TRIGONOMETRÍA SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS. Para medir ángulos se utilizan:
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- Miguel Ángel Torres Velázquez
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1 TRIGONOMETRÍA SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Pr medir ángulos se utilizn:. Sistem sexgesiml: L unidd de medid en este sistem es el grdo sexgesiml Un ángulo mide un grdo sexgesiml ( 0 ) si su ro entrl orrespondiente, es l tresients setv prte de l irunfereni. Por tnto: Un ángulo ompleto (quél uyo ro es un irunfereni) mide Un ángulo llno mide Un ángulo reto mide Cd uno de los 60 ángulos igules en los que podemos dividir el ángulo de 0 mide minuto ( ), y d uno de los 60 ángulos igules en los que podemos dividir el ángulo de mide segundo ( ). = de =60 ; = de = Sistem nturl L unidd de medid en este sistem es el rdián ( rd.). Un ángulo mide rdián si l trzr uno ulquier de sus r, l longitud de diho ro oinide on l del rdio on que se h trzdo. L definiión de rdián no depende del rdio elegido pr trzr el ro. Un ángulo ompleto (60 0 ) ontiene rdines, y que omo l longitud de un irunfereni r es r, ontiene su rdio r vees. Luego: Un ángulo llno (80 0 ) ontendrá l mitd, es deir Un ángulo reto (90 0 ) ontendrá rdines. rdines.
2 EQUIVALENCIA ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS Amos de ver que: 60 0 = rd = rd = rd. Si queremos ser untos rdines ( rd.) mide un ángulo que mide, o vievers, tendremos en uent l siguiente proporión: 0 rd rd. EJERCICIOS:. Expres en rdines los siguientes ángulos: 45 0, 0 0, 60 0, 00 0, 0 0, Expres en grdos sexgesimles los ángulos. 4 rd 7, rd 6, rd 7, rd.. Cuántos grdos sexgesimles mide un ángulo de rd.?. Hz los ejeriios n 0 y 6 de l págin 6 de tu liro. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO Ddo un ángulo α gudo (0< α <90 0 ), se definen pr él los siguientes números onstntes, llmdos rzones trigonométris de α. Tommos un punto A ulquier, sore ulquier de sus ldos y trzmos l perpendiulr diho ldo por A, formándose un triángulo retángulo BAC. Se definen los números siguientes: Seno de α = teto opuesto hipotenus, Coo de α = teto ontiguo hipotenus,
3 Tngente de α = teto opuesto teto ontiguo Llmds rzones trigonométris direts de α., tg Cosente de α = hipotenus teto opuesto, e Sente de α = hipotenus teto ontiguo, se Cotngente de α = teto ontiguo teto opuesto, otg Llmds rzones trigonométris inverss de α (por ser inverss de ls nteriores). Vemos que ls seis rzones trigonométris definids pr un ángulo α son números onstntes, es deir que, no dependen del triángulo retángulo que hllmos formdo: Si formásemos otro triángulo retángulo distinto BA C, serí semejnte l BAC (tienen los tres ángulos igules), luego sus ldos serín proporionles. Por lo tnto: α = Igul ourre on ls demás rzones trigonométris. ; nos drí el mismo número eligiendo un triángulo u otro. Si nos fijmos en ls definiiones, omo l hipotenus es myor que ulquier teto: 0< α < ; 0< α <; e α >; se α > (undo α es gudo). Ls rzones trigonométris no se expresn en ningun unidd. Ejemplo: Clul ls rzones trigonométris de los ángulos gudos del siguiente triángulo retángulo: α = 0, 6 e α = 5, α = 0, 8 se α =, tg α = 0, 75 otg α = 4, 4
4 Y pr? Sigue tú. EJERCICIOS: De l págin 6 de tu liro (Sntilln), hz el nº y el nº. De l págin 6 los nº 6, 7, y 8. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ANGULOS: 0º, 45º, 60º Estúdilo en tu liro (Ed. Sntilln) (pregunt nº de este tem). EJERCICIOS: De l págin 8 los nº 7, 8 y 9. De l págin 7 los nº 45, 46, y 48. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Ddo un ángulo gudo α, formmos un triángulo retángulo ulquier que lo teng omo uno de sus ángulos gudos. Se verifin ls siguientes reliones: I) Relión fundmentl de l trigonometrí Se umple que ( ) ( ), o esrito de otr form Demostrión: Si nos fijmos en el triángulo nterior, tenemos que α =, y α = ; por tnto α + α = + =.q.d. T. de Pitágors: + = II) ) tg ) otg 4
5 Demostrión: ) ) tg otg.q.d..q.d. III) ) e ) se ) otg tg Demostrión: ) Como α =, tendremos que e Igul se demuestrn ls demás..q.d. IV) Reliones seundris: ) + tg α = se α ) + otg α = e α Demostrión: ) + tg α = + se.q.d. ) + otg α = + e.q.d. EJERCICIOS: De l págin 7 de tu liro, hz el nº 4 y el nº 5. De l págin 6 los nº 4, 5, 6, 40, 4, 4, 4, 44. Uso de l luldor. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolver un triángulo es lulr todos sus elementos, es deir, lulr todos sus ldos y ángulos desonoidos. Pr ello es neesrio onoer omo mínimo tres de sus elementos, siendo por lo menos uno de ellos un ldo. 5
6 Si el triángulo que queremos resolver es retángulo, tendremos en uent: El Teorem de Pitágors = + Bˆ Ĉ 90º L definiión de ls rzones trigonométris de Bˆ y Ĉ, y ls reliones entre ells. El Teorem del teto y el Teorem de l ltur. EJERCICIO: En un triángulo retángulo se onoen l hipotenus = 5 m. y un teto = 4 m. Clul los demás elementos. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA AMPLIACIÓN DEL CONCEPTO DE ÁNGULO L interpretión del ángulo omo l porión de plno limitdo por dos semirrets on un origen omún, limit los vlores de los ángulos entre 0º y 60º. Sin emrgo es posile y desele pr muhs situiones, disponer de un definiión que permit l existeni de ángulos on mplitudes superiores 60º o, inluso, mplitudes negtivs. Ejemplo: Pr ehr del todo un errdur hy que girr l llve dos vuelts y medi. ) Qué ángulo, en grdos, hrá que girr l llve pr rir l errdur? ) Si solo está ehd un vuelt y quiere errr del todo, qué ángulo hrá que girr l llve? Soluión: ) Hy que girr l llve,5 vuelts l izquierd. Como un vuelt omplet son 60º, hrá que girr l llve,5 60º = 900º l izquierd. ) Ahor deemos girr l llve,5 vuelts l dereh, es deir,5 60º = 540º l dereh. Un form lterntiv de dr los resultdos sin neesidd de esriir l izquierd o l dereh es esriir +900º en el prtdo y 540º en el prtdo. El signo indi que el giro lo hemos ddo hi l dereh (tido en el que se mueven ls gujs de un reloj) y el signo + indi que hemos girdo hi l izquierd (tido ontrrio en el que se mueven ls gujs de un reloj). 6
7 REPRESENTACIÓN DE ÁNGULOS Pr repretr ángulos omprendidos entre 0º y 60º, e inluso myores de 60º o negtivos, se utiliz l irunfereni goniométri. Se le llm sí l irunfereni que tiene de rdio l unidd. Normlmente se tom entrd en el origen de oordends. Los ángulos se repretn siempre hiendo oinidir su vértie on el origen de oordends y su primer ldo on el semieje positivo de siss. Se onsidern positivos si el giro se he en tido ontrrio en que se mueven ls gujs de un reloj, y negtivos si se he en el mismo en que se mueven ls gujs de un reloj. + Utilizndo est repretión, todo ángulo se le puede soir un ángulo positivo omprendido ente 0º y 60º, llmdo ángulo reduido del primero. En l irunfereni goniométri, el segundo ldo de un ángulo y el de su reduido oiniden. Ejemplo: Clul los ángulos reduidos soidos 000º, 0º. Soluión: 000º = 60º + 80º, y que l dividir 000 entre 60 se otiene de oiente y 80 de resto. Luego el ángulo reduido de 000º es 80º. Como 0º +60 = 50º; el, ángulo reduido de 0º es 50º. Cundo fijmos unos ejes de oordends rtesins retngulres, el plno qued dividido en utro zons o udrntes. II III I IV Si un ángulo α umple que 0º< α <90º (0 rd.< α < rd.), omo el segundo ldo del ángulo estrí en el primer udrnte, diremos que α es un ángulo del primer udrnte. Si 90º< α < 80º ( rd. < α < rd.) serí del segundo udrnte, et Lo resumimos en l tl siguiente: 7
8 er Cudrnte º Cudrnte er Cudrnte 4º Cudrnte 0º < α <90º 0 rd.< α < rd. 90º < α < 80º rd. < α < rd. 80º < α < 70º rd. < α < rd. 70º < α < 60º rd. < α < rd. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DEL er CUADRANTE En l figur siguiente se h repretdo un ángulo del primer udrnte α. Se A el punto de orte del segundo ldo del ángulo on l irunfereni goniométri y A su proyeión sore el primer ldo (eje OX). Se B el punto de orte de l irunfereni goniométri on el eje OX y A el punto de orte del segundo ldo del ángulo on l perpendiulr l eje OX en el punto B. Reordndo ls definiiones de ls rzones trigonométris pr ángulos gudos y teniendo en uent que l hipotenus del triángulo retángulo OA A mide, tendremos que: A α = AA OA AA AA, que es l ordend del punto A. α = OA OA OA OA, que es l sis del punto A. tg α = ordend del punto A sis del punto A AA OA ( ) A"B OB ( ) T m de Thles, pues OA A OBA A"B A" B, que es l ordend del punto A. Est nuev definiión de ls rzones trigonométris en funión de ls oordends de puntos se puede extender y plir fáilmente ulquier ángulo no gudo. 8
9 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DEL RESTO DE LOS CUADRANTES Si α es un ángulo del º, º, o 4º udrnte, en todos los sos este ángulo determin los puntos A y A, uys oordends nos vn dr ls rzones trigonométris de uerdo on l definiión utilizd en el so del primer udrnte. Así, si A(x, y) y A (, y ), se definen: α = y α = x tg α = y º CUADRANTE: er CUADRANTE 4º CUADRANTE α α tg α α tg α tg α Teniendo en uent el signo de ls oordends de un punto en los distintos udrntes, se determin de form inmedit el signo de ls rzones trigonométris de un ángulo si se se en qué udrnte se enuentr su ángulo reduido orrespondiente. α Cudrnte de α α α tg α I (+, +) II (, +) + III (, ) + IV (+, ) + VALOR DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS A prtir de l definiión, es fáil ver que: α α tg α < + Al ser l ente y l sente ls rzones inverss del o y del eno respetivmente, sus signos oiniden on los de éstos y se umple que: e α (, ] [, + ] se α (, ] [, + ) En el so de l otngente, omo invers de l tngente, oinide on su signo en d udrnte y puede tomr ulquier vlor rel. < otg α < + 9
10 Tmién plindo l definiión, tendremos que: α α α tg α e α se α otg α 0º = 0 rd. 0 0 No definid No definid 90º = / rd. 0 No definid No definid 0 80º = rd. 0 0 No definid No definid 70º = / rd 0 No definid No definid OBSERVACIÓN: A r y y x Aunque se h utilizdo un irunfereni de rdio l unidd pr extender l definiión de ls rzones trigonométris, el proedimiento hrí sido igul pr un rdio diferente. En este so, ls rzones trigonométris no serín diretmente ls oordends de A y A, sino dividids por el rdio de l irunfereni utilizd: y x y α = α = tg α = r r r EJERCICIO: Indi el signo de ls rzones trigonométris direts de los ángulos siguientes: ) 0º ) 70º ) 56º d) 800º e) 5º f) 00º g) 55º h) 460º i) rd. j) rd. k) rd. l) rd. 6 4 REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Consiste en relionr ls rzones trigonométris de un ángulo ulquier on ls rzones trigonométris de un ángulo gudo (ángulo que pertenee l primer udrnte). 0
11 ÁNGULOS DEL SEGUNDO CUADRANTE: ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS r = Si es un ángulo del segundo udrnte, existe un ángulo del primer udrnte (su suplementrio) tl que º ( + = 80º y =80º ). Los triángulos OA A y OC C son igules, luego: = CC AA = OC OA = tg = BD A" B = tg Resumiendo: Si l unidd ngulr que mnejmos fuese el grdo sexgesiml, = (80º ) = (80º ) tg = tg (80º ) Si l unidd fuese el rdián, = ( ) = ( ) tg = tg ( ) EJERCICIO: Clul ls rzones trigonométris del ángulo de 50º, medinte l reduión l primer udrnte.. ÁNGULOS DEL TERCER CUADRANTE: ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 80º r = Si pertenee l terer udrnte, existe un ángulo del primer udrnte (que se difereni de en 80º) tl que = 80º + ( = 80º). Los triángulos OA A y OC C son igules, luego: = CC AA = OC OA = tg = A" B = tg Resumiendo: Si l unidd ngulr que mnejmos fuese el grdo sexgesiml,
12 Si l unidd fuese el rdián, = ( 80º) = ( 80º) tg = tg ( 80) = ( ) = ( ) tg = tg ( ) EJERCICIO: Clul ls rzones trigonométris del ángulo de 0º, medinte l reduión l primer udrnte. ÁNGULOS DEL CUARTO CUADRANTE: ÁNGULOS QUE SUMAN 60º. ÁNGULOS OPUESTOS r = Si es un ángulo del urto udrnte, existe un ángulo del primer udrnte (que es l difereni hst 60º de ), que umple que = 60º ( = 60º ). Los triángulos OA A y OA C son igules, luego: = A C AA = OA = D tg = BD A" B = tg Resumiendo: Si l unidd ngulr que mnejmos fuese el grdo sexgesiml, = (60º ) = (60º ) tg = tg (60º ) Si l unidd fuese el rdián, = ( ) = ( ) tg = tg ( ) EJERCICIO: Clul ls rzones trigonométris del ángulo de 0º, medinte l reduión l primer udrnte. Ddo un ángulo, si repretmos los ángulos 60º y (opuesto de ) en l irunfereni goniométri; el segundo ldo de mos ángulos es el mismo. Por tnto tmién lo serán sus rzones trigonométris, luego podemos esriir: r =
13 ( ) = (60º ) = ( ) = (60º ) = tg( ) = tg(60º ) = tg RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Si es el ángulo omplementrio de, se umple que = 90º ( + =90º y = 90º ) Los triángulos OA A y OB B son igules, luego: = BB OA O = OB AA = tg = = otg Resumiendo: Si l unidd ngulr que mnejmos fuese el grdo sexgesiml, = (90º ) = (90º ) tg = otg (90º ) Si l unidd fuese el rdián, = ( / ) = ( / ) tg = otg ( / ) RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS [0, 60º) Ls rzones trigonométris de un ángulo [0, 60º) son ls de su ángulo reduido, y que l repretrlos en l irunfereni goniométri el segundo ldo de mos oinide. Puede ourrir que:. 60º. En este so pr lulr el ángulo reduido hrá que dividir entre 60º. Si llmmos n l oiente y l resto de dih división, tendremos que = 60 n +. Por tnto es su ángulo reduido. Ejemplo: Si = 940º, dividimos 940 entre 60 y otenemos de oiente y 0 de resto. Luego 940º = 60º + 0. El ángulo reduido de 940º es 0º.
14 . < 0º. Si 60º < < 0, su ángulo reduido será = + 60º. Ejemplo: Si = 60º, su ángulo reduido es = ( 60º) + 60º = 00º. Ls rzones trigonométris de 60º serán ls misms que ls de 00º.. Si 60º, dividimos (que será positivo) entre 60º. Llmndo n l oiente y l resto de dih división ( <60º), tendremos que = 60 n +. Multiplindo por los dos miemros, = 60 n. Ls rzones trigonométris de serán igules ls de ; y omo 60º< <0º, se luln omo en el prtdo. Ejemplo: Clul ls rzones trigonométris de = 780º Dividimos ( 780) = 780 entre 60, el oiente es y el resto 60, luego 780 = = Por tnto ls rzones trigonométris de 780º serán ls misms que ls de 60º, (que y vimos omo se luln en el prtdo ). 4
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