EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 1: PARTE 3
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- Juan Luis Sandoval Sevilla
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1 Ejrcicios rsultos Tma part III): Límits d uncions º BCN EJERCICIOS RESUELTOS TEMA : PARTE 3 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
2 Ejrcicios rsultos Tma part III): Límits d uncions º BCN ) Dada la guint unción: ) Estudiar la continuidad n = Rcordmos qu para qu una unción sa continua n un punto 0 db cumplir qu: ) En nustro jmplo 0 )= Comprobmos ahora los límits latrals: ) Como los límits latrals coincidn y admás stos son iguals a ) ntoncs la unción s continua n l punto 0 =. ) Calcula l valor d k para qu cada una d las guints uncions san continuas: a. ) 4 k b. ) k
3 Ejrcicios rsultos Tma part III): Límits d uncions º BCN a. Si, la unción s continua Si = hay qu comprobar qu: ) k Para llo calcularmos l límit cuando tind a. Por tanto como )=k, conscuntmnt para qu la unción sa continua n l punto 0 =, k =½ b. Si, la unción s continua Si = hay qu comprobar qu: ) k Para llo calcularmos l límit cuando tind a. 4 4 Por tanto como )=k, conscuntmnt para qu la unción sa continua n l punto 0 =, k =4 3) S pud airmar qu la unción [,4]? 4 ) stá acotada n l intrvalo Por no sr continua ) n =, la unción no s continua n l intrvalo crrado [,4], como conscuncia no podmos airmar qu la unción sté acotada n dicho intrvalo. 4) Sa la unción )= +. S pud airmar qu la unción toma todos los valors dl intrvalo [,5]? 3
4 Ejrcicios rsultos Tma part III): Límits d uncions º BCN + = = 0 + = 5 = La unción s continua n toda R por sr una unción polinómica. Es n l intrvalo [0,] dond s vriica qu 0) = y )= 5. Por la propidad d Darbou, la unción alcanza todos los valors comprndidos n l intrvalo [,5]. 5) Utilizando l torma d Bolzano, dmostrar qu la cuación: = 0, tin al mnos una solución = a tal qu < a <. ) s continua n [,] ) = = 3 < 0 ) = = 5 > 0 Por cumplirs las trs propidads antriors sgún l torma d Bolzano, ist c,) tal qu: c) = 0 c 3 + c 5 = 0. Por tanto ist al mnos una solución ral a la cuación = 0. La solución la podmos aproimar tanto como quramos: A b a) b) -3, ,00000,5-0,500 5,00000,5,5-0, ,038,5,56-0,0390 0,0006,5099,56-0, ,0006 6) Dmostrar qu ist algún númro ral tal qu sn =. Condrmos la unción ) = sn. 4
5 Ejrcicios rsultos Tma part III): Límits d uncions º BCN Es continua n toda. π) = sn π) -π) = 0 + π = π > 0 π) = sn π) π) = 0 π = π < 0 Por cumplirs las trs propidads antriors sgún l torma d Bolzano, ist c π. π) tal qu: c) = 0 sn c = c Por tanto ist al mnos una solución ral a la cuación sn =. 7) Calcular l valor d a para qu la unción guint sa continua: ) 3 a La unción srá continua para cualquir valor d a cuando. Vamos qu ocurr n l punto = Para llo calculamos )= Para qu la unción sa continua los límits latrals dbn coincidir y tnr como valor : 3 a Por lo tanto: 3 a a 5 8) Dada la unción ) = 3, studiar stá acotada supriormnt inriormnt n l intrvalo [, 5] indica alcanza sus valors máimos y mínimos. 5
6 Ejrcicios rsultos Tma part III): Límits d uncions º BCN La unción s continua n l intrvalo [, 5], como conscuncia podmos airmar qu stá acotada n dicho intrvalo. Por sr continua n l intrvalo [, 5] s cumpl l torma d Wirstrass, qu airma qu s alcanza al mnos un máimo y un mínimo absolutos n l intrvalo [, 5]. 60 y ) Dada la unción ), s pud asgurar qu no ist ningún punto n l intrvalo, 3 n l qu la unción tom l valor? La unción s continua n l intrvalo, 3, ya qu s continua n todo su dominio
7 Ejrcicios rsultos Tma part III): Límits d uncions º BCN Como 0.8,0.9, no s vriica l torma d los valors intrmdios. Esto no quir dcir qu no s puda asgura qu no ista ningún valor n l intrvalo, 3 n l qu la unción valga. D hcho 0)=. Cuando s vriica l torma s cuando s pud asgurar qu. Cuando no s vriica no quir dcir qu no ista. 0) Estudia la continuidad d la guint unción y n su caso claica la discontinuidad. ) ln 0 0 ln s una unción continua n s un unción racional continua n intrvalos:,, 0., por lo qu para <0 la unción s continua. La unción ), tnindo n cunta l valor absoluto qudaría como:, por lo qu para >0 s continua n los ln ) 0 0 Para sabr la continuidad o no n =0, habrá qu calcular 0) y los límits latrals n =0: 0)=- 0 0 ln 0 Por tanto: 0 0 7
8 Ejrcicios rsultos Tma part III): Límits d uncions º BCN Es una discontinuidad invitabl d salto inito. En = no ist unción, y también s una discontinuidad invitabl d salto inito, ya qu los límits latrals son distintos: 8
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