Introducción IMADIL /17/2014. Tema 3. Características estadísticas fundamentales (Tercera parte)

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María Rosario Cárdenas Páez
hace 6 años
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1 IMADIL 0 /7/0 Tema. Características estadísticas fundamentales (Tercera parte) Ignacio Martín y José Luis Padilla IMADIL 0. Introducción. Representación Gráfica. Correlación. Índice Introducción Uno de los objetivos principales de la ciencia consiste en descubrir las relaciones entre variables, y la estadística ha desarrollado instrumentos para ello En Logopedia podemos preguntarnos si el desarrollo auditivo de un bebe guarda relación con su peso al nacer, si la fluidez verbal de niños en edad escolar varía en función del nivel educativo de sus padres. Introducción La observación de relaciones claras y estables entre variables ayuda a comprender los fenómenos e indica las vías probablemente mas eficaces para intervenir sobre las situaciones.

2 IMADIL 0 /7/0 Nosotros nos centraremos en el estudio de las relaciones lineales, que son las más sencillas. Esto es, lo que vamos a exponer en el tema son las formas más habituales de observar y cuantificar las relaciones lineales entre variables. Introducción Igualmente los índices que vamos a describir son aplicables exclusivamente a las variables al menos de intervalo. La asociación entre variables con otros niveles de medida (nominales u ordinales) se pueden evaluar por otros procedimientos que exceden los objetivos del temario.. Representación gráfica La representaciones gráficas conjunta de dos variables permite observar visualmente este tipo de relaciones. Estas representaciones gráficas se denominan diagramas de dispersión, que constituyen nubes de puntos donde representamos los pares de valores de X e Y para cada uno de los sujetos y los representamos en un eje de coordenadas. Representación Gráfica Tiempo de respuesta Longitud de la lista Relación lineal positiva. Motivación y rendimiento Relación lineal negativa. Tiempo en una tarea y numero de errores Representación Gráfica Ausencia de relación lineal. Estatura e Inteligencia

3 IMADIL 0 /7/0. Introducción. Representación Gráfica. Correlación. Índice COVARIANZA (S xy ) Un primer procedimiento consistiría en hallar el promedio de los productos cruzados de las puntuaciones diferenciales Índices de relación Datos no agrupados Interpretación: S xy positivo: relación lineal positiva S xy negativo: relación lineal negativa S xy cero: ausencia de covariación Propiedades. El índice es capaz de discriminar entre los tres tipos de relación lineal. Problemas en la interpretación: a) Depende de las unidades de medida de las variables (no permite comparar) Índices de relación b) Es un valor no acotado (carece de máximos y mínimos estables) con lo cual no tenemos información sobre su cuantía y es difícil su interpretación Solución: Coeficiente de correlación de Pearson (r xy )

4 IMADIL 0 /7/0 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE PEARSON (R xy ) Un segundo índice de asociación lineal consistirá en hallar también un promedio de productos cruzados, de las puntuaciones típicas. Este índice se denomina coeficiente de correlación de Pearson y se representa por la letra r (a veces puede aparecer en mayúsculas). Así, la correlación de Pearson entre X e Y será: Índices de relación INTERPRETACIÓN Y PROPIEDADES DE r xy. El coeficiente de correlación de Pearson no puede valer menos que - y mas que, esto es - 0 Cercano a -: correlación lineal negativa Cercano a 0: ausencia de correlación lineal Cercano a : correlación lineal positiva. Es un valor adimensional, es invariante frente a cualquier unidad de medida permite comparar diferentes variables o la misma variable medida en diferentes grupos- Índices de relación. Si hacemos transformaciones lineales de una o de las dos variables, en que las constantes multiplicadoras son positivas, el coeficiente de correlación de Pearson no se altera Si U= a X+b y V= c Y+d siendo (a y c >0) entonces R uv =R xy. Introducción. Representación Gráfica. Correlación. Índice

5 IMADIL 0 /7/0 Estudiaremos bajo título regresión los problemas referentes a la predicción o pronóstico de los resultados en una de las dos variables, conocidos los resultados en la otra. Por ejemplo, en Logopedia puede interesarnos predecir el tiempo de rehabilitación a partir de los resultados de una prueba diagnóstica. Se trata de hacer predicciones sobre la conducta posterior de los sujetos a partir de sus valores en otra variable. Las situaciones típicas a las que se aplican las técnicas de regresión son aquellas en las que disponemos de la medida de dos variables X e Y en una muestra de sujetos, y en un momento posterior, para alguno de los sujetos disponemos solamente de la información en una de ellas, X, y queremos hacer un pronóstico de cual será su valor en Y. Aunque las predicciones pueden basarse también en relaciones no lineales, en este curso veremos únicamente las lineales. ECUACIONES LINEALES O FUNCIÓN DE LA RECTA Se dice que la relación entre dos variables es lineal si entre ellas podemos escribir la siguiente función: Donde a y b son constantes. Y = a + b X Un ejemplo es la relación entre el uso del teléfono medido en pasos y la cantidad facturada. Supongamos que la cantidad que cobra la compañía telefónica cada mes por mantener el teléfono es de euros y que cobra 0.0 céntimos por paso. La relación entre el número de pasos (X) y el importe de la factura será lineal, siendo las constantes a y b iguales a y 0.0, respectivamente X Y 0 Y= +0.0 X 0, 0, 0 7, 70 8, 90 9, a: punto de corte b: pendiente

6 IMADIL 0 /7/0 En la práctica en Ciencias de la Salud no solemos encontrarnos situaciones como estas, los puntos ya no están estrictamente en línea recta y además normalmente desconocemos las constantes de la ecuación. Normalmente disponemos de datos en dos variables X e Y y nos preguntamos sobre la posible relación entre ellas y por si hay alguna función lineal que pueda aproximarla, es decir, queremos ajustar una recta a los puntos, pero desconocemos cual es esta función. Un primer paso por tanto será obtener el diagrama de dispersión. Porque a la hora de realizar estimaciones de los valores de una variable en función de los valores de otra, tenemos que comprobar: Si a la vista del diagrama de dispersión podemos inducir una posible dependencia lineal El coeficiente de correlación está próximo a o - El sentido común nos hace pensar que exista alguna relación lineal entre ambas variables. Ejemplos: Relación entre inteligencia y rendimiento Una situación opuesta la encontramos para la relación entre el tiempo y los errores en una tarea Qué recta es la que mejor predice estos datos? cómo calcularla?

7 IMADIL 0 /7/0 El objetivo es establecer un modelo de regresión lineal o buscar la mejor recta de regresión de Y sobre X, es decir, la que mejor permite predecir los valores de Y conocidos los valores de X. En este caso deseamos encontrar las constantes a y b. Al tratar de regresión lineal utilizaremos una terminología específica, que comienza con las nuevas denominaciones de las variables, diferente de cuando hablamos de funciones: Variable predictora X es aquella que utilizamos para hacer pronósticos Variable criterio Y es aquella sobre la que hacemos los pronósticos Parece que será necesario establecer algún criterio, de modo que la recta sea la que mejor refleja la relación de X e Y en algún sentido. De todos los procedimientos posibles el modelo de la regresión lineal sigue el criterio de mínimos cuadrados que intenta responder a la siguiente pregunta: qué modelo lineal es aquel con el que en caso de utilizarlo para la predicción de Y cometeremos un error lo más pequeño posible? Las fórmulas de b y a que minimizan los errores: 7

8 IMADIL 0 /7/0 Ejemplo: Supongamos que queremos calcular la recta de regresión de Y sobre X. Hemos tomado los datos de 8 pacientes, considerando X como el nivel de depresión de un paciente e Y el número de pensamientos negativos diarios experimentados por los pacientes. X 7 Y X Y X Y XY En el ejemplo anterior imaginemos que tenemos tres nuevos pacientes con niveles de depresión, y 8 respectivamente (valores en X) vamos a predecir que número de pensamientos negativos diarios predice el modelo que tengan X =, X =, X =8 Esto es a un paciente que tenga un nivel de depresión (valor en X) se predice que tenga.7 pensamientos negativos (valor en Y). Un paciente que tenga un nivel de depresión (valor en X) se predice que tenga.8 pensamientos negativos (valor en Y) y un paciente que tenga un nivel de depresión 8 (valor en X) se predice que tenga.09 pensamientos negativos (valor en Y). 8

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