TEMA 7 DISTRIBUCIONES DE PROBABLIDAD CONTINUAS

Transcripción

1 TEMA 7 DISTRIBUCIONES DE PROBABLIDAD CONTINUAS Distribució uiforme e el itervalo [a, b].-, a x b Fució de desidad: f(x) = b a 0, e el resto 0, x a x x a Fució de distribució: F(x) = f (x)dx, a x b b a, b x Mometos: E() = b x a b xf (x)dx dx a b a E( )= x b 3 3 x b a b ab a f (x)dx dx a b a 3b a 3 b ab a a b b ab a b a Var() = 3 Fució característica: (t) = E[e it b itx itb ita e e e ] = dx a b a b ait Trasformació itegral.- Sea ua variable aleatoria cotiua co fució de distribució F(x). Sea = F(). Etoces la fució de distribució de : G(y) = P( y) = P[F() y] = P[ F (y)] = F[F (y)] = y luego se trata de la fució uiforme e el itervalo [0, ]. Distribució ormal N(0;).- Fució de desidad: f(x) = e, < x < +. x x Se trata de ua fució de desidad porque x e dx 0 t t x t dx dt t dt ) = t e dt t 0 e x dx = (cambio /

2 Fució de distribució: F(x) = x x e dx Fució característica (t) = E[e it ] = x itx e e dx xit t t e dx e t Derivado: (t) = t e de dode E() = ' i 0 = 0 0 x itx e dx t t (t) = e t e de dode E( '' ) = i Luego Var() = Los mometos de orde impar so todos ulos por ser la fució de desidad simétrica k! k k respecto del orige. Los mometos de orde par respode a la fórmula k =! Distribució N(; ).- Dados y úmeros reales tales que << + y 0 << + y ua variable aleatoria ormal N(0,), sea = +. Es decir, efectuamos u cambio de orige y de escala sobre la variable. Tedremos etoces: y y F (y) = P[ y] = P[ + y] = P F y y F y Derivado respecto de y: fy f e y desidad de la variable a cuya distribució le llamaremos ormal N(, ). Es decir, las probabilidades de la N(, ) se reduce a probabilidades de la N(0, ) Se tiee que la esperaza de : E() = E( + ) = E() + = y la variaza: Var() = Var( + ) = Var() =. = e it Si es N(, ), la variable se llama tipificada y es N(0,) que es la fució de Fució característica: (t) = E[e it ] = E[e it( + ) ] = e it E[e it ] = e it (t) = e it e t t = /

3 = Propiedad aditiva o reproductiva: Sea j, j =,,..., variables aleatorias ormales N( j, j ) e idepedietes. Etoces b a j j es ormal N b a j j, a j j j j j La demostració se hace calculado la fució característica de (verla e el texto). Maejo de tablas de la distribució N(0; ) 3/

4 Ejemplos: P[,3] P[ ] = P[> ] P[,5] = P[>,5] P[ ] = P[ ]P[>] Si la variable ormal o es N(0,). Sea por ejemplo N(, ). Etoces P[ ] = = P P 0,5 tablas Distribucioes derivadas de la distribució ormal. Distribució de Pearso Sea,,...,, variables aleatorias N(0,) e idepedietes. Etoces se dice que la variable = 3... sigue ua distribució chi-cuadrado co grados de libertad. Su campo de variació es [0, +[. Fució de desidad: f(x; ) = x x e (se recuerda que p x ( p) x e dx, p 0) 0 4/

5 Fució característica: (t) = it De aquí resulta que E[] = ; E[ ] = (+) luego = Posee la propiedad aditiva o reproductiva, es decir, la suma de k variables idepedietes k ( j ), j=,,..., k es j j Maejo de tablas.-. Distribució t de Studct.- Cosideremos las variables U N(0,) y V idepedietes. Etoces a la distribució de la U variable t() = le llamamos t de Studet co grados de lilbertad. V Su campo de variació es el itervalo ], +[ x Fució de desidad: f x Esperaza = 0. Variaza = 5/ 0

6 Maejo de tablas.- 3. Distribució F de Fisher-Sedecor.- Si U y V so dos variables idepedietes U decimos que la variable m V libertad. f m y respectivamete, etoces sigue ua distribució F de Fisher-Sedecor co m y grados de x m m m m m x mx, m Fució de desidad: para 0 x < + Esperaza =, si >. Variaza = m m 4 6/, si > 4.

7 Propiedad: Fm, F,m Maejo de tablas.- UNED ELCHE /

8 Distribució gamma.- La variable sigue ua distribució gamma G(p,q), siedo p>0 y q>0, si su fució de p q p qx desidad es f(x) = x e, x > 0. p k Se tiee que p k E, de dode: k q p p p(p ) p p E() = y Var() = q q q q p it La fució característica (t) q Propiedad aditiva o reproductiva: si j, j =,,..., so variables aleatorias G(p j, q) idepedietes, etoces la variable = es j G j p j,q j La distribució gamma posee la propiedad de falta de memoria, es decir: P( b+a/> a) = P( b). La distribució gamma se utiliza e el estudio de la duració de elemetos físicos (tiempo de vida) Distribució beta.- p q La fució beta B(p, q) = pq x x dx, p>0, q>0 0 p q Ua variable aleatoria sigue ue distribució beta si su fució de desidad es: p f(x) = x x q, 0 x B(p,q) p Se tiee qiee() = y E( pp ) =, p q p qp q pq p q p q Es ua variable muy versátil. de dode Var() = Otras distribucioes cotiuas.- Distribució logística.- abx be Fució de desidad: f(x) =, < x < + abx e Se utiliza e el estudio del crecimieto temporal de variables demográficas Distribució de Pareto.- b bx0 Fució de desidad: f(x) = b x, x x 0, x 0 > 0, b> 0. 8/

9 bx Se cumple que E() = 0 b x 0 y Var() = b b b E el aálisis socioecoómico se aplica, por ejemplo, e el estudio de la distribució de retas persoales. EJERCICIOS Represetemos por Z la variable ormal N(0,) a)p[> ] = P Z = P[Z > ] = (tablas) = 0,08 b) La variable = º de estudiates que ivierte más de dos horas es biomial B(400; 0,08), cuya = p = 9, y = 9, 0,977, 9853, luego es aproximadamete 9, ormal N(9,;,99). Así pues, P[ ] = P Z = P[Z <,38] = (tablas) = 0,0087.,99 9/

10 No es ecesario realizar igú cálculo. Las respuestas a) y c) o puede ser ciertas porque a tiee que ser positivo para que P[<a ] = 0,9398. La respuesta b) tampoco puede ser cierta porque e ua ormal N(, ), P[<,55 ] es meor que 0,5. La fució característica de la distribució ormal N(, ) es (t) = e 3 ormal N(3, ). Así pues P(,) = P 0,9 = (tablas) = 0,84. it t. Luego es Apartado b porque P(< 3) = 0,5, pero P(< 3) > 0,5. La respuesta es d, porque e la distribució de Pareto, P(> 0) =. La respuesta es c, ya que para la t-studet P(> 0) = 0,5 z idepedietemete de los grados de libertad. b) 0/

11 a b Sea la variable aleatoria vetas mesuales. Se tiee que E() = = 8 y b a DT() = = 3, de dode se obtiee que a = y b = Luego la fució de 3, x desidad f(x) = 6 3. La probabilidad de cierre será: 0, e el resto P(< 9) = dx 0, La respuesta es d) ya que al o mecioarse la idepedecia de y, o coocemos la distribució de. Sabemos que, para la N(, ), el coeficiete de curtosis = 4 3= 0, luego para la ormal 4 N(0,) debe ser E( 4 ) = 4 = 3. () N(0,) N (0,) t() t () () () () F(, ) /

12 Obteemos que Var[ ] = Var[ ] 4Cov[, ] + 4 Var[ ], de dode Cov[, ] = 6 0 7,75 = =,75, luego = 0,875. Además, y so depedietes porque la 4 4 covariaza es 0. 0,70 P 3,940 a P a P 3,940 P a P 3, = P 3,940 P a = (tablas) = 0,95 P a 0 P a buscado e las tablas obteemos que a =,549. = 0,95 0,70 = 0,5 y Por elimiació: a) y b) o cumple la codició de que la media es el triple de la desviació típica; c) o puede ser porque si =,4 etoces P( 4) > 0,5 La variable 4 / es t 6. Se tiee que P[t 6 x 0 ] = 0,90 P[t 6 > x 0 ] = 0,0 y buscado e las tablas ecotramos que x 0 =,337. /