1 Áreas de regiones planas.

Transcripción

1 Cálculo Mtemático. (Tem 7) Hoj Escuel Uiversitri de Arquitectur Técic Cálculo Mtemático. Tem 7: L itegrl defiid Curso 8-9 Áres de regioes pls. Defiició.- Se f u fució cotiu y o egtiv e el itervlo [, b]. El áre de l regió limitd por l gráfic de f, el eje OX y ls rects verticles x = y x = b es Áre f(c i ) x, (x i c i x i ) dode x = b y los putos x i [, b] so tles que: x = < x < x <... < x = b y x = x i x i. Ejemplo: Ecotrr el áre de l regió limitd por l gráfic de l fució f(x) = x, el eje OX y ls rects verticles x = y x =, sbiedo que i = ( + ). E este cso [, b] = [, ], x =, x = < x = < x = <... < x = y tomremos c i = i. Por lo tto Áre f(c i ) x [ ( + ) ] ( i ) ( + + ) = i = Not: e relidd los subitervlos e los que dividimos [, b] o tiee que ser de igul tmño, pero lo cierto es que sí elegidos simplific los cálculos. Sums de Riem e itegrles defiids Defiició.- Se f defiid e el itervlo [, b], y se u prtició de [, b] dd por = x < x < x <... < x < x = b dode x i es el cho del i-ésimo itervlo [x i, x i ]. Si c i es culquier puto e el i-ésimo itervlo etoces l sum f(c i ) x i x i c i x i se deomi sum de Riem de f pr l prtició. El cho del subitervlo más grde de l prtició es l orm de l prtició y se deot por medio de. Si todos los subitervlos tiee el mismo cho, l prtició es regulr y l orm viee dd por = x = b b. E el cso geerl se tiee, siedo el úmero de subitervlos. Es evidete que si, etoces.

2 Cálculo Mtemático. (Tem 7) Hoj Defiició.- Si f se defie e el itervlo [, b] y el límite e [, b] y el límite se deot por lim f(c i ) x i = lim f(c i ) x i existe, etoces f es itegrble El límite recibe el ombre de itegrl defiid de f de b. El úmero es el límite iferior de itegrció, y el úmero b es el límite superior de itegrció. Teorem Si u fució f es cotiu e el itervlo [, b], etoces f es itegrble e [, b]. ( + ) Ejemplo: Hllr el vlor de l itegrl defiid x dx, sbiedo que i =. L fució es cotiu e el itervlo, por tto es seguro que existe el vlor pedido. Pr clculrlo, y por secillez, dividiremos el itervlo [, ] e prtes igules de tmño x i = x = ( ) =. Eligiedo c i como el extremo derecho de cd itervlo teemos que c i = + i x = + i. De form que ( x dx f(c i ) x i f(c i ) x + i ) = 6 ( + i ) { 6 + [ ]} ( + ) = Teorem Si f es cotiu y o egtiv e el itervlo cerrdo [, b], etoces el áre de l regió cotd por l gráfic de f, el eje OX y ls rects verticles x = y x = b está ddo por Áre = Ejemplo: Cosidérese l regió delimitd por l gráfic de f(x) = x x y el eje OX. Los putos de corte de l gráfic de f co el eje OX so x = y x = y es fácil comprobr que etre esos dos putos l gráfic es o egtiv, por lo que el áre de est regió viee dd por el vlor de Not: Nótese que e geerl Áre. Piésese e (x x ) dx. x dx que como vimos vle -, si embrgo puede comprobrse gráficmete que el áre delimitd por l gráfic de f(x) = x, el eje OX y ls rects verticles x = y x =, vle 5. Esto es debido que l fució f(x) = x cmbi de sigo e el itervlo [, ].. Propieddes de ls itegrles defiids = = b

3 Cálculo Mtemático. (Tem 7) Hoj = c + itegrles ivolucrds exist) c, < c < b (e relidd vle pr todo c rel, siempre que ls k = k, siedo k u costte. [f(x) ± g(x)] dx = ± g(x) dx Si f es itegrble y o egtiv e el itervlo [, b], etoces Si f y g so itegrbles e el itervlo [, b] y f(x) g(x) pr todo x [, b], etoces g(x) dx Teorems fudmetles del cálculo Se f u fució defiid sobre u itervlo I R. U primitiv o tiderivd de f e I es u fució, F, cotiu e I, que verific: F (x) = f(x) pr todo x e el iterior de I Ejemplo: u primitiv de f(x) = cos x es F (x) = se x. Teorem fudmetl del cálculo Si u fució f es cotiu e el itervlo cerrdo [, b] y F es u primitiv o tiderivd de f e dicho itervlo, etoces Ejemplos: [ x () (x ) dx = x (b) ] = = [F (x)] b = F (b) F () ( ) ( ) 8 6 = x dx. L fució f(x) = x viee defiid por (x ), x < x = x, x luego x dx = (x ) dx + (x ) dx = [ x + x ] + [ x x ] = 5 E este último ejemplo, y ddo que f(x) = x es o egtiv e [, ], l itegrl hlld coicide co el áre ecerrd por l gráfic de x, el eje OX y ls rects verticles x = y x =.

4 Cálculo Mtemático. (Tem 7) Hoj. Teorem del vlor medio pr itegrles Si f es cotiu e el itervlo [, b], etoces existe u úmero c [, b], tl que El vlor f(c) = b = f(c)(b ) recibe el ombre de vlor medio de f e [, b] Ejemplo: A diferetes lturs e l tmósfer de l Tierr, el soido vij diferetes velociddes. L velocidd del soido s(x) (e metros por segudo) puede modelrse medite x +, x <.5 95,.5 x < s(x) = x , x < x + 5.5, x < 5 x +.5, 5 x < 8 dode x es l ltur e kilómetros. Cuál es l velocidd medi del soido sobre el itervlo [, 8]. L repuest es velocidd medi = 8 s(x) dx. Pr clculr l itegrl de s(x) e el itervlo [, 8], 8 podemos dividir l mism e cico itegrles ( x + ) dx = [ x + x ].5 = dx = [95x].5 = 97.5 Al sumr los vlores de ls cico itegrles se obtiee velocidd medi = 6 8 = 8 metros por segudo. ( [ ] x ) dx = 8 x x = ( [ ] 5 x + 5.5) dx = x + 5.5x = 5688 ( [ x +.5) dx = ] 8 x +.5x = El segudo teorem fudmetl del cálculo 6, co lo que Si f es cotiu e u itervlo bierto I que cotiee, etoces, pr todo x I [ d x ] f(t) dt = f(x) dx

5 Cálculo Mtemático. (Tem 7) Hoj 5 Teorem (Cmbio de vrible pr itegrles defiids) Si l fució u = g(x) tiee u derivd cotiu e el itervlo cerrdo [, b] y f es cotiu e el recorrido o rgo de g, etoces Ejemplo: Clculr 5 f[g(x)] g (x) dx = g(b) g() f(u) du x x dx. Efectuemos el cmbio de vrible u = x, o lo que es lo mismo x = u +. Esto os llev que u du = dx y cudo x =, u = =, mietrs que cudo x = 5, u = =. Por tto 5 x u + dx = u du = x u (u + ) du = [ u ] + u = 6 Teorem Se f itegrble e el itervlo [, ]. () si f es u fució pr, etoces (b) si f es u fució impr, etoces = = Ejemplo: Clculr π π (se x cos x + se x cos x) dx. Tomdo f(x) = se x cos x + se x cos x, es fácil comprobr que f( x) = f(x), es decir, f es u fució impr, por lo tto l itegrl pedid vle.