica ( Teorema de Dandelin). Directrices. Son las rectas de intersección del plano secante con el plano que contiene a la circunferencia de contacto entre el cono y la esfera que, siendo tangente al plano de intersección ( π ), se encuentra inscrita en la superficie cónica. Tanto la elipse como la hipérbola poseen dos ejes de simetría, dos focos y dos directrices; la parábola sólo un eje, un foco y una directriz. Excentricidad. Es la razón constante de distancias desde un punto P cualquiera de la curva al foco y a la directriz correspondiente. En la elipse: e = P F 2 / P D 2 < 1 ; ( 0 < e <1 ) En la hipérbola: e = P F 1 / P D 1 > 1 ; (1 < e < ) En la parábola: e = PF / PD = 1 75

2 3 ELIPSE 3.1 Definición y parámetros. «La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos fijos F 1 y F 2, llamados focos, es constante e igual a la magnitud del eje mayor ( V1 V2 )». Esto es, para cualquier punto P de la curva, la suma de sus radios vectores es constante: Parámetros: 2a : longitud del eje mayor (V1V2 ). 2b : longitud del eje menor (AB). 2c : distancia focal (F1 F2 ). 3.2 Propiedades fundamentales. Simetría: la elipse tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí que se cortan en el centro de la curva (O). Ejes: el eje mayor V1V2 es igual a 2a y el eje menor AB a 2b. Por tanto, según la definición de elipse, desde un extremo A del eje menor se verifica que: AF1 + AF2 = V1V2 = 2a ; por lo que al ser AF1 = AF2 se deduce que: AF1 = AF2 = V1V2 / 2 = a lo que permite situar la posición de los focos cuando se conocen los ejes de la cónica. Para ello, se hace centro en el extremo A o en B del eje menor y se determinan sobre el eje mayor los puntos de corte con un arco de radio igual al semieje mayor. Radios vectores: son las rectas que unen ca- da punto P de la elipse con los focos F1 y F2 ; verificándose que: PF1 + PF2 = 2a. Parámetros: son las tres magnitudes que ca- racterizan la curva elíptica. Los tres están ligados entre sí, al formar parte de los lados de un triángulo rectángulo de vértices: el centro O de la curva, el foco (F1 o F2 ) y un extremo del eje menor (A o B), verificándose que: a 2 = b 2 + c 2. Excentricidad: es la razón o cociente c / a. En la elipse sus valores están comprendidos entre cero y la unidad. 3.3 Trazado de la elipse conocidos los ejes Construcción por puntos. - DATOS: 2a = V1V2 y 2b = AB. - Paso 1.- Se determinan los focos F1 y F2. A continuación se toman puntos auxiliares, tales como 1, 2, 3... sobre el eje mayor, situados entre uno de los focos y el centro O. - Paso 2.- Se trazan arcos de radio 1V1 y 1V2 con centro en F1 y F2 respectivamente, determinándose cuatro puntos de la curva: P y S simétricos respecto al eje mayor, y sus respectivos simétricos Q y R respecto al eje menor. - Paso 3.- Repitiendo el proceso con las siguientes divisiones ( 2, 3... ) se obtienen puntos que luego se unen a mano alzada o con ayuda de una plantilla de curvas Construcción mediante circunferencias concéntricas ( Método de afinidad ). - Paso 1.- Se dibujan dos circunferencias concéntricas de centro O y diámetros iguales a los ejes mayor y menor respectivamente. - Paso 2.- Se trazan diámetros que cortarán a las dos circunferencias en dos puntos tales como M y N. Por ellos se trazan paralelas a los ejes principales, determinando, para cada caso, un punto P y su opuesto Q. - Paso 3.- Repitiendo la operación se consiguen tantos puntos de la elipse como diámetros se tracen; normalmente, un máximo de seis es suficiente. La unión, a mano alzada o con plantilla, de los puntos obtenidos define la curva. 3.4 Formas elípticas en el arte arquitectónico.

3 4 HIPÉRBOLA 4.1 Definición, parámetros y asíntotas. «La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas que se definen como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos F1 y F2, llamados focos, es constante e igual a la dimensión del eje real ( V1 V2 )». Esto es, para cualquier punto P de la curva, la diferencia de sus radios vectores es constante: Parámetros: 2a: longitud del eje real ( V1V2 ). 2b: magnitud del eje virtual ( AB ). 2c: distancia focal ( F1 F2 ). Asíntotas: Son las rectas tangentes a la hipérbola en los puntos del infinito. Son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro O de la curva. Cuando las asíntotas forman 45 con los ejes, la hipérbola toma el calificativo de equilátera. 4.2 Propiedades fundamentales. Simetría: la hipérbola tiene dos ejes de sime- tría perpendiculares entre sí que se cortan en el punto O, centro de la cónica. Ejes: el eje que pasa por los vértices V1 y V2 de la curva se llama eje real y vale 2a; el perpendicular al anterior en su punto medio O toma el nombre eje imaginario o virtual. Sobre él, la distancia AB es la magnitud del parámetro 2b, cumpliéndose a 2 + b 2 = c 2 ; es decir, el semieje real y el semieje virtual son catetos de un triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa la semidistancia focal. Dicha hipotenusa marca la dirección de las asíntotas de la hipérbola. Radios vectores: son las rectas que unen ca- da punto P de la curva con los dos focos F1 y F2, verificándose que: PF1 - PF2 = 2a. Excentricidad: es el cociente de c / a. Su va- lor está comprendido entre uno e infinito. 4.3 Trazado de hipérbola por puntos. 4.4 Formas hiperbólicas en el arte arquitectónico, - DATOS: Parámetros 2a ( V1 V2 ) y 2c ( F1 F2 ). - Paso 1.- En el eje real se sitúan los vértices V1, V2 y los focos F1 y F2, respectivamente. Posteriormente, se posicionan divisiones arbitrarias (1, 2, 3 ) a la izquierda del foco F1. - Paso 2.- Se trazan cuatro arcos de radio 1V1 y 1V2 con centro en F1 y F2, respectivamente, que determinan cuatro puntos ( P, Q, R, S) de la curva, simétricos respecto a los ejes. - Paso 3.- Repitiendo el proceso con las otras marcas ( 2, 3, ) se van obteniendo puntos que luego se unen a mano alzada o con ayuda de una plantilla de curvas. Antes de delinear las curvas es aconsejable trazar las asíntotas de la hipérbola, puesto que sirven de guía para definir rápida y cómodamente la trayectoria de ambas ramas. 77

4 5 PARÁBOLA 5.1 Definición y parámetro. «La parábola es una curva plana, abierta y de una sola rama, que se define como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco y de una recta fija d, llamada directriz». Esto es, para cualquier punto P de la curva, la distancia al foco F es igual que a la recta directriz; verificándose que: Parámetro: La curva tiene un único parámetro, designado por p del cual depende su forma y configuración: 2p = 2FD. Esto es, la mitad de la distancia entre el foco F y la directriz d; o lo que es lo mismo, la distancia entre A y B, puntos de la curva simétricos, respecto al eje, y situados en la vertical del foco. 5.2 Propiedades fundamentales. Eje: la parábola tiene un eje perpendicular a la directriz, que contiene al foco F y al vértice V y, además, es eje de simetría de la cónica. Vértice: se encuentra en el eje y es el punto medio del segmento DF. Parámetro: el segmento FD dado (en magnitud y posición) determina la parábola: el parámetro p singulariza a la curva, lo que significa que todas las parábolas son semejantes. La distancia entre los puntos A y B, como puntos de intersección de la recta que pasa por el foco y es perpendicular al eje, es igual a 2p. Directriz: es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de cada tangente a la parábola. Radios vectores: son las rectas PF y PM que unen cada punto de la parábola con el foco y con la directriz. 5.3 Trazados de la parábola Construcción por puntos. - DATOS: Parámetro 2p. - Paso 1.- Se comienza por dibujar el eje y la directriz de la curva. Sobre el eje se sitúa el vértice (V) y el foco (F), teniendo en cuenta que FV = VD = p/2. Se toman puntos auxiliares, tales como 1, 2, 3, sobre el eje (situados a partir del vértice y en sentido contrario a la ubicación de la directriz). - Paso 2.- Por dichos puntos se trazan paralelas a la directriz sobre las cuales, en su respectivas intersecciones con los arcos de centro F y radios 1D, 2D,3D, se van obteniendo puntos de la parábola y sus simétricos respecto al eje, como es el caso de M y M. - Paso 3.- La unión ordenada, y a mano alzada, de los puntos determinados define la trayectoria de la curva Construcción por haces proyectivos. - DATOS: eje, vértice V y punto P de la parábola. - Paso 1.- Se traza el punto P, simétrico de P con respecto al eje. Se une P con P y por el vértice V se traza una paralela a ésta, obteniéndose el rectángulo APP B. Se dividen los segmentos VA,VB, AP y BP en el mismo número de partes iguales, por ejemplo cuatro, y se numeran como indica la figura. A continuación se une el vértice V con las divisiones de los segmentos AP y BP y se trazan rectas paralelas al eje por las divisiones homónimas de los segmentos VA y VB. Las rectas que parten de la misma nominación se cortan en un punto (caso del Q ) perteneciente a la curva. - Paso 2.- La unión ordenada, y a mano alzada, de los puntos obtenidos dibuja la trayectoria de la curva. 78

5 6 CIRCUNFERENCIA FOCAL Y CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL EN LAS TRES CURVAS CÓNICAS Circunferencias focales. Son aquéllas que tienen por centro los focos y de radio 2a. En la parábola es de radio infinito, convirtiéndose en la recta directriz de la curva. Las circunferencias focales se defininen como: «el lugar geométrico ( l.g.) de los puntos simétricos del otro foco respecto de las tangentes a la cónica». Circunferencia principal. Es aquélla que tiene por centro la cónica y diámetro 2a. En la parábola el radio es infinito, convirtiéndose en la recta tangente por su vértice. La circunferencia principal se definine como: «el l. g. de los pies de las perpendiculares trazadas desde un foco a las tangentes de la cónica correspondiente». 6.1 En el caso de la Elipse. Son posibles dos circunferencias focales, una en cada foco. En la fig. 6.1, representada la focal de centro F 1, se observa que la circunferencia de centro un punto P de la curva y radio PF 2 es tangente en F 2 a la circunferencia focal. Como esto sucede en todos y cada uno de los puntos de la curva, una nueva definición de elipse puede enunciarse como: «el l. g. de todos los centros de las circunferencias que son tangentes a una circunferencia focal y que pasan por el otro foco». Asimismo, en la fig. 6.1, observa cómo al trazar perpendiculares desde los focos (F 1 y F 2 ) a la tangente en un punto P de la curva se obtienen, como pies de dichas perpendiculares, puntos pertenecientes a la denominada circunferencia principal, de diámetro el eje mayor. 6.2 En el caso de la Hipérbola. Como en el caso de la elipse, en la hipérbola también existen dos circunferencias focales. Con pa ralelo razonamiento (fig. 6.2),puede establecerse una nueva definición de hipérbola diciendo: «es el l.g. de todos los centros de las circunferencias que son tangentes a una circunferencia focal y que pasan por el otro foco». Asimismo, los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos (F 1 y F 2 ) a la tangente en un punto P de la curva, son puntos pertenecientes a la circunferencia principal de radio a. 6.3 En el caso de la Parábola. En esta curva la circunferencia focal se transfor - ma en la recta directriz. De la fig. 6.3, se deduce una nueva definición de parábola como: «el l.g. de todos los centros de las circunferencias tangentes a la recta directriz y que pasan por el foco de la cónica». Asimismo, observa cómo, la perpendicular desde el foco (F) a la tangente en un punto P de la curva, es un punto perteneciente a la recta tangente en el vértice de la cónica. NOTA.- En las tres curvas, la recta tangente en un punto P de la cónica es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores: en el externo para la elipse (fig. 6.1) y en el interno para la hipérbola (fig. 6.2) y la parábola (fig. 6.3). 7 TRAZADO DE RECTAS TANGENTES A UNA ELIPSE Sea P un punto de la elipse (fig.7): si se prolonga un radio vector (PF 1 ) y se traza la bisectriz ( t ) del ángulo que forma con el otro radio vector (PF 2 ), se observa que cualquier otro punto (Q) de t, distinto de P, es exterior a la curva, dado que la suma de distancias a los focos es mayor que V 1 V 2 : esto es, siempre se verificará que: QF 1 + QF 2 = QF 1 + QF 2 > F 1 F 2 = 2a Por ello, al tener la recta t un solo punto ( P) común con la curva, es tangente a ella. 7.1 Tangente en un punto de la curva. Dada la elipse de parámetros 2a (V 1 V 2 )y2c (F 1 F 2 ) y un punto T cualquiera de la misma, se trazan los radios vectores del punto y se prolonga uno de ellos (TF 1 ); la bisectriz del ángulo exterior define la tangente (t ) pedida. Su perpendicular (n) por el punto T, es la normal a la elipse en el punto considerado. 7.2 Tangentes desde un punto exterior. Como en el caso anterior, considérese como datos los parámetros 2a, 2c y un punto exterior Q. - Se traza la circunferencia focal de centro un foco (F 1 ) y radio 2a, y con centro el punto Q y radio QF 2, otro arco de circunferencia que corta al anterior en los puntos F 2 y F 2, simétricos de F 2 respecto de las tangentes a determinar. - Las mediatrices de los segmentos F 2 F 2 y F 2 F 2 son las tangentes t 1 y t 2 buscadas. - Los puntos de tangencia quedan determinados al unir los puntos F 2 y F 2 con el foco F 1 y cortar a las tangentes en los puntos T 1 y T 2 respectivamente. 7.3 Tangentes paralelas a una dirección. Partiendo de conocer los parámetros 2a, 2c y una dirección m, la construcción es como sigue: - Se traza la circunferencia focal correspondiente a uno de los focos, por ejemplo, la de centro F 1. - Desde el otro foco se traza la recta perpendicular a la dirección m, que corta a la circunferencia focal anterior en los puntos F 2 y F 2. - Las mediatrices de los segmentos F 2 F 2 y F 2 F 2 son las tangentes t 1 y t 2 buscadas; y, análogamente al caso anterior, uniendo F 1 con F 2 y F 2, se determinan, con toda precisión, los puntos de tangencia T 1 y T 2 buscados. 79

6 8 TRAZADO DE RECTAS TANGENTES A UNA HIPÉRBOLA Sea P un punto de la hipérbola (fig. 8): si se traza la bisectriz ( t ) del ángulo que forman sus radios vectores, se prueba que cualquier otro punto, tal como Q de la recta t, distinto de P, es exterior a la curva, dado que su diferencia de distancias a los focos es menor que PF1 - PF 2 ; esto es, que siempre se verificará que: QF1 - QF2 = QF1 - QF 2 < F1F 2 = 2a Por ello, al tener la recta t un solo punto ( P) común con la curva, es tangente a ella. 8.1 Tangente en un punto de la curva. Dada la hipérbola de parámetros 2a ( V1V2 ) y 2c ( F1F2 ) y un punto T cualquiera de la misma, se trazan los radios vectores del punto, determinando la bisectriz del ángulo formado, que es la tangente ( t ) pedida. La perpendicular ( n) a la tangente ( t ) en el punto T, es la normal a la curva en dicho punto. 8.2 Tangentes desde un punto exterior. Consideremos como datos los parámetros 2a y 2c de la cónica, asi como un punto exterior Q. - Se traza la circunferencia focal de centro un foco (F1 ) y radio 2a, y con centro en Q y radio 80 9 TRAZADO DE RECTAS TANGENTES A UNA PARÁBOLA QF2, un arco de circunferencia que corta al anterior en los puntos F 2 y F 2, simétricos de F2 respecto de las tangentes a determinar. La recta tangente a la parábola ( fig. 9), en un punto P cualquiera, es la bisectriz ( t ) del ángulo que forman sus radios vectores PF y PF. 9.2 Tangentes desde un punto exterior. - Las mediatrices de F2 F 2 y F2 F 2 son las tangentes t1 y t2 buscadas. En efecto, si PF = PF, el triángulo PFF es isósceles, por tanto t es la mediatriz del segmento FF y F (situado en la directriz) es simétrico de F respecto a la tangente; lo que significa que para cualquier otro punto, Q de la recta t, debe verificarse que: QF = QF. Por otra parte, en el triángulo rectángulo QHF se cumplirá siempre que un cateto es menor que la hipotenusa, esto es: QF = QF > QH. Esto demuestra que cualquier otro punto Q de la recta t, distinto de P, es exterior a la parábola y, consecuentemente, la recta t tiene un solo punto común con la cónica: el punto P. - Se traza la circunferencia de centro el punto exterior (Q) y radio QF que corta a la directriz d en los puntos F y F, simétricos del foco F respecto a las dos tangentes solución. - La recta que une los puntos F 2 y F 2 con el foco F1, corta a las rectas tangentes anteriores (t 1 y t 2 ) en los puntos T1 y T2, que son los de contacto con la curva. 8.3 Tangentes paralelas a una dirección. Sean 2a y 2c los parámetros de la hipérbola considerada y m la dirección de las tangentes a determinar. La construcción es como sigue: - Se traza una circunferencia focal, por ejemplo, la de centro el foco F1. - Desde el otro foco se traza la recta perpendicular a la dirección m, que corta a la circunferencia focal anterior en los puntos F 2 y F 2. - Las mediatrices de los segmentos F2 F 2 y F2 F 2 son las tangentes t 1 y t 2 buscadas; y, análogamente al caso anterior, uniendo F1 con F 2 y F 2 se definen, con toda precisión, los puntos de tangencia T1 y T2 respectivamente. 9.1 Tangente en un punto de la curva. Dada la parábola de parámetro p (distancia FD) y sabiendo que VF = VD, así como un punto T cualquiera de la misma, se trazan los radios vectores del punto, determinando la bisectriz del ángulo formado, que es la tangente ( t ) pedida. La perpendicular (n) a la tangente ( t ) es la normal a la cónica en el punto T considerado. Como en el caso anterior, considérense como datos el parámetro p y un punto exterior Q. - Las mediatrices de los segmentos FF y FF son las tangentes t1 y t 2 buscadas. - Los puntos de tangencia quedan determinados al trazar por F y F paralelas al eje (perpendiculares a la directriz) que cortan a las tangentes t1 y t2 en los puntos T1 y T2 respectivamente. 9.3 Tangente paralela a una dirección. Partiendo de conocer el parámetro p de la parábola, y la dirección m de las tangentes, la construcción es como sigue: - Desde el foco F se traza la recta perpendicular a la dirección dada, cortando a la directriz de la parábola en el punto F. - La mediatriz del segmento FF es la tangente t buscada. El punto de tangencia T será el de intersección con la paralela al eje por el punto F.

7 10 INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UNA CURVA CÓNICA Las nuevas definiciones establecidas para la elipse (6.1), la hipérbola (6.2) y la parábola (6.3 ), son la base del razonamiento que conduce a determinar los puntos de intersección de una recta secante con una cónica. Dichos puntos de intersección, de la recta con la curva cónica, son los centros de las circunferencias que siendo tangentes a una circunferencia focal (en la parábola a la recta directriz), pasan por el otro foco (en la parábola, por el foco) Intersección de una recta con una elipse. Consideremos una elipse con parámetros 2a y 2c y, la recta secante s. Los puntos de intersección de la recta con la elipse (ver figura de análisis), son los centros de las circunferencias que cumplen las siguientes premisas: - Pasar por un foco ( por ejemplo, por F2 ). - Ser tangentes a la circunferencia focal de centro el otro foco (F1 ). - Tener sus centros en la recta secante (s). En consecuencia, el punto F*2, simétrico de F2 respecto a la recta secante s, pertenece a las circunferencias tangentes a la focal y cuyos centros se buscan (ver apartado 8.4 de Unidad 4). Construcción: - Datos: Elipse de parámetros 2a, 2c y recta s. - Se traza una circunferencia focal; en la fig. 6.1, la circunferencia de centro el foco F1. - A continuación, con centro en un punto (A) cualquiera de la recta s se traza una circunferencia auxiliar que, siendo secante a la focal, de centro F1, pase por el otro foco ( F2 ), y, por tanto, por su simétrico ( F*2 ). La recta común de ambas circunferencias es su eje radical ; y la recta que une los puntos F2 y F*2 es el eje radical de la auxiliar con las soluciones buscadas. - El centro radical C de todas ellas es la intersección de los ejes radicales anteriores. Las tangentes a la circunferencia auxiliar o a la focal desde el punto C, define y determina la ubicación de los puntos de tangencia ( F 2 y F 2 ) de dicha circunferencia focal con las circunferencias solución. Uniendo dichos puntos con el foco F1, obtenemos los puntos - centros S1 y S 2 de las circunferencias buscadas Intersección de una recta con una hipérbola. Los pasos a seguir son idénticos a los descritos para la elipse. Observa, en la figura de análisis, cómo, al igual que sucedía en el caso anterior con la elipse, los puntos comunes de la recta s con la hipérbola, resultan ser los centros de las circunferencias que pasan por el foco F2, su simétrico F*2 respecto de la recta secante, y son tangentes a la circunferencia focal de centro el otro foco (F1 ). De nuevo, se trata de determinar los centros de las dos circunferencias que pasan por dos puntos ( F 2 y F*2 ) y son tangentes a otra circunferencia (la focal de centro F1 ): recordar apartado 8.4 de Unidad Didáctica Intersección de una recta con una parábola. Observa, en la figura de análisis, cómo, los puntos de intersección S1 y S2 de una recta con la parábola, resultan ser los puntos de la recta secante (s), que son centros de las circunferencias tangentes a la directriz (d ) y pasan por el foco ( F ) y su simétrico F* respecto de la recta secante. Ver apartado 8.1 de Unidad Didáctica 4. Construcción: - Datos: Parábola con p = FD y recta secante s. - Con centro en la recta s se traza una circunferencia auxiliar de radio AF. - Por F se traza una perpendicular a la recta s, que corta a la directriz en el punto C. - Desde O se determina el segmento de tangente OT a la auxiliar, tal que OT = OM1 = OM2. - Por M1 y M2 se trazan perpendiculares a la directriz d, obteniendo los puntos S1 y S2, centros de las circunferencias tangentes solución. 81

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