Matemáticas I BACHILLERATO GENERAL MODALIDAD NO ESCOLARIZADA A DISTANCIA. Guía Didáctica de la Materia. Clave de Asignatura: 11.

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1 BACHILLERATO GENERAL MODALIDAD NO ESCOLARIZADA A DISTANCIA Guí Didáctic de l Mteri Mtemátics I Clve de Asigntur: 11 Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci Mtemátics

2 MATEMATICAS I Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci

3 CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS POR SUS ANGULOS Acutángulos: Cuos ángulos interiores son gudos. C A B <A, <B, <C Rectángulos: Con un ángulo recto. C MATEMATICAS I Ojetivos del curso El propósito de este curso es plicr los conocimientos sore sistems numéricos, trvés del mnejo de sus propieddes operciones, pr l resolución de prolems. De igul form empler los métodos lgerico gráfico, prtir de l otención de ecuciones lineles, pr resolver prolems de l vid cotidin. Mnejremos los métodos lgerico gráfico, prtir de l otención de un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits, pr l resolución de prolems de l vid diri. Asimismo, plicremos los métodos lgerico gráfico, prtir de l otención de ecuciones cudrátics con un incógnit, pr l resolución de prolems de l vid diri. Por último utilizremos l Geometrí, trvés de l plicción de postuldos de congruencis, semejnz teorem de Pitágors, pr l resolución de prolems de l vid cotidin. NUMEROS RACIONALES A <A = 90º B Se llm frcción l expresión, el denomindor de un frcción no puede ser cero. Los número rcionles se denotn por Q son l colección de tods ls frcciones. Otusángulos: Tienen un ángulo otuso Se pueden representr en un rect por medio de punto. C A < > 90º B PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES SUMA L sum de 2 frcciones que tienen el mismo denomindor es otr frcción de igul denomindor cuo numerdos es l sum de los dos numerdores. Not: Los ángulos cutángulos otusángulos, recien tmién el nomre de olicuángulos porque, ninguno de sus ángulos interiores formn un ángulo recto = Si el denomindor es diferente, se determin el mínimo común múltiplo se reliz l operción = = MATEMATICAS I Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci 1

4 Ls propieddes de l sum son: 1) Propiedd conmuttiv c c + = + d d CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS POR SUS LADOS Equiláteros: Tienen sus tres ldos igules. 2) Propiedd socitiv 3) Elemento neutro de l sum + ( c + e ) = ( + c ) + e d f d f + 0 = 4) Elemento inverso con respecto l sum 5) Propiedd de los signos + ( - ) = 0 - ( -c c ) = + d d c = = c Isósceles: Tienen dos ldos igules uno desigul. MULTIPLICACION O PRODUCTO R El producto de dos frcciones es un nuev frcción cuo numerdos es el producto de los numerdores el denomindor es el producto de los denomindores = q p Ls propieddes de l multiplicción: 1) Propiedd conmuttiv c c = d d P r Q r p = q 2) Propiedd socitiv ( c e ) = ( c e d f d f ) Escálenos: Tienen sus tres ldos desigules. 3) Elemento neutro del producto 4) Elemento inverso respecto l producto con 0 1 = = 1 A C c B Pr dividir dos frcciones se multiplic l primer de ells por el inverso de l segund, respecto l producto. c = = MATEMATICAS I Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci 27

5 ANGULOS TRAZADOS POR DOS PARALELAS Y UNA SECANTE l3 1) 2 + Consult nliz el procedimiento de solución = + = = l1 2) 3 3) = = = = = = l2 4) = = Los ángulos 3, 4, 5 6 se llmn interno por estr dentro de ls prlels. Los ángulos 1, 2, 7 8 se llmn externos por estr fuer de ls prlels. Los ángulos 1, 3, 5 8 son colterles por estr en un mismo ldo de l secnte, sí como los ángulos 2, 4, 6 7. TRIANGULO Es un figur pln, limitd por tres rects que se cortn dos dos. Tmién se define como el polígono o figur geométric formd por tres ldos que formn, su vez, entre sí tres ángulos. Representción en l rect numéric de ls siguientes números rcionles: 1) -7 2) 3/2 = 1.5 3) 3 4) 8/5 = 1.6 5) 23/4 = -11 NUMEROS IRRACIONALES X X Aquellos que no pueden expresrse como cociente de dos enteros. π, 2, 3, 5, 7 A B C = Vértices c = Ldos = Angulos NUMEROS REALES A 3 C 1 c 2 B Es el conjunto de los números rcionles e irrcionles. Pr escriir en un número rcionl en form deciml st hcer l división indicd sí el deciml puede ser finito como es el cso en: 5 8 = O ien puede tener un loque de dígitos que se repite sin fin como es el cso del loque 037 en el siguiente ejemplo: = Se puede representr: MATEMATICAS I Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci 3

6 Sin emrgo en un número irrcionl con form deciml, l prte deciml no tiene fin no h un loque de dígitos que se repit. 2 = Angulo perigonl: Mide 360º, es decir, un rotción complet Propieddes de los números reles: Conmuttividd + = + = Asocitividd +(+c) = (+)+c (c) = ()c Entre l sum l multiplicción 1) Distriutividd (+c) = +c o (+c) = +c Simplifique ls siguientes operciones (nliz el procedimiento) 1) 5-(-2)=5+2 = 7 2) -(-4-3)=+4+3 = 7 3) 2(-x-3) = -2x-6 4) -7-(-3) = -7+3=-4 5) (-x)(-)(2-3z) = x(2-3z) = 2x 3xz 6) 2(-2-3) = -4-6 = -10 7) 5(-3) = -15 8) -2(-x-2) = 2x+4 9) 8 (-2) = -4 10) -4(x-6) = -4x+24 OTRA CLASIFICACION Angulos consecutivos: Angulos dcentes: Tienen el mismo vértice un ldo común. 4 3 Son dos ángulos consecutivos, cuos ldos no comunes formn un ángulo llno Representción en l rect numéric: 1) (+4)+(+2) = +6 Angulos complementrios: Son dos ángulos cu sum en un ángulo recto. Un ángulo de 35º el de el de 55º sumn 90º X X Angulos suplementrios: Son dos ángulos que l sumrse dn como resultdo un ángulo llno. un ángulo de 85º el de 95º sumn 180º ) (+6)+( 2) = Angulos conjugdos: Son dos ángulos que l sumrse, tienen como totl un ángulo perigonl un ángulo de 120º el de 240º sumn 360º X X MATEMATICAS I Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci 25

7 Angulo de depresión: Es el generdo prtir de l horizontl, en dirección negtiv un punto ddo. 3) (+4) (-8) = Angulo de depresión X X De cuerdo con l mgnitud de su medid, se clsificn en : 4) (+2)(+3) = + 6 Angulo gudo: Es el ángulo que mide menos de 90º más de 0º x Angulo recto: Es el ángulo que mide 90º 5) (+2)( 3) = 6 1 Angulo otuso: Es el ángulo que mide más de 90º menos de 180º x' POTENCIAS Angulo llno: Tmién llmdo colinel, es el que mide 180º Es el producto de tomrlo como fctor tnts veces como se quier. Regls 1) L potenci de un número positivo siempre será positiv. 2) L potenci de un número negtivo será positiv si el exponente es entero pr; negtivo si el exponente entero es impr Angulo entrnte: Mide más de 180º menos de 360º 1) (3) 2 = 9 2) (-3) 2 = 9 3) (3) 3 = 27 4) (-3) 3 = -27 5) (-2 2 ) 3 = -26 = MATEMATICAS I Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci 5

8 MINIMO COMUN MULTIPLO CLASIFICACION DE ANGULOS El producto de dos o más números es divisile entre cd uno de esos números, es un múltiplo de cd uno de ells Ejemplo x 2 x 2 x 2 x 3 = 48 mínimo común múltiplo Angulos coterminles: Cundo los ángulos se encuentrn en posición norml su ldo termin coincide en estr en el mismo lugr, decimos que son ángulos coterminles. Por ejemplo. El ángulo de 45º el de 405º son coterminles. Angulo coterminl 45º + 360º = 405º MAXIMO COMUN DIVISOR x' 45º 405 º x Es el mor sumúltiplo común dichos números Ejemplo ' x 2 x 3 x 3=36 máximo común divisor Angulos cóncvos: Angulos convexos; SUMA Y RESTA 1) = ) 2(x 3) 5(2x+) = 2x 6 10x 5 = 8x 11 3) (x+2 z)+3(x +2z) = x 2+z+3x 3+6z = 4x 5+7z 4) (2x 3) (8x+6+4) = 2x 3 8x 6 4 = 6x 9 4 5) 8x+[(3x 2)+(6x 9) (x+)] = 8x+[3x x+6x 9 x ] = 8x+3x 2+6x 9 x = 16x 3 9 Angulo de elevción: Angulo cóncvo Angulo convexo Es el que se origin en l horizontl en dirección positiv hci un punto ddo. Resuelve ls siguientes sums rests 1) 4x+3+z+2x+3 2z 2) 2+3c+2+4 c 3) 2x z 4 4) x (2+3x) 2 5) 3x (2+3x) 2 6) (2x 3)+( 4z) (z 3x) 7) 3 [2+3x (2x 3)]+4x 8) 2x {3 [5x (7 6x)]} 9) 9x (2 3x) { (2 x} [2+(4x 3)] Angulo elevción 6 MATEMATICAS I Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci 23

9 ANGULO Es l ertur comprendid entre dos rects que se cortn en un punto llmdo vértice ls semirrects que se formn se llmn ldos. Ldo Vértice Ldo EXPONENTES 1) 2 7 = 7 2) ( 3) 4 ( 3) 5 = (81)( 243) = ) ( 5 ) 4 = 20 4) (x 2m x 3n ) 4 = (x 8m )(x 12n ) = x 8m+12n 5) (2 3 ) 5 = 2 15 Efectúese ls operciones indicds plicndo los teorems sore exponentes Sistem sexgésiml: Es el más conocido medinte él se divide un rotción complet en 360 prtes igules, cd un de ls cules se llm grdo. L notción de un ángulo de 58 grdos, 15 minutos 8 segundos es : 58º 15 8 Adición sustrcción de ángulos sexgésimles 35º + 15º = 50º 85º - 60º = 25º Sistem centesiml: A diferenci del sexgésiml, en este sistem l rotción complet se divide en 400 prtes igules, cd un de ls cules se llm grdo centesiml. 45 g 23 m 47 s 45 g g Ldo L notción de ángulo de 45 grdos, 15 minutos 18 segundos se puede expresr de tres forms distints: Sistem mixto: Si queremos expresr 38.58º en grdos, minutos segundos, deemos considerr que l prte enter represent los grdos l prte deciml los minutos segundos; pr otener estos últimos, como semos que 1º equivle 60, plicmos l regl de tres 1º º x (60)(0.58) entre 1 = 34.8 Ahor 1 equivle 60, entonces: x (60)(8) entre 1 = 48 Así tenemos 38º Ldo 1) (3) 4 2) ( r 2 ) t 3) 3x 3 x 4 x 5 4) (5c) 3 5) (2x n ) n 6) 3x 4 2x 3 7) ) (3) 5 9) (2 3 ) 4 10) (x 4 ) n MULTIPLICACION 1) 2x 3 por 3x+4 2x 3 3x + 4 6x 2 9x + 8x x 2 x ) x x por 2x x x 2x 2x 3 + 4x 2 + 2x 2 x 2 x x 3 + 3x 2 + x ) 2n 7 n +10 por n 1 2n 7 n + 10 n 1 3n 7 2n + 10 n 2n + 7 n 10 3n 8 2n + 17 n 10 Sistem circulr 22 MATEMATICAS I Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci 7

10 4) (x 1) por (x+2) por (x 3) METODO GRAFICO x 1 x + 2 x 2 x + 2x 2 x 2 + x 2 x 3 x 3 +x 2 2x 3x 2 3x + 6 x 3 x 2 5x + 6 por por x 2 4x + 3 = 0 x Sustituendo x en ecución Resolver ls siguientes multiplicciones: 1) (4x 3) 2) (5 + 2)(5 2) 3) (3x 2)(2x + 5) 4) (x 2) 2 5) (2x + 3x 2 1)(3x 2) 6) ( x + 2x )(x x) 7) (x 4 + 2x )(x ) 8) ( 2n 7 n +10)( 1) 9) (x 2n + 2x n + 2n )(x 2n 2n ) 10) (x + 3)(2x 5) 11) (4x + 2)(4x 2) 12) (r 2 t 2 )(r t) 13) (x 2 x + 2 )(x + ) 14) (x 2 2x 2)(x + 2x 2 4) 15) (x 2)(x + 3)(x + 2) = (-2) 2 4(-2) + 3 = 15 = (-1) 2 4(-1) + 3 = 8 = (0) 2 4(0) + 3 = 3 = (1) 2 4(1) + 3 = 0 = (2) 2 4(2) + 3 = -1 = (3) 2 4(3) + 3 = 0 = (4) 2 4(4) + 3 = -3 x 2 3x + 10 = 0 x' ' x DIVISION x x' x 1) 4x 8 10x 6 5x 4 entre 2x 3 4x 8 10x 6 5x 4 4x 8 10x 6 5x 4 = = 2x 3 5x 3 5x - 2x 3 2x 3 2x 3 2x 3 2 2) m n + m-1 n+2 m-2 n+4 entre 2 3 m n + m-1 n+2 m-2 n+4 m n m-1 n+2 m-2 n+4 = + = m-8 n-3 + m-3 n-1 m+4 n+1 3) m 2 11m + 30 entre m 6 m 5 Resultdo = m 5 m 6 m 2 11m + 30 (-1) m 2 + 6m -5m m Sustituendo x en ecución = (-2) 2 3(-2) + 3 = 0 = (-1) 2 3(-1) + 3 = -6 = (0) 2 3(0) + 3 = -10 = (1) 2 3(1) + 3 = -12 = (2) 2 3(2) + 3 = -12 = (3) 2 3(3) + 3 = -10 = (4) 2 3(4) + 3 = 0 x 2 + 6x + 8 = 0 x 2 2x 3 = 0 x 2 + 4x + 3 = 0 x 2 = 6 x x 2 = 2x 1 Representr gráficmente ' x 2 + 8x + 16 = 0 x 2 4 = 0 x x 2 9x + 10 = 0 2x 2 5x 7 = 0 8 MATEMATICAS I Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci 21

11 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE Suelen llmrse ecuciones cudrátrics, porque uno de sus términos prece elevdo l cudrdo. Tiene 2 métodos de solución: Método de Fctorizción: Si se fctoriz el miemro izquierdo de l ecución cudrátic, ls ríces pueden identificrse con grn fcilidd. Fórmul cudrátic o fórmul generl: Cundo l expresión cudrátic no puede fctorizrse, puede plicrse l siguiente fórmul: 3x 2 5x + 2 = 0 c - ± 2 4c 2 Fórmul Generl - ± 2 4c 2 -(-5) ± (-5) 2-4(3)(2) 2(3) 5 ± ± ± 1 6 X1 = 1 X2 = Podemos sustituir culquier de los 2 vlores 4) 15x x entre 2 3x 4 + 5x Resultdo = 4 + 5x 2 3x x 15x 2 (-1) x 10x 15x 2 +10x + 15x 2 0 5) x 6 + 6x 3 2x 5 7x 2 4x + 6 entre x 4 3x x 2 2x + 3 Resultdo = x 2 2x + 3 x 4 3x x 6 2x 5 + 6x 3 7x 2 4x + 6 x 6 + 3x 4 2x 2 2x 5 +3x 4 6x 3 9x 2 4x x 5 6x 3 + 4x 3x 4 9x x 4 + 9x Resuelve ls siguientes divisiones 1) 3x x 4 entre 3x 2 2) 6m 3 8m 2 n + 20mn 2 entre 2m 3) 8m 9 n 2 10m 7 n 4 20m 5 n m 3 n 8 entre 2m 2 4) x 4 5x 3 10x x entre 5x 5) entre ) x x entre x + 5 7) entre + 3 8) entre 3 7 9) 2x 4 x x entre 2x ) m 4 m 2 entre m + 11) x x 2 5x entre x 2 2x ) entre ) 16x entre 2x Resolver ls siguientes ecuciones cudrátics 4x 2 + 3x 22 = 0 x x 2 = 16x 63 12x 4 9x 2 = 0 5x 2 7x 90 = 0 6x 2 = x x + 11 = 10x 2 49x 2 70x + 25 = 0 12x 7x = 0 x 2 = 15x 56 32x x 17 = 0 8x 2 2x 3 = 0 PRODUCTOS NOTABLES CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES 1) (m + 3) 2 = m 2 + 6m + 9 2) (7x + 11) 2 = 49x x ) (2x + 3) 2 = 4x x ) (8x 2 + 9m 3 ) 2 = 64x m 3 x m 9 5) (x x-2 ) 2 = x x 9+1 x-2 + 2x-4 20 MATEMATICAS I Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci 9

12 Resuelve los siguientes cudrdos de sums Fctorice por el método de fctor común 1) (5 + x) 2 2) (6 + ) 2 3) (9 + 4m) 2 4) (x + ) 2 5) (1 + 3x 2 ) 2 6) ( 2 x + 2 ) 2 7) ( ) 2 8) (4m 5 + 5n 6 ) 2 9) ( x 4 ) 2 10) ( x 3 ) 2 11) (x ) 2 12) ( m + n ) 2 13) ( x + x+1 ) 2 1) 69x 4 81x x ) 70m 4 x 3 80m 3 3) + c + d + f 4) xk + x1 + x0 + xt TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 5) rp + rtv + rtw + rtu 6) wrg + wgt + wgk + wgm 7) 2rm 4mg 10m + 20m 8) 4x 2 2x + 8x 3 14x 5 CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES 1) ( 3) 2 = ) (2 3) 2 = ) ( ) 2 = ) (10x 3 9x 5 ) 2 = 100x 6 180x x ) ( x-2 5) 2 = 2x-4 10 x Procedimiento: Pso 1 Pso 2 Se extre l ríz cudrd l primero tercer términos del trinomio. se seprn ests ríces por el signo del segundo término 1) m 2 + 2m + 1 = (m + 1) 2 2) 4x 2 20x = (2x 5) 2 3) 1 16x x 4 = (1 8x 2 ) 2 Resuelve ls siguientes diferencis de cntiddes l cudrdo Fctorizr los siguientes trinomios cudrdos perfectos 1) (x 7) 2 2) (9 ) 2 3) (4x 1) 2 4) ( 3 3 ) 2 5) (x 2 1 ) 2 6) (x ) 2 7) ( 7 7 ) 2 8) (2m 3n) 2 9) (x m n ) 2 10) (x 9+1 3x 9-2 ) 2 1) x 2 + 2xm + m 2 2) m m ) 4x 2 12x + 9 4) m 2 + 2mn + n 2 5) x 2 10x ) 4g g ) 25m 2 30m ) x 2 2x + 1 9) ) p 2 6p ) ) t 4 + 2t ) m 2 4m + 4 PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES 1) (x + )(x ) = x 2 2 2) (x )(x 2 2 ) = x 4 4 3) (2m + 9)(2m 9) = 4m ) (6x 2 m 2 x)(6x 2 + m 2 x) = 36x 4 m 4 x 2 5) ( x+1 2 x-1 )(2 x-1 + x+1 ) = ( x+1 2 x-1 ) = 2x+2 4 2x-2 FACTORIZACION DEFERENCIA DE CUADRADOS Regl: Se extre l ríz cudrd l minuendo l sustrendo se multiplic l sum de ests ríces cudrds por l diferenci entre l ríz del minuendo l del sustrendo. 1 2 = (1+9)( ) 4 2 = (2 + )(2 ) m 6 = (-5 + 9m 3 )(5 + 9m 3 ) 1) (m n)(m + n) 2) ( x)(x + ) 3) (2 1)(1 + 2) 4) (n 1)(n + 1) 5) (1 3x)(3x + 1) Resuelve los siguientes productos de l diferenci de dos cntiddes 6) ( 3 2 )( ) 7) ( 2 3)( 2 + 3) 8) (1 8x)(8x + 1) 9) ( m + n )( m n ) 10) (3x 9 5 m )(5 m + 3x 9 ) ) 25m 4 n ) m 4 n 3 c) 144x d) 9m 6 25m 4 e) m 2 n 2 f) p 2 q 2 g) 49d 4 e 2 h) 9v 2 1 i) 36x 2 4 j) 81f 4 36g 2 10 MATEMATICAS I Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci 19

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14 FACTORIZACION Fctorizción es descomponer un número o expresión en fctores. Descomponer en fctores o fctorr un expresión lgeric es convertirl en el producto indicdo en sus fctores. Fctores son ls expresiones lgerics que multiplicndo entre sí dn como producto l primer expresión. TIPOS DE FACTORIZACION 1) Cundo todos los términos tienen un fctor común. 2) Fctor común monomio = ( + 2) 3) Fctor común polinomio x( + ) + m( + ) = ( + )(x + m) 4) Fctor común por grupción de términos. x + x + + = (x + x) + ( + ) = x( + ) + ( + ) = ( + )(x + ) 5) Trinomio cudrdo perfecto. m 2 + 2m + 1 = (m + 1)(m + 1) = (m + 1) 2 6) Diferenci de cudrdos perfectos. ( 2 2 ) = ( + )( ) Fctor Común Procedimiento: Pso 1: Pso 2 Se usc el fctor común Se escrie el fctor común como coeficiente de un préntesis escriimos los coeficientes del divisor. 20m 4 n 3 60m 3 n 4 80m 2 n 5 = 20m 2 n 3 (m 2 3mn 4n 2 ) x 2 x 5 = 20 mcd CUBO DE UN BINOMIO 1) (x 2) 3 = x 3 6x x 8 2) (4x + 5) 3 = 64x x x ) (x2 3) 3 = x 6 9x4 + 27x ) (2x + 3) 3 = 8x x x ) (2x + 3) 3 = 8x x2 + 54x ( + 2) 3 (x 1) 3 (n 4) 3 (2x + 1) 3 (1 3) 3 Resuelv los siguientes cuos de inomios 6) (2 + 2 ) 3 7) (1 2n) 3 8) (4n + 3) 3 9) ( 2 2) 3 10) (1 2 ) 3 PROCUCTO DE DOS BINOMIS DE LA FORA (x+)(x+) 1) (x + 2)(x 1) = x 2 + x 2 2) ( 11)( + 10) = ) ( 4 + 8)( 4 1) = ) (x 3 3 6)(x ) = x x ) ( x+1 6)( x+1 5) = 2x+2 11 x ( +1 )( + 2) (x + 2)(x + 4) (x + 5)(x 2) (m 6)(m 5) (x + 7)(x 3) (x 3)(x 1) (x 5)(x + 4) Resolver los siguientes productos de inomios (n 19)(n + 10) ( 2 + 5)( 2 9) (x 2 1)(x 2 7) (n 2 1)(n 2 20) (n 3 + 3)(n 3 6) (x 3 + 7)(x 3 6) ( 5 2)( 5 + 7) ( 6 + 7)( 6 9) ( + 5)( 6) (x 2 9)(x 2 12) ( 2 2 1)( ) ( x 3)( x + 8) ( x+1 6)( x+1 5) 25x x x x 6 = x 3 (25x 3 50x x ) mcd 18 MATEMATICAS I Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci 11

15 ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Método de sum o rest El ojeto de este proceso es el de otener dos ecuciones cu sum se un ecución que conteng un sol vrile 11x + 5x 1 = 65x 36 11x + 5x 65x 1 = x 1 = Comproción 11(5/7) + 5(5/7) 1 = 65(5/7) = x + = 6 Ecución 1 2x = 3 Ecución 2 Pso 1 Pso 2 Sustituir x en ecución 1 Pso 3 Compror ecución 1 x + = 6 2x = 3 x + = = 6 3 = 3 39 = 6 3 x + = 6 9/3 3 = 3 3+3=6 6=6 8x 15x 30x 51 51x + 31x 172 8x 15x 30 51x 53x x [3x (6 9x)] = 30x + [ (3x + 2) (x + 3)] 16x [3x 6 + 9x] = 39x + [-3x 2 x 3] 16x 3x x 3x 2 x 3 16x 3x + 6 9x x + 1 = x 3x 9x 30x + 3x Comproción 8(1) - 15(1) - 30(1) - 51(1) = 53(1) + 31(1) = 88 Comproción 8 = 8 2x + = 11 Ecución 1 x + 3 = 18 Ecución 2 Pso 1 Pso 2 Pso 3 Sustituir ecución 1 2x + = 11-2[ x + 3 = 18] 1) 6x 5 = 9 4x + 3 = 13 2) 7x 15 = 1 -x 6 = 8 Pso 4 Compror ecución 1 2x + = 11-2x 6 = 36 2x + 6 = = = 25 6/2 2(3) + 5 = 11 = -25/-5 = = = 11 6) 11x 9 = 2 13x 15 = -2 7) 18x + 5 = x + 11 = 31 x (2x + 1) = 8 (3x + 3) x 2x 1 = 8 3x 3 x 2x /2 3 Comproción 3 (2)(3) 1 = 8 (3)(3) = = 4 3) 3x 4 = 41 11x + 6 = 47 4) 9x + 11 = -14 6x 5 = -34 5) 10x 3 = 26 2x + 5 = -4 8) 9x + 7 = -4 11x 13 = -48 9) 12x 14 = ) 15x = 40 19x + 8 = MATEMATICAS I Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci 17

16 CONCEPTO DE FUNCION Es un cso específico de relción se llm función de dos vriles l expresión que indic l interdependenci de vlores, existente entre dos mgnitudes que tiene el crácter de vrile. 1) = 2x 2) = x 3 3) = 3x + 3 4) 2 3 5) 3 = 4x + 5 ECUACIONES SIMULTANEAS 6) 4x + = 8 7) 5x = 2 8) 2 1 9) = 8 3x Ejercicios Resuelve ls siguientes ecuciones con un incógnit comprue su resultdo 1) 5 8x 15 2) 4x + 1 = 2 3) x 4) = ) 14 12x + 39x x 657x 6) 15x 10 = 6x (x ( x + 3) 7) 15x + ( 6 + 5) 2 ( x + 3) = (7x + 23) x + (3 2x) 8) x [5 + 3x {5x (6 +x)}] = -3 9) 9x (5x + 1) {2 + 8x (7x 5)} ) 71 + [ 5x + ( 2x + 3)] = 25 [ (3x + 4) (4x + 3)] 11) x + 3(x 1) = 6 4(2x + 3) 12) 2(3x + 3) 4(5x 3) = x(x 3) x(x+5) 13) 3(2x + 7) + ( 5x + 6) 8(1 2x) (x 3) = 0 14) 184 7(2x + 5) = (x 1) 6 15) 14 (5x 1) + 2x + 3 = 17 (10x + 1) + x 6 Dos o más ecuciones con dos o más incógnits son simultánes cundo se stisfcen pr igules vlores de ls incógnits. Lenguje común: Es l form verl con l que nos referimos expresiones lgerics. SISTEMA DE ECUACIONES Es l reunión de dos o más ecuciones con dos o más incógnits. Lenguje lgerico: Es l form escrit de expresiones lgerics. RESOLUCION Enuncido Ecución lgeric Pr resolver un sistem de est clse es necesrio otener de ls dos ecuciones dds un sol ecución con un incógnit. Est operción se llm eliminción. METODOS DE ELIMINACION MAS USUALES: 1) Sum o rest. 2) Igulción. 3) Sustitución 4) Determinntes Un número más 3 es 9 x + 3 = 9 Un número disminuido en 4 es 3 más el dole del número x 4 = 3 + 2x Un número el número umentdo 7% x x Dos veces un número 2x Represent en lenguje lgerico los siguientes enuncidos U número incrementdo en 4 A 9 se le rest un número Tres veces un número más 2 6 veces un número menos 4 2 veces l sum de un número más cinco 16 MATEMATICAS I Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci 13

17 1) Un número es 2 más 5 veces el otro número; l sum de los dos es 62 x es (2 + 5x) Ahor x + (2+5x) = /5 x=12 Comproción = 3x, se tiene x Not: Los vlores de x tú los signs liremente vs sustituendo en l ecución pr otener el vlor de. Sustitución x en ecución (2+5x)=62 2+(5)(12)=62 62=62 = (3)(-2) = -6 = (3)(-1) = -3 = (3)( 0) = 0 = (3)( 1) = 3 = (3)( 2) = 6 2) El costo de lquiler de un videocseter durnte x dís ( $6.00 por dí) es $72.00, Cuántos dís duró el lquiler? x' x /6 4 ' 3) L distnci recorrid en n dís es de 1,500 mills; se recorren 600 mills cd dí, Cuántos dís fueron de recorrido? 600n = 1500 n = 1500/600 n = 2.5 1) = x +, donde son constntes, l líne rect que ell represent no ps por el origen su intercepto sore el eje de ls es igul l término independiente. = 2x + 4 X Y Sustitución x en ecución FUNCION LINEAL Tod función de primer grdo represent un líne rect por eso se llm función linel, l ecución que represent l función se llm ecución linel. = (2)(-2) + 4 = 0 = (2)(-1) + 4 = 2 = (2)( 0) + 4 = 4 = (2)( 1) + 4 = 6 = (2)( 2) + 4 = 8 x' x Si l función crece de término independiente, o se si es de l form = x, donde es constnte, l líne rect que ell represent ps por el origen. ' 14 MATEMATICAS I Bchillerto Generl Modlidd No Escolrizd A Distnci 15