PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 008 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Sea la unción deinida, para 0, por ( ) e. Determina las asíntotas de la gráica de. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A Asíntota vertical: 0 e e lim e 0 lim lim lim e Asíntota vertical para lim e 0 No tiene asíntota vertical para 0 Asíntota horizontal: No tiene lim e No tiene asíntota Horizontal para lim e No tiene asíntota Horizontal para Asíntota oblicua: y e lim lim 0 m e e e e n lim e lim e 0 lim lim lim e

3 De entre todos los rectángulos de perímetro 8 cm, determina las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud. MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B d y a) Función que queremos que sea mínimo: d y min b) Relación entre las variables: y 8 y 4 c) Epresamos la unción que queremos que sea máimo con una sola variable. d min (4 ) 8 6 d) Derivamos e igualamos a cero: 48 4 d' 0 min Luego, es un cuadrado de lado ; y

4 Sean : y g : las unciones deinidas por ( ) ( ) a b y g( ) c e Se sabe que las gráicas de y g se cortan en el punto (,) y tienen en ese punto la misma recta tangente. a) Calcula los valores de a, b y c. b) Halla la ecuación de dicha recta tangente. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO.OPCIÓN A. a) Como se corta en el punto (,) ( ) g( ) a b ab ( ) g( ) 0 ce c Como en ese punto tienen la misma recta tangente '( ) g'( ) g a ce a 0 '( ) '( ) 0 Resolviendo el sistema ormado por estas ecuaciones sale: a 0 ; b ; c b) La ecuación de la recta tangente en - - ' Luego, la recta tangente es: es: y ' y y

5 Dada la unción : deinida por ( ), determina la ecuación de la recta e tangente a la gráica de en su punto de inleión. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Calculamos el punto de inleión. '( ) ; ''( ) 0 e e Nos están pidiendo la recta tangente en. Su ecuación será: 3 y () '() ( ) y ( ) y e e e

6 a b si 0 Sea la unción : 0,4 deinida por ( ). c si 4 a) Determina a, b y c sabiendo que es continua en el intervalo cerrado0,4, derivable en el intervalo abierto (0, 4) y que (0) (4). b) En qué punto del intervalo se anula la derivada de la unción?. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Aplicamos las tres condiciones del problema.. Como la unción es continua en, se cumple: a b a b 4 a b c a b c 3 lim c c lim 4. Calculamos la unción derivada: a si 0 '( ) c si 4 Como la unción es derivable en, se cumple: '( ) 4 a 4 a c a c 4 '( ) c 3. (0) (4) b 4c b 4c Resolviendo el sistema ormado por las tres ecuaciones, tenemos: a b c 3 a c 4 a 3 ; b 5 ; c b4c b) Veamos en que punto se anula la derivada 3 si 0 3 '( ) '( ) si 4

7 Sea : 0, la unción deinida por ( ) e ( sen cos ). a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de. b) Calcula los puntos de inleión de la gráica de. MATEMÁTICAS II RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. 3 '( ) e ( sen cos ) (cos sen ) e e cos 0 ; 0, 3, 3, Signo ' + + Función C D C Máimo, e b) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero. 3 mínimo, e 5 ''( ) e (cos sen ) 0 ; 4 4 0, 4 5, 4 4 5, 4 Signo '' + + Función C Cn C 4 P.I., e P.I. 4 5, e 4 5 4

8 Sea : la unción deinida por ( ) (3 ) e a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de. b) Calcula los etremos relativos de (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero. '( ) (3 4 ) e (3 ) e e ( 3) 0 ; 3 3 3,,, Signo ' + Función D C D 3 3 mínimo, 9 e Máimo, e

9 e Dada la unción deinida, para 0, por ( ) determina las asíntotas de su gráica. e MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. Calculamos el dominio de la unción. Asíntota vertical: 0. e 0 0 D 0 Asíntota horizontal: e e lim lim y e e e e lim y e e Asíntota oblicua: No tiene, ya que tiene asíntota horizontal.

10 a si 3 Considera la unción :, deinida por ( ) b 4 si a) Halla a y b sabiendo que es derivable en. b) Determina la recta tangente y la recta normal a la gráica de en el punto de abscisa 3. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Si la unción es derivable en, primero tiene que ser continua en dicho punto, luego: 4a 6 b a b 3 lim a 3 4a 6 lim b 4 4 b 4 Calculamos la unción derivada: a 3 si '( ) b si Como es derivable en, se cumple que: '( ) 4a 3 4a 3 4 b 4a b '( ) 4 b Resolviendo el sistema a b 3 a ; b 7 4ab b) El punto es (3, 6) y la pendiente de la recta tangente es m 3 La ecuación de la recta tangente es: y 6 3 ( 3) La ecuación de la recta normal es: y 6 ( 3) 3

11 De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto (, ), encuentra aquella que orma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Halla el área de dicho triángulo. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. b (,) a a) Función que queremos que sea mínima es: ab S b) Relación entre las variables: b a a b b c) Epresamos la unción que queremos que sea máimo con una sola variable. b b b S b 4 b d) Derivamos e igualamos a cero b(4 b) ( )( b ) 8b 4b b b 8b S ' 0 b 0 ; b 4 (4 b) (4 b) (4 b) b 4 a b 4 y Luego, la ecuación de la recta es: 4 y 8 y 4. 4 El área del triángulo es: ab 4 S 4 u