NÚMERO COMPLEJO. Nota decimos que a es su parte real (anotamos Re(z) = a ) y b su parte imaginaria (anotamos Im(z) = b )

Transcripción

1 NÚMERO COMPLEJO Fudametos de la Matemática 1 Defiició Si llamamos C = R R y defiimos: : C C C ; ( a, a ') ( b, b ') = ( a b, a ' b ') : C C C ; ( a, b) ( a ', b ') = ( aa ' bb ', ab ' a ' b) A la estructura ( C,, ) la deomiamos estructura de los úmeros complejos, o simplemete úmeros complejos. Ejercicio Demostrar que ( C,, ) es u cuerpo. Nota Si = ( a, b), decimos que a es su parte real (aotamos Re() = a ) y b su parte imagiaria (aotamos Im() = b ) Represetació gráfica P O ϕ P 1 P Como u complejo es e defiitiva u par ordeado de úmeros reales, si e u plao establecemos u sistema de coordeadas cartesiaas (e este caso ortogoales), a cada complejo = (a, b) le podemos asociar u y solo u puto P del plao; justamete el de coordeadas (a, b), que deomiamos afijo de Establecemos de esta forma ua biyecció etre C y los putos del plao. Nota: La otació = (a, b) se deomia otació cartesiaa del complejo. E cosecuecia determiar el complejo es equivalete a determiar el puto P. Y esto puede hacerse o solamete mediate las coordeadas cartesiaas sio tambié dado la distacia de O a P y la medida del águlo POP ˆ 1. Si d( O, P) = ρ y la medida de POP ˆ 1 = ϕ ; el puto P, y por lo tato el complejo está determiado por el par de reales ρ, ϕ. Aotamos = ρ ϕ, y decimos que es su forma polar. ρ se deomia módulo de y ϕ su argumeto. Nota: Al módulo de lo escribimos:. Como procederíamos para pasar u complejo de la forma cartesiaa a su forma polar? Y de la forma polar a la cartesiaa?

2 Ejercicio Probar que ρ = ρ ' ρ ϕ = ρ ' ϕ ' ϕ = ϕ ' kπ ( k Z) Los úmeros complejos como ua extesió de los reales Teorema Cosideramos { ( x,) } C = C. H) f : R C ; f ( x) = ( x,) T) f es u isomorfismo etre ( R,, ) y ( C,, ) Demostració a cargo del estudiate. Nota Teiedo e cueta que C C podemos cosiderar a C como ua extesió de C. A partir de este mometo o haremos distició etre los símbolos de adició de reales y adició de complejos; de la misma forma procederemos respecto a la multiplicació. La uidad imagiaria Defiimos (, 1) = i y a dicho complejo lo deomiaremos uidad imagiaria. Como cosecuecia del isomorfismo aterior aotaremos x e lugar de (x, ). Curiosidad Hallar: i Notació biómica Actividad a) Hallar e otació cartesiaa bi, co b R. b) Teiedo e cueta la parte aterior y utiliado que (a, b) = (a, ) (, b), expresar (a, b) de otra forma. Observació Si pesamos a los complejos como ua extesió de los reales, podremos afirmar que i < i? Podríamos estar tetados a decir que sí porque i es el doble de i, pero qué etedemos por < e el cojuto de los complejos?, o lo hemos defiido, Será que puedo realiar ua defiició similar a la vista e R? Recordemos que e el cojuto de los úmeros reales, la defiició de <

3 estaba precedida por el axioma de orde, que os permitió demostrar que era ua relació de orde. Veamos si es posible establecer ua proposició aáloga e ( C,, ). Supoemos etoces que C C,tal que: 1) x C, se cumple ua y sólo ua de las siguietes proposicioes: i) x C ii) x = iii) x C ) Si x, y C x y C x. y C i C i = i. i = 1 C ( 1).( 1) = 1 C, como 1 C, absurdo. ) ) Como: i, = = = i C ( i) i 1 C ( 1).( 1) 1 C, como 1 C, absurdo. ) ) Esto prueba que es imposible ordear a los complejos del mismo modo que lo hicimos e R, lo cual o sigifica que o pueda establecerse ua relació de orde e el cojuto de los complejos. Por ejemplo: Sea: < : C, 1 < 1 < 1 = y Arg( 1) < Arg( ) Demostrar que esta es ua relació de orde estricto y comparar i co i. Teorema: ρ ϕ. ρ ' ϕ ' = ρ. ρ ' ϕ ϕ ' Dem: ρ ϕ. ρ ' ϕ ' = ( ρ cos ϕ, ρ se ϕ). ( ρ 'cos ϕ ', ρ 'se ϕ ') = = ( ρ. ρ 'cosϕ cos ϕ ' ρ. ρ 'seϕ se ϕ ', ρ. ρ 'cosϕ se ϕ ' ρ. ρ 'seϕ cos ϕ ') = ( ρ. ρ '[ cosϕ cos ϕ ' seϕ se ϕ '], ρ. ρ '[ cosϕ se ϕ ' seϕ cos ϕ '] ) = = = ( ρ. ρ 'cos( ϕ ϕ '), ρ. ρ 'se( ϕ ϕ ')) = ρ. ρ ' ϕ ϕ ' Ejercicio 1 Cosiderar: = ρ ϕ, w = 1 π y t = π. a) Hallar:.w,.t y.i b) Iterpretar geométricamete

4 Ejercicio Si cosideramos la fució f: C C, f() = β, co C y β C. a) Dé ua iterpretació geométrica para esta fució. (Sugerecia, cosiderar los casos siguietes: i) = 1 y β cualquiera, ii) β = y u complejo real 1 iii) β = y u complejo de módulo 1 iv) β = y cualquiera v) y β cualesquiera). b) Estudiar la existecia de putos uidos e esta trasformació Ejercicio Si = ρ ϕ ( ), probar que: 1 = 1 ϕ ρ Potecia de expoete etero Defiició Cosideramos: C y Z Si = y >, defiimos = = Si y =, defiimos = = 1 Si y >, defiimos =. 1 Si y <, defiimos 1 = Observació La defiició hecha es idética a la realiada e los reales. Como además ya vimos que (C,, ) y ( R,, ) so ambos cuerpos, la potecia de base compleja y expoete etero cumple idéticas propiedades algebraicas que la potecia de base real y expoete etero. Es iecesario mecioar que carece de setido cualquier plateo sobre la variació de la potecia recié defiida. Ejercicio Determiar ua fórmula que permita hallar las potecias de i.

5 Teorema H ; = ρ ϕ ) C m Z T ) m = ρ m m ϕ Dem: 1) Si m m N y lo demostraremos por I.C. B.I. = 1 = ρ. ϕ ρ. ϕ = 1 = 1 P.I. H ) h = ρ h h. ϕ T) h 1 = ρ h 1 ( h 1). ϕ Demostració h 1 =. h = ρ ϕ. ρ h h. ϕ = ρ. ρ h ϕ hϕ = ρ h 1 ( h 1). ϕ ) Si m < m = ; N m = = = = = ρ. ϕ = ρ m mϕ ( ρ ϕ) ρ ϕ Nota Si = ρ ϕ = ( ρ cos ϕ, ρ se ϕ) = ρ (cosϕ i se ϕ), a esta se la deomia otació trigoométrica, como tambié a esta otra: ( ρ cos φ, ρ se φ ) Por otra parte = ρ. ϕ = ( ρ cos. ϕ, ρ se. ϕ) = ρ (cos. ϕ i se. ϕ) Etoces: ρ (cos ϕ i.se ϕ) = ρ (cos. ϕ ise. ϕ) [ ] Para ρ = 1 la fórmula aterior os queda: (cos ϕ i.se ϕ) = cos. ϕ i.se ϕ Z Coocida como fórmula de De-Moivre. Si aplicamos esta fórmula para = teemos: 5

6 (cos ϕ i.se ϕ) = cos ϕ i.se ϕ cos ϕ cos ϕ.se ϕ. i i se ϕ = cos ϕ i.se ϕ cos cos se cos se ϕ = ϕ ϕ ϕ ϕ cos ϕ.se ϕ. i = cos ϕ i se ϕ se ϕ = cos ϕ.seϕ Fórmulas vistas oportuamete cuado tratamos trigoometría. Ejercicio: Obteer fórmulas para cosϕ y se ϕ e fució de cosϕ y se ϕ. Cojugado de u complejo Defiició Sea = ( a, b) C. Llamamos cojugado de, y lo otaremos, al complejo ( a, b ). P(a,b) P (a,-b) Observacioes : 1) Si = a b. i = a b. i ) = a = Re( ) ). = ( a bi)( a bi) = a b = ) El afijo de es el simétrico co respecto a Ox del afijo de. Teorema 1) Si = ρ ϕ = ρ ϕ ) ( ) =, C ) = C ) x y = x y, x, y C 5) x. y = x. y, x, y C 6) x = ( x), x C, N, excluyedo x = =. Teorema 1 Sea f : C C ; f ( x) = ax a x... a x a, co a, a,..., a, a C y C Si f ( ) = f ( ) = 6

7 Dem f Número Complejo 1 1 ( ) = a a 1... a1 a = a a 1... a1 a = a a a a 1 = a. a 1 a a 1 1.( ) a.( )... a. a = f ( ) a 1 1 = 1... a 1. a = a1 a E u leguaje meos cuidadoso; hemos demostrado que u poliomio de coeficietes reales si acepta ua raí compleja ecesariamete acepta su cojugada. Lo que trae como cosecuecia que los poliomios de coeficietes reales preseta sus raíces complejas de a pares. Así si ua fució poliómica P de coeficietes reales acepta raí i ecesariamete acepta tambié la raí -i. Que las raíces complejas de los poliomios de coeficietes reales vega de a dos implica etre otras cosas que los poliomios de coeficietes reales y grado impar acepta al meos ua raí real. Radicació Defiició Cosideramos C, N ;, = w w = Teorema Dados C, N;, w, w C, w =. r = ρ r = ρ Si = ρ ϕ y w= r δ, w = r δ = ρ ϕ ϕ kπ δ = ϕ kπ δ =,co k Z Por lo tato: ϕ kπ = ρ ϕ C y N;, w = ρ ( k Z ) tal que w = Ejercicio: Hallar i. Cuátas raíces has obteido? Itetemos geeraliar y justificar esta observació. Cosideramos = ρ ϕ, N ;. ϕ π Vimos que = k wk ρ, es raí -ésima de, k Z 7

8 Todos los w k tiee el mismo módulo ( ρ ) y distito argumeto φ kπ k =. Probemos que admite y sólo raíces -ésimas; a saber:,,,...,. 1 1 Para ello debemos probar: 1) w, w, co h <, j <, si h j h j w w. h j ) k Z, r Z ; r < tal que: w = w. k r 1) ϕ hπ ϕ jπ ( h j) π =, = = h j h j h < h j h j < h j < 1< < 1, como h j, j < < j h j ( h j)π Z = w w h j h j ) k Z, realiamos la divisió etera: k r q Etoces: ϕ kπ ϕ ( q r) π ϕ rπ k = q r = = = qπ = qπ k r r < w w co r k = r < Observació Como las raíces -ésimas de = ρ φ tiee el mismo módulo; sus afijos perteece a ua circuferecia de cetro e el orige de coordeadas y radio ρ. Además la diferecia etre dos argumetos cosecutivos es: ϕ ( j 1) π ϕ jπ π = = j 1 j Por lo tato los afijos de las raíces -ésimas de so los vértices de u polígoo regular de lados, iscrito e ua circuferecia de cetro e el orige y radio la raí -ésima del módulo de. 8

9 Ejercicio Número Complejo a) Hallar las cuatro raíces cuartas de 1 y represetarlas gráficamete. b) Si e la fórmula que te permite hallar los argumetos de las raíces cuartas de 1 damos a k los valores 6, 9, 79 y 1, se obtiee los cuatro argumetos de las cuatro raíces distitas? Cómo debería ser los cuatro valores de k que permitiría hallar los argumetos de las cuatro raíces distitas? Raí cuadrada de u complejo e forma biómica Cosideramos = a b. i. Queremos hallar las dos raíces cuadradas de si pasar por la forma polar. w = x y. i es raí cuadrada de w = ( x y. i) = a b. i x xy. i y i = a bi ( ). x y = a x y = a x x y y = a x y xy. i = a b. i =. = xy b x y b Sumado teemos: x x y y = a b ( x y ) = ρ x y = ρ ρ módulo de ρ a x y ρ x = ρ a x = ± = x y = a ρ a y = ρ a y = ± Por lo tato: ρ a ρ a a bi = ± ± i Observemos que haciedo todas las combiacioes de sigo posibles tedríamos cuatro raíces cuadradas, lo cual es imposible. Ocurre que al elevar al cuadrado se itrodujero raíces. Cómo averiguar cuales so las verdaderas? Recordemos que: xy = b. Por lo tato si b >, x e y tiee el mismo sigo; e cambio si b <, x e y tiee distito sigo. Ejercicio Hallar: a) i b) 5 1i Defiició e a bi = e a < b 9

10 Ejercicio i) Probar que ii) Probar que e iii) Hallar e i 1 iv) Hallar e p q p q e e = e p / e q = e p q Defiició Dado C defiimos * a La = b e = a b Ejercicio 1) Demostrar la existecia del logaritmo e los complejos y determiar gráficamete sus afijos. ) Hallar L(-1). La ) Si defiimos Log b( a) =, Lb hallar Log ( ). Defiició Dados w y úmeros complejos, co w, defiimos w = e Lw Ejercicio i) Probar que: ii) Hallar i i p q p q w w = w 1

11 Ejercicios I) Ivestigar si la siguiete relació < : C, es de orde amplio y e caso afirmativo, si es de orde amplio total: Sea x < x' 1 = ( x, y), = ( x', y '). 1 < x = x' e y < y ' II) Expresar e forma polar: (,1),(1, 1),(1, ),(,1). III) Dados: = = = = = π = 6 = y =. π 5π π π 11π 1π a) Represetarlos gráficamete. b) Expresarlos e forma biómica. 5..,,, 1 1 c) Calcular: ( ) IV) Hallar la parte real y la parte imagiaria de: i i).( i).( i) ii) 6i 1 i i 1 i 9 (1 i) iv) 7 (1 i) 1 V) i) Calcular: (1 i ), ( i), ( i), (. i) iii) (. i) 6 1. i y 1 i ii) Hallar la parte real y la parte imagiaria de cada uo de los siguietes complejos: 8 6 (1 i) (1 i) (1 i) (1 i) 1, y 6 6 ( i) ( i) (1 i) (1 i) 1 19 VI) Cosideramos mi = ( m R ). Hallar m para que: i) Re( ) = ii) i C VII) Hallar los complejos cuyo cuadrado sea igual a su cojugado. VIII) Sea w = (1 i). m ( i). m 1 i ( m R ). Hallar los valores de m para los cuales: i) Re(w) = ii) El afijo de w perteece al cuarto cuadrate iii) w C iv) Arg( w) = π 11

12 IX) Calcular: i, 8 i, i, 8 6 i, i,. i, 1, 5 1 i, X) Resolver e ( C,, ): i, 1 i, 5 y 1 i i 1 i 1) ( x 1) = 9 ) x 16 = ) x 8 1 = ) x 5 = 5) x x 89 = 6) x ( i) x 7i 1 = 7) x ( i) x 5 5i = 8) i. w = 5 i x x = 9) iw = i = 8 ( i) x ( i) y = 8 1) 11) 1 5 ( i) x ( i) y = 6 = 8i XI) Resolver e (C,, ) 1) x 19x 58x 51 = sabiedo que admite raí i ) x 6x x 6x 7 = sabiedo que admite raí -5-7i ) x (i ) x ( i) x 5 i = sabiedo que admite raí i. XII) 1) Hallar la raí quita de i que tiee su afijo e el primer cuadrate y expresarla e forma biómica. ) Resolver e (C,, ): 5 1 = sabiedo que ua de las raíces es el complejo hallado e 1) XIII) 1) Hallar p, q R, de modo que la ecuació x x x px q = admita a 1i como raí. ) Para los valores hallados resolver completamete la ecuació e (C,, ). ) Costruir ua fució poliómica de cuarto grado y coeficiete pricipal 1 cuyas raíces sea los cuadrados de las raíces de la ecuació de la parte 1). XIV) Represetar gráficamete el cojuto de los complejos que cumple: 1) = ) = 1 ) = 1 ) C 5) 1 C 6) = 7) ( 1) = 8) 1 = 9) < 1 1) 1 < 1 11) i i XV) Siedo = 5 6i ; hallar C para que los afijos de, 1 triágulo equilátero y 1 sea los vértices de u 1

13 XVI) Hallar los complejos, y cuyos afijos so vértices de u triágulo equilátero co 1 cetro e el orige, sabiedo además que: = i Represetar el triágulo y calcular su perímetro. XVII) Co = 5 i ; hallar los complejos y para que los afijos de,,, sea los vértices 1 1 de u cuadrado. XVIII) 1) Cosideramos el complejo w =. π Para cada C deomiamos = w., = w., = w. 1 1 Estudiar la aturalea del cuadrilátero de vértices los afijos de,, y 1 ) Determiar los complejos para los cuales el área del mecioado cuadrilátero vale 6. XIX) Resolver e (C,, ) : 1 x x x x x 5 x 6 = (Sugerecia: recordar que a b = ( a b).( a 1 a. b... b 1 ) ) XX) 1) Hallar los complejos tal que C. Represetarlos gráficamete. ) De los complejos de módulo costate ρ que verifica 1), determiar su módulo para que el área del polígoo covexo formado por sus afijos valga 6.. P R x, móico del meor grado posible que acepta por raíces los complejos ) Sea [ ] hallados e ) co parte real positiva. Resolver e ( R,,, ) : log ( ) x P x XXI) 1) Demostrar que. w =. w, w C ) Cosideramos la sucesió de complejos Probar que: = 1, N * ) i) Sea, β C ; β =. i. = 1 i 1 ( ) :. i = 1 1 Probar que si A es el afijo de y B el de β, etoces ii) Hallar { } ; = β AOB ˆ es recto. ) Determiar [ ] P x R móico, de tercer grado, sabiedo que admite como raí el complejo hallado ateriormete, y que es divisible etre x. 1

14 5) Resolver e ( R,,, ) : P( x) ( x) a) (,5) b) P( x) x.( x ) XXII) (Exame Fudametos Diciembre de 9) Se sabe que los afijos de las raíces octavas de u complejo { ( ) C R } x,, x, forma u polígoo de área. i) Hallar la raí octava de cuyo afijo es u puto iterior al primer cuadrate. ii) Hallar. iii) Cuál es el meor grado que puede teer u poliomio de coeficietes reales si admite como raíces a todas las raíces octavas de? Justifica. (Recordar que el área de u polígoo regular se puede calcular como el producto de su perímetro por su apotema dividido ). XXIII) (Exame Fudametos Febrero de 1). Se cosidera f : C C, f ( ) = i i. a) Hallar el puto uido e la trasformació f. Rec.: u puto se deomia uido e ua trasformació si se correspode cosigo mismo. b) Hallar el cojuto image del eje imagiario e la trasformació f y represetarlo gráficamete. c) Determiar el poliomio p( x ) R[ x], del meor grado posible, sabiedo que tiee raíces y y que además p(i) = 8. XXIV) (Exame Fudametos Julio 1). Se cosidera f : C C, f ( ) = a b, co a y b úmeros complejos. i) Hallar a y b sabiedo que: f(1 i) = i 5 y que i es u puto uido e f. ii) Hallar el lugar geométrico de los afijos de los complejos que cumple: i =. Llamarle G. iii) Demostrar que: P G P H, siedo P y P los afijos de los complejos y = f () respectivamete, y H el lugar geométrico de los afijos de los complejos que cumple: ' i =. iv) Hallar u poliomio de coeficietes reales, móico, del meor grado posible tal que admite como raíces a, co P H, = y ; y a, co P G H (siedo P y P los afijos de los complejos y respectivamete). 1 1