( x) f ( xi), i 0,1, 2,, n. Reemplazaremos la función f( x ) en la integral (3.1 por su interpolador polinomial de Lagrange: n (3.2) , (3.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "( x) f ( xi), i 0,1, 2,, n. Reemplazaremos la función f( x ) en la integral (3.1 por su interpolador polinomial de Lagrange: n (3.2) , (3."

Transcripción

1 Cpítulo 3. NTEGRACÓN NUMÉRCA Exste dos mers pr umetr l precsó de cálculo de ls tegrles. L prmer umetdo el úmero de psos, e los cules se clcul l fucó y de est mer umet s límtes, (especlmete pr ls tegrles multdmesoles), el tempo de computcó. U segud posbldd es plcr lgortmos utodptbles. E estos lgortmos, los tmños de ls subregoes se defe utomátcmete: tmños grdes, dode l fucó es suve y se cmb letmete, y pequeños e ls prtes dode l fucó vrí bruscmete. De est mer, se obtee u resultdo co bue precsó e u tempo mímo de computcó. El prmer progrm utodptble, pr clculr tegrles udmesoles fue publcdo e 196 y empleó l fórmul de cudrtur de Smpso. Este progrm y sus modfccoes tuvero éxtos e l práctc y fuero corpordos e dferete softwre (Mtlb, Mtemátc, etc.). El usuro de estos progrms, defe u tervlo [, b], prepr el subprogrm pr clculr l fucó f(x) e culquer puto de este tervlo y escoge l precsó desed. El progrm trt de ecotrr el vlor proxmdo de l b tegrl, pr el cul se cumple l sguete relcó, f ( x) dx usdo u tempo mímo. El progrm puede coclur, que l precsó desed es mposble y ecotrr su mejor vlor posble y comucr l precsó lczd. L precsó lczd y el tempo de computcó de u progrm utodptble, depede de ls fórmuls de cudrturs que se utlce e el progrm. Hy dos tpos de fórmuls de cudrturs, pr clculr tegrles udmesoles: U lgortmo utlz l red co odos equdsttes (Newto-Cotes) y otro l red de odos o equdsttes (Guss). U método ltertvo llmdo Mote-Crlo se us e espcos co dmesó myor 4, e el cul, l tegrl múltple se clcul como u producto del volume de u perrectágulo y u vlor promedo de l fucó subtegrl clculdo sobre u cojuto de putos, los cules, so geerdos trvés de u geerdor de úmeros letoros. Este método e el cso de tegrles multdmesoles, tee vrs vetjs e comprcó co los lgortmos que utlz ls fórmuls de cudrturs: ) El lgortmo es muy secllo; b) el error del método usdo o crece cudo l dmesó espcl umet; c) los cálculos relzdos se utlz completmete e ls etps sguetes; d) l estmcó de errores es muy secll. Pero e uestro curso sólo vmos estudr los métodos de cálculo de ls tegrles udmesoles o vmos tocr el método Mote-Crlo. 3.1 Fórmuls de Newto-Cotes L tegrcó umérc se us e dos csos: cudo l prmtv o puede ser obted e l form lítc, y cudo l fucó subtegrl está dd e u form de u tbl. Ls fórmuls correspodetes pr el cálculo umérco de ls tegrles se llm ls Cudrturs. Prmero, deducremos l fórmul de cudrtur pr el cálculo de l tegrl utlzdo l red co odos equdsttes. Pr clculr l tegrl b f ( x) dx (3.1) Escogeremos el pso = (b-)/. y dvdremos el segmeto [, b] e subtervlos seprdos por los odos equdsttes x = x o +, x o = ; = 0,1,..., ; x = b; (3.) Los vlores de l fucó f( x) e los odos de l mll deotremos y f ( x), 0,1,,,. Reemplzremos l fucó f( x ) e l tegrl (3.1 por su terpoldor poloml de Lgrge: f ( x) P ( x) l ( x) y (3.) 0 dode los coefcetes de Lgrge l ( x ) se defe como ( x x )( x x1 )...( x x l ( x) ( x x )( x x )...( x x )( x x )( x 1 x )...( x x 1 )...( x ) x Pr obteer u expresó geerl pr l tegrl (3.1) troducremos u uev vrble q q x x 0, (3.4) ) l cul e los odos de l mll dquere solo los vlores eteros, q 1,,3, y pr cul l potec geerlzd se defe medte l relcó 1 q q( q 1)( q )...( q ) (3.5) Teedo e cuet que x x x x ( x x ) q j ( q j) ; x x ( j) (3.6) j 0 0 j j El terpoldor poloml de Lgrge pr el cso de los odos equdsttes se puede represetre e l form): q f ( x) P( x) ( 1) y ( 1)! q (3.7) 0 (3.3)

2 Hcedo e l tegrl (3.1) el cmbo de ls vrble (3.6) se obtee: b 1 1 ( 1) q f ( x) dx A y; A ( b ) H; H dq;!( )! q 0,1,,, (3.8) 0 0 Ests fórmuls se llm de Newto-Cotes, y los vlores H los coefcetes de Newto-Cotes. Estos coefcetes stsfce, dos codcoes: Hk 1; Hk H k (3.9) k 0 L cudrtur de Newto-Cotes puede ser escrt flmete como: b ( b ) f xdx ( b ) Hy f, ; y f ( ); ; 0,1, (3.10) dode f, 0 es error del método, el cul como se puede demostrr teórcmete decrece co el umeto del úmero de subdvsoes, segú l relcó sguete: C f, ; p 3 P ; (3.11) dode es l prte eter de l frccó /. El prámetro p se llm el orde de l cudrtur. E l Tbl 3.1, presetmos los coefcetes de Cotes ormlzdos, Hk Hk N W k, Hk Hk (3.1) N y los vlores de P de l fórmul (3.6). Tbl 3.1. Prámetros de ls fórmuls de Newto-Cotes H 0 H 1 H H 3 H 4 H 5 H 6 H 7 H 8 N p A cotucó cosderemos los csos prtculres de l fórmul de Newto-Cotes 1. Fórmul De Los Trpecos. Pr =1, segú l ecucó (3.8) teemos 1 1 qq 1 1 q q 1 1 ; q (3.13) q1 H dq H dq De quí teemos u fórmul de trpeco, pr estmcó proxmd de l tegrl cuy terpretcó se ve clrmete e l Fg. 3.1 x1 f x dx ( y0 y1) (3.14) x0 Pr ecotrr el error del método x0 x0 f y que llr el áre sombred e l Fg. 3.1 ( ) ( ) f xdx y0 y1 f xdx f x0 f x0 x0 x0

3 Al dervr est expresó respecto de se obtee: 1 f x0 ( f x0 f x0 ) f x0 1 ( f x0 f x0 ) f x0 f x0 f x0 O f x0 O f ; x0 x0 4 4 Hcedo l tegrcó por e est últm guldd se obtee formul fl pr el error del método de trpecos: 3 " y ( ), x0, x0, x0 x0 (3.15) 1. Fórmul De Smpso Segú l formul (3.8) pr = (terpolcó cudrátc pr l fucó subtegrl f(x)) los coefcetes de Newto-Cotes so: H ( q 1)( q ) dq ( 6 4) ; H q( q ) dq ; H q( q 1) dq (3.16) Y que e este cso l mll tee tres odos x0, x1 x0, x x0 b, b teemos: x0 f x dx ( y0 4 y1 y) (3.17) 3 x0 Est relcó se llm l fórmul de SMPSON Utlzdo el método smlr l plcdo pr l fórmul de trpecos se puede demostrr que el error del método de Smpso es: 5 V f ( ) (3.18) 90 L fórmul de Trpeco segú l fórmul (3.15) permte clculr los vlores de ls tegrles exctmete pr ls fucoes leles, metrs que l fórmul de Smpso, segú l relcó (3.17) es exct pr todos los polomos st el tercer orde. Se puede tmbé deducr ls fórmuls de Newto-Cotes de los órdees superores de mer smlr. Por ejemplo pr =3, teemos u fórmul de Newto (regl tres octvos): x V f xdx ( y0 3y1 3 y y3) ; f ( ) (3.19) 8 80 x0 (regl de tres octvos) 3.. Fórmuls de Guss E este prte ecestremos u formcó sobre los polomos de Legedre. Est formcó tmbé será de muc utldd tmbé e el estudo de vros cursos de Físc (teorí electromgétc, óptc, mecác cuátc, etc.). Polomos de Legedre demás se utlz e dferetes pretes de los métodos umércos y prtculrmete so l bse del método de Guss. Apédce. Polomos de Legedre Los polomos de Legedre so ls solucoes ls Ecucoes Dferecles de Legedre: d d 1 x P x 1 P x 0 dx dx (A1) Ests ecucoes se ecuetr frecuetemete e Físc. E prtculr, prece cudo se resuelve l ecucó de Lplce (u tpo de ecucó e dervds prcles) e coordeds esfércs. L ecucó dferecl de Legedre puede resolverse usdo el método de sere de potecs. E geerl l sere de potecs obted coverge cudo x < 1 y e el cso prtculr de que se u etero o egtvo (0, 1,,...) ls solucoes form u fml de polomos ortogoles llmdos Polomos de Legedre. Cd polomo de Legedre P (x) es u polomo de grdo. Éste puede ser expresdo usdo l Fórmul de Rodrgues: 1 d 1 P x x! dx (A) 3

4 Desrrolldo l fórmul de Rodrgues se obtee l sguete expresó pr los Polomos de Legedre 1 k k P x x 1 x 1 (A3) k 0k U mportte propedd de los polomos de Legedre es que éstos so ortogoles co respecto l producto esclr defdo e L e el tervlo 1 x 1: 1 P x P x dx m, 1 m 1 (dode δ m deot l delt de Kroecker, gul 1 s m = y 0 pr otros csos Vros pocos prmeros polomos de Legedre se preset e l Tbl 3. Tbl 3. Prmeros 10 Polomos de Legedre Los gráfcos de estos polomos (meores =5) se preset e l Fg. 3.: Fg. 3. Los gráfcos de prmeros 5 polomos de Legedre Resummos ls propeddes de polomos de Legedre más mporttes pr deducr ls cudrturs de Guss: 1) ) Polomo de Legedre P 1 1, P 1 1 ( 0,1,, ) P x tee dferetes ríces reles que se ubc detro del tervlo 1 x 1 4

5 3) Culquer polomo Q x de orde detro del tervlo 1 x 1 polomos de Legedre de ordees o superor : Q x C P x k k k 0 4) Se Qk x culquer polomo de orde k feror (k<) k de Legedre P x es ortogol todos los polomos de ordees ferores puede presetrse como u combcó lel de 1 1 P x Q x dx 0. Es decr, e el espco L el polomo Cudrturs de Guss Pr deducr ls fórmuls de Guss, cosderemos clmete l tegrl detro del tervlo 1 t 1 y buscremos el vlor de l tegrl proxmdo como u combcó lel de est fucó e los putos 0 t1 t t co uos coefcetes W1, W,, W descoocdos: 1 f ( t) dt Wk f ( tk) (3.1) 1 k 1 Como el crtero pr ecotrr los odos 0 t1 t t y los coefcetes W1, W,, W escogeremos l codcó que l formul (3.1 se exct pr todos los polomos cuyo orde es meor de. Pr grtzr el cumplmeto de est codcó es 3 1 ecesro y sufcete que l formul (3.1) se exct l meos pr fucoes de potec f t 1, t, t, t,, t. Y que ls tegrles pr tods ests fucoes se clcul fáclmete se obtee sguetes relcoes etre los coefcetes y odos descoocdos: ;, mpr Wktk 1 0,1,,, 1 (3.) k 1 0 ;, pr Sstem de ls ecucoes o es lel y ecotrr su solucó es complcdo. Pero se puede utlzr el sguete método rtfcl. Aplcremos l formul (3,1) pr polomos t P () t co, = 0, 1,,..., -1, dode P (t) es u polomo de Legedre de orde. El orde de estos polomos es meor o gul que -1 y est fucó es plcble l formul (3.1). Por eso 1 1 t P ( t) dt W t P ( t ) k k k 1 k, = 0, 1,,..., -1 (3.3) Segú l curt propedd de los polomos de Legedre ests tegrles debe ser gules cero y pr stsfcer est codcó es sufcete cer, P t = 0, k = 0, 1,,..., - 1 (3.4) k tomdo como odos, t k e l fórmul (3.4) los ceros del polomo de Legedre del orde. De est mer, l fórmul 3.1, dode los odos t k se escoge como los ceros del polomo de Legedre de orde y los coefcetes Wk se ecuetr l resolver sstem de ls ecucoes leles (3.) se llm Cudrturs de Guss. E l tbl 3.3 se preset los coefcete W k y los odos t k, pr l fórmul de Guss, co = 8 odos. Tbl.. Prámetros de ls Fórmuls de Cudrturs de Guss, pr = 8 k t k W k 1; ; ; ; Pr obteer ls fórmuls de cudrturs de Guss depedetes del tmño tervlo [, b] usmos el cmbo de vrbles b b b ( b ) b b x t g( x) dx f ( t) dt, f ( t) g( t ) 1 (3.5) 1 Est fórmul os permte reducr culquer regó de tegrcó l tervlo 1 t 1 dode l fucó subtegrl se puede represetr proxmdmete como u combcó lel de los polomos de Legedre. L fórmul de cudrturs de Guss, se escrbe pr u tegrl co u tervlo de l tegrcó rbtrr se escrbe sí: 5

6 b b b b f ( x) dx Wk f tk ( f, ) (3.4) k 1 Se puede demostrr, que el error, e (3.4), es gul: 1 4 ( b ) (!) ( ) ( f, ) f ( ) ; b (3.5) 3 [( )!] ( 1) 3.3 Cotrol de precsó. Nocó sobre lgortmos uto-dptvos E l práctc pr clculr l tegrl e u tervlo [,b] se dvde, e subtervlos [x, x +1 ]. L myorí de los progrms utlz el proceso de bseccó recursvo. El úmero de subtervlos, sus dsposcoes y logtudes, depede de l fucó f(x) y de l precsó desed. Deotemos x 1 = ; x +1 = b y = x +1 - x, dode es el úmero de tervlos. E los lgortmos utodptbles, cd subtervlo se le plc l fórmul de cudrturs, dos veces, pr y dvsoes. Estos dos resultdos se deot, por y. Por ejemplo, el lgortmo utodptble, pr ls fórmuls de cudrturs de Smpso (Newto-Cotes de orde 3, progrm QNC3), utlz l fórmul prcpl (dos subtervlos): f ( x ) 4 f x f ( x ) 6 (3.6) y l fórmul combd (cutro subtervlos) 3 f ( x ) 4 f x f x 4 f x f ( x ) (3.7) Ls expresoes (.14) y (.15) d vlores proxmdos de l tegrl x 1 f ( x) dx (3.8) x L de prcpl de los lgortmos utodptbles, cosste e comprr dos proxmcoes y y estmr sus precsoes. S e est comprcó, se ecuetr que l precsó es ceptble, etoces uo de estos vlores, se tom como el vlor de l tegrl, detro del tervlo [x, x +1 ], e cso cotrro, el proceso de bseccó cotú. El úmero totl de ccesos l fucó, se dsmuye debdo que ls fórmuls (3.6) y (3.7), utlz los vlores de l fucó e lguos putos comues. Por ejemplo, e el cso de l fórmul de Smpso, los, ecest cco vlores de l fucó, pero tres de los cules, se us tmbé e. Por eso, el trtmeto del uevo tervlo, ecest solo, dos cálculos dcoles de vlores de l fucó. Deotdo el vlor excto de l tegrl pr cudrturs de orde p, teemos: c c p p (3.9) ( ) Excluyedo de ests dos gulddes l costte c descoocd, se obtee: 1 p 1 (3.30) es decr, el error de cálculo, es p -1 veces meor, que l dferec etre ls dos proxmcoes sucesvs, y. L opercó prcpl de u progrm utodptble, cosste e l bseccó de cd subtervlo, st que cumpl l codcó 1 p (3.31) 1 b dode es l precsó desed y defd por el usuro. S todos los subtervlos stsfce l codcó (.19), el progrm d el resultdo, 1 el cul se puede tomr como el vlor de l tegrl y que segú, (3.9) y (3.0) 6

7 b p f x dx ( ) p p 1 1 b Ls fórmuls (3.9) permte clculr l tegrl co u precsó myor. Combdo ls fórmuls (.17) co l tegrl, después de exclur c, se obtee l fórmul p 1 l cul es llmd Fórmul de Extrpolcó de Rcrdso. A cotucó exmos el párrfo 5.4 del lbro sobre los métodos uto-dptvos de los utores del progrms QUANC8, el mejor progrm pr clculr ls tegrles l mometo de elborcó de SOFTWARE pr MATLAB, MATEMATCA, etc. (3.3) 7

8 8

9 9

10 10

11 11

12 1

Lenguaje humano. Representación de la información. Utiliza un conjunto de símbolos alfanuméricos. Puede representar Información

Lenguaje humano. Representación de la información. Utiliza un conjunto de símbolos alfanuméricos. Puede representar Información Leguje humo Represetcó de l formcó Utlz u cojuto de símbolos lfumércos Crcteres lfbétcos:, B, C,.Z,, b, c,...z Símbolos umércos 9 sgos de putucó... Puede represetr Iformcó umérc lfumérc Leguje del ordedor

Más detalles

Guía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton

Guía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton Aulr: Igco Domgo Trujllo Slv Uversdd de Chle Guí ejerccos resueltos Sumtor y Bomo de Newto Solucó: ) Como o depede de j, es costte l sumtor. b) c) d) Aulr: Igco Domgo Trujllo Slv Uversdd de Chle e) f)

Más detalles

a es la parte real, bi la parte imaginaria.

a es la parte real, bi la parte imaginaria. CAPÍTULOIX 55 NÚMEROS COMPLEJOS Coocmetos Prevos Supoemos coocdo que: ) El cojuto de úmeros complejos está e correspodec buívoc co el cojuto de los putos de u plo. b) U úmero complejo expresdo e form boml

Más detalles

3. Unidad Aritmética Lógica (ALU)

3. Unidad Aritmética Lógica (ALU) 3. Udd rtmétc Lógc (LU) bordremos los spectos que permte l mplemetcó de l rtmétc de u computdor, trbuto fucol de l Udd rtmétc Lógc (LU). Prmero se revstrá lo relcodo l form de represetr los úmeros como

Más detalles

Universidad Eafit Universidad Eafit ISSN (Versión impresa): X COLOMBIA

Universidad Eafit Universidad Eafit ISSN (Versión impresa): X COLOMBIA Uversdd Eft Uversdd Eft revst@eft.edu.co ISSN (Versó mpres): -34X COLOMBIA Oscr Robledo MATEMÁTICAS FINANCIERAS CON ECUACIONES DE DIFERENCIAS FINITAS OTRA APROXIMACIÓN AL CÁLCULO DEL VALOR DEL DINERO EN

Más detalles

ELECCIÓN ÓPTIMA DEL PLAZO DE UN PRÉSTAMO EN FUNCIÓN DE PREFERENCIAS INDIVIDUALES

ELECCIÓN ÓPTIMA DEL PLAZO DE UN PRÉSTAMO EN FUNCIÓN DE PREFERENCIAS INDIVIDUALES ELECCÓN ÓPTM DEL PLZO DE UN PRÉSTMO EN FUNCÓN DE PREFERENCS NDVDULES Jesús Mª Sáchez Motero jsmoter@us.es Mª Ágeles Domíguez Serro doser@us.es Jver Gmero Rojs jgm@us.es Deprtmeto Ecoomí plcd Uversdd de

Más detalles

Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de fórmulas

Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de fórmulas Progrm del Dplom Mtemátcs NS y Amplcó de Mtemátcs NS: cuderllo de fórmuls Pr su uso durte el curso y e los eámees Prmeros eámees: 04 Publcdo e juo de 0 Orgzcó del Bchllerto Itercol, 0 5050 Ídce Coocmetos

Más detalles

= se cumplen todas las igualdades: Por tanto, una solución del sistema se puede considerar como un vector ( s s s s )

= se cumplen todas las igualdades: Por tanto, una solución del sistema se puede considerar como un vector ( s s s s ) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Todo problem cuyo eucdo somete úmeros descoocdos vrs codcoes, es susceptble de ser epresdo por medo de gulddes o desgulddes que form u sstem de ecucoes o ecucoes. De hí

Más detalles

está localizado en el renglón i-ésimo y la j-ésima columna del arreglo A.

está localizado en el renglón i-ésimo y la j-ésima columna del arreglo A. Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos RICES Y DEERINNES E V V. DEFINICIÓN DE RIZ U mtrz es u cojuto de úmeros, ojetos u operdores, dspuestos e u rreglo dmesol

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. b A =, es decir, la tercera parte 3 1.- INTRODUCCIÓN

INTEGRAL DEFINIDA. b A =, es decir, la tercera parte 3 1.- INTRODUCCIÓN INTEGRAL DEFINIDA.- INTRODUCCIÓN E este tem estudremos u cocepto uevo, el de tegrl defd. Auque será ecesro defrl de form eseclmete complcd, l tegrl vee formlzr u cocepto secllo, tutvo: el de áre. Ahor

Más detalles

- Función Polinómica f es toda función de dominio el conjunto de los números reales, tal que la imagen de cada número real x es:

- Función Polinómica f es toda función de dominio el conjunto de los números reales, tal que la imagen de cada número real x es: POLINOMIOS Defcó: Fucó Polóc - Fucó Polóc f es tod fucó de doo el cojuto de los úeros reles, tl que l ge de cd úero rel es: f = + + + + +, dode,,,,, so ueros reles y es turl Defcó: Poloo - Poloo de vrble

Más detalles

1. Información básica

1. Información básica PRÁCTICA 7: IINTEGRAL DEFINIDA DE RIEMANN I I L ttegrrll deffd y ll rregll de Brrrrow Itegrte f,d f@d Recuerd que l orde @ @ D o el símolo que prece e l plet BscIput clcul u prmtv de l fucó f (), es decr,

Más detalles

5.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA

5.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Mosés Vlle Muñoz Cp. 5 Sucesoes y Seres 5 5. SUCESIONES 5. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA 5. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 5.. A SERIE GEOMÉTRICA. 5.. SERIES TEESCÓPICA 5.. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 5... CRITERIO

Más detalles

CAPITULO 1 VECTORES EN R 3

CAPITULO 1 VECTORES EN R 3 CPITULO Nuestrs lms, cuys fcultdes puede compreder l mrvllos rqutectur del mudo, y medr el curso de cd plet vgbudo, ú escl trs el coocmeto fto Chrstopher Mrlowe. ECTORES EN R. Mgtudes esclres y vectorles..

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. TEMA 3. Métodos iterativos para Sistemas de Ecuaciones Lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. TEMA 3. Métodos iterativos para Sistemas de Ecuaciones Lineales TEMA3: Métodos tertvos pr Sstems de Ecucoes Leles TEMA 3. Métodos tertvos pr Sstems de Ecucoes Leles 3. Métodos tertvos: troduccó Aplcr u método tertvo pr l resolucó de u sstem S A=b, cosste e trsformrlo

Más detalles

CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.1. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas 8.2. Cálculo del área en

CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.1. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas 8.2. Cálculo del área en CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.. Cálculo de áres e coordeds crtess 8.. Cálculo del áre e coordeds prmétrcs 8.3. Cálculo del áre e coordeds polres 8.4. Cálculo

Más detalles

2.1 SUCESIONES 2.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA

2.1 SUCESIONES 2.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Sucesoes. SUCESIONES. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Objetvos: Se pretede que el estudte: Determe covergec o dvergec de sucesoes. Alce Mootoí de sucesoes. Coozc ls propeddes de l otcó sgm. 5 Sucesoes.. SUCESIONES..

Más detalles

ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR RENTAS CONSTANTES. TEMA 5 TEMA 5: RENTAS

ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR RENTAS CONSTANTES. TEMA 5 TEMA 5: RENTAS TEMA 5: RENTA. INTRODUCCIÓN Llmmos ret u sucesó de cptles que se hce efectvos e vecmetos peródcos. Ejemplo: lquler, slros, préstmos, etc. A cd uo de estos cptles se le deom térmos o ulddes (A. Llmmos durcó

Más detalles

FUNDAMENTOS DE CLASE

FUNDAMENTOS DE CLASE FUNDAMENTOS DE CLASE b c r b c Rodrgo A. Ocoró Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI FACULTAD: INGENIERIAS PROGRAMA: INGENIERÍA DE SISTEMAS ASIGNATURA: METODOS NUMERICOS PRERREQUISITO:

Más detalles

TEMA III ELEMENTOS DEL ÁLGEBRA MATRICIAL

TEMA III ELEMENTOS DEL ÁLGEBRA MATRICIAL TE III EEENTS DE ÁGER TRICI E este tem vmos repsr los coocmetos de mtrces que predmos e cursos terores y que vmos ecestr e est sgtur. I.- TRICES Qué es u mtrz? U mtrz es u dsposcó de úmeros pr l cul este

Más detalles

10. Optimización no lineal

10. Optimización no lineal 0. Optzcó o lel Coceptos báscos Prcpos y teores pr l búsqued de óptos lobles Optzcó s restrccoes e desó Optzcó s restrccoes e desó > Modelos co restrccoes de uldd Codcoes de uh-tucker Alortos uércos báscos

Más detalles

C n i V0 V10 V'0 V'10 1.000 10 0,05 7721,73493 12577,8925 8107,82168 13206,7872

C n i V0 V10 V'0 V'10 1.000 10 0,05 7721,73493 12577,8925 8107,82168 13206,7872 9. lcúlese los vlores cl y fl de u ret dscret, medt, formd por térmos de cutí. y vlord u tto perodl del %. Dstgur los csos prepgble y pospgble. Solucó: 7.7,7 ;.77,9 ; (pospgble).7, ;.,79 ; (prepgble).....

Más detalles

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA EL CONTROL DE CALIDAD

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA EL CONTROL DE CALIDAD UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MÉRIDA ESTADO MÉRIDA Admstracó de la Produccó y las Operacoes II Prof. Mguel Olveros MÉTODOS

Más detalles

Calculo Integral. Centro de Desarrollo Educativo [CDE] [Acuerdo No. MSB de Fecha 15 de Marzo 2005] [C.T. 14PBJ0076Z]

Calculo Integral. Centro de Desarrollo Educativo [CDE] [Acuerdo No. MSB de Fecha 15 de Marzo 2005] [C.T. 14PBJ0076Z] Clculo Itegrl 007 Cetro de Desrrollo Eductvo [CDE] [Acuerdo No. MSB0050 de Fech 5 de Mrzo 005] [C.T. PBJ0076Z] http://www.ute.et http://www.mgo.et Guí Descrgd desde : http://www.mgo.et Lbrerí Dgtl / E-BOOKS

Más detalles

RESPUESTA EN FRECUENCIA DE AMPLIFICADORES

RESPUESTA EN FRECUENCIA DE AMPLIFICADORES UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA CÁTEDRA DE ELECTRÓNICA III RESPUESTA EN FRECUENCIA DE

Más detalles

Guía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton

Guía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton Auilir: Igcio Domigo Trujillo Silv Uiversidd de Chile Guí ejercicios resueltos Sumtori y Biomio de Newto Solució: ) Como o depede de j, es costte l sumtori. b) c) d) Auilir: Igcio Domigo Trujillo Silv

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

TEMA 5 VALORACIÓN FINANCIERA DE RENTAS (II)

TEMA 5 VALORACIÓN FINANCIERA DE RENTAS (II) Fcultd de CC.EE. Dpto. de Ecoomí Fcer I Mtemátc Fcer Dpotv TEMA 5 VALORACIÓN FINANCIERA DE RENTAS (II). Ret cotte temporle y perpetu. 2. Ret dferd y tcpd 3. Ret vrble e progreó geométrc y rtmétc Fcultd

Más detalles

MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU

MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU APLICACIÓN EN PROBLEMAS DE INGENIERÍA Clauda Maard Facultad de Igeería. Uversdad Nacoal de Lomas de Zamora Uversdad CAECE Bueos Ares. Argeta. maard@uolsects.com.ar

Más detalles

En este capítulo expondremos brevemente (a modo de repaso) conceptos básicos sobre los sistemas de numeración.

En este capítulo expondremos brevemente (a modo de repaso) conceptos básicos sobre los sistemas de numeración. Arquitectur del Computdor ots de Teórico SISTEMAS DE UMERACIÓ. Itroducció E este cpítulo expodremos brevemete ( modo de repso) coceptos básicos sobre los sistems de umerció. o por secillo el tem dej de

Más detalles

Ejercicios Resueltos de Estadística: Tema 5: Inferencia: estimación y contrastes

Ejercicios Resueltos de Estadística: Tema 5: Inferencia: estimación y contrastes Ejerccos Resueltos de Estdístc: Tem 5: Iferec: estmcó y cotrstes . S X ~ N (40,0), clculr Pr (39 X 4) pr 0. E qué tervlo se obtedrá el 95% de los resultdos? 39 40 X Pr (39 X 4) Pr ( 0 40 4 40 ) Pr(-0.363

Más detalles

Sucesiones de funciones

Sucesiones de funciones Tem 7 Sucesioes de fucioes Defiició 7. Se A IR y F A, IR el cojuto de ls fucioes de A e IR. Llmremos sucesió de fucioes de A culquier plicció de IN F A, IR, y l deotremos por f } = ó f } =. 7. Covergeci

Más detalles

Tema 2 Sucesiones Matemáticas I 1º Bachillerato. 1

Tema 2 Sucesiones Matemáticas I 1º Bachillerato. 1 Tem Sucesioes Mtemátics I º Bchillerto. TEMA SUCESIONES. CONCEPTO DE SUCESIÓN DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Se llm sucesió u cojuto de úmeros ddos ordedmete de modo que se pued umerr: primero, segudo, tercero,...

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES . Sistems de ecucioes lieles SISTEAS DE ECUACIONES Se deomi ecució liel quell que tiee l form de u poliomio de primer grdo, es decir, ls icógits o está elevds potecis, i multiplicds etre sí, i e el deomidor.

Más detalles

Matemáticas 1 EJERCICIOS RESUELTOS:

Matemáticas 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Mtemátics EJERCICIOS RESUELTOS: Series umérics Ele Álvrez Sáiz Dpto. Mtemátic Aplicd y C. Computció Uiversidd de Ctbri Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics Clculr l

Más detalles

Neper ( ) Lección 2. Potencias, radicales y logarítmos

Neper ( ) Lección 2. Potencias, radicales y logarítmos Neer (0-7) Lecció Potecis, rdicles y logrítmos º ESO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS Potecis, rdicles y logritmos LECCIÓN. POTENCIAS, RADICALES, LOGARITMOS. Potecis de exoete etero Recuerd l defiició de oteci co

Más detalles

Definimos renta financiera como un conjunto de capitales que han de hacerse efectivos en determinados vencimientos.

Definimos renta financiera como un conjunto de capitales que han de hacerse efectivos en determinados vencimientos. Te 3 lorcó e Rets lorcó e rets Defos ret fcer coo u cojuto e cptles que h e hcerse efectvos e eteros vecetos. (, t, ( 2, t 2,, (, t Llreos téros e l ret ls cutís e los cptles fceros que copoe l ret (,

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Apédice A Sucesioes de úmeros reles Ejercicios resueltos. Está l sucesió de térmio geerl U cot iferior es pues 5 cotd? 5 5 4 4 lo cul se cumple culquier que se el úmero turl. U cot superior es pues 5 5

Más detalles

Unidad 7: Sucesiones. Solución a los ejercicios

Unidad 7: Sucesiones. Solución a los ejercicios Mtemátics º Uidd 7: Sucesioes Uidd 7: Sucesioes. Solució los ejercicios Ejercicio Ecuetr el térmio geerl de ls siguietes sucesioes: ),,,,,... 5 6 7 b ) 0,, 8,5,, 5... b 5 6 c ) 0,,,,,,... 5 6 7 c Ejercicio

Más detalles

Progresiones aritméticas y geométricas

Progresiones aritméticas y geométricas Progresioes ritmétics y geométrics Progresioes ritmétics y geométrics. Esquem de l uidd PROGRESIONES Progresioes Aritmétics Progresioes Geométrics Iterés compuesto Sum de térmios Sum de térmios Producto

Más detalles

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

REGRESIÓN LINEAL SIMPLE RGRIÓN LINAL IMPL l aálss de regresó es ua técca estadístca para vestgar la relacó fucoal etre dos o más varables, ajustado algú modelo matemátco. La regresó leal smple utlza ua sola varable de regresó

Más detalles

TEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS

TEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo TEMA : LOS NÚMEROS COMPLEJOS. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Relacó etre los úmeros complejos y los putos del plao. Afjo de u úmero complejo. Cojugado

Más detalles

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN - INTRODUCCIÓN E este tema se tratará de formalzar umércamete los resultados de u feómeo aleatoro Por tato, ua varable aleatora es u valor umérco que correspode

Más detalles

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5.

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5. Itroducció º ESO º ESO Pr operr co frccioes se sigue el mismo método que pr operr co úmeros eteros. Es decir, hy que respetr u jerrquí. Recordémosl: 1. Corchetes y prétesis.. Multipliccioes y divisioes..

Más detalles

Si quieres que algo se haga, encárgaselo a una persona ocupada Proverbio chino

Si quieres que algo se haga, encárgaselo a una persona ocupada Proverbio chino i quieres que lgo se hg, ecárgselo u perso ocupd Proverbio chio hht ttpp: ://ppeer rssoo..wddoooo..eess/ /ti iimoomt tee Noviembre 006 PROGREIONE DEFINICIÓN DE UCEIÓN NUMÉRICA U sucesió uméric es u cojuto

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesiones numéricas. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesiones numéricas. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria Mtemátics EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesioes umérics Ele Álvrez Sáiz Dpto. Mtemátic Aplicd y C. Computció Uiversidd de Ctbri Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics Sucesioes

Más detalles

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 4º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 4º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre Escuel Púlic Experimetl Descocetrd Nº Dr. Crlos Ju Rodríguez Mtemátic º Año Ciclo Básico de Secudri Teorí Nº Primer Trimestre Cojuto de los úmeros rcioles Los úmeros rcioles so quellos que puede ser expresdos

Más detalles

UNIDAD TRES GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIDAD TRES GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIDAD TRES GEOMETRÍA ANALÍTICA SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS UNIDAD TRES: GEOMETRÍA ANALÍTICA, SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS CAPITULO UNO: Geometrí Alítc: L Rect Itroduccó... Obetvo Geerl y Obetvos Específcos...

Más detalles

1.4 SERIES NUMÉRICAS.SUMA DE SERIES. (46 Problemas ) sabiendo que n

1.4 SERIES NUMÉRICAS.SUMA DE SERIES. (46 Problemas ) sabiendo que n . SERIES NUMÉRICAS.SUMA DE SERIES. (6 Problems.- Estudir el crácter de ls series:! 0 b + si >0, segú vlores de. 0.- Clculr cos α sbiedo que x x e 0! 0! 3.- Estudir l serie de térmio geerl. π se.- Cosidermos

Más detalles

CAPITULO I INTRODUCCION

CAPITULO I INTRODUCCION Coceptos de Estdístc. Presetcó. Qué es l estdístc? CAPITULO I INTRODUCCION Se suele pesr e u relcó de dtos umércos presetd de form orded y sstemátc. Est de es l cosecuec del cocepto populr que este sore

Más detalles

de los vectores libres del plano. Recordemos que la operación de sumar vectores verificaba las siguientes propiedades: se cumple que u + v = v + u

de los vectores libres del plano. Recordemos que la operación de sumar vectores verificaba las siguientes propiedades: se cumple que u + v = v + u FUNDAMENTOS DE LOS ESPACIOS VECTORIALES ABSTRACTOS Prmeros ejemplos. Cosderemos el cojuto V de los vectores lbres del plao. Recordemos que la operacó de sumar vectores verfcaba las sguetes propedades:

Más detalles

Ecuaciones de recurrencia

Ecuaciones de recurrencia Ecucioes de recurreci Itroducció Comecemos co u ejemplo: Sucesió de Fibocci: ( ) = (,,,3,5,8,3,... ) Cd térmio, prtir del tercero, se obtiee sumdo los dos teriores, o se: 3 = + ( ) U expresió de este tipo,

Más detalles

Cap 3 La Integral Definida MOISES VILLENA MUÑOZ

Cap 3 La Integral Definida MOISES VILLENA MUÑOZ Cp L Iegrl ed. EINICIÓN. TEOREMA E INTEGRABILIA. TEOREMA UNAMENTAL EL CÁLCULO. PROPIEAES E LA INTEGRAL EINIA.. PROPIEA E LINEALIA.. PROPIEA E AITIVIA.. PROPIEA E COMPARACIÓN.. PROPIEA E ACOTAMIENTO.. PROPIEA

Más detalles

Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales y a los enteros negativos.

Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales y a los enteros negativos. Tem 1: Números Reles 1.0 Símbolos Mtemáticos Distito Aproximdo Meor o igul Myor o igul Uió Itersecció Cojuto vcío Existe No existe Perteece No perteece Subcojuto Implic Equivlete 1.1 Cojuto de los úmeros

Más detalles

6. ESTIMACIÓN PUNTUAL

6. ESTIMACIÓN PUNTUAL Defcoes 6 ESTIMACIÓN PUNTUAL E la práctca, los parámetros de ua dstrbucó de probabldad se estma a partr de la muestra La fereca estadístca cosste e estmar los parámetros de ua dstrbucó; y e evaluar ua

Más detalles

Tema 1: Números reales.

Tema 1: Números reales. Tem : Números reles. REALES se utiliz pr Medir mgitudes se obtiee Ctiddes todos so Números Errores viee fectds de errores Aproximcioes clses se represet Rect rel Aproximcioes decimles Redodeos Trucmieto

Más detalles

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

LOS NÚMEROS COMPLEJOS LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax bx c 0 se aaló el sgo del dscrmate

Más detalles

Supertriangular Subtriangular Diagonal Unidad

Supertriangular Subtriangular Diagonal Unidad MT. EMPRESRILES TE RESOLVEMOS LS PRIMERS DUDS L eorí de mrices es l que v porr l form operiv de resolver u iumerle cidd de ejercicios de Álger. Por odo lo que supoe eso, os vmos proporcior los coocimieos

Más detalles

Fórmulas de de Derivación Numérica: Aproximación de de la la derivada primera de de una función

Fórmulas de de Derivación Numérica: Aproximación de de la la derivada primera de de una función Uversdad Poltécca de Madrd Igeería de Mas Fórmulas de de Dervacó Numérca: Aproxmacó de de la la dervada prmera de de ua fucó Prof. Alfredo López L Beto Prof. Carlos Code LázaroL Prof. Arturo dalgo LópezL

Más detalles

CÁLCULO VECTORIAL 1.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Llamamos magnitud a toda propiedad física susceptible de ser medida.

CÁLCULO VECTORIAL 1.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Llamamos magnitud a toda propiedad física susceptible de ser medida. CÁLCULO VECTORIAL.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Llmms mgtud td prpedd físc susceptle de ser medd. Al lr ls mgtudes físcs pdems cmprr que este ds clses e dferecds: ) Mgtudes esclres: s quells que

Más detalles

EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS:

EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES ABSOLUTOS: Mtemátic II do Mgisterio IFD Celoes XPRSIÓN DCIMAL D LOS NÚMROS RACIONALS ABSOLUTOS: Vmos clsificr los úmeros rcioles solutos e dos cojutos disjutos D y D P ( D D φ ). P D Q D P Se / el represette cóico

Más detalles

Números Reales y Complejos

Números Reales y Complejos Apéndce C Números Reles y Complejos C.. Los números reles Suponemos conocdo el conjunto de los números reles. Vmos defnr y estudr en lgunos conceptos como relcones de orden, ntervlos, cots y vlor bsoluto.

Más detalles

VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES.

VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES. CONTENIDOS. VARIABLES ESTADÍSTICAS UNIDIMENSIONALES. Itroduccó a la Estadístca descrptva. Termología básca: poblacó, muestra, dvduo, carácter. Varable estadístca: dscretas y cotuas. Orgazacó de datos.

Más detalles

3. Unidad Aritmética Lógica (ALU)

3. Unidad Aritmética Lógica (ALU) 3. Udd Artmétc Lógc (ALU) Abordremos los spectos que permte l mplemetcó de l rtmétc de u computdor, trbuto fucol de l Udd Artmétc Lógc (ALU). Prmero se revstrá lo relcodo l form de represetr los úmeros

Más detalles

2.5. Área de una superficie.

2.5. Área de una superficie. .5. Área de ua superfce. Sea g ua fucó co prmeras dervadas parcales cotuas, tal que z g( x y), 0 e toda la regó D del plao xy. Sea S la parte de la gráfca de g cuya proyeccó e el plao xy es como se lustra

Más detalles

ESTADÍSTICA poblaciones

ESTADÍSTICA poblaciones ESTADÍSTICA Es la parte de las Matemátcas que estuda el comportameto de las poblacoes utlzado datos umércos obtedos medate epermetos o ecuestas. ESTADÍSTICA La Estadístca tee dos ramas: La Estadístca descrptva:

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Probabldad y Estadístca Meddas de tedeca Cetral MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL E la udad ateror se ha agrupado la ormacó y además se ha dado ua descrpcó de la terpretacó de la ormacó, s embargo e ocasoes

Más detalles

4ª Etapa. Contaminación de Alimentos

4ª Etapa. Contaminación de Alimentos 4ª Etp Cotmcó de Almetos *Cotmcó de lmetos. Almeto cotmdo: *lterdo *Adulterdo *Geuo,etc. Tpos de Cotmcó: * Bológc * Químc * Físc 3 3 Almeto cotmdo: *Alterdo: *Cotmdo: *Adulterdo: Almeto que h sufrdo, por

Más detalles

4º MEDIO: MEDIDAS DE POSICIÓN

4º MEDIO: MEDIDAS DE POSICIÓN 4º MEDIO: MEDIDAS DE POSICIÓN També llamadas de cetralzacó o de tedeca cetral. Srve para estudar las característcas de los valores cetrales de la dstrbucó atededo a dsttos crteros. Veamos su sgfcado co

Más detalles

Tema 2: Distribuciones bidimensionales

Tema 2: Distribuciones bidimensionales Tema : Dstrbucoes bdmesoales Varable Bdmesoal (X,Y) Sobre ua poblacó se observa smultáeamete dos varables X e Y. La dstrbucó de frecuecas bdmesoal de (X,Y) es el cojuto de valores {(x, y j ); j } 1,, p;

Más detalles

DELTA MASTER FORMACIÓN UNIVERSTARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42-91 535 19 32 28003 MADRID

DELTA MASTER FORMACIÓN UNIVERSTARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42-91 535 19 32 28003 MADRID / Grl. Ampudi, 6 Teléf.: 9 5-9 55 9 ADRID FBRRO 5 UNIVRSIDAD PONTIFIIA D SALAANA ATÁTIAS DISRTAS FBRRO 5 (TARD) PROBLA : Se cooce el siguiete comportmieto de Luis e u resturte l que v comer: - No es verdd

Más detalles

MEDIA ARITMÉTICA. Normalmente se suele distinguir entre media aritmética simple y media aritmética ponderada.

MEDIA ARITMÉTICA. Normalmente se suele distinguir entre media aritmética simple y media aritmética ponderada. MEDIDAS DE POSICIÓN També llamadas de cetralzacó o de tedeca cetral. Srve para estudar las característcas de los valores cetrales de la dstrbucó atededo a dsttos crteros. Veamos su sgfcado co u ejemplo:

Más detalles

1. Aplicar la definición para hallar, sin calculadora, el valor de las siguientes potencias:

1. Aplicar la definición para hallar, sin calculadora, el valor de las siguientes potencias: EJERCICIOS de POTENCIAS º ESO FICHA : Potecis de expoete IN RECORDAR:... Defiició de poteci ( veces). Aplicr l defiició pr hllr, si clculdor, el vlor de ls siguietes potecis: ) b) ( ) c) d) ( ) e) f) (

Más detalles

CONTENIDO MEDIDAS DE POSICIÓN MEDIDAS DE DISPERSIÓN OTRAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS INTRODUCCIÓN

CONTENIDO MEDIDAS DE POSICIÓN MEDIDAS DE DISPERSIÓN OTRAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN CONTENIDO DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA CONCEPTOS BÁSICOS POBLACIÓN VARIABLE: Cualtatvas o Categórcas y Cuattatvas (Dscretas y Cotuas) MUESTRA TAMAÑO MUESTRAL DATO DISTRIBUCIONES

Más detalles

Anillos de Newton Fundamento

Anillos de Newton Fundamento Aillos de Newto Fudmeto Los illos de Newto so producidos por itererecis cudo dos hces de luz, procedetes de l mism uete, recorre cmios ópticos dieretes. Eiste distitos modos de logrr este eómeo, el que

Más detalles

1 Ce.R.P. del Norte Rivera Julio de 2010 Departamento de Matemática Notas para el curso de Fundamentos de la Matemática

1 Ce.R.P. del Norte Rivera Julio de 2010 Departamento de Matemática Notas para el curso de Fundamentos de la Matemática Ce.R.P. del Norte Rvera Julo de Departameto de Matemátca Notas para el curso de Fudametos de la Matemátca CONGRUENCIAS NUMÉRICAS Y ECUACIONES DE CONGRUENCIA. RECORDANDO CONCEPTOS: La cogrueca es ua relacó

Más detalles

Transformaciones lineales

Transformaciones lineales Trsformcioes lieles [Versió prelimir] Prof. Isbel Arrti Z. 1 Se V y W espcios vectoriles sobre el cuerpo R de los úmeros reles. U trsformció liel o plicció liel de V e W es u fució T : V W que stisfce:

Más detalles

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA MATERIAL CON FINES DIDÁCTICOS UNEFA NÚCLEO TÁCHIRA PRODUCTOS NOTABLES.

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA MATERIAL CON FINES DIDÁCTICOS UNEFA NÚCLEO TÁCHIRA PRODUCTOS NOTABLES. PRODUCTOS NOTABLES. Productos Notbles: So poliomios que se obtiee de l multiplicció etre dos o más poliomios que posee crcterístics especiles o expresioes prticulres, cumple cierts regls fijs; es decir,

Más detalles

CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS. de una variable X, la denotaremos por x y la calcularemos mediante la fórmula:

CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS. de una variable X, la denotaremos por x y la calcularemos mediante la fórmula: CÁLCULO Y COMENTARIOS SOBRE ALGUNAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS I Meddas de localzacó Auque ua dstrbucó de frecuecas es certamete muy útl para teer ua dea global del comportameto de los datos, es geeralmete ecesaro

Más detalles

Capítulo 7. Series Numéricas y Series de Potencias.

Capítulo 7. Series Numéricas y Series de Potencias. Cpítulo Series Numérics y Series de Potecis.. Itroducció. E este cpítulo le dremos setido l cocepto de sum ifiit de úmeros ó serie uméric, es decir, diremos que sigific sumr u ifiidd de úmeros... 4 El

Más detalles

3. Flujo de Potencia. Capítulo Introducción

3. Flujo de Potencia. Capítulo Introducción Cpítulo. Fluo de otec. troduccó Uo de los procedmetos computcoles más comúmete usdos e álss de sstems de potec es el cálculo de fluo de potec o fluo de potec como trdcolmete es llmdo. L plfccó dseño y

Más detalles

La integral. 1.5 Definición de la integral. Sumas de Riemann Aproximación del área de una región

La integral. 1.5 Definición de la integral. Sumas de Riemann Aproximación del área de una región APÍTULO L itegrl.5 efiició de l itegrl. Sums de Riem.5. Aproimció del áre de u regió E est secció precismos lgus ides epuests previmete, co respecto l problem de ecotrr el áre de l regió bjo l gráfic de

Más detalles

( a b c) n = a n b n c n ( a : b) n = a n : b n a n a m = a n+m a n :a m = a n-m (a n ) m = a n.m

( a b c) n = a n b n c n ( a : b) n = a n : b n a n a m = a n+m a n :a m = a n-m (a n ) m = a n.m Igreso Potecició e R: Ddo u úmero rel, que le llmremos bse y u umero turl, l que le llmremos epoete. defiimos: =.... Propieddes de l potecició: veces ( epoete) Ests propieddes se eplic mejor si se etiede

Más detalles

FÓRMULA DE TAYLOR 1. Introducción formula de Taylor Brook Taylor 2. Objetivos Aproximación de funciones por polinomios f(x) P(x) f(x)

FÓRMULA DE TAYLOR 1. Introducción formula de Taylor Brook Taylor 2. Objetivos Aproximación de funciones por polinomios f(x) P(x) f(x) FÓRMULA DE TAYLOR. Itroducció Los poliomios igur etre ls ucioes más secills que se estudi e Aálisis. So decuds pr trjr e cálculos uméricos por que sus vlores se puede oteer eectudo u úmero iito de multipliccioes

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria Matemátcas EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos Elea Álvare Sá Dpto. Matemátca Aplcada y C. Computacó Uversdad de Catabra Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Iterpretacó

Más detalles

Práctica 11. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo:

Práctica 11. Calcula de manera simbólica la integral indefinida de una función. Ejemplo: PRÁCTICA SUMAS DE RIEMAN Práctcas Matlab Práctca Objetvos Calcular tegrales defdas de forma aproxmada, utlzado sumas de Rema. Profudzar e la compresó del cocepto de tegracó. Comados de Matlab t Calcula

Más detalles

MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Estadística y Probabilidades

MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Estadística y Probabilidades MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temátco: Estadístca y Probabldades Empezaremos este breve estudo de estadístca correspodete al cuarto año de Eseñaza Meda revsado los dferetes tpos de gráfcos.. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Más detalles

PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE

PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE UNIDAD PROCEO INFINITO Y LA NOCIÓN DE LÍMITE Propósitos Explorr diversos problems que ivolucre procesos ifiitos trvés de l mipulció tbulr, gráfic y simbólic pr propicir u cercmieto l cocepto de límite

Más detalles

PROBANDO GENERADORES DE NUMEROS ALEATORIOS

PROBANDO GENERADORES DE NUMEROS ALEATORIOS PROBADO GRADORS D UMROS ALATORIOS s mportate asegurarse de que el geerador usado produzca ua secueca sufcetemete aleatora. Para esto se somete el geerador a pruebas estadístcas. S o pasa ua prueba, podemos

Más detalles

Definición. una sucesión, definimos la sumatoria de los n primeros

Definición. una sucesión, definimos la sumatoria de los n primeros MATEMATICA GENERAL 00, HERALDO GONZALEZ S SUMATORIAS Suto sle Defcó U sucesó el es tod fucó co doo u sucouto de los úeos tules y co vloes e, sólcete, l sucesó es : N tl que Osevcó Deotos l sucesó o N,

Más detalles

CAPÍTULO 6. CINEMÁTICA DIFERENCIAL DEL ROBOT PARALELO

CAPÍTULO 6. CINEMÁTICA DIFERENCIAL DEL ROBOT PARALELO CAÍUO. CNMÁCA DFRNCA D ROBO ARAO es seccó se descrbe el álss de elocddes y celercoes del robo prlelo, el cul puede llerse cbo mede ls ecucoes pr momeo geerl debdo que o ese deslzmeo e ls coeoes. ss ecucoes

Más detalles

Tema 4: Regresiones lineales y no lineales TEMA 4. REGRESIONES LINEALES LINEALES Y NO. 1. 2. 3. Introducción 4. Nomenclatura

Tema 4: Regresiones lineales y no lineales TEMA 4. REGRESIONES LINEALES LINEALES Y NO. 1. 2. 3. Introducción 4. Nomenclatura T 4: grsos lls o lls TEMA 4. EGEIONE LINEALE LINEALE Y NO.. 3. Itroduccó 4. Nocltur 5. Llzcó Ajust grsó ll ll d últpl cucos 6. 7. 8. grsos EUMEN Progrcó o lls Mtlb Cálculo uérco Igrí T 4: grsos lls o lls.

Más detalles

GESTIÓN FINANCIERA. 1. Por qué se caracteriza una operación financiera? (1,5 puntos)

GESTIÓN FINANCIERA. 1. Por qué se caracteriza una operación financiera? (1,5 puntos) Escuel Técic Superior de Iformátic Covoctori de Juio - Primer Sem Mteril Auxilir: Clculdor ficier GESTIÓN FINANCIERA 27 de Myo de 2-8, hors Durció: 2 hors. Por qué se crcteriz u operció ficier? (, putos)

Más detalles

Fórmulas de cuadratura.

Fórmulas de cuadratura. PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO I : Integrción numéric. Ojetivos: Aprender los métodos más sencillos de integrción númeric y plicrlos en diversos prolems. Fórmuls de cudrtur. Se (x un unción continu deinid

Más detalles

el blog de mate de aida CSII: derivadas

el blog de mate de aida CSII: derivadas el blo de mte de id CSII: derivds Pá. TASAS E VARIACIÓN L siuiete tbl orece el úmero de cimietos e cd mes lo lro de u ño e u determid poblció: Meses 7 8 Ncimietos 7 8 8 8 7 Pr sber, por ejemplo, cómo vrido

Más detalles

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL B. MEDIDAS DE VARIABILIDAD C. MEDIDAS DE FORMA RESUMEN: A. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL So estadígrafos de poscó que so terpretados como valores

Más detalles

PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS

PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS PROGRESIONES 3º ESO PÁGINA EJERCICIOS RESUELTOS DE PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS UN POCO DE HISTORIA: UN NIÑO LLAMADO GAUSS Hce poco más de dos siglos, u mestro lemá que querí pz y trquilidd e

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

EJERCICIOS DE RAÍCES. a b = RECORDAR: Definición de raíz n-ésima: Equivalencia con una potencia de exponente fraccionario:

EJERCICIOS DE RAÍCES. a b = RECORDAR: Definición de raíz n-ésima: Equivalencia con una potencia de exponente fraccionario: EJERCICIOS DE RAÍCES RECORDAR: Defiició de ríz ésim: x x Equivleci co u poteci de expoete frcciorio: m x Simplificció de rdicles/ídice comú: Propieddes de ls ríces: x m/ b b b p m p b m m ( ) m Itroducir/extrer

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.4. APLICACIONES

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.4. APLICACIONES TEM. VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... Cálculo del rgo de u mtri.... Cálculo de l ivers de u mtri.... Resolució de ecucioes mtriciles.... Discusió resolució de sistems

Más detalles