Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es un conjunto de ecuaciones:

Transcripción

1 S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S. M É T O D O D E G A U S S. S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S L I N E A L E S C O N T R E S I N C Ó G N I T A S Un sistem de tres ecuciones con tres incógnits es un conjunto de ecuciones: donde ij son números reles llmdos coeficientes; los b i son números reles llmdos términos independientes,, son ls incógnits. Se llm solución del sistem un tern de números (,b,c) tles que l sustituir por, por b por c se verificn simultánemente ls tres ecuciones. Un sistem es comptible si tiene por lo menos un solución. Si es únic, se dice comptible determindo, mientrs que si tiene más de un, entonces h infinits el sistem es comptible indetermindo. Los sistems que no tienen ningun solución se dice que son incomptibles. Pr resolver un sistem de este tipo empleremos el método de reducción o método de Guss. Pr eso tendremos que trnsformr el sistem originl en otro equivlente. Dos sistems de ecuciones son equivlentes cundo tienen ls misms soluciones. Pr obtener un sistem equivlente otro ddo, se pueden relir ls siguientes operciones: b ü b ý b þ Multiplicr o dividir los dos miembros de un ecución por un número rel distinto de cero. Sumr o restr un ecución del sistem, otr multiplicd por un número. Suprimir un ecución del sistem, si es combinción linel de ls restntes. Intercmbir ecuciones. Cmbir de orden ls incógnits.. M É T O D O DE GAUSS El método de Guss consiste en trnsformr un sistem de ecuciones en otro equivlente, pero esclondo. Pr conseguir esto se efectún, según convengn, ls trnsformciones elementles nteriormente citds. Tods ells pueden relirse directmente sobre l mtri socid l sistem. Sólo l últim eige l cutel de notr dónde v prr cd incógnit, de no cmbir de lugr l últim column. Es decir: Podemos escribir el sistem de ecuciones emplendo un notción mtricil. L mtri mplid del sistem serí: Mtemátics I Tem. Sistems de ecuciones lineles -

2 Si h lgun fil tod ell formd por ceros, se suprime. El sistem de ecuciones, o su mtri socid, dopt finlmente un de ls forms siguientes: representn números distintos de cero. representn culquier número. H tnts ecuciones válids cómo incógnits. De form esclond, obtenemos un vlor numérico pr cd incógnit. El sistem tiene solución únic. Es, por lo tnto, un sistem comptible determindo. H menos ecuciones válids que incógnits. Ls incógnits que están de más se psn l segundo miembro, con el que ls otrs se drán en función de ells. El sistem es comptible indetermindo: tiene infinits soluciones. Si prece un fil de ceros ecepto el último vlor, que es distinto de cero, signific que se llegó un ecución del tipo, lo cul es un iguldd imposible. En este cso, el sistem es incomptible: no tiene solución. Ejercicios resueltos: ) Resolver por el método de Guss el sistem: Solución: En l últim fil tendremos que - sustituendo en ls nteriores quedrá que,. ) Resolver por el método de Guss el sistem: Mtemátics I Tem. Sistems de ecuciones lineles - b b b

3 Solución: El sistem es comptible, pero indetermindo. Qued sí:. Despejndo, en ls dos ecuciones, poniendo en función de un prámetro, l solución del sistem serí: ) (,, R ) Resolver por el método de Guss el sistem: Solución: ES un sistem incomptible, pues se llegó l ecución -, lo que es imposible. E J E R C I C I O S. Resuelve los siguientes sistems de ecuciones e indic de qué tipo son: ) ) ) (Sol: (,,-)) (Sol: S. Incomptible) (Sol: (-,,)) ) ) ) ( Sol: (,,)) ( Sol: (,,-)) ( Sol: (,-,)) Mtemátics I Tem. Sistems de ecuciones lineles -

4 ) ) 9) ( Sol: (,,-)) ( Sol: (, -,)) ( Sol: S. incomptible) ) ) ) ( Sol: (,-,)) ( Sol: (-,,)) ( Sol: (/, -,/)) ) ) ) 9 ( Sol: (--,,)) ( Sol: (-,,-)) ( Sol: (-,,)) ) ) ) ( Sol: S. Incomptible) ( Sol: (,, )) ( Sol: (-,,)) 9) ) ) ( Sol: (/,-/,)) ( Sol: -,--,)) ( Sol: (,,-)) ) ) ) ( Sol: (,,-)) ( Sol: (,,)) ( Sol: (,,)) ) þ ý ü ) þ ý ü 9 (Soluc: S. incomptible) (Soluc: (,,)) Mtemátics I Tem. Sistems de ecuciones lineles -

5 . Un fmili tiene unos ingresos l mes de por los sueldos de l mdre, el pdre el hijo. Si l mdre gn el doble que el hijo, el pdre / del que recibe l mdre, cuánto gn cd uno de los miembros de l fmili? ( Soluc: el pdre, l mdre, el hijo). En un cj registrdor encontrmos billetes de,, siendo el número totl de billetes igul, l cntidd totl de dinero. Sbiendo que el número de billetes de es el quíntuplo de los de, clcul el número de billetes de cd tipo. ( Soluc:, 9, billetes respect.). En un función de tetro se recudn, vendiéndose entrds de tres precios distintos:,. Sbiendo que el número de locliddes más económics suponen un % del número de locliddes de, clcull el número de locliddes de cd clse. ( Soluc.,, loc. respect.). Un pstelerí vendió trts. El número de ls de chocolte duplicó ls de trts de nt entre ls dos ecedieron en ls vents de trts de queso. Cuánts se vendieron de cd tipo? ( Soluc: choc, nt, queso). Se invirtieron en tres productos finncieros. Entre el segundo el tercero son los / del primero, entre el primero el tercero, el % del totl de l inversión. Clcul l cntidd que se invirtió en cd producto. ( Sol:,, respect.). Un tiend vendió ejemplres de un videojuego por un totl de. El precio originl er de, pero tmbién vendió copis defectuoss con descuentos del % del %. Sbiendo que el número de copis defectuoss vendids fue l mitd del de copis en buen estdo, clcul cuánts copis se le plicó el % de descuento. ( Sol: copis). Un especuldor dquiere objetos de rte por un precio totl de millones de euros. Vendiéndolos, esper obtener de ellos uns gnncis del %, del % del %, respectivmente, con el que su beneficio totl serí de. Pero consigue más, pues con l vent obtiene gnncis del %, del 9% del %, respectivmente, lo que le d un beneficio totl de, millones de euros. Cuánto le costó cd objeto? ( Sol:,, millón de euros, respect.) Mtemátics I Tem. Sistems de ecuciones lineles -

6 9. Un empres dispone de pr ctividdes de formción de sus cien empledos. Después de estudir ls necesiddes de los empledos, se decidió orgnir tres cursos: A, B C. L subvención por person pr el curso A es de, pr el curso B es de, de pr el C. Si l cntidd que se dedic l curso A es cinco veces mor que l correspondiente l B, cuántos empledos siguen cd curso? ( Sol:,, empledos respectivmente).un cjero utomático contiene 9 billetes de, un totl de. Si el número de billetes de es el doble que el número de billetes de, clcul cuántos billetes h de cd tipo. ( Sol:,, billetes respect.).en un residenci de estudintes se comprn semnlmente heldos de distintos sbores: fres, chocolte nt. El presupuesto destindo pr est compr es de, el precio de cd heldo es de el de fres, el de chocolte el de nt. Conocidos los gustos de los estudintes, se sbe que entre los heldos de chocolte nt tiene que hber el % más que los de fres. Clcul cuántos tiene que hber de cd sbor por semn. (Soluc:, heldos respect.).en cierto comercio, un cliente compr g de mnns, g de ptts g de cfé, gstndo un totl de,. Otro cliente compr g de mnns, g de ptts g de cfé, gstndo,. Un tercer cliente compr g de ptts g de cfé por 9,. Clcul el precio de cd rtículo. (Soluc: cént, cént,, ).Un multincionl de seguros tiene delegciones en Mdrid, Brcelon Vlenci. El número totl de ltos ejecutivos de ls tres delegciones sciende. Pr que el número de ltos ejecutivos de l delegción de Brcelon fuer igul l de Mdrid tendrán que trsldrse tres de Mdrid Brcelon. Además, el número de los de Mdrid, ecede en uno l sum de los destindos en ls otrs dos ciuddes. Cuántos ltos ejecutivos están destindos en cd ciudd? ( Soluc:,, respect.).un mrc comercil utili tres ingredientes A, B C, pr l elborción de tres pis P, P, P. P se elbor con un unidd de A, de B de C; P con uniddes de A, de B de C; P con uniddes de A, de B de C. El precio de vent l público es de, pr P,, pr P, pr P. Sbiendo que el mrgen comercil (beneficio) es de,, clcul cuánto le cost dich mrc cd unidd de A, B C. (Soluc:,9 ;, ;, ) Mtemátics I Tem. Sistems de ecuciones lineles -

7 .Un fábric de electrodomésticos tiene un producción semnl fij de uniddes. L fábric bstece tres estblecimientos que demndn tod l producción. En un determind semn, el primer estblecimiento solicitó tnts uniddes como el segundo el tercero juntos, mientrs que el segundo estblecimiento pidió un % más que l sum de l mitd del pedido por el primero más l tercer prte del pedido por el tercero. Cuáles fueron ls cntiddes solicitds por los tres estblecimientos? ( Soluc:,, respect.).un ficiondo l Bols invirtió en cciones de tres empress A, B C. Después de un ño, l empres A pgó un dividendo del %, l B del % l C del %. Como consecuenci de eso, cobró un totl de 9. Si en l empres C invirtió el doble que en l A, cuánto invirtió en cd empres? ( Soluc:, 9,, respect.).los sueldos de un pdre, l mdre un hijo sumdos dn. L mdre gn el doble que el hijo, el pdre gn los / de lo que gn l mdre. Clcul cuánto gn cd uno. ( Soluc: pdre:, mdre:, hijo: ).Un tren trnsport vijeros l recudción del importe de sus billetes sciende. Clculr cuántos vijeros pgron el totl del importe del billete, que vle, cuántos pgron el % del billete, cuántos el %, sbiendo que el número de vijeros que pgron el % es el doble del número de vijeros que pg el billete entero. ( Soluc: billetes enteros, l %, l %) Mtemátics I Tem. Sistems de ecuciones lineles -