FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA. Práctica nº 3: Sucesiones y series numéricas.

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1 INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL - ESP. ELECTRÓNICA INDUSTRIAL CURSO FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA Práctica º 3: Sucesioes y series uméricas. Abordamos e esta práctica el tratamieto co MAPLE de sucesioes y series uméricas.utilizaremos la capacidad de MAPLE para calcular límites y sumar ifiitos térmios para estudiar la covergecia y la sumabilidad de series uméricas. Sucesioes de úmeros reales Defiició y represetació gráfica. Ua sucesió de úmeros reales es ua aplicació del cojuto de los úmeros aturales N e el cuerpo de los reales R a: N -----> R ----> a() Si coocemos la expresió geeral de los térmios de la sucesió a(), etoces podemos defiir e MAPLE dicha sucesió de forma aáloga a cómo se defie las fucioes, así es más fácil el cálculo de sus elemetos y su maejo. La forma de hacerlo es mediate el comado a:= -> expresió e La forma de costruir ua lista de elemetos cosecutivos de la sucesió a() se hace mediate la setecia seq(a(), =iicio..fial) Ejemplo : Costruyamos, hallemos alguos valores sueltos y luego los primeros 25 térmios de la sucesió co térmio geeral a()= > a:=->/^2; > a(0); a(5); a(350); seq(a(), =..25); U elemeto, muy útil e u estudio prelimiar de cálculo del límite, es la represetació gráfica de la sucesió. Para ello debemos seguir el siguiete esquema º) Costruimos la sucesió fiita de putos del plao co abscisa e valor y oordeada el valor de la sucesió a(). Esto lo hacemos co el comado seq ateriormete visto Page 2

2 b:=seq([,a()], =iicio..fial) 2º) Represetamos la sucesió de putos e el plao co el comado plot([b], style=poit, symbol=circle) > b:=seq([,a()], =..5); plot([b], style=poit, symbol=circle, color=black) ; Cometamos ahora la forma de fiir ua sucesió que tega térmio geeral que varíe su expresió segú sea par o impar. Esto implica el itroducir dos comados uevos que os ayudará a defiir ua sucesió co estas características. E primer lugar ecesitamos u comado que os ayude a distiguir cuado es par o impar. Esto lo haremos co el comado irem(,m) proporcioa el resto de dividir el etero etre el etero m. Así irem(,2)=0 idica que es par irem(,2)= idica que es impar Por qué? Lo que ecesitamos ahora es u comado que permita tomar ua defiició u otra de a() segú sea par o impar. Esto lo hacemos co u comado IF. Teemos etoces que para defiir la sucesió expresió, si es par a()= expresió 2, si es impar el comado a itroducir es a:=->if irem(,2)=0 the expresió else expresió 2 fi Ejemplo 2: Defiir, calcular alguos térmios y represetarlos gráficamete de la sucesió si es par a()= + si es impar > restart; a:=-> if irem(,2) = 0 the / else /(+) fi; > b:=seq([,a()], =..25); plot([b], style=poit, symbol=circle, color=black) ; Ejemplo 3: El úmero e. Estudiemos el comportamieto de la sucesió a()= + > a:=-> (+/)^; b:=seq([,evalf(a())], =..00); plot([b], style=poit, symbol=circle, color=black) ; Represetamos ahora la sucesió y la recta y=e. Para ello debemos iicializar el paquete plots. El paquete with(plots) cotiee rutias para producir distitos tipos de gráficos Page 2

3 especiales. Detro de este paquete se ecuetra el comado display, que permite, mediate la asigació de u ombre a cada uo, represetar varios gráficos e diferetes formatos simultáeamete. E uestro caso es la sucesió de putos de la sucesió co la gráfica de la fució costate y=e. > with(plots): > graf:=plot([b], style=poit, symbol=circle, color=black): graf2:=plot(exp(), x=0..00, color=blue ): display([graf, graf2]); Esto os da idea de que el valor del límite de esta sucesió es el úmero e. Puedes costruir otra sucesió co el mismo límite? Cálculo de límites El cálculo de límites de sucesioes co MAPLE es ua operació directa co el comado limit(a(), =ifiity) Así el valor estimado gráficamete e la sucesió aterior es > limit(a(), =ifiity); Ejercicio: Calcular los siguietes límites. a) lim 2 + ( 2 ) b) lim + ( + ) 3 Podemos modificar las expresioes de estas sucesioes de forma que se pueda obteer e cada ueva defiició u límite co valor 0, y ua valor costate distito de estos dos? Series uméricas Abordamos ahora el estudio de la sumabilidad de los térmios de ua sucesió a(), esto es, queremos ver si = a( ) es fiito o o. Lo primero que se suele hacer, ates de gastar eergías e el cálculo de la suma de la serie, es asegurarse si es covergete o o. Para ello se aplica los tests de covergecia. Series de térmios positivos Los tests de covergecia más usados de series de térmios positivos so dos CRITERIO DEL COCIENTE Si lim = = CRITERIO DE LA RAÍZ a( ) es covergete si lim a( ) es divergete si lim a ( + ) a( ) a ( + ) a( ) a ( + ) a( ) > < = o podemos cocluir ada: DUDA. Page 3

4 = a( ) es covergete si lim a( ) < Si lim = a( ) es divergete si a( ) lim a( ) > = o podemos cocluir ada: DUDA. Ejemplo 4: Determiar el carácter de las siguietes series a) = 2 b) = Al ejemplo a) le aplicamos el criterio del cociete. > a:=->/(2^); limit(a(+)/a(), =ifiity); Como el límite es meor que podemos asegurar que la serie coverge Para el ejemplo b) aplicamos el criterio de la raíz. E estos caso es muy últil utilizar el comado simplify co la expresió a la que vamos a calcular el límite. > b:=->(^(/)-)^; limit(simplify(b()^(/)), =ifiity); Esto os dice que la serie es covergete. Series alteradas Las series alteradas so de la forma ( ) a( ) = 0 dode {a()} es ua sucesió de úmeros positivos. Observar que la alteracia de sigo la cocetramos e el térmio ( ) y tomamos los térmios a() siempre postivos. El pricipal test de covergecia de series alteradas es: Criterio de Leibitz: La serie alterada ( ) a( ) es covergete si: = 0 {a()} es decreciete: a()>= a(2)>=a(3)>=... >=a()>=... lim a( ) =0. Ejemplo 5: Estudiar el carácter de la serie = 0 ( ) Es toda serie alterada covergete absolutamete covergete? Suma de series Page 4

5 Ua vez que hemos comprobado que ua serie es covergete podemos itetar hallar su suma. El comado geeral para la suma de térmios es sum(a(), =iicio..fial). Así la suma de los ifiitos térmios de ua serie es sum(a(), =..ifiity). Ejemplo 6: Ya vimos que la serie = es covergete. Calculemos primero alguas 2 sumas parciales que os pueda dar ua idea del valor exacto de su suma. > a:=->/(2^); seq(evalf(sum(a(), =..k)), k=..25); Calculemos ahora el valor exacto de la suma > sum(a(), =..ifiity); Ejemplo 7: Estudiemos ahora lo mismo co la serie alterada ateriormete estudiada = ( ) > b:=->(-)^/(+2*^2); seq(evalf(sum(b(), =..k)), k=..00); No evaluamos la suma porque MAPLE tarda muchísimo e calcular las sumas de series alteradas, es más rápido aalizar los térmios de la sucesió de sumas parciales hasta que quede fijado la precisió deseada. Gracias a que ya vimos que era covergete o teemos la duda, ate la tardaza de MAPLE para calcular su suma, que puede que o sea sumable. Para ésto sirve los tests de covergecia. Ejercicio: Estudiar la serie = para los valores s=2,.5,.0,.000, ,. s Page 5