( ) INTRODUCCIÓN. SECCIONES CÓNICAS. Se denominan SECCIÓN CÓNICA a la curva intersección de un plano con un cono. CONICAS.

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN. L primer definición de sección cónic (de un cono circulr recto) preció en l civilizción Grieg. Apolonio de Perg (siglo II. C.) efectuó estudios mtemáticos sore ls secciones cónics, de los cules compuso el trtdo sore ls curvs cónics. Durnte muchos siglos, ls cónics no tuvieron un ppel relevnte en los estudios mtemáticos, hst que se descurió que el mundo que nos rode está lleno de secciones cónics, y que por ejemplo, los estudios de Glileo demostrron que ls tryectoris de los proyectiles siguen un tryectori prólic o que los estudios de Kepler demostrron que los plnets seguín un tryectori elíptic. Además, ls secciones cónics tienen diferentes plicciones en l vid rel, como por ejemplo: los cles de los puentes colgntes, los detectores de rdr o los focos de los coches tienen form prólic; ls órits de los plnets lrededor del sol son elíptics, en óptic y propgción de onds se utilizn lentes elíptics. SECCIONES CÓNICAS. P 0 r P 0 P P v = (,,c) θ Se denominn SECCIÓN CÓNICA l curv intersección de un plno con un cono. Un CONO es quel que se puede generr l girr un rect s con respecto otr no prlel r (denomind eje de rotción). P 0 = P 0 (x 0, y 0, z 0 ) = r s Se denomin VÉRTICE del CONO, si v = (,,c) el vector director de r ( v =1) cumple: θ = Ángulo(r,s) ( 0º < θ < 90º ). P = P(x,y,z) pertenece l CONO si uuur r uuur ( P Pgv ) = ( P P v cos q) 0 0 Desrrollndo dich relción y teniendo en cuent que ² + ² + c ² = 1, qued ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) x x + y y + c z z = x x + y y + z z q cos r 1

2 que simplificndo qued l siguiente ecución implícit 1 : F ( x, y, z) º ( cos q ) ( x x ) ( cos q ) ( y y ) ( cos q c ) ( z z ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ù é ê x x y y + c x x z z + c y y z z = 0 ë úû Pr ver como es un SECCIÓN CÓNICA (intersección de un CONO con un PLANO), podemos considerr P 0 θ π = (0,0,z 0 ) con z 0 0 el vértice del CONO. el ángulo que form culquier genertriz (rect contenid en l superficie del cono) del cono con el eje de rotción r : G(x,yz) = z = 0, es decir el plno XY. Si demás, considermos α = Ángulo ( v, π ),. podemos tomr v = ( 0, cos α, sen α ) el vector de l rect r. y l SECCIÓN CÓNICA, cumplirá el siguiente sistem ( ) ( q) ( q ) ( q ) ( ) ( ) F x, y, z º cos x + cos cos y + cos sen z z cos sen y z z = 0 G( x, y, z) º z = Resultndo l ecución de l cónic siguiente: P 0 v θ α π C ( x, y, z) º ( cos q) x ( cos q cos ) º + y cos sen z y ( q sen ) 0 cos z = 0 0 Que podemos simplificr con l notción: C ( x, y, z) º A x + B y + C y + D = 0 donde ( ) ( ) A = cos q; B = cos q cos ; C = cos sen z ; D = cos q sen z Si P 0 = (0,0,0) y v = (0,0,1), dividiendo por cos²θ, l ecución implícit serí: F ( x, y, z) º x + y tg q z = 0 Es decir es un cso prticulr de un CUÁDRICA (superficie lgeric de grdo ).

3 Como A > 0, dependiendo del signo de θ - α, otenemos ls siguientes curvs: Si θ - α > 0 Si θ - α = 0 Si θ - α < 0 B > 0, ecución de un ELIPSE. B = 0, C < 0, ecución de un PARÁBOLA. B < 0, ecución de un HIPÉRBOLA. Además, hemos descrtdo el punto z 0 = 0, y que en este cso serí un CÓNICA DEGENERADA, cuys posiles soluciones (no cónics) son: Si θ > α. L únic solución es el punto P = (0,0,0) Si θ = α. L solución es l rect que contiene l eje OY. Si θ < α. L solución son dos rects no prlels, que psn por el origen de coordends y que están sore le plno z = 0. 3

4 ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS. Ecución lgeric de un Cónic Un cónic C stisfce un ecución lgeric de grdo dos respecto de ls vriles x, e y. Es decir, en el plno fín rel E, un cónic C es un conjunto de l form: ì æ1ö ü C = ïp ( x, y) : ( 1, x, y) A x 0 í = ï ý y ç çè ø ïî ïþ A un mtriz cudrd y simétric (A=A t ), denomind MATRIZ COORDENADA, con coeficientes reles. Siendo: funciones: A = = = ( ) 0 1 Pr estudir ls CÓNICAS, pr cd, podemos definir ls siguientes æ1ö g ( P, Q) = g (( x, y),( u, v) ) = ( 1, x, y) A u = 0 ç çè vø æ1ö f ( P) = f (( x, y) ) = ( 1, x, y) A x = 0 ç çè y ø Hy que oservr que un cónic C, verific infinits ecuciones de l form f((x,y)) = 0, y que si W es un mtriz proporcionl A, existe un rel c no nulo, tl que se verific: ( ) ( ) = 1 1 1, x, y W x = c 1, x, y A x = c 0 = 0 y y A

5 Si 1 C ( 1, x, y ) A x = 0 y es l ecución de un cónic, respecto de un sistem de referenci B, y B' es otro sistem de referenci, cuys ecuciones de cmio viene dds por ( 1,, ) ( 1, ', ') x y = x y M Entonces, l cónic C, respecto del nuevo sistem de referenci B ' vendrá ddo por ls ecuciones 1 t C ( 1, x, y ) M A M x = 0 y Ejemplos 1. L siguiente ecución de l Cónic Que equivle Es l ecución de un Hipérol y x

6 . L siguiente ecución de l Cónic Que equivle Es l ecución de un Elipse y x Puntos conjugdos, rects polres, puntos singulres y polos de un Cónic. Dos puntos P 1 (x 1,y 1 ) y P (x,y ) del plno fín, son CONJUGADOS, respecto de l cónic C, si 1 f ( P1, P ) = ( 1, x1, y1 ) A x = 0 y Es evidente, que si P C, P es AUTOCONJUGADO. Ejemplos 1. Respecto de l Cónic Los puntos (1,1) y (0,½) son CONJUGADOS y que se cumple: 6

7 . Respecto de l Cónic El punto ( - + 3, 0 ) es un punto AUTOCONJUGADO, y que se cumple: Si P 0 = (x 0,y 0 ) es un punto del plno fín, denominmos RECTA POLAR del 1 r 1, x0, y0 A x = 0 y punto P 0, respecto de l cónic C, l rect: ( ) 1, x, y A = t, 0, 0 ; t Î 0 ) Si ( ) ( ) { } 0 0 NO EXISTE ningún punto P del plno fín conjugdo con P 0. ) Si ( 1, x, y ) A = ( 0,0,0 ) 0 0 Culquier punto P del espcio fín es conjugdo con P 0. Ejemplo El punto P(-7/5,-3/5) no tiene ningún punto conjugdo respecto de l Cónic Y que se cumple: Los PUNTOS SINGULARES de l cónic C es el conjunto { P ( x, y ) E : ( 1, x0, y0 ) A = ( 0,0,0 ) } 7

8 Ejemplo L Cónic C No tiene puntos singulres, y que el sistem: No tiene solución. Si A es l mtriz coordend de un cónic C en E que tiene puntos singulres, entonces A = 0 # Demostrción: Si P (x,y) es un punto singulr de l cónic C, dee de cumplir ( 1, x, y ). A = ( 0, 0, 0 ). (1). Si C tiene puntos singulres el sistem (1), es comptile, por tnto rn A < 3. Luego se cumple A = 0. C. Q. D. Además, si rn A =, existe solución únic, y si rn A = 1, el conjunto de soluciones viene determindo por l rect r, solución del sistem (1). Un cónic C de mtriz de coordends A, es REGULAR si A 0. Si C no es regulr se denomin DEGENERADA. Ejemplo L Cónic C Es regulr, y que: Si C es un cónic regulr y r es l rect polr del punto P 0 = (x 0,y 0 ), entonces este punto es único y se denomin POLO de l rect r. 8

9 # Demostrción: 1 r 0, 1, x = 0 y l rect polr de P 0. Se ( ) Si P (x,y) es un punto singulr de l cónic C, dee de cumplir: ( 1, x, y ) A λ (,, ) = () 0 1 Es decir, existe un λ R, tl que es solución del sistem: A 1,,, = ( x y λ ) Y como A 0, se tiene: A Rng = Luego, el sistem (), es comptile determindo y el punto P, será el único punto que cumple l ecución. C. Q. D. Ejemplo El punto (1,0) es el POLO de l rect x = - 1, respecto de l Cónic y que se cumple: y x Sen l rect r y l Cónic C, dds por ls ecuciones 9

10 ( ) ( ) ( ) r 1, x, y = α 1, x, y + β 1, x, y ; α + β = (3). C ( 1, x, y ) A x = 0 y Si un punto P = (x,y) r C, P se dee de cumplir: 1 1 ( α ( 1, x1, y1 ) + β ( 1, x, y ) ) A α x1 + β x = 0; y 1 y α + β = 1 Que desrrollndo qued el sistem: ( ( 1 1 ) ( 1 1 ) ) ( ( 1 1 ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) α g x y x y α β g x y x y β g x y x y α β 1,,, 1,, + 1,,, 1,, + 1,,, 1,, = 0; + = 1 Pudiendo ser este sistem incomptile, cundo l rect es EXTERIOR C, comptile determindo con solución únic P 0, cundo l rect es TANGENTE C en P 0, con dos soluciones P' y P'', cundo l rect es SECANTE C, o comptile indetermindo, cundo l rect r está incluid es C, y l rect es GENERATRIZ de C. Como conclusión, si P C y r es l rect polr P respecto de C, entonces, r es l únic tngente C en el punto P, o r es l genertriz de C que ps por P. Ejemplo Se l Cónic y 4.0 y x x Como l rect polr en el punto (,) es: r : 9x -5x 8 =

11 Y ddo que (,) es un punto de l Cónic, est rect es l rect tngente l Cónic que ps por el punto (,). que: Si C posee un genertriz, entonces C es unión de dos rects del plno fín. # Demostrción: Si r es genertriz de C y R' = {O,u,v} es un sistem de referenci rectngulr, tl O r, r = O + <u>. Entonces, l Cónic C, vendrá dd respecto R' por l ecución: æ1ö æ ö æ 0 1ö ( 1, x, y) B x ( 1, x, y) x = 1 = çy y è ø ç ç çè 0 1ø è ø Y como todo punto de r pertenece C, result que los puntos de coordends (x,0) respecto de R ' cumplen: Luego: æ ö 1 ( 1, x, 0) B x = + x x = 11 ç 0 çè ø = 0 00 = 01 = 11 Y el sistem (4), qued como: ( ) y + x + y = (4) (4.1) Lo que indic que l cónic está formd por ls rects que referids l sistem de referenci R' que tienen ls ecuciones: r º y = 0 s º + x + y = C. Q. D. Hy que oservr que los puntos P = (x,y) s r, son puntos singulres de C, y que respecto del sistem R ' l mtriz de coordends es: A = Y será ( 1, x, y) A = ( 0 0 0)

12 Si C es un cónic, y P 0 es un punto singulr de C, entonces, tod rect que ps por P 0 o es tngente C o es genertriz de C. # Demostrción: Si P 1, es otro punto de l rect r que ps por P 0, entonces, todo punto P = (x,y) que perteneciente r se puede expresr medinte l ecución: ( ) ( ) ( ) r 1, x, y = α 1, x, y + β 1, x, y ; α + β = Y teniendo en cuent que P 0 es singulr de l Cónic C, se cumple: f (P 0, P 0 ) = f (P 0, P 1 ) = 0. Luego resolviendo el sistem P r C, y reduciendo qued: β. f (P 1, P 1 ) = 0. α + β = 1. En cso de que β = 0, l rect r es tngente C en P 0. En cso de que f (P 1,P 1 ) = 0, r C, y por tnto r es genertriz de C. C. Q. D. Luego, como conclusión: tod rect r que pse por un punto singulr de l cónic C y por otro punto de C, es genertriz de C. Centro de un cónic C. Un punto P A (plno fín) es CENTRO de l CÓNICA C, cundo no existe ningún punto P ' conjugdo con P, respecto de l cónic C. Como los puntos P A (plno fín), que no poseen puntos conjugdos deen de cumplir l ecución: (1,x,y).A = (λ,0,0) ; λ R. (5). Es equivlente resolver: (1,x,y).( 0 ) 0. (5.1). (1,x,y).( 1, ) = (0,0). (5.). Cónics regulres. Si C es un CÓNICA REGULAR es decir si A 0. Resolviendo el sistem (5), se cumple: ) Si A 0 0 0, existe un único punto Q que es centro de l cónic C. 1) En cso de que se ( 01, 0 ) = (0,0), será Q = (0,0). Y ddo que: 0 A = 00. A 0. Result que 0 0 0, y por consiguiente Q = (0,0) es único. 1

13 ) En el cso de que se ( 01, 0 ) (0,0), por ser A 00 0, el sistem (5), dmite solución únic, que resolviendo el sistem (5.), vendrá dd por: Q = 01 0 A , = ( c1, c ) A00 Que demás, sustituyendo en l ecución (5.1) se comprue: (1,c 1,c ).( 0 ) = æ ö A = - + = ¹ A ç A 00 çè ø 00 A Y por tnto el punto Q, es el único centro de C. Pues result que 0 0 0, y por consiguiente Q es único. ) Si A 00 = 0, entonces l cónic C no tiene centro, y que si ( 01, 0 ) = (0,0). Rn A 0 0 < Rn A. Y por tnto el sistem (5) es incomptile, y no tiene solución. Además, teniendo en cuent: A A æ ö ç = ç - + = çè ø = ¹ Será l menos lguno de los determintes siguientes, distinto de cero:, Un Cónic regulr C con mtriz coordend A, es: Cónics degenerds. de tipo PARABÓLICO si A 00 = 0, y de tipo NO PARABÓLICO si A Si C es un CÓNICA DEGENERADA, es decir A = 0. Resolviendo el sistem (5), se cumple: ) Si A 0 0 0, l cónic no tiene centro, y que: 1) En el cso de que se ( 01, 0 ) = (0,0), como A = 00. A 00 = 0, será 00 = 0. Y en este cso no existe centro de l Cónic. 13

14 ) En el cso de que se ( 01, 0 ) (0,0), por ser A 00 0, el sistem (5), dmite solución únic, que resolviendo el sistem (5.), vendrá dd por si Q, es el centro de C será: Q = 01 0 A , = ( c1, c ) A00 Y sustituyendo en l ecución (5.1) y teniendo en cuent que A = 0, se otiene: (1,c 1,c ).( 0 ) = æ ö A = - + = = A ç A 00 çè ø 00 A En contr de l hipótesis de que dicho producto se no nulo, luego no existe centro de l Cónic C. ) Si A 0 0 = 0, 1) Si ( 0 1, 0 ) = (0,0) y 0 0 = 0 entonces, no existe centro de l cónic C. ) Si ( 0 1, 0 ) = (0,0) y entonces, el centro de l cónic C, será un rect, si rn A =, y el conjunto vcío si rn A = 1. 3) Si ( 0 1, 0 ) = (0,0) y rn ( 1, ) t =. El sistem (5.) es incomptile, y por tnto no existe centro de l cónic 4) Si ( 0 1, 0 ) = (0,0) y rn ( 1, ) t = 1. El sistem (5.) es comptile, y por tnto el centro de l cónic C, vendrá determindo por los puntos que son solución del sistem (5.). 5) Si ( 0 1, 0 ) = (0,0) y 1 1 = 1 = = 0 Entonces, El sistem (5.) es incomptile, y por tnto no existe centro de l cónic C. 14

15 Clsificción métric de ls Cónics. Se E el plno fín rel, R y R' dos sistems de referenci rectngulres de A. Ddo que existe un ángulo α, y un mtriz cudrd de orden tres, con coeficientes reles: 1 M ( α ) = 0 cosα sen α. 0 sen α cosα tl que l expresión mtricil del cmio de viene ddo por: (1,x,y) = (1,x',y') M (α). Un cónic C, de ecución de mtriz coordend A respecto del sistem de referenci R, vendrá expresd respecto del sistem de referenci R' por: æ1ö æ1ö C º ( 1, x, y) M ( ) A M t ( ) x ( 1, x, y) B ( ) x = = 0 çy y è ø çè ø Además, se oserv, que: B(α) = M(α). A. M t (α) = (cos α + sen α ) A = A B 00 (α) = ( cos α + sen α ). A 00 = A = (cos α + sen α ). ( 11 + ) = 11 + Luego, ddo un cónic C, los esclres A, A 00 y ( 11 + ), permnecen invrintes cundo se cmi de sistem de referenci rectngulr en A. Y recien el nomre de INVARIANTES MÉTRICOS. Por tnto, dd un cónic C, siempre se puede encontrr un sistem de referenci rectngulr respecto de l cul l mtriz B, que define l cónic C, se de l form: Y que: B = = sen α cos α + sen α cos α + 1 ( cos α - sen α ) = = (½). sen α ( ) + 1 cos α. 1 Y siempre se puede tomr α tl que: tg ( ) = Vlor que hce nulo el elemento 1 =

16 Supondremos en delnte α tl que 1 = 0. Si A Entonces el sistem: Equivlente : (1,,). ( 1, ) t = ( 0, 0 ) = = - 0. Tiene solución en y. Y teniendo en cuent que: 0 1 = Cos α - 0 sen α = 0. 0 = Cos α + 0 sen α = 0. O equivlente : 0 1 = ( ). Cos α + ( 1 + ) sen α = 0. 0 = ( ). Cos α - ( 1 + ) sen α = 0. Luego si l cónic es de tipo no prólico, es decir A 00 0, se puede encontrr un referenci rectngulr del plno fín A, respecto del cul l mtriz coordend de l cónic C es de l form: B = Y por tnto, respecto de dicho sistem: C x + y = 0. Donde los coeficientes 0 0, 1 1 y, son tles que: 0 0 = 0 0. Y 1 1, son tles que cumple el sistem: 1 1. = A = Es decir 1 1, son ríces de l ecución: x - ( ) x + A 0 0 = 0. Si A 0 0 = 0. Teniendo en cuent: 0 0 = = 0 1. Cos α - 0 sen α. 0 = 0 1. Cos α + 0 sen α. 1 1 = 1 1. Cos α + sen α - 1 sen α cos α. = 1 1. sen α + cos α - 1 sen α cos α. 16

17 Que efectundo en A l trnsformción: Siendo: ( 1, x ', y ' ) = ( 1, x ' ', y ' ' ). D. D = L nuev expresión de l cónic C es: Donde: Además: C ( 1, x ' ', y ' ' ). D. B. D t. ( 1, x ' ', y ' ' ) t = = ( 1, x ' ', y ' ' ). E. ( 1, x ' ', y ' ' ) t = 0. e 0 0 = e 0 1 = e 0 = e 1 1 = 1 1 ; e =. Y según el vlor de los coeficientes de B, qued: 1. Si 1 1 = 0, 0 1 0, 0. C e 0 1 x + e y = 0; Donde e 0 1 y e son tles que: - e 0 1. e = A. e 01 = ± A Si 1 1 = 0, 0 1 0, = 0. C e e y = 0; Donde e 0 0 y e son tles que: e = e 00 A = + 11 e A 3. Si 1 1 = 0 =. C e 0 1 x + e 0 y = 0; Denominds ecuciones reducids de ls cónics correspondientes. 17

18 Rects tngentes ls Cónics y hz de Cónics. Rect tngente C, que pse por un punto H = (,): * Si H C r (1,,).A.(1,x,y) t = 0. * Si H C r (1,,).A.(1,x,y) t - [(1,,).A.(1,,) t ]. [(1,x,y).A.(1,x,y) t ] = 0. Si C y C ' son dos cónics de mtrices coordends A y A', se denomin HAZ DE CÓNICAS generds por C y C ' los puntos de A, que verificn l ecución: ( 1, x, y ). ( α. A + α '. A ' ). ( 1, x, y ) t = 0. α, α ' R; ( α, α ' ) (0,0). Los puntos ásicos del hz de cónics, pertenecen ls dos cónics (y por tnto tods ls del hz). Si P y P ' son puntos conjugdos respecto de ls cónics C y C ', entonces son conjugds respecto de culquier otr cónic del hz generdo por C y C '. Clsificción fín de ls Cónics. Un estudio prticulr de ls cónics nos conduce l CLASIFICACIÓN AFÍN de ls cónics: A00 > 0 A00 = 0 A00 < 0 A.(trz A 00 ) < 0 ELIPSE REAL. ("circunferenci si 1 = 0"). A.(trz A 00 ) = 0 RECTAS IMAGINARIAS. A.(trz A 00 ) > 0 ELIPSE IMAGINARIA ("circunferenci si 1 = 0"). A 0 PARÁBOLA. A = 0 RECTAS, reles distints, imginris conjugds o coincidentes A 0 HIPÉRBOLA (" equiláter si 11 + = 0") RECTAS DISTINTAS. A = 0 En cso de rects, si 11 = - 0, se cumple que son perpendiculres. Centro, diámetros y ejes de ls Cónics. Si l cónic tiene centro en un punto ( x 0, y 0 ) se verific: f ( x, y) ( ) f ( x, y) x, y 0 0 ( x, y 0 0 ) = = 0 x y Si ls rects r y r ' viene dds por ls ecuciones: r u x + v y + 1 = 0. (" de pendiente m = u/v " ). r ' u ' x + v ' y + 1 = 0. (" de pendiente m = u /v " ). Si A es l mtriz coordend de l cónic C, y Adj A es l mtriz djunt de A ("cuyos coeficientes son ls mtrices djunts de A" ), entonces: r es tngente C si (1,u,v). Adj A. (1,u,v) t = 0. r y r ' son conjugds C si (1,u,v). Adj A. (1,u ',v ') t = 0. 18

19 Si l cónic C tiene centro, los DIÁMETROS de dich cónic, vendrán dds por ls rects que psn por el centro y cuys pendientes m y m se resuelven medinte l ecución: (1,m). A 00. (1,m ) t = 0. Los EJES de l cónic, vendrán ddos por ls rects que psn por el centro y cuys pendientes m y m se resuelven medinte l ecución: (1,m). A 0 0. (-m, 1) t = 0. Los VÉRTICES de l cónic serán los puntos de intersección de los diámetros con l cónic. Ejemplo Se l Cónic Como: DET (A 00 ) = > 0; (DET A). Trz A 00 = (-1).(3+1) = -4 <0 L cónic es un ELIPSE y x Además, teniendo en cuent que l ELIPSE tiene CENTRO, su centro se otiene resolviendo ls ecuciones: 19

20 Que se otiene el punto O = (- ½, 3/ ). Y los diámetros de l elipse son ls rects que psn por O, y tiene de pendientes m y m, que se otiene teniendo en cuent que m.m = -1, y resolviendo ls ecuciones Oteniendo ls rects (DIÁMETROS) y 3.0 A B.0 B A x Pr hllr los vértices de l ELIPSE, st con que resolvmos los sistems: 1) 0

21 ) Cuys soluciones son los puntos A, A, B, B, cuys coordends son: 1

22 LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS. Si considermos el plno fín euclídeo, ddo un punto f (denomindo FOCO), un rect D (denomind DIRECTRIZ) y un número rel e (denomindo EXCENTRICIDAD). Denominmos CÓNICA C l conjunto de puntos del plno A cuy distnci l foco es igul l producto de e por su distnci l directriz. Es decir: C = { p A : d (p,f) = e. d(p,d) }. Teniendo en cuent que hy vrios tipos de cónics, según el vlor de su excentricidd, podemos clsificr: si e < 1 si e = 1 si e > 1 ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLA Como resumen, en el cso de ls ecuciones reducids de ls cónics, los correspondientes focos, directrices y excentriciddes vienen dds por: CÓNICAS FOCOS DIRECTRICES EXCENTRICIDADES Elipse d (P,F) + d(p,f ) =. x y ( c,0) + = 1 ( 0, ± c) Práol d (P,F) = d(p,d). æp ö y = p x ç, 0 çè ø x æ pö = p y ç 0, çè ø Hipérol d (P,F) + d(p,f ) =. x y 1 = ( c,0) ( 0, ± c) ± x = ± c ± p x = e = 1 x = ± c c e = < 1; = + c c e = < 1; + = c Como ejemplo de cónics, estudiremos los csos prticulres de l práol, l elipse y l hipérol en sus forms cnónics (tomndo un sistem de referenci decudo). ELIPSES. En el plno fín rel E, se llm ELIPSE l CÓNICA que tiene por focos los puntos f(c) y f (C ) (situdos un distnci dist(f,f ) =.c), y cuy constnte es R (siendo >c), l lugr geométrico de los puntos P(x,y) de E, tles que dist(p,f) + dist(p,f ) =.

23 Se denominn EJES de l elipse (por ser sus ejes de simetrí ortogonles), l rect que ps por f y f (de segmento myor) y su meditriz (de segmento menor). B A f f A B El punto de intersección de los ejes de l elipse, es su CENTRO, y los puntos de intersección con l elipse se denomin vértices (A y A pr el eje myor, B y B pr el eje menor). De l definición se desprende que l ELIPSE es simétric respecto de los segmentos AA y BB. De donde se deduce: dist(a,f) + dist(a,f ) = dist(a,f) + dist(a,f ) =. ( por definición ) = = dist(o,a) + dist(o,a ) =. dist(o,a) dist(o,a) = dist(o,a ) =. Y como los puntos B y B, son simétrics respecto de los focos f y f : dist(b,f) = dist(b,f ) = dist(b,f) = dist(b,f ) = Denominndo: dist(o,b) = dist(o,b ) =. Y teniendo en cuent que dist(o,f) = dist(o,f ) = c. será: = + c Entonces, tomndo el cso prticulr, de que los ejes myores y menores de l elipse sen respectivmente el eje X e Y, de un sistem de referenci crtesino. Los focos f y f tendrán de coordends (c,0) y (-c,0) respectivmente. Y pr cd punto P de l elipse, l condición: d (P,f) + d (P,f ) =.. 3

24 ( ) ( + ) x c + y + x c + y = Y elevndo, ms expresiones l cudrdo, se otiene: ( ) ( + ) ( ) ( + ) x c + y + x c + y + x c + y x c + y = 4 ( ) x + y + c + x + y + c 4 x c = ( x + y + c ) 4 x c = ( x + y + c ) Y elevndo l cudrdo mos miemros y simplificndo se otiene: x c = 4 ( x + y + c ) ( c ) x + y = ( c ) Y dividiendo mos miemros por ( c ), y teniendo en cuent que = c, se otiene l ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE: x y + = 1 Rzondo nálogmente, si tommos el cso prticulr, de que los ejes myores y menores de l elipse sen respectivmente el eje Y y X, dich ecución qued: x y + = 1 L excentricidd e, viene determind por el cociente, c/ que como es de esperr es menor que 1, y geométricmente indic el grdo de chtmiento de l elipse. L ELIPSE es un curv cotd simétric respecto de los ejes de simetrí, pues si considermos por ejemplo l elipse C = x y + = Si (x,y) C (-x,y), (x,-y) C. 1 El centro de l elipse es el punto de intersección de los ejes de simetrí, cuyos puntos de corte con los ejes son: (,0), (-,0), (0,), (0,-) ó (0,), (0,-), (,0), (-,0) Si desplzmos el centro de l Elipse l punto O = (p,q), l ecución de l Elipse puede ponerse en lgun de ls forms siguientes: ( x p ) ( y q ) ( x p ) ( y q ) + = 1 + = 1 4

25 Práols. En el plno fín rel E, se llm PARÁBOLA l CÓNICA que tiene por foco l punto f(f 1 ) y por directriz l rect D(F A) (situd un distnci p > 0 del foco), l lugr geométrico de los puntos P(x,y) de E que equidistn de f y de D. Deido que los puntos P de l PARÁBOLA, equidistn de f y D, su excentricidd e = 1. Se denomin eje de simetrí (ortogonl) l perpendiculr D, que ps por f. Y se denomin, vértice (o) l intersección del eje de simetrí con l práol. p Además, se cumple: dist(o,f) = dist(o,d) =. Por tnto, ls coordends de f vendrán dds por f = (p/,0) y l ecución de l p directriz será D: x = -. L distnci de un punto P(x,y) l rect D, vendrá dd por: p dist ( P, D) = x+ Y como P será un punto de l práol si: dist(p,f) = dist(p,d) æ p ö æ ö p x y ç + = x + ç çè è ø ø Elevndo ms expresiones l cudrdo y simplificndo se otiene: y =.p.x Rzondo, nálogmente, si tommos como eje de simetrí el eje y, dich ecución qued: x =.p.y Hy que oservr que l práol crece de centro, no está cotd, y crece de síntots. Además, es simétric respecto del eje de simetrí, y tiene dos rms infinits, pues si considermos por ejemplo l práol C de ecución: y =.p.x, si (x,y) C (x,-y) C. si x + y +. 5

26 Si desplzmos el centro de l Práol l punto O = (p,q), l ecución de l Práol puede ponerse en lgun de ls forms siguientes: (y-) =.p.(x-) ó (x-) =.p.(y-). Hipérols. En el plno fín rel E, se llm HIPÉRBOLA l CÓNICA que tiene por focos l los puntos f y f (situdos un distnci d (f,f ) = c), y cuy constnte es R (siendo 0 < < c), l lugr geométrico de los puntos P = (x,y) de A, tles que d (P,f) - d (P,f ) =. Se denominn EJES de l hipérol (por ser sus ejes de simetrí ortogonles), l rect que ps por f y f (eje focl o rel) y su meditriz (eje secundrio o imginrio). El punto de intersección O de los ejes de l hipérol es su centro de simetrí. El eje rel cort l hipérol en dos puntos, A y A llmdos vértices reles; y se verific que d (O,A) = d (O,A ) =. 6

27 De l definición se desprende que l hipérol es simétric respecto de sus dos ejes de simetrí. Y se deduce: d (A,f ) - d (A,f) = = d (A,A ) + d(a,f ) d (A,f) = =. ( por definición) = = d (O,A) + d (O,A ) =.d(o,a). Tomndo el cso prticulr, de que el eje de simetrí rel se el je X y el vértice el origen de coordends. Teniendo en cuent, que eje imginrio equidistn de f y f, ls coordends de los focos son (c,0) y (-c,0) respectivmente. Los puntos (0,± ), se denominn extremos imginrios, y son tles que, su distnci () l punto O cumple: Donde = + c = d (A,O) = d (A,O) y c = d (f,o) = d(f O). Luego, un punto P(x,y) pertenece l hipérol, si cumple: ( ) ( + ) x c + y x c + y = Y elevndo, ms expresiones l cudrdo, se otiene: ( ) ( + ) ( ) ( + ) x c + y + x c + y x c + y x c + y = 4 ( ) x + y + c x + y + c 4 x c = ( ) ( ) x + y + c 4 x c = x + y + c Y elevndo l cudrdo mos miemros y simplificndo se otiene: x c = x + y + c 4 ( ) ( c ) x y = ( c ) Dividiendo mos miemros por (c - ), y ddo que = (c - ), se otiene l ecución reducid de l hipérol: x y = 1 7

28 Rzondo nálogmente, si tommos el cso prticulr, de que el eje de simetrí rel se el eje Y, dich ecución qued l ecución reducid de l hipérol (de l hipérol conjugd): y x 1 = L excentricidd e, viene determind por c/ que como es de esperr es myor que 1, y geométricmente indic el grdo de chtmiento de l hipérol. Hy que oservr, que es simétric respecto de los ejes de simetrí. Pues si considermos por ejemplo l hipérol. C x y 1 =. Si (x,y) C (-x,y), (x,-y) C. Además es un curv no cotd con dos rms infinits, y sus puntos de corte con el eje rel son los vértices A y A. Dd l hipérol de ecuciones reducids: x y = 1 Simplificndo, se otiene: æ ö y = ± x = ± x ç çè ø x Que cundo x ±. Se cumple: æ ö y = ± ç x çè ø ç 1 Que son sus síntots (en el cso prticulr de que =, se denomin hipérol equiláter). Oservciones. En el cso de l elipse y de l hipérol en form reducid, l directriz D viene determind por l rects x = ± c Pues, st tomr, por ejemplo los puntos B y B' (del eje menor de l elipse o del eje imginrio de l hipérol), y teniendo en cuent: 8

29 d( B, f ) = d( B ', f ) = c d( B, f ) = e d( B, D) = d( B; D) c d( B ', f ) = d( B ', D) Se otiene que: d( B, D) = d( B ', D) = c 9

30 LAS CÓNICAS COMO CURVAS PARMÉTRICAS. En muchs ocsiones se suelen utilizr ls ecuciones prmétrics pr representr ls cónics, pr el estudio de sus propieddes. Ls ecuciones prmétrics de l elipse reducid son: x = cos t. y = sen t, t [0,π). En el cso de ser =, se trt de un circunferenci y los focos f y f coinciden con el centro de l circunferenci. Ls ecuciones prmétrics de l hipérol reducid son: x = cosh t. y = senh t, t R. Ls ecuciones prmétrics de l práol reducid son: x = t ². y = p t, t R. 30

31 LAS CÓNICAS COMO EVOLVENTES. Est form de introducir ls curvs, nos permite efectur ls derivds de primer y segundo orden, de x e y respecto del prámetro t, de form que podemos estudir el comportmiento de l curv, sí como representrl el plno fín euclideo. A prtir de cierts fmilis de rects, se gener como envolventes ls curvs CÓNICAS en el plno. PARÁBOLA: Sen dos rects perpendiculres e y h (podemos considerr e = OX y h =OY) si: Si F h -{ h e } (foco de l práol) Pr cd P e -{ h e }. Si considermos ls rects [F,P] que psn por P, genern como envolvente l PARÁBOLA de foco F. CIRCUNFERENCIA: Sen dos rects perpendiculres e y h (podemos considerr e = OX y h =OY) si: O h -{ h e } (centro de l circunferenci) Ls rects que distn R uniddes de O genern como envolvente l CIRCUNFERENCIA de rdio R. ELIPSE: Sen dos rects perpendiculres e y h (podemos considerr e = OX y h =OY) si: Si F, F h -{ h e }; OF = - OF (focos de l elipse) Pr cd P C( h e, r ), donde: h e = O C(p,q) es l circunferenci de centro p y rdio q.r d(f,f') Ls rects perpendiculres [F,P] y [F',P], que psn por P, genern como envolvente l ELIPSE de focos F y F '. 31

32 HIPÉRBOLA: Sen dos rects perpendiculres e y h (podemos considerr e = OX y h =OY) si: Si F, F h -{ h e }; OF = - OF (focos de l elipse) Pr cd P C( h e, r ), donde: h e = O C(p,q) es l circunferenci de centro p y rdio q.r d(f,f') Ls rects perpendiculres [F,P] y [F',P], que psn por P, genern como envolvente l HIPÉRBOLA de focos F y F '. 3