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1 Capítulo 37 Distribución de probabilidad normal 2010 Pearson Prentice Hall. All rights 2010 reserved Pearson Prentice Hall. All rights reserved

2 La distribución de probabilidad uniforme Hasta ahora hemos construído distribuciones de probabilidad para variables discretas. Construir la probabilidad para una variable aleatoria X, que puede asumir cualquier valor en un intervalo requiere interpretar probabilidad como un área. Esto se conoce como una probabilidad continua. En la próximas lecciones estudiaremos dos formas de probabilidad continua: probabilidad uniforme probabilidad normal 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-2

3 EJEMPLO Ilustrar la distribución uniforme Supongamos que UPS va a entregar un paquete a su residencia en algún momento entre 10 a.m.-11 a.m. Sea X representa el tiempo después de las 10 am cuando la entrega tenga lugar. Noten que la entrega podría ser a las 10 AM (x = 0) o a las 11 AM (x = 60). Noten, además, que es tan probable que el paquete llegue entre 10:15 AM y 10:16 o que llegue entre 10:40 y 10:41. O sea que X puede asumir cualquier valor en 0 x 60 con igual probabilidad. Como dos intervalos cualesquiera, de igual longitud, entre 0 y 60, inclusive, son igualmente probables, se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución de probabilidad uniforme Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-3

4 La función de densidad de probabilidad Cuando calculamos las probabilidades de las variables aleatorias discretas, por lo general sustituimos el valor de la variable aleatoria en una fórmula. Como una variable aleatoria continua puede tener una infinidad de resultados posibles, la probabilidad de observar un valor particular de una variable aleatoria continuo es cero. Para resolver este problema, calculamos las probabilidades de variables aleatorias continuas sobre un intervalo de valores. Para calcular probabilidades para variables aleatorias continuas, se utilizan funciones de densidad de probabilidad Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-4

5 Definición Una función de densidad de probabilidad (PDF) es una ecuación utilizada para calcular probabilidades de variables aleatorias continuas. Debe satisfacer las dos propiedades siguientes: 1. El área total bajo la gráfica de la ecuación sobre todos los valores posibles de la variable aleatoria debe ser igual a La altura de la gráfica de la ecuación debe ser mayor que o igual a 0 para todos posibles valores de la variable aleatoria Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-5

6 EJEMPLO Distribución de probabilidad uniforme Supongamos que UPS va a entregar un paquete a su residencia en algún momento entre 10 am - 11 am. Sea X representa el tiempo después de las 10 am cuando la entrega tenga lugar. Construya una gráfica de la distribución de probabilidad. Note que 1. el área del rectángulo es la altura de la gráfica es mayor o igual a 0 para todos los posibles valores de X. 7-6

7 La probabilidad de una variable continua El área bajo la gráfica de la función de densidad en un intervalo representa la probabilidad de observar un valor de la variable aleatoria continua en ese intervalo Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-7

8 EJEMPLO Probabilidad como área Determine la probabilidad de que el paquete se entregue entre 10:15 AM y 10:30 AM. P(15 x 30) es el área bajo la función de densidad uniforme. Area = P(15 < x < 30) = 15/60 = Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-8

9 EJEMPLO Probabilidad como área El tiempo de reacción X (en minutos) de un cierto proceso químico sigue una distribución de probabilidad uniforme con 5 x 10. (a) Dibuje la gráfica de la curva de densidad. (b) (b) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción esté entre 6 y 8 minutos? (c) (c) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción esté entre 5 y 8 minutos? (d) (d) Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción sea menor que 6 minutos? 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-9

10 Función de densidad normal La distribución normal es una, sino la más importante de todas las distribuciones de probabilidad. Las razones principales para su importancia incluyen: gran número de fenómenos reales se pueden modelar con esta distribución muchas de las distribuciones de uso frecuente tienden a aproximarse a la normal bajo ciertas condiciones proporciona la base de la inferencia estadística clásica debido a su relación con el teorema del límite central.

11 La gráfica de una curva normal Histogramas de frecuencias relativas que son simétricas y tienen forma acampanadas se dice que tienen la forma de una curva normal Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-11

12 Si una variable aleatoria continua se distribuye normalmente, o si tiene una distribución de probabilidad normal, entonces su histograma de frecuencias relativas tiene forma de campana y es simétrica (forma de curva normal ). Para distribuciones simétricas con un solo pico, tales como la distribución normal, moda = media = mediana. A consecuencia de esto, la media, es el punto más alto de la gráfica de la distribución Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-12

13 Las siguientes figuras muestran cómo los cambios en μ y σ cambian la curva normal. En la primera, podemos ver que el aumento de la media de 0 a 3 causó que la gráfica se trasladara tres unidades a la derecha, pero mantuvo su forma. En la segunda, podemos ver que el aumento de la desviación estándar de 1 a 2 hace que la gráfica se vuelva más plana y más dispersa, pero mantuvo su punto central Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-13

14 Propiedades de la curva de densidad normal 1. Es simétrica alrededor de su media. 2. Debido a que moda = media = mediana, existe un solo pico y el punto más alto se produce en x = μ. 3. Tiene puntos de inflexión en x = μ + σ y x = μ σ 4. El área bajo la curva es igual a El área bajo la curva a la derecha de μ es igual al área bajo la curva a la izquierda μ y es igual a Cuando x, f x 0, Cuando x, f x 0 7. Según la regla empírica: aproximadamente a) 68% del área bajo la curva normal está entre x = μ + σ y x = μ σ b) 95% del área bajo la curva normal está entre x = μ + 2σ y x = μ 2σ c) 99.7% del área bajo la curva normal está entre x = μ + 3σ y = μ 3σ 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-14

15 La curva de densidad normal 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-15

16 EJEMPLO Identificar μ y σ en los histogramas μ = 5, σ = 2 μ = 530, σ = Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-16

17 EJEMPLO Una variable aleatoria normal Los datos en la siguiente diapositiva representan la altura (en pulgadas) de una muestra aleatoria de 50, varones de dos años de edad. (a) Dibuje un histograma de los datos utilizando como límite inferior 31.5 y ancho de clase igual a Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-17

18 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-18

19 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-19

20 EJEMPLO (cont.) Una variable aleatoria normal (b) Cree usted que la variable aleatoria "altura de varones de 2 años de edad" se distribuye normalmente? Justifique su respuesta. La figura demuestra que la curva normal describe bastante bien las alturas de los varones de 2 años de edad. Concluimos que las alturas son aproximadamente normales, con μ = y σ =

21 EJEMPLO (cont.) Una variable aleatoria normal (c) Cómo se relaciona el área del rectángulo correspondiente a una estatura entre 34.5 y 35.5 pulgadas con el área bajo la curva entre estas dos alturas? Observe que el área de esta región sombreada está muy cerca al área bajo la curva normal de la misma región, por lo que se puede utilizar el área bajo la curva normal para aproximar la proporción de varones de 2 años de edad con estatura entre 34.5 y 35.5 pulgadas. 7-21

22 Area bajo la curva normal Supongamos que un variable aleatoria, X, tiene una distribución normal con media μ y desviación estándar σ. El área bajo la curva normal para cualquier intervalo de valores de la variable aleatoria X representa cualquiera de los siguientes la proporción de la población con la característica descrita por el intervalo de valores la probabilidad de que una persona seleccionada al azar de la población tenga la característica descrita por el intervalo de valores Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-22

23 EJEMPLO Interpretar el área bajo la curva normal Los pesos de jirafas siguen, aproximadamente, una distribución normal con μ = 2,200 libras y σ = 200 libras. (a) Dibuje una curva normal con los parámetros marcados. Sombree el área bajo la curva normal a la izquierda de x =2100. (b) Supongamos que el área bajo la curva normal a la izquierda de x = 2100 libras es Proporcione dos interpretaciones para este resultado. La proporción de las jirafas cuyo peso es menor que 2,100 libras es La probabilidad de que una jirafa seleccionada al azar pese menos de 2,100 libras es

24 Area bajo una curva normal Cómo se determina el área bajo la curva normal de una variable aleatoria? La función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria normalmente distribuida está dada por donde μ es la media y σ es la desviación estándar de la variable aleatoria. Determinar el área bajo esta curva requiere técnicas introducidas en el cálculo, que están fuera del foco de este curso Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-24

25 Variable aleatoria normal estandarizada Una alternativa al uso de técnicas de cálculo para determinar el área bajo la curva normal sería el uso de una serie de tablas. Sin embargo, esto equivaldría crear una infinidad de tablas una para cada posible combinación de desviación estándar y media. Una mejor alternativa es estandarizar la variable Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-25

26 Z: valor estandarizado Para transformar una variable aleatoria X, con media μ y desviación estándar σ, en una variable aleatoria Z, con media 0 y desviación estándar 1 se usa la transformación Note que lo que hace la transformación es determinar a cuántas desviaciones estándares se encuentra el valor de X de la media. Z es una variable aleatoria con una distribución normal estándar. 7-26

27 Z: distribución normal estándar Ahora, necesitaremos sólo una tabla para determinar las áreas correspondientes a la distribución normal estándar y, por lo tanto, determinar la probabilidad de que una variable aleatoria normal asuma cierto valor Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-27

28 La tabla normal

29 La tabla normal

30 EJEMPLO Estandarizar una variable aleatoria Los pesos de jirafas siguen una distribución normal con media μ = 2,200 libras y desviación estándar σ = 200 libras. Dibuje una gráfica que demuestra que el área bajo la curva normal entre 2000 y 2300 libra es igual al área bajo la curva normal estándar entre los valores Z para 2,000 y 2,300 libras. z = x μ σ z = z = z = z = 1 z = z = Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-30

31 EJEMPLO (cont.) Estandarizar una variable aleatoria A continuación se muestra el área bajo la curva de los pesos entre x=2000 y x=2300 Y la curva normal estándar entre los valores para Z entre z=-1 y z = ½ 7-31

32 Seccón 7.2: La distribución normal estándar 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-32

33 Propiedades de la curva de normal estándar 1. Es simétrica alrededor de su media, μ = 0 y σ = La moda = media = mediana =0, y el punto más alto se produce en x = Tiene puntos de inflexión en x = 1 y x = 1 4. El área bajo la curva es igual a El área bajo la curva a la derecha de μ es igual al área bajo la curva a la izquierda μ y es igual a Cuando Z, P(Z) 0, Cuando Z, P(Z) 0 7. Según la regla empírica: aproximadamente a) 68% del área bajo la curva normal está entre x = 1 y x = 1 b) 95% del área bajo la curva normal está entre x = 2 y x = 2 c) 99.7% del área bajo la curva normal está entre x = 3 y = Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-33

34 Area bajo una curva de normal estándar 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-34

35 Determinar el área bajo una curva de normal estándar La tabla para la distribución normal estándar da el área bajo la curva normal estándar para valores a la izquierda de alguna Z, como se muestra 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-35

36 EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar Determinar el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de Z = Area left of z = is Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-36

37 Area bajo una curva de normal estándar Área bajo la curva normal estándar a la derecha de z o es igual a 1 Area to the left of z o 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-37

38 EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar Determinar el área bajo la curva normal estándar a la derecha de Z = 1.25 Área a la derecha 1.25 = 1 área a la izquierda de 1.25 = =

39 EJEMPLO Determinar el área bajo la curva normal estándar Determinar el área bajo la curva normal estándar entre z = y z = Área entre y 2.94 = (Área a la izquierda de z = 2.94) (área a la izquierda de z = -1.02) = = Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-39

40 Problema Procedimiento Solución Determinar el área a la izquierda de z Sombrear el área a la izquierda de z Usar la tabla normal para hallar la fila y la columna que corresponden a z. El área el el valor donde la fila y la columna intersecan. Determinar el área a la derecha de z Sombrear el área a la derecha de z Usar la tabla normal el área a la izquierda de z. Luego reste 1 área a la izquierda de z Determinar el área entre z 1 y z 2 Sombrear el área entre z 1 y z 2 Usar la tabla normal el área a la izquierda de z 1 y a la izquierda de z 2. Luego reste área a la izquierda z 2 área a la izquierda de z Pearson Prentice Hall. All rights reserved

41 EJEMPLO Determinar z, dado una área específica debajo de la curva a la izquierda de z. Determinar z, dado que el área a la izquierda de z es El valor z tal que el área a la izquierda de z es es z = Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-41

42 EJEMPLO Determinar z, dado una área específica debajo de la curva a la derecha de z. Determinar z, dado que el área a la derecha de z es El área a la izquierda de z es = La aproximación para el valor de z que corresponde a un área de a la izquierda ( a la derecha) es Por lo tanto, z = Pearson Prentice Hall. All rights reserved 7-42

43 Práctica Determinar el área bajo la curva normal estándar que está a la izquierda de z. Determinar el área bajo la curva normal estándar entre:

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