Gráficos, Ejercicios de curvas

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1 Gráficos, Ejercicios de curvas (PjPB, Escuela Politénica Superior, UAM). Encontrar, mediante el método de diferencias divididas de Newton, el polinomio que interpola los siguientes puntos: P 0 (, ), P (0, ), P 2 (0, 0), P (, 0). Encontramos la curva x(t): t x El polinomio es entonces: x(t) = + (t 0) (t 0)(t ) = + t t(t ) 2 2 ó x(t) = + 2 t 2 t2, t [0, ] Encontramos la curva y(t): t y El polinomio es entonces: y(t) = + 0(t 0) + (t 0)(t ) (t 0)(t )(t 2) = 2 = + t(t ) t(t )(t 2) 2 ó y(t) = t + 2 t2 t, t [0, ] La curva se aprecia en la figura. 2. Encontrar, mediante la fórmula de Lagrange, el polinomio que interpola los siguientes puntos: P 0 (, ), P (0, ), P 2 (0, 0), P (, 0). Elegimos el rango del parámetro t de manera similar al caso anterior: t x y

2 y x Figura : Curva por el método de diferencias divididas de Newton Entonces la curva x(t) es: x(t) = i=0 x i (t t 0 )...(t t i )(t t i+ )...(t t n) (t i t 0 )...(t i t i )(t i t i+ )...(t i t n) = = (t )(t 2)(t ) (t 0)(t 2)(t ) (0 )(0 2)(0 ) ( 0)( 2) ) +0 (t 0)(t )(t ) (2 0)(2 )(2 ) + (t 0)(t )(t 2) ( 0)( )( 2) = = (t )(t 2)(t ) + t(t 2)(t ) t(t )(t ) + t(t )(t 2) ó x(t) = + 2 t 2 t2, t [0, ] Análogamente, para la curva y(t): y(t) = i=0 y i (t t 0 )...(t t i )(t t i+ )...(t t n) (t i t 0 )...(t i t i )(t i t i+ )...(t i t n) = = (t )(t 2)(t ) (0 )(0 2)(0 ) + (t 0)(t 2)(t ) ( 0)( 2) ) + +0 (t 0)(t )(t ) (t 0)(t )(t 2) + 0 = (2 0)(2 )(2 ) ( 0)( )( 2) = (t )(t 2)(t ) + t(t 2)(t ) t(t )(t ) + t(t )(t 2) 2 ó y(t) = t + 2 t2 t, t [0, ] Evidentemente, resulta la misma curva que por el método de diferencias de Newton, ya que sólo existe una curva polinomial del grado adecuado (en este caso, cúbico), que pase por los puntos.. Encontrar la curva del tipo Natural Cubic Spline que interpola los siguientes puntos: P 0 (, ), P (0, ), P 2 (0, 0), P (, 0). Para encontrar los polinomios q i (t) que nos dan la curva x(t), hemos de hallar los valores de la derivada de la curva en los nudos resolviendo el sistema:

3 D 0 D D 2 D = x x 0 x 2 x 0 x x x x 2 = Restamos filas, de arriba abajo, para dejar la matriz triangular: D D D 2 = D Resolvemos de abajo (D ) arriba: D 0 = 2 D D 2 = + 2 = 8 + = = 2 2 D 8 = 4 Aplicamos ahora las fórmulas que nos dan los coeficientes de los polinomios: q i (t) = a i + b i t + c i t 2 + d i t a i = x i b i = D i c i = (x i+ x i ) 2D i D i+ d i = 2(x i x i+ ) + D i + D i+ y obtenemos: q 0 (t) = + t + ( (0 ) 2 )t 2 + (2 ( 0) + + )t = + t t q (t) = 0 + t t 2 q 2 (t) = 0 t t 2 + t t [0, ] Seguimos un proceso análogo para encontrar los polinomios p i (t) para la y(t): D 0 y y D 0 4 D 2 = y 2 y 0 y y = D y y 2 0 Restamos filas, de arriba abajo, para dejar la matriz triangular: D D D 2 = D 2 2 Resolvemos de abajo (D ) arriba: D 0 D D 2 D 0 2 = = = 0 + = = = 4 Aplicamos ahora las fórmulas que nos dan los coeficientes de los polinomios: p i (t) = a i + b i t + c i t 2 + d i t a i = y i 2 2

4 y b i = D i c i = (y i+ y i ) 2D i D i+ d i = 2(y i y i+ ) + D i + D i+ y obtenemos: p 0 (t) = + t t p (t) = 0 + t t 2 p 2 (t) = 0 t t 2 + t t [0, ] Podemos representar la curva, a trazos, y comparar con la interpolación polinomial del método de Newton o Lagrange (figura 2) x Figura 2: Curva NCS y por el método de diferencias divididas de Newton 4. Comparar las curvas obtenidas por interpolación mediante diferencias divididas de Newton y Natural Cubic Spline para los puntos P 0 (, ), P (, ), P 2 (0, ), P (0, 0), P 4 (, 0), P (, 0). Curva x(t) por el método de diferencias divididas de Newton: t x y resulta: x(t) = 2 t t2 2 t + 24 t4 Curva y(t) por el método de diferencias divididas de Newton:

5 t x y resulta: y(t) = + 2 t 8 t t 2 8 t4 + 4 t Al tener puntos, obtenemos polinomios de grado = por interpolación polinomial. Obtenemos los polinomios q i (t) para la curva x(t) dada por un Natural Cubic Spline: 2 D 0 4 D 4 D 2 4 D = D 4 2 D Di = (0,,,,, 0) q 0 (t) = + 0t + 0t 2 + t q (t) = + t + t 2 2t q 2 (t) = 0 + t t 2 + 0t q (t) = 0 t t 2 + 2t q 4 (t) = t + t 2 t Obtenemos los polinomios p i (t) para la curva y(t) dada por un Natural Cubic Spline: 2 D D 0 4 D 2 4 D = 4 D D 0 Di = (, 0,,, 0, ) p 0 (t) = + t + 0t2 t p (t) = 0 t t2 + 2 t p 2 (t) = + t + 0 t2 40 t p (t) = 0 + t 0 t2 + 2 t p 4 (t) = 0 0 t + t2 t En la figura representamos las curvas (el Natural Cubic Spline a trazos). Se ve claramente el problema de oscilaciones espúreas de la interpolación polinomial al aumentar el número de puntos (grado del polinomio) frente a la suavidad y ajuste a los puntos del Natural Cubic Spline.

6 y x Figura : Comparación de oscilaciones en NCS y curvas por el método de diferencias divididas de Newton. Sean los puntos de control: P 0 (, ), P (, ), P 2 (0, ), P (0, 0), P 4 (, 0), P (, 0). Encontrar el punto de la curva B-spline uniforme correspondiente al valor del parámetro t =,2 con t [0, ]. La función base genérica tiene la forma: 0 t 2 (2 + t) 2 t g(t) = (2 + t) 2( + t) t 0 (2 t) 2( t) 0 t (2 t) t t Las funciones base son g i (t) = g(t t i ). En el punto correspondiente a t =,2 influyen las cuatro funciones base correspondientes a los cuatro puntos más cercanos: P 2, P, P 4, P es decir: 9 g 2 (,2) = g(,2 2) = g(,2) = = 0,00 28 g (,2) = g(,2 ) = g(0,2) = 2 = 0,2 84 g 4 (,2) = g(,2 4) = g( 0,) = 2 = 0, 84 g (,2) = g(,2 ) = g(,) = = 0, Y las coordenadas del punto serán: x = g 2 (,2)x 2 + g (,2)x + g 4 (,2)x 4 + g (,2)x = = = = 8, y = g 2 (,2)y 2 + g (,2)y + g 4 (,2)y 4 + g (,2)y = = = 2 = 9, Comprobar que las curvas cúbicas de Bézier son curvas B-spline no uniformes con el vector de nudos estándar.

7 El vector de nudos estándar para 4 puntos y orden 4 (grado de los polinomios ) es: t = {0, 0, 0, 0,,,, } Las funciones base de la curva B-spline no uniforme correspondientes a este vector de nudos se obtienen mediante la fórmula de Cox-deBoor: N 0, = 0 N 0,2 = 0 N, = 0 N,2 = 0 N 2, = 0 N 2,2 = t N, = N,2 = t N 0, = 0 N, = ( t) 2 N 2, = 2( t)t N, = t 2 con t [0, ] N 0,4 = ( t) N,4 = ( t) 2 t N 2,4 = ( t)t 2 N,4 = t Vemos que las funciones base N i,4 coinciden con los polinomios de Bernstein, luego la curva B-spline no uniforme coindirá con la curva de Bézier. En la figura 4 se muestran estas funciones base Figura 4: Funciones base de las curvas de Bézier: polinomios de Bernstein Podemos visualizar como se llega a ellas desde las funciones base de los B-spline uniformes. El B-spline uniforme tendría comos funciones base las asociadas, por ejemplo, al siguiente vector de nudos (figura : t = {0, 0,2, 0,0, 0,,,0,,2,,0,,} Si cambiamos el vector de nudos para acercarnos al vector de nudos estándar: t = {0, 0,, 0,2, 0,,,,,,2,,} las curvas que obtenemos son las mostradas en la figura. Se puede apreciar que se van acercando a las del vector de nudos estándar.

8 Figura : Funciones base de los B-Spline uniformes Figura : Funciones base de unos B-Spline no uniformes. Representad las curvas correspondientes a B-spline uniforme y no uniforme con vectores de nudos estándar y el dado por t = {0, 0,, 0,2, 0,,,,,,2,,} para los puntos de control: P 0 (, ), P (0, ), P 2 (0, 0), P (, 0). Las curvas se representan en la figura : el B-spline uniforme como línea sólida, el no-uniforme a trazos, y el no-uniforme de vector de nudos estándar (Bézier) a punto y trazo. En todos los casos, se ha tomado el rango completo del parámetro, de ahí que las curvas vayan al origen. Nótese que para t = la curva de Bézier pasa por el origen debido a que la fórmula de Cox-deBoor iguala a cero las funciones base en el límite del rango del parámetro (la función paso es no nula en t [0, ) ); al dibujarl estas curvas lo normal es no llegar hasta el límite, y tomar un valor próximo pero inferior (por ejemplo, 0,9999 ). También puede notarse como el efecto de deriva hacia el origen va disminuyendo, hasta hacerse nulo con el vector estándar, salvo el comentario anterior. Sin embargo, esto se logra a costa de alejarse más de los puntos de control intermedio.

9 y x Figura : Comparación entre curvas de Bézier, B-Spline uniforme y B-Spline no uniforme.

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