INTEGRALES. EL PROBLEMA DEL ÁREA III

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1 INTEGRALES. EL PROBLEMA DEL ÁREA III En esta relación de ejercicios vamos a aplicar el concepto de integral definida para calcular el área limitado por gráficas de funciones. Recuerda que para realizar el cálculo de la integral definida debemos aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo o Regla de Barrow, que dice: Teorema (Regla de Barrow). Dada una función integrable, f(x), definida en un intervalo [a, b] y F (x) una primitiva de f(x), entonces: b a f(x) dx = [F (x)] b a = F (b) F (a) En todos los ejercicios relacionados con el cálculo de un área es muy importante el realizar correctamente una representación gráfica del área que se pretende calcular. Fíjate en los ejemplos y en sus comentarios e intenta seguir el mismo estilo en el resto de ejercicios. Ejercicio 1: En este ejercicio vamos a calcular el área encerrada por una función, el eje de abscisas (o eje OX) y dos rectas verticales. Recuerda que si el área en la que estamos interesados se encuentra por encima del eje la integral definida nos proporciona el valor del área, pero si el área se encuentra por debajo del eje debemos cambiar el signo. 1. Calcular el área comprendida entre la curva y = 3x 2 + 2x 16, el eje OX y las rectas x = 2 y x = 4. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. SOLUCIÓN: Para calcular el área que se pide utilizaremos el concepto de integral definida. Para poder plantear la integral o integrales correctamente comenzaremos realizando la representación gráfica del área solicitada. 1.-Representación gráfica del área solicitada: En primer lugar representaremos la parábola y = 3x 2 + 2x Puntos de corte con los ejes: Corte con eje OX: y = 0 3x 2 + 2x 16 = 0 resolvemos la ecuación x = 8 3 y x = 2 Puntos de corte: P 1 = ( 83 ), 0, P 2 = (2, 0) Corte con eje OY : x = 0 f(0) = 16 Punto de corte: P 3 = (0, 16) 1

2 2 INTEGRALES. EL PROBLEMA DEL ÁREA III 1.2.-Estudiamos el signo de f(x): El signo de la función nos informará de la posición de la gráfica respecto al eje OX f( 3) = 5 > 0 f( 2) = 8 < 0 f(3) = 17 > Estudiamos la monotonía de f(x): Para el estudio de la monotonía tenemos que estudiar el signo de la derivada de f(x), por lo tanto calcularemos, en primer lugar, la derivada: f (x) = 6x + 2 f (x) = 0 6x + 2 = 0 x = 1 3 ahora estudiamos el signo de f (x) a la derecha e izquierda de x = 1 3 : f ( 1) = 4 < 0 f (0) = 2 > 0 Con lo que obtenemos que f(x) es decreciente en (, 1 3 y creciente en ( 1, ) y se alcanza un mínimo en el punto 3 m = ( 1, ) Representamos el área: Como la función que queremos representar es una parábola, la información que hemos obtenido hasta el momento es suficiente para su representación. En el gráfica vamos a representar la parábola y el área que se pide. 40 f(4) ) y = 3x 2 + 2x A A f(-2) 10 m El área que se pide será la suma de las áreas etiquetadas con las letras A 1 y A 2.

3 INTEGRALES. EL PROBLEMA DEL ÁREA III Calculamos el valor del área: A la vista del gráfico anterior observamos que el área se descompone en dos regiones. En la región A 1 la parábola está por debajo del eje OX, mientras que en la zona A 2 la parábola se encuentra por encima del eje de abscisas. Así, el área se puede calcular utilizando las integrales definidas: A T OT AL = A 1 + A 2 = 2 2 3x 2 + 2x 16 dx x 2 + 2x 16 dx Para calcular las integrales definidas utilizaremos el siguiente teorema: Teorema (Regla de Barrow). Dada una función integrable, f(x), definida en un intervalo [a, b] y F (x) una primitiva de f(x), entonces: b a f(x) dx = [F (x)] b a = F (b) F (a) Así, para calcular la integral definida primero calcularemos una primitiva de la función del integrando: 3x 2 + 2x 16 dx = 3x 2 dx + 2x dx 16 dx = = x 3 + x 2 16x + K (K constante) por lo tanto una primitiva de nuestra función será: F (x) = x 3 +x 2 16x (obtenida con K = 0). Ahora aplicamos la Regla de Barrow para cada una de las integrales: 2 2 3x 2 + 2x 16 dx = [ x 3 + x 2 16x ] 2 2 = 4 2 = (2) 3 + (2) 2 16 (2) ( ( 2) 3 + ( 2) 2 16 ( 2) ) = = 48 3x 2 + 2x 16 dx = [ x 3 + x 2 16x ] 4 2 = por lo tanto: = (4) 3 + (4) 2 16 (4) ( (2) 3 + (2) 2 16 (2) ) = = 36 2 A T OT AL = A 1 +A 2 = 3x 2 +2x 16 dx x 2 +2x 16 dx = ( 48)+36 = 84 u.a.

4 4 INTEGRALES. EL PROBLEMA DEL ÁREA III 2. Calcular el área comprendida entre la parábola y = x 2 + 8x y el eje OX. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. SOLUCIÓN: Para calcular el área que se pide utilizaremos el concepto de integral definida. Para poder plantear la integral o integrales correctamente comenzaremos realizando la representación gráfica del área solicitada (Completa el estudio) 1.-Representación gráfica del área solicitada: En primer lugar representaremos la parábola Puntos de corte con los ejes: 1.2.-Estudiamos el signo de f(x): El signo de la función nos informará de Estudiamos la monotonía de f(x): Para el estudio de la monotonía tenemos que estudiar el signo de... ahora estudiamos...

5 INTEGRALES. EL PROBLEMA DEL ÁREA III 5 Con lo que obtenemos que f(x) Representamos el área: Como la función que queremos representar es una parábola... El área que se pide será Calculamos el valor del área: A la vista del gráfico anterior... Área =... Para calcular las integrales definidas utilizaremos el siguiente teorema:

6 6 INTEGRALES. EL PROBLEMA DEL ÁREA III Teorema (Regla de Barrow). Dada una función integrable, f(x)... Así, para calcular la integral definida... por lo tanto una primitiva de nuestra función será:... Ahora aplicamos... por lo tanto: Área =... (La solución debe darte: u.a.) 3. Calcular el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = x 2 + 2x + 8 y el eje OX. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. SOLUCIÓN:

7 INTEGRALES. EL PROBLEMA DEL ÁREA III 7 Para calcular el área que se pide utilizaremos el concepto de integral definida. Para poder plantear la integral o integrales correctamente comenzaremos realizando la representación gráfica del área solicitada (Completa el estudio) 1.-Representación gráfica del área solicitada: En primer lugar representaremos la parábola Puntos de corte con los ejes: 1.2.-Estudiamos el signo de f(x): El signo de la función nos informará de Estudiamos la monotonía de f(x): Para el estudio de la monotonía tenemos que estudiar el signo de... ahora estudiamos...

8 8 INTEGRALES. EL PROBLEMA DEL ÁREA III Con lo que obtenemos que f(x) Representamos el área: Como la función que queremos representar es... El área que se pide será Calculamos el valor del área: A la vista del gráfico anterior... Área =... Para calcular las integrales definidas utilizaremos el siguiente teorema: Teorema (Regla de Barrow). Dada...

9 INTEGRALES. EL PROBLEMA DEL ÁREA III 9 Así, para calcular la integral definida... por lo tanto una primitiva de nuestra función será:... Ahora aplicamos... por lo tanto: Área =... (La solución debe darte: 36 u.a.) 4. Calcular el área comprendida por la curva y = x 2 + 2x + 2, el eje OX y las rectas x = 1 y x = 1. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. (La solución debe darte: 14 3 u.a.) 5. Calcular el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = x 2 9, el eje OX y las rectas x = 3 y x = 6. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. (La solución debe darte: 36 u.a.) 6. Calcular el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = 1 x 2 y el eje OX. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. (La solución debe darte: 4 3 u.a.)

10 10 INTEGRALES. EL PROBLEMA DEL ÁREA III 7. Calcular el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = x 2 4x + 5, el eje OX y las rectas x = 2 y x = 3. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. (La solución debe darte: 98 3 u.a.) 8. Calcular el área comprendida entre la parábola de ecuación y = x 2 3x + 2, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. (La solución debe darte: 1 u.a.) 9. Hallar el área delimitada por la parábola y = 2x 2 2x 4, el eje OX y las rectas x = 2 y x = 2. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. (La solución debe darte: 38 3 u.a.) 10. Calcular el área comprendida entre la parábola de ecuación y = 2 x x + 6, el eje OX y las rectas x = 3 y x = 0. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. (La solución debe darte: 16 3 u.a.) 11. Calcular el área comprendida entre la parábola de ecuación y = x 2 x 6, el eje OX y las rectas x = 2 y x = 4. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área. (La solución debe darte: 5 u.a.)